Capítulo IX

Análisis de Regresión no lineal

En algunas situaciones es evidente que un modelo lineal en todas las

variables independientes es inadecuado. Por ejemplo, un modelo de

regresión que predice Y, la puntuación de las preferencias en una

prueba de sabor de una bebida de lima, como función lineal de X1

(concentración de lima) y X2 (dulzura) es muy dudosa. En otros casos,

los diagramas de dispersión de los datos revelan la ausencia de

linealidad. Particularmente, en la regresión lineal, una gráfica ordinaria

de Y contra X es adecuada.

En la regresión múltiple, el efecto de las variables entre sí puede

oscurecer la ausencia de linealidad. Por esta razón, una estrategia

estándar es ajustar un modelo de primer orden y después representar

gráficamente los residuos de este modelo con cada variable

independiente. Si un modelo más apropiado contiene, por ejemplo, un

término en segundo grado 2

1X , entonces la gráfica de los residuos

( YYiˆ ) contra X1 muestra un patrón no lineal. Como el uso de un

modelo de primer orden elimina el efecto lineal de las otras variables

independientes, las no lineales a menudo se muestran con mayor

claridad en estos diagramas residuales.

Las interacciones entre las variables son más difíciles de descubrir en

los diagramas de dispersión. Si X1 y X2 interactúan al determinar Y,

hay tres variables involucradas; desafortunadamente, los diagramas

tridimensionales son más difíciles de trazar e interpretar. Quizá el

sentido común sea la mejor manera de determinar si hay interacciones

presentes.

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Para el caso especial en que una de las variables independientes es

una variable cualitativa representada por una o más variables ficticias

(dummy), la interacción se puede descubrir trazando gráficas de los

residuos (tomados de un modelo de primer orden) contra otras

variables independientes. Se deberían trazar gráficas por separado para

las observaciones en cada categoría de la variable cualitativa. El

modelo de primer orden sin interacciones implica que estos diagramas

deben ser paralelos. Si los diagramas de los residuos por separado no

son más o menos paralelos, se deberían considerar la posible presencia

de algún tipo de interacción.

La representación gráfica de estos residuales con respecto al valor

estimado de Y, pueden producir los siguientes patrones:

La idea de estos gráficos es averiguar si el valor medio estimado de Y

está relacionado sistemáticamente con el residual al cuadrado.

En (a) se ve que no hay un patrón sistemático entre las dos variables,

lo cual sugiere que posiblemente no hay heteroscedasticidad en los

datos. Sin embargo las gráficas de (b) a (e) muestran patrones

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definidos. Por ejemplo, la figura (c) sugiere una relación lineal,

mientras que (d) y (e) indican una relación cuadrática. Utilizando estas

gráficas, es posible obtener curvas de mejor ajuste u orientarnos

acerca del tipo de transfomación que debe aplicarse a los datos a fin de

mejorar el ajuste. Pueden también hacerse representaciones de los

residuales versus el valor de X.

Los modelos de regresión no lineal son muy variados. Algunos de estos

modelos se dan a continuación:

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(1) (2) (3)

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En la columna (1) aparecen de arriba abajo el modelo lineal, el

semilogarítmico inverso en Y, el modelo inverso logarítmico en X,

doble logarítmico. En la columna (2) aparecen el modelo cuadrático, el

modelo cuadrático inverso logarítmico en Y, el modelo recíproco, el

modelo de parábola logarítmica y en la tercera columna aparecen

modelos polinomiales.

Existen una gama muy amplia de modelos. Pero se pueden clasificar

en dos grupos los intrínsecamente lineales, es decir, se pueden

transformar a la forma lineal y los no lineales propiamente dichos que no

se pueden transformar a la forma lineal. Los métodos de estimación

cambian en ambos casos en los intrínsecamente lineales puede aplicarse

la transformación y luego aplicar el método de los mínimos cuadrado. En

los no lineales propiamente dichos se aplica el método de estimación de

máxima verosimilitud.

Entre los modelos intrínsecamente lineales más usuales en la

práctica tenemos:

(a) El modelo lineal útil en los casos de ajuste no lineal porque

sirve como patrón de comparación.

Ecuación del modelo bXaY ˆ

(b) El modelo recíproco (también llamado hipérbola) donde

una de las variable va aumentado y la otra va disminuyendo.

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Ecuación del modelo bXa

Y

1ˆ

(c) El modelo gamma que es muy utilizado en ajustes de

curvas de producción lechera.

Ecuación del modelo cX XabY ˆ su transformación a la forma

lineal es:

logY=log(a)+x(logb) + c(logX)

(d) El modelo potencial muy utilizado en ajusten de precio-

demanda.

Ecuación del modelo baXY ˆ su transformación a la forma lineal es:

Log Y=log(a) + b(logX)

(e) El modelo exponencial muy utilizado en ajustes de

crecimiento poblacionales.

Ecuación del modelo XabY ˆ su transformación a la forma lineal es:

logY = log(a)+X(logb)

Entre los modelos no lineales propiamente dichos encontramos:

(a) El modelo logístico para estudiar el crecimiento de

poblaciones.

Ecuación del modelo Xabk

Y

1ˆ o kab

Y

X 1

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(b) El modelo de parábola logarítmica, cuya ecuación del modelo

es:

(c) El modelo de Gompertz también usado para el estudio de

crecimientos poblacionales.

Ecuación del modelo: xbpqY ˆo )log()log(log qbpY x

Modelaje, Modelado o Modelización

Es la construcción de un modelo que se sabe a ciencia cierta, la

respuesta que produce, luego se aplica a una situación donde dicha

respuesta es desconocida para conocer su comportamiento, y, si el

modelo resulta ser de "buen ajuste en lo sucesivo lo aplicaremos para

propósitos de predicción.

