CAPITULO IV
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Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales
CAPITULO IV
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.1- INTRODUCCIÓN
En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. En este capitulo veremos algunos métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales. El problema a resolver es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas de la forma
donde: nxxxx ,...,,, 321
bAx =
nnnnn
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
.......
...
...
321
2232221
1131211
=
nx
xx
x.2
1
=
nb
bb
b.2
1
=
Hay dos grupos de métodos de resolución: los métodos directos los métodos iterativos o aproximados. 4.2 – MÉTODOS DIRECTOS Son aquellos que dan los valores exactos, (sin errores de redondeo) caso exista. De estos métodos tenemos: la Regla de Cramer, el método de Eliminación de Gauss y el método de Descomposición LU 4.2.1- Regla de Kramer: que aplicada a la solución de un sistema ; implica en calcular
determinantes de orden . nn×
1+n n 4.2.2- Método de Eliminación de Gauss El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar el sistema lineal en un sistema lineal equivalente donde la matriz de los coeficientes es triangular superior. El método de basa en tres operaciones permitidas que no cambian la solución del sistema:
a) – Una ecuación puede multiplicarse por una constante diferente de cero. b) – Una ecuación puede ser sustituida por una combinación lineal de ella con otra. c) – Se puede intercambiar ecuaciones.
El resultado de la transformación, por lo tanto será una matriz triangular superior, del tipo:
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxaxabxaxaxaxa
=
=+++=+++
.............
22323222
11313212111
donde la resolución será de atrás hacia delante, calculamos nn
nn a
bx =
)1(),1(
),1(11
−−
−−−
−=
nn
nnnnn a
xabx , así sucesivamente:
Ing Hugo Franco Paats 51
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
hasta; 11
131321211
...a
xaxaxabx nn−−−−=
4.2.2.1 – Algoritmo Dado un sistema triangular superior nn× con elementos con elementos de la diagonal de la matriz A no nulos, las variables son obtenidas por: nxxxx ,...,,, 321
nn
nn a
bx =
de a 1; haga: 1−= nk
kk
n
kjjjkk
k a
xabx
,
1,∑
+=
−=
fin Descripción del Método Consideremos que la matriz de los coeficientes A tiene su determinante diferente a cero, también llamaremos de etapa k del proceso de eliminar la variable de la ecuación kx nkk ,...,2,1 ++
coeficiente de la línea i , columna )(,kjia j al final de la etapa k
coeficiente de la línea i en la etapa )(kib k
Se toma la matriz de los coeficientes A ampliada
nnnnnn
n
n
baaaa
baaaabaaaa
|...:::::
|...|...
321
22232221
11131211
⇒
)0()0()0(3
)0(2
)0(1
)0(2
)0(2
)0(23
)0(22
)0(21
)0(1
)0(1
)0(13
)0(12
)0(11
|...:::::
|...|...
nnnnnn
n
n
baaaa
baaaabaaaa
= )0(A
Etapa (1) ( ) 1=k• el elemento es llamado de pívot de la etapa (1) (asumimos que ) )0(
11a 0)0(11 ≠a
• los elementos )0(11
)0(1
1 aa
m ii = son los multiplicadores de la etapa (1) ni ,...,3,2=∀
• eliminamos las variables de las ecuaciones 2, 3, ..., , sustituyendo la ésima línea por ella misma,
menos la primera ecuación (línea) multiplicada por . 1x n −i
1imAl final de la etapa (1) tendremos:
)1()1()1(3
)1(2
)1(2
)1(2
)1(23
)1(22
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
|...0:::::
|...0|...
nnnnn
n
n
baaa
baaabaaaa
)1(A=
donde ; njaa jj ,...,2,1)0(
1)1(
1 =∀=52 Ing Hugo Franco Paats
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales
nibmbb
njni
amaa
bb
iii
jiijij
,...,3,2;
,...,2,1,...,3,2
;
;
)0(11
)0()1(
)0(11
)0()1(
)0(1
)1(1
=∀×−=⎩⎨⎧
==
∀×−=
=
Etapa (2) (k = 2) • pívot )1(
22a
• multiplicadores )1(22
)1(2
2 aa
m ii = ni ,...,4,3=∀
• eliminamos la variable de la línea 3 y queda: 2x
)2()2()2(3
)2(2
)2(2
)2(23
)2(22
)2(1
)2(1
)2(13
)2(12
)2(11
|...00:::::
|...0|...
nnnn
n
n
baa
baaabaaaa
donde:
nibmbb
njni
amaa
ibb
nji
aa
iiii
jiijij
ii
ijij
,...,4,3
,...,3,2,...,4,3
;2,1
,....,2,12,1
)1(2
)1()2(
)1(22
)1()2(
)1()2(
)1()2(
=⇒×−=⎩⎨⎧
==
∀×−=
=⇒=⎩⎨⎧
==
∀=
y así sucesivamente, por último tenemos la matriz triangular superior, equivalente a la matriz original A
Ing Hugo Franco Paats 53
)1()1(
)1(2
)1(2
)1(23
)1(22
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
|...000:::::
|...0|...
