Capítulos I - II

8/10/2019 Captulos I - II

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PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Conjuntos elementos subconjuntos

1.48.

Enumere los elementos de los siguientes conjuntos si el conjunto universal es el alfabeto

{ }. Adems identifique cules de los conjuntos son iguales.

{ }, { }.

{ }, { }.

{ } { } {} { }

Operaciones de Conjunto

1.50.Dado el conjunto universal {}y los conjuntos: {}, {} {}

Encuentre: (a) y , (b) y , (c)y .(a)

{ } { }

(b)

{} {}

(c)

{} {}

1.52. Para los conjuntos en el Problema 1.50, encuentre: (a) , (b) , (c) (.(a)

{}

(b)

{}(c)

{} { }

1.54.Sean A y B dos conjuntos cualquiera. Pruebe que es la unin disyuntiva de , y.Asumimos que:

{ } { } { }


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{}

{} {}

{} {} {}

1.56.LA frmula define la operacin de diferencia en trminos de las operaciones deinterseccin y complemento. Encuentre una frmula que defina la unin en trminos de lasoperaciones de interseccin y complemento.

{ } { } { } { }

{ } {}

Diagramas Venn algebra de conjuntos dualidad

1.58.

Escriba el doble de cada ecuacin:

(a)

(b)

Conjuntos finitos y el principio contable conjuntos contables

1.60.Determine cul de los siguientes conjuntos son finitos:

(a) Lneas paralelas al eje x.

(b) Letra del alfabeto.

(c) Animales que viven sobre la tierra.

(d) Crculos a travs del origen (0,0)

(a) infinito

(b) finito

(c) finito

(d) infinito

1.62. Entre 120 estudiantes de primer semestre en una universidad, 40 toman matemticas, 50 toman

ingls y 15 toman ambas materias, matemticas e ingls. Encuentre el nmero de estudiantes de

primer semestre que:

(a) No toman matemticas

(b) Toman matemticas o ingls

(c) Toman matemticas pero no ingls

(d) Toman ingls pero no toman matemticas

(e) Toman exactamente una de dos materias

(f) No toman matemticas ni ingls

{ } { }


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{ }

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

1.64. Sean A1, A2, A3 j . m q escontable.

Conjunto de producto

1.66. Encuentre x yysi: (a) , (b) .

(a)

(b)

1.68.Sea { }y {}. Encuentre (a) y (b) .(a)

{ }(b) { }

1.70. Suponga que y . Encuentre el nmero de elementos en:(a) , , (b) , , (c) .

(a)

(b)

(c)

Clases de conjuntos y de particiones

1.72.

Sea {}. Determine si cada proposicin es una particin de S:(a) [{} { } { }] no es particin de S(b)

[{ } {} { }] no es particin de S

(c) [{ } {} {} { }] es particin de S


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(d) [{} { } {} { }] es particin de S(e) [{}] es particin de S(f) [{} {} {} {} {} {}] es particin de S


2.38. Encuentre: (a) 10!, 11!, 12! (b) 60! (Guia: Utilice la aproximacin de Stirling a n!)

(a)

. . . . . . . . .

(b)

. . .

.

2.40. Simplifique: (a)

, (b)

, (c), (d)

,

2.42. Demuestre que: (a)

,

(b)


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(a)

.

.

.

(b)

.

.

.

2.44. Encuentre las filas (a) novena y (b) decima del tringulo de Pascal, suponiendo que la siguiente

es la fila octava:

1 8 28 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

2.46. Un restaurante tiene en su men de postres 4 clases de panques, 2 clases de galletas 3 clases de

helado. Encuentre el nmero de formas en las que una persona puede seleccionar: (a) uno de lospostres, (b) uno de cada postre.

(a) (b) 2.48.

Suponga que una clave consiste en 4 caracteres donde el primer carcter debe ser una letra del

alfabeto, pero cada uno de los dems caracteres puede ser una letra o un digito. Encuentre el numero

de: (a) palabras claves, (b) palabras claves que empiecen con una de las 5 vocales.