Modelado Matemático-Estadístico: es una función que describe un

proceso o fenómeno.

El tipo o función queda determinado por:(a) Gráfica de la función;

(b) Algún Principio subyacente a los datos(c)Mejor Criterio de ajuste.

2)(log)(logˆ XcXbaY

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Buen ajuste

Es el grado de semejanza entre las respuestas reales (Yi) y las obtenidas con el

modelo

Tipos de pendientes

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129

Definición de Mejor Modelo:

Más fiable (o confiable)

Menor error estándar en los estimadores

Más sencillo (Principio de parsimonia): Menos parámetro

Menos suposiciones para construirlo

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Pautas para usar la ecuación de regresión lineal

(1) Si no hay una correlación lineal significativa, no use !a ecuación de

regresión para hacer predicciones.

(2) No use la ecuación de regresión para hacer predicciones fuera del

rango de valores muestreados.

(3) Una ecuación de regresión basada en datos viejos (obsoletos) no

necesariamente sigue siendo válida en el presente.

(4) No haga predicciones acerca de una población distintas de la población

de la cual se extrajo la muestra de datos.

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Ejemplo de Aplicación

Mediante un ejemplo relacionado con el crecimiento (longitud:Y) de

una larva de un parásito por días de eclosión (X) se ajustarán una serie

de modelos y se escogerá el que sea de “mejor ajuste” en base al

criterio del R-cuadrado.

X (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y (longitud) 8 10 9 8 7 5 6 3 2

Se pide ajustar los modelos siguientes:

(a) Lineal

(b) Exponencial

(c) Potencial

(d) Recíproco

(e) Inverso

(f) Gamma

(g) Polinomial trigonométrico

(h) Parábola

(i) Parábola de raíz

(j) Logarítmico en X

(k) Logarítmico en Y

(l) Cúbico

Solución

(a) Ajuste del modelo lineal: comenzamos por vaciar los datos en

el paquete STATISTIX.

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Luego se sigue la secuencia de instrucciones

Statistix >linear models>linear regression

Seguidamente aparece el siguiente menu de dialogo.

Declaramos Y como variable dependiente y X como la independiente.

Al presionar okay se produce la salida siguiente.

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El modelo lineal es:

Y=10,9444 - 0,90000X con un 8347,02 R

Podemos reescribir la ecuación así:

Longitud=10,9444 - 0,9 Días con un 8347,02 R

(b)Ajuste del modelo exponencial. Como este modelo tiene la

siguiente expresión:

xabY para expresarlo en la forma lineal es:

logY=log(a)+X(logb), es decir, para introducir la data en

STATISTIX debemos crear la variable LOG(Y). En este momento

acudimos a la opción TRANSFORMATION del menú DATA y aparece la

siguiente caja de dialogo:

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Y en el interior de la caja que dice Transformation Expresión

Escribimos:

LOGY=log(Y)

Es decir, estamos obteniendo el logaritmo de Y y se lo estamos

asignando a una variable llamada LOGY. Procedemos a presionar GO

y se crea esta variable; a continuación volvemos a invocar el

procedimiento para la regresión:

STATISTICS>LINEAR MODELS>LINEAR REGRESSION

A continuación aparece y pasamos con el cursor LOGY como variable

dependiente y X como independiente así:

Al presionar OKEY aparece la salida:

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Luego la ecuación del modelo es:

LOGY=1,14008 – 0,07555 X con un 7816,02 R

Para no hacer tan extenso el procedimiento, por demás repetitivo,

para el modelo potencial (se crea la variable LOGX y LOGY), para

desarrollar el modelo recíproco se crea la variable inversa de Y

(invY=1/y), para desarrollar el modelo inverso creamos la variable

inverso de X (invX=1/X), para desarrollar el modelo gamma se crean las

variables: LOGY y LOGX, para el modelo polinomial trigonométrico se

crean dos variables SENOX y COSX, así:

SENOX=sin(2*PI*X/24) y COSX=cos(2*PI*X/24), para la parábola se

crea la variable X cuadrado X2=X*X, para desarrollar el modelo

parábola de raíz se crea la variable RAIZX=SQRT(X), para desarrollar el

modelo cúbico se crea la variable X cubo, así X3=X^3 ó X3=X*X*X.

El desarrollo de estos modelos de regresión, aparecen resumido en el

cuadro que sigue mostrando cada modelo y su respectivo R-cuadrado:

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Modelo R-Cuadrado

1.Lineal 0,8608

2.Cuadrático 0,8632

3.Logarítmico en X 0,6544

4.Cúbico 0,9643

5.Inverso 0,2002

6.Potencial 0,8560

7. Exponencial 0,8590

8.Recíproco 0,8613

9.Gamma 0,9256

10.Polinomial trigonométrico 0,9238

Se aprecia que entre todos los modelos el de mejor ajuste es el

modelo de regresión cúbico por poseer el mayor R-cuadrado.

Restaría verificar si el modelo cúbico es bueno para predecir o estimar

comparado los valores de Y observados con los de Y esperados y esto

puede hacerse utilizando el Ji-cuadrado. En este sentido, se plantea el

sistema hipotético:

Ho: Los valores de Y observados concuerdan con los esperados, y por

tanto, el modelo es bueno para predecir.

H1: Los valores de Y observados no concuerdan con los esperados, y

por tanto, el modelo es malo para predecir.

Se deja al lector la tarea de corroborar cual hipótesis se

cumple en este caso