Capitulo IV (Integrales)
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MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
CAPITULO II:
LA INTEGRAL INDEFINIDA
En las últimas sesiones se ha estudiado el siguiente problema: dada una función , hallar su derivada, es decir, la función En esta parte del curso estudiaremos el caso inverso: dada una función , debemos hallar una función cuya derivada sea igual , es decir: .
Ejemplos
1.- Hallar , sabiendo que 2.- Hallar , sabiendo que
3.- Hallar , sabiendo que
4.- Hallar , sabiendo que
5.- Hallar , sabiendo que
Definición: (Antiderivada)
Si en todos los puntos del intervalo se verifica la ecuación: , la función se llama Primitiva o Antiderivada de la función sobre .
Definición: (Antiderivada General) Si es una antiderivada de sobre el intervalo es decir:
sobre ,
entonces la función es la Antiderivada General de , donde constante
Definición: (Integral Indefinida)
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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Se llama Integral Indefinida de una función , a la antiderivada general de la función., es decir, si , entonces:
Notación:: signo de la integral
: integrando: elemento de integración
Ejemplos
1.- ……
2.- ……
3.- ……
4.- ……
5.- ……
“La integral definida es el proceso de hallar la antiderivada general de la función”
PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA:
Consideremos y funciones derivables y constantes:
a.-
b.-
c.-
d.-
e.- TABLA DE INTEGRALES BASICAS
Sea función diferenciable
1.- 11.-
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2.- 12.-
3.- 13.-
4.- 14.-
5.- 15.-
6.- 16.-
7.- 17.-
8.- 18.-
9.- 19.-
10.- 20.-
21.-
22.-
23.-
24.-
Ejemplos explicativos:
Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:
1.- 6.-
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2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
Ejemplos para el aula:
Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:
1.- 6.-
2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
I.- Integración por Cambio de Variable.
Sea una función diferenciable, se cumple:
Ejemplos explicativos:
Resolver:
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1) 6)
2) 7)
3) 8)
4) 9)
5) 10)
Ejemplos para el aula:
Resolver:
1) 6)
2) 7)
3) 8)
4) 9)
5) 10)
INTEGRAL POR PARTES
Sea y , dos funciones diferenciables:
Luego es una antiderivada de , es decir:
Entonces:
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……. Fórmula de Integración por Partes
Observaciones:
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica, se elige a como el polinomio y al resto se le considera .
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función exponencial, se elige a como el polinomio y al resto se le considera .
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función logarítmica, se elige a como la función logarítmica y al resto se le considera .
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica inversa, se elige a como la función trigonométrica inversa y al resto se le considera .
- Si el integrando se compone del producto de una función exponencial por la función ó , se puede elegir a como la función exponencial y ó
ó viceversa.
Nota:En una sola integral se pueden aplicar varias veces integración por partes
Ejemplos explicativos:
Integrar:
1.- 6.-
2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
Ejemplos para el aula:
Resolver las siguientes integrales:
1.- 6.-
2.- 7.-
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3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
III. INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMÈTRICA
A pesar de no existir un método para hacer el cambio de variable adecuado, muchas integrales que contienen expresiones de la forma:
Se pueden evaluar haciendo adecuadas sustituciones trigonométricas.
1) Para integrales que contiene expresiones de la forma:
Hacer el cambio , , entonces
2) Para integrales que contienen expresiones de la forma:
Hacer el cambio ,
3) Para integrales que contienen expresiones de la forma:
Hacer el cambio ,
Ejemplos explicativos:
Resolver:
6) 6)
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7) 7)
8) 8)
9) 9)
10) 10)
Ejemplos para el aula:
Resolver:
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES POR DECOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES
Observaciones:
- Una función , donde y , son polinomios, recibe el nombre de
fracción racional.- Si el grado de es menor que el grado de , recibe el nombre de
función propia, de lo contrario, se denomina impropia.- Toda fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio y de
una fracción propia.
Ejemplo:
- Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores sean de la forma y , siendo un número entero positivo.