(a)

(b)


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2.50. Hay 6 caminos entre A y B y 4 caminos entre B y C. Encuentre el nmero nde formas en las

cuales una persona puede conducir: (a) desde A hasta C a travs de B, (b) viaje de ida y regreso desde

A hasta C a travs de B, (c) viaje de ida y regreso desde A hasta C a travs de B sin utilizar el mismo

camino ms de una vez.

(a) Desde A hasta C a travs de B

(b) Viaje de ida y regreso desde A hasta C a travs de B

(c) Viaje de ida y regreso desde A hasta C a travs de B sin utilizar el mismo camino ms de una vez.

Permutaciones y muestras ordenadas

2.52. Encuentre el nmero nde formas en que 6 personas pueden subirse a un tobogn donde: (a)

cualquiera puede manejar; (b) uno de 3 debe manejar.

(a) (b) 2.54. Encuentre el nmero nde permutaciones que se pueden formar de todas las letras de cada

combinacin: (a) QUEUE, (b) COMMITTEE, (c) PROPOSITION, (d) BASEBALL.

(a) QUEUE

(b) COMMITTEE


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(c) PROPOSITION

(d) BASEBALL

2.56.Encuentre el nmero nde formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros pequeos

se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo tamao estn juntos.

2.58. A una clase asisten 10 estudiantes. Encuentre el nmeronde muestras ordenadas de tamao 4:

(a) con reposicin, (b) sin reposicin.

(a)

(b)

Combinaciones

2.60.Una tienda tiene 8 libros de misterio diferentes. Encuentre el nmero de formas en las que un

cliente puede comprar 3 de los libros.

2.62.Una clase est conformada por 9 nios y 3 nias. Encuentre en nmero de formas en que un

profesor puede seleccionar un comit de 4.


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2.64.Una mujer tiene 11 buenos amigos. Encuentre el nmero de formas en las que ella puede invitar a

5 de ellos a comer.

2.66.Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos estn disgustados y no se estn hablando y

no asistirn juntos.

2.68.

Un estudiante debe responder 10 de 13 preguntas. (a) Cuntas selecciones hay?, (b)cuntas

habr si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas? (c) cuntas si el estudiante debe

responder la primera o la segunda pregunta pero no ambas?

(a)

(b)

.

.

.


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(c)

Particiones

2.70.Encuentre el nmero de formas en las que 6 estudiantes pueden ser distribuidos en 3 equipos,

conformados por 2 estudiantes cada uno.

2.72.Encuentre el nmero de formas como se puede distribuir 9 juguetes entre 4 nios, si el ms

pequeo debe recibir 3 juguetes y cada uno de los otros 2 juguetes.

2.74.Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el nmero de formas en las que se puede distribuir los

estudiantes en 3 equipos conformados por 3 estudiantes cada uno.

Diagramas de rbol

2.76. S q , F en la figura 2-7 representa islas y las lneas que las conectan, los puentes,una persona empieza en A y camina de una isla a otra. La persona para a almorzar cuando el o ella


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contina caminando sin cruzar el mismo puente 2 veces. (a) Construya el diagrama de rbol

apropiado y encuentre el nmero de formas en que la persona puede caminar antes de almorzar. (b)

En qu islas puede l o ella almorzar?

b) En que islas puede el o ella almorzar.

Puede almorzar en las islas B,D,E

A

D

E

C

C

C

E

D

F

D

D

B

E

B

E

C

C

E

B

F

F

B

F

D

B


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Notacin factorial y coeficientes binomiales

2.39.Calcule: (a), (b)

, (c)

, (d)

.

(a)(b)(c)

(d)

2.41. Calcule: (a) (), (b) (), (c)( ), (d) (), (e) (), (f) ().

(a)

(b)

(c)(d)

(e)(f)

2.43. Evalu los siguientes coeficientes multinomiales (definidos en el problema 2.36).

(a) , (b) , (c)

(a)(b)

(c)

Principios de conteo reglas de adicin y de multiplicacin

2.45. Una tienda vende ropa para hombre. All tienen 3 clases diferentes de chaquetas, 7 clases

diferentes de camisas y 5 clases diferentes de pantalones. Encuentre el nmero de formas en que una

persona puede comprar:

(a) un artculo para un regalo, (b) uno de cada uno de los artculos para un regalo.

