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CAPITULO II POLARIZACIN

2.1 Polarizacin de la materia

La polarizacin de la materia se entiende como el desplazamiento relativo de cargas a escala atmica cuya extensin depende de qu tan rgida sea la unin entre las cargas22,23. En el electromagnetismo clsico, la polarizacin elctrica es el campo vectorial que expresa la densidad de los momentos elctricos dipolares permanentes o inducidos en un material dielctrico. El vector de polarizacin Pr se define como el momento dipolar por unidad de volumen, recordando que el momento dipolar total de una distribucin de carga viene dado por la ecuacin

= nnrqp rr 2.1

siendo nrr

el vector de posicin de la carga nq . Por otro lado, el vector

polarizacin tiene la siguiente forma:

pNP rr

=

2.2

donde N es el nmero de molculas24. La polarizacin elctrica Pr es uno de los tres campos elctricos macroscpicos que describen el comportamiento de los materiales, los otros dos son el campo elctrico Er y el campo de desplazamiento elctrico Dr

22,25,26,27.

Se sabe, por estudios anteriores y reconocidos ya en la literatura cientfica, que el origen ltimo del comportamiento dielctrico est en la naturaleza elctrica de la materia. Aunque de manera normal es elctricamente neutra como conjunto, en detalle, la materia, est constituida por cargas positivas y negativas en igual nmero. A diferencia de los electrones de conduccin, en las sustancias dielctricas estas cargas no son libres de moverse, bajo la influencia de un campo elctrico de origen externo3.

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Pues bien, cuando sobre un medio dielctrico se aplica un campo elctrico, ya sea esttico o dinmico, se produce en su interior una reordenacin de carga que microscpicamente da lugar a la aparicin de dipolos elctricos. El efecto de la aparicin de dichos dipolos se observa macroscpicamente. La aparicin de estos dipolos se puede producir mediante distintos tipos de mecanismos: - Polarizacin de orientacin. Este mecanismo da lugar a la aparicin inducida debido a la orientacin, en la direccin del campo aplicado, de los momentos dipolares que poseen las molculas que componen ciertos medios (sustancias polares). En las siguientes figuras presentamos un esquema dipolar de un material arbitrario sin y con campo elctrico.

Fig. 2.1 Esquema de orientacin dipolar al azar sin la presencia de un campo elctrico

Fig. 2.2 Esquema de orientacin dipolar en presencia de un campo elctrico. Las lneas junto a las flechas indican hacia donde se orientan los dipolos en presencia del campo.

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- Polarizacin de distorsin. La aplicacin de campos elctricos sobre medios materiales puede producir la modificacin de distribuciones de carga generando la aparicin de dipolos elctricos. Dependiendo de la forma en que son inducidos los dipolos se distinguen dos tipos de polarizaciones: *Polarizacin electrnica. Se puede decir que el dipolo es inducido a nivel atmico debido a un desplazamiento relativo entre el centro de cargas de la corteza electrnica y el ncleo atmico

Fig. 2.3 Esquema de polarizacin electrnica

*Polarizacin inica. Los dipolos son inducidos a nivel cristalino debido a un desplazamiento relativo entre iones positivos y negativos.

Fig. 2.4 Aparicin de momento dipolar elctrico por desplazamiento relativo de las capas inicas

Desde el punto de vista macroscpico, estos mecanismos de polarizacin pueden aparecer simultneamente y por ende su estudio puede ser complicado. Por esto, presento a continuacin, unas breves palabras sobre dielctricos conectndolo con el tema de polarizacin.

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2.2 Dielctricos

Puede entenderse por dielctrico a toda aquella materia no conductora que cuenta con una constante K llamada constante dielctrica23 o, en otras palabras, es un material que no contiene cargas libres28. La constante K es una cantidad adimensional definida ya sea por la permitividad o por la susceptibilidad 28. Cuando un capacitor contiene entre sus placas una substancia dielctrica y se le aplica un campo elctrico, las placas del capacitor tendrn una carga mayor que si no hubiera dicha substancia. La razn de este hecho es debido a que el material dielctrico polarizado reorienta sus dipolos existentes dejando en la superficie de si mismo, tanto superior como inferior, una densidad superficial de carga que no es compensada con los dipolos internos sino con las cargas existentes, de signo contrario a las del dielctrico, en las placas del capacitor por causa del campo elctrico externo aplicado; de esta manera obtendremos el equilibrio entre las cargas. Si la constante dielctrica es igual a 1 entonces la carga de las placas y la carga originada por el material son iguales, pero si es mayor que 1 entonces tendremos una carga mayor que la inicial.