- De acuerdo a la naturaleza de los denominadores se pueden considerar los siguientes casos:
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CASO I: FACTORES LINEALES DISTINTOS
A cada factor lineal, , del denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma:
, A constante a determinar
CASO II: FACTORES LINEALES IGUALES
A cada factor lineal, , que figure veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de fracciones:
,
constantes a determinar
CASO III: FACTORES CUADRATICOS DISTINTOS
A cada factor cuadrático irreducible, , que figura en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma:
, A, B constantes a determinar
CASO IV: FACTORES CUADRATICOS IGUALES
A cada factor cuadrático irreducible, , que se repita veces en el denominador en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de fracciones de la forma:
,
donde son constantes a determinar
Ejemplos explicativos:
Integrar:
1.-
2.-
3.-
4.-
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5.-
Ejemplos para el aula:
Resolver las siguientes integrales:
1.- 6.-
2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida nace a menudo de la consideración del área encerrada por la curva , el eje y las ordenadas levantadas en y ; pero podemos dar la definición de integral definida sin apelar a la geometría:
y
x
Subdividimos el intervalo en sub-intervalos mediante los puntos elegidos arbitrariamente, escojamos en cada uno de los nuevos
intervalos , los puntos arbitrariamente y formemos la suma:
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Denotemos: , luego:
Geométricamente esta suma representa el área total de los rectángulos de nuestra figura.Si hacemos crecer el número de subdivisiones de tal modo que , tenemos:
Existe y su valor es independiente de la forma de subdividir el intervalo
Definición.- Consideremos una función definida en . Entonces la integral definida
de de hasta lo denotaremos por y es definido por:
Si existe el límite.
Observación:
En la integral definida , tenemos:
- se llama integrando.- se llama límite inferior.- se llama límite superior.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
“Si es continua en el intervalo cerrado y es la primitiva o integral indefinida de , se verifica:
”
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Consideremos dos funciones y integrables en y una constante arbitraria. Entonces:
1.-
2.-
3.-
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4.-
5.-
6.- Si , entonces
7.- Si es continua en , tal que , se cumple:
Ejemplos explicativos:
Hallar:
1.- 6.-
2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
Ejemplos para el aula:
Resolver las siguientes integrales:
1.- 6.-
2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
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5.- 10.-
CALCULO DE AREAS PLANAS POR INTEGRACION
Los pasos que debemos tener en cuenta para plantear la integral definida que proporciona el valor del área a calcular son:
1º Si el área de la región a calcular está acotada por la función , y las rectas y , hallamos el área de la siguiente forma:
y
a b x
2º Si el área de la región a calcular está acotada por las funciones , y las rectas
y , el área se calcula del siguiente modo:
y
a b x
Ejemplos explicativos:
Hallar el área acotada por las siguientes curvas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.- Ejemplos para el aula:
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Hallar el área acotada por las siguientes curvas:
1.- 2.-3.-4.- 5.-
HOJA DE PRÁCTICA 8
I.- Resolver las siguientes integrales:
1.- 15.-
2.- 16.-
3.- 17.-
4.- 18.-
5.- 19.-
6.- 20.-
7.- 21.-
8.- 22.-
9.- 23.-
10.- 24.-
11.- 25.-
12.- 26.-
13.- 27.-
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14.- 28.-
29.- 40.-
30.- 41.-
31.- 42.-
32.- 43.-
33.- 44.-
34.- 45.-
35.- 46.-
36.- 47.-
37.- 48.-
38.- 49.-
39.- 50.-
HOJA DE PRÁCTICA 9
I.- Resolver las siguientes integrales:
1.- 16.-
2.- 17.-
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3.- 18.-
4.- 19.-
5.- 20.-
6.- 21.-
7.- 22.-
8.- 23.-
9.- 24.-
10.- 25.-
11.- 26.-
12.- 27.-
13.- 28.-
14.- 29.-
15.- 30.-
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HOJA DE PRÁCTICA 10
I.- Resolver las siguientes integrales:
1.- 16.-
2.- 17.-
3.- 18.-
4.- 19.-
5.- 20.-
6.- 21.-
7.- 22.-
8.- 23.-
9.- 24.-
10.- 25.-
11.- 26.-
12.- 27.-
13.- 28.-
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14.- 29.-
15.- 30.-
HOJA DE PRÁCTICA 11
I.- Resolver las siguientes integrales:
1.- 16.-
2.- 17.-
3.- 18.-
4.- 19.-
5.- 20.-
6.- 21.-
7.- 22.-
8.- 23.-
9.- 24.-
10.- 25.-
11.- 26.-
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12.- 27.-
13.- 28.-
14.- 29.-
15.- 30.-
II.- Hallar el área de las regiones acotadas por las siguientes curvas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
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