−−
−−−−
−−−−−
nn
nnn
nnn
nn
nnn
nnn
ba
baaabaaaa
( ) ( )11 −− =⇒ nn bxA
4.2.2.2- Algoritmo del Método de eliminación de Gauss Dado un sistema lineal bAx = , siendo y . Suponiendo que 1, ×× nnn xA nnb × 1,...,2,1,0)1( −=∀≠− nka k
kk
Para 1=k hasta 1−n Para 1+= ki hasta n (líneas) →
Calcular: kk
ik
aa
m = ;
;0=ika Para hasta (columnas) 1+= kj n → ;kjijij amaa ×−=
;kii bmbb ×−=
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
;nn
nn a
bx =
Para hasta 1 1−= nk
kk
n
kjjijk
k a
xabx
∑+=
×−= 1
Fin
Ejemplo 4.1: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolver por el método de eliminación de Gauss
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=++=++
3234221423
321
321
321
xxxxxxxxx
donde la matriz A de los coeficientes ampliada será
.3234
.2211.1423
)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
−
Etapa k = 1 eliminar 1x• pívot 311 =a
• multiplicadores 31
)0(11
)0(21
21 ==aam
34
)0(11
)0(31
31 ==aa
m la operación en las líneas será: 13133
12122
LmLLLmLL
×−=×−=
y al final de la etapa (1) la matriz de los coeficientes queda
)1()1()1(
)1()1()1(
)1()1()1()1(
35
322
310
35
32
310
.1423
−
Etapa k = 2, eliminar 2x
• pívot 31)1(
22 =a
• multiplicadores 1)1(22
)1(31
31 ==aa
m
haciendo 23233 LmLL ×−= al final de la etapa 2 tenemos que la matriz de los coeficientes es:
)2()2(
)2()2()2(
)2()2()2()2(
080035
32
310
.1423
−
donde la solución es
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−−
=
=−
=
=
⇒
33
0521
53/1
03/50
1
2
3
xx
x
x
y la solución del sistema es -3, 5 y 0 54 Ing Hugo Franco Paats
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales
4.2.3 - Descomposición LU Dado un sistema lineal , el método de solución por descomposición LU consiste en transformar la matriz de los coeficientes A en el producto de dos o más matrices. Si hacemos ; tendremos:
, si llamamos tendremos el sistema original escrito como , resolviendo este sistema y luego podemos resolver .
bAx =ULA .=
bUxL =. yxU =. byL =.yDx =
La ventaja de este método de resolución es que si el vector de los términos independientes b es alterado, la solución se obtiene casi inmediatamente sin necesidad de volver a calcular todo de nuevo. La matriz L es triangular inferior con diagonal unitaria y la matriz U es una matriz triangular superior. 4.2.3.1- Cálculo de los factores LU Como obtener las matrices L y U veremos a través de un sistema 3x3. Para el efecto aplicamos el método de eliminación de Gauss.
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
=++=++=++
trabajando solamente con la matriz de los coeficientes
Aaaaaaaaaa
A ==)0(
33)0(
32)0(
31
)0(23
)0(22
)0(21
)0(13
)0(12
)0(11
)0( . pivot , multiplicadores: )0(11a
)0(11
)0(21
31
)0(11
)0(21
21
aam
aa
m
=
=
Para eliminar de al linea hacemos: 1x 3,2=i)0(
1)0()1(
jijijij amaa −= donde y quedando para 3,2=i 3,2,1=j )0(1
)1(1 jj aa = 3,2,1=j
Estas operaciones equivalen a multiplicar la matriz por la matriz )0(A )0(M , donde
1001001
31
21)0(
mmM
−−=
⇒ )0(
33)0(
32)0(
31
)0(23
)0(22
)0(21
)0(13
)0(12
)0(11
31
21)0()0( .