(a)15

(b)

105

2.47. Una clase est conformada por 8 estudiantes hombres y 6 estudiantes mujeres. Encuentre el

nmero de formas en que la clase puede elegir: (a) un representante para la clase; (b) 2

representantes para la clase; (c) un presidente y un vicepresidente;

(a)14

(b)48

(c)

182

2.49.

Suponga que un cdigo consiste en 2 letras seguidas por 3 dgitos. Encuentre el nmero de (a)

cdigos; (b) cdigos con letras diferentes, (c) cdigos con las misma letra.

(a)


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(b) (c)

Permutaciones y muestras ordenadas

2.51. Encuentre el nmero de formasn

en que un juez puede otorgar el primero, segundo y tercerlugar en un concurso con 18 participantes.

2.53.Un grupo que debate est conformado por 3 muchachos y 3 nias. Encuentre el numero de n

formas en las que pueden sentarse en un fila donde: (a) no hay restricciones, (b) los muchachos y las

nias se sientan juntos, (c) solamente las nias se sientan juntas.

(a) (b) (c)

2.55.Encuentre el nmero nde seales diferentes, si cada una consiste en 8 banderas colgadas en una

lnea vertical, que se pueden formar de 4 banderas rojas idnticas, 2 banderas azules idnticas y 2

banderas verdes idnticas.

2.57.Una caja contiene 12 bombillos. Encuentre el nmero nde muestras ordenadas de tamao 3: (a)

con reposicin; (b) sin reposicin.

(a)

(b)

1 320

Combinaciones

2.59.Un restaurante tiene 3 postres diferentes. Encuentre el nmero de formas en las que un cliente

puede escoger 2 de los postres.

2.61.Una caja contiene 6 medias azules y 4 medias blancas. Encuentre el nmero de formas en que

puede sacarse de la caja 2 medias cuando: (a) no hay restricciones, (b) hay colores diferentes, (c) lasmedias son del mismo color.

(a)

(b)

(c)

2.63.

Repita el problema 2.62, pero cuando: (a) debe haber 2 nios y 2 nias, (b) hay 1 nia

exactamente, (c) hay por lo menos 1 nia.

(a)

(b) (c)


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2.65. Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos estn casados y no asistirn

separadamente.

2.67.Una persona recibe una mano de pker (5 cartas) de un naipe corriente con 52 cartas. Encuentre

el nmero de formas de manos que la persona puede recibir: (a) cuatro de la misma clase, (b) una

escalera flor.

(a) (b)

Particiones

2.69. Encuentre el nmero de formas en las que puedan repartirse 6 juguetes en forma equitativa

entre 3 nios.

2.71.

Encuentre el nmero de formas como se pueden distribuir 6 estudiantes en 2 equipos, donde

cada equipo est conformado por 2 o ms estudiantes.

2.73. Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el nmero de formas en las cuales los estudiantes

quedan presentar 3 exmenes, si 3 estudiantes deben presentar cada uno cada examen.

Diagramas de rbol

2.75.Los equipos A y B juegan en una serie mundial de bisbol, donde el equipo que primero gane 4

juegos gana la serie. Suponga que A gana el primer juego y que el equipo que gana el segundo juego

tambin gana el cuarto juego. (a) Encuentre el nmero n de formas como puede ocurrir la serie y

enumere las nformas como puede ocurrir la serie. (b) En cuntas formas ganar B la serie? (c) De

cuntas formas podr durar la serie 7 juegos?


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(a) AAAA

AABAA

AABABA

AABABBA

AABABBB

ABABAA

ABABABA

ABABABB

ABABBAA

ABABBAB

ABABBB

ABBBAAA

ABBBAAB

ABBBAB

ABBBB

(b)7 formas

(c)

8 formas

A

A

A A

B A

A

B

A

B

A

B

B

A B

A

A

B

A

B

B

A

A

B

B

B B

A

A

A

B

B

B

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