2.3 Vector de polarizacin30,31,32

El vector de polarizacin es el que nos permite describir todos los momentos dipolares existentes en el material, como ya se mencion anteriormente. Otra forma matemtica de representarlo es la siguiente:

dVpdPr

r= 2.3

Aqu dV debe ser lo suficientemente pequeo para ser considerado como infinitesimal pero lo suficientemente grande como para poder contener un nmero elevado de dipolos que nos permita hacer esta expresin macroscpica. Ahora bien, dado que el inters del trabajo es presentar una tcnica de caracterizacin elctrica de materiales estimulada trmicamente, misma que

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tiene un comportamiento de cintica de primer orden, llamada ITC, el vector de polarizacin lo abordaremos desde el concepto de polarizacin por orientacin. Cuando este tipo de polarizacin est presente vamos observar un proceso de relajacin, esto es, los dipolos permanentes asociados a molculas, relajan a una posicin de equilibrio. Esta relajacin se produce a una dada por un determinado tiempo de relajacin que estar directamente relacionado con el tiempo caracterstico de las rotaciones moleculares posibles dentro de un material. Este tiempo corresponde normalmente a frecuencias.

2.4 Polarizacin en la teora de Bucci y Fieschi

La dependencia del tiempo y la temperatura de la polarizacin dipolar se determinan por la competencia entre la accin orientadora del campo y la accin al azar de los movimientos trmicos. Para tratar este problema, Debye propuso que el comportamiento de los dipolos bajo la accin de un campo es el tpico comportamiento asinttico de los fenmenos transitorios. Por tanto, la polarizacin por orientacin vendr dada por la expresin:

2.4

donde es el tiempo de relajacin dipolar y eP es la polarizacin de equilibrio. Esta polarizacin tiene una forma matemtica sencilla que obtendremos a partir del siguiente desarrollo. La polarizacin de equilibrio esta dada por la siguiente expresin

2.5

donde N es el nmero de dipolos, es el momento dipolar y V es el

volumen. Ahora bien, el momento dipolar promedio es

( )

=

tPtP e exp1

VNPe

=

11

Aqu 0 es el momento dipolar molecular y Cos el valor medio del ngulo

de todos los dipolos existentes en el material. Este ltimo valor promedio, el del ngulo, es el promedio de la distribucin de Boltzmann que se expresa de la siguiente manera

Haciendo un cambio de variable de la forma

TE

u

0= y Cosx =

tendremos que

( )

( )dxux

dxuxxCos

= 1

1

1

1

exp

exp

Resolvamos ahora las integrales. Primeramente la del numerador

( )dxuxx

1

1

exp

= Cos0

pi

pi

dSenT

ECos

dSenT

ECosCosCos

=

0

0

0

0

exp

exp

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Integrando por partes haciendo el siguiente cambio de variable:

xl = dxedv ux=

dxdl = uxeu

v1

=

( )

=

1

1

1

1

1

1

1exp dxe

ue

u

xdxuxx uxux

1

1

1

1

11

=

uxux euu

eu

x

uuuu eu

eu

eu

eu

++= 221111

uu euu

euu

++

= 22

1111

Haciendo uso de la propiedad siguiente

)()( uSenhuCoshe u += ; )()( uSenhuCoshe u =

Tendremos que

( ) ( ) ( ))()(11)()(11exp 221

1

uSenhuCoshuu

uSenhuCoshuu

dxuxx

+++

=

2222)()()()()()()()(

u

uSenhu

uSenhu

uCoshu

uCoshu

uSenhu

uSenhu

uCoshu

uCosh+++=

==

uu

uCoshu

uCoshu

uCosh 11)(2)(2)(2 2

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Ahora resolvamos la del denominador

( ) [ ]uuux eeu

eu

dxux

=

=

11exp

1

1

1

1

( ) )(2)()()()(1 uSenhu

uSenhuCoshuSenhuCoshu

=++=

Dividiendo estos dos resultados tenemos finalmente que

( )u

uCothCos 1=

Sustituyendo en eP esta solucin tendremos que

( )

=

uuCoth

VNPe

1

Ahora bien, sustituyendo el valor de TE

u

0=

y haciendo un desarrollo de

Taylor de la funcin

TECoth

0 tendremos finalmente que

TVEN

Pe

3

20

= 2.6

Que es la expresin sencilla que habamos predicho.