1001001
aaaaaaaaa
mmAM
−−= = =
−−−−−−
)0(3331
)0(33
)0(1231
)0(32
)0(1131
)0(31
)0(2321
)0(23
)0(1221
)0(22
)0(1121
)0(21
)0(13
)0(12
)0(11
amaamaamaamaamaama
aaa
)1(
)1(33
)1(32
)1(23
)1(22
)1(13
)1(12
)1(11
00. A
aaaaaaa
==
Por lo tanto )1()0()0( AAM = es la matriz obtenida de la primera etapa del proceso de eliminación de Gauss. Para la segunda etapa las operaciones de eliminar la variable es equivalente a multiplicar la matriz 2x
Ing Hugo Franco Paats 55
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
10010001
32
)1(
mM
−= por
)1(33
)1(32
)1(23
)1(22
)1(13
)1(12
)1(11
)1(
00.
aaaaaaa
A = y que es igual a
)2(
)1(2332
)1(33
)1(2232
)1(32
)1(23
)1(22
)1(13
)1(12
)1(11
00. A
amaamaaaaaa
=−−
=
Por lo tanto )2()1()1( AAM = que es la misma matriz obtenida en la segunda etapa del proceso de eliminación de Gauss. Tenemos entonces que:
AA =)0( y que )1()0()0()0( AAMAM == ; AMMAMA )0()1()1()1()2( ==
donde es triangular superior. Entonces: )2(A [ ] [ ] [ ] )2(1)0(1)1()2(1)0()1( AMMAMMA −−−==
como [ ]1001001
31
211)0(
mmM =
− y [ ]
10010001
23
1)1(
mM =
− entonces [ ] [ ]
101001
3231
211)0(1)1(
mmmMM =
−−
y LUaaaaaa
mmmA ==
)2(33
)2(23
)2(22
)2(13
)2(12
)2(11
3231
21
000
101001
donde
101001
3231
21
mmmL = y
)2(33
)2(23
)2(22
)2(13
)2(12
)2(11
000.
aaaaaa
U =
Ejemplo 4.2: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolver por el método LU
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=++=++
3234221423
321
321
321
xxxxxxxxx
donde la matriz A de los coeficientes es: )0()0()0(
)0()0()0(
)0()0()0(
234211423
−
Etapa k = 1 eliminar 1x• pívot 311 =a
• multiplicadores 31
)0(11
)0(21
21 ==aam
34
)0(11
)0(31
31 ==aa
m
3/103/103/23/10
423
− donde la matriz LU se pueden almacenar en una misma matriz
56 Ing Hugo Franco Paats
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales
3/103/13/43/23/13/1
423)1(
−=A
pívot 31)1(
22 =a
multiplicadores 1)1(22
)1(31
31 ==aa
m
413/43/23/13/1
423)2(
−=A Por tanto:
113/4013/1001
=L y la matriz
4003/23/10
423
−=U . Resolviendo bLy =
321
113/4013/1001
3
2
1
=yyy
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−==−=
=⇒
03/53/433/53/12
1
3
2
1
yyy
para obtener x resolvemos yUx =
03/5
1
4003/23/10
423
3
2
1
=− x
xx
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=×−
=
==
=
⇒
33
521
53/13/5
0
1
2
3
x
x
x
la solución del sistema es
05
3−=x
Ejercicio: Dado el siguiente sistema lineal, resolver utilizando el método LU, y muestre los valores de las matrices L y U
234322
943
31
321
321
−=−=++=+−
xxxxx
xxx
4.2.4 – Pivoteamiento parcial Los métodos directos presentan un inconveniente cuando el pívot, en el proceso de eliminación, es igual a cero. Para evitar la división por cero, se utiliza la técnica del pivoteamiento que consiste en comparar todos los elementos de la columna donde se encuentra el pívot. Se elije el mayor elemento en módulo y lo llevamos como pívot por medio del intercambio de filas, entre aquella que tiene el pívot y la que posee el mayor elemento. Este proceso se repite en cada etapa del proceso de eliminación y además minimiza los errores de redondeo que se propagan el a través de las operaciones.
Ing Hugo Franco Paats 57
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
4.3 – MÉTODOS ITERATIVOS Si bien los métodos directos dan la solución teórica, no siempre se pueden aplicar. Para ver la razón consideremos las fuentes de error. El error inherente, de momento lo podemos despreciar. El error de truncamiento es 0. El error de redondeo esencialmente depende del número de cálculos. Mientras mayor sea el número de ecuaciones, se requieren más operaciones y por lo tanto existiría más error de redondeo. En pocas palabras, si el numero de ecuaciones es grande el error de redondeo puede crecer tanto, que puede invalidar la solución. En la practica no es raro usar cientos ó a un miles de ecuaciones. Por esta razón, se crearon los métodos iterativos. Estos son esencialmente inmunes al redondeo. Los sistemas lineales de grande porte en general poseen un gran porcentaje de ceros en la matriz de los coeficientes. Para estos sistemas el método de eliminación de Gauss no es aconsejable, dado que durante el proceso de eliminación muchos elementos nulos pasaran a ser no-nulos. Los métodos iterativos consisten en algoritmos simples para convertir cualquier vector en otro
que depende de ,
)(kx)1( +kx )(kx A y , y preserva la característica de b A , dado que los coeficientes de A no son
alterados. La idea central de los métodos iterativos es generalizar el método iterativo lineal, utilizado en la búsqueda de raíces de una ecuación, visto en el capítulo II. Dado el sistema lineal , es convertido en un sistema similar del tipo bAx = )(xgCxx ϕ=+= Donde C es una matriz nn× ; es un vector g 1×n
Entonces gCxx +=)(ϕ es la función de iteración en forma matricial. El método parte de , llamado de valor inicial (vector), y va calculando otros vectores llamados de vectores de aproximación a la raiz:
)0(x
);( )0()0()1( xgCxx ϕ=+= primera aproximación;
);( )1()1()2( xgCxx ϕ=+= Segunda aproximación….
De forma genérica )( )()()1( kkk xgCxx ϕ=+=+
4.3.1- Criterio de parada El criterio de parada comúnmente usado por los métodos iterativos, consiste en medir cuan próximo esta de . Calculamos )1( +kx )(kx nixxM k
ik
ik ,...,1;max )()1()1( =∀−= ++
Dada una precisión ε , e vector será elegido como solución aproximada si )(kx ε<+ )1(kM . Es más conveniente utilizar como criterio de parada el tes del error relativo
)1(
)1()1(
+
++ =
ki
kk
R xmáxMM ;∀ ni ≤≤1
Otro criterio de parada es el máximo número de iteraciones k
4.3.2 – Método Iterativo de Gauss-Jacobi La forma como el método de Gauss-Jacobi transforma el sistema lineal en bAx = gCxx += es el siguiente:
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
=+++
=+++=+++
......:::
......
332211
22323222121
11313212111
58 Ing Hugo Franco Paats
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales Suponiendo que 0≠kka nk ,...,2,1=∀ y despejando x , tenenmos:
[ ]
[ ]
[ ]nnnnnnnn
n
nn
nn
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
1,2211
2323121222
2
1313212111
1
...1:
...1
...1
−−−−−=
−−−−=
−−−−=
Entonces; de tenemos que: gCxx +=
0:....:0::
...0
...0
.
21
22
2
22
23
22
11
11
1
33
13
11
12
nn
n
nn
n
n
n
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
C
−−
−−−
−−−
= ;
nn
n
ab
abab
g
:
22
2
11
1
:.=
El método de Gauss-Jacobi consiste en que dado un vector de aproximación inicial , obtenemos
a través de la relación recursiva . Entonces
)0(x)()2()1( ,...,, kxxx gCxx kk +=+ )()1( gCxx +=)(ϕ es una función
en forma matricial. La forma general para la función recursiva está dada por:
[ ]
[ ]
[ ])(11,
)(22
)(11
)1(
)(2
)(323
)(1212
22
)1(2
)(1
)(313
)(2121
11
)1(1
...1:
...1
...1
knnn
kn
knn
nn
kn
knn
kkk
knn
kkk
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
−−+
+
+
−−−−=
−−−−=
−−−−=
Ejemplo 4.3 Resuelve el siguiente sistema lineal, utilizando el método de Gauss-Jacobi
siendo vector inicial⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=++=++
6103285
7210
321
321
321
xxxxxxxxx
6,06,1
7,0)0( −=x y una tolerancia del error 05,0≤ε
El proceso recursivo de Gauss-Jacobi será:
Ing Hugo Franco Paats 59
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
( )
( )
( ))(2
)(1
)1(3
)(3
)(1
)1(2
)(3
)(2
)1(1
326101
851
27101
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
−−=
−−−=
−−=
+
+
+
Para 0=k
( )
( )
( ) 94,0)6,1(37,026101
86.16,07,0851
96,06,0)6,1(27101
)1(3
)1(2
)1(1
=−−×−=
−=−−−=
=−−−=
x
x
x
tes de parada
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=−
=+−=−
=−=−
324,06,094,0
16,06,186,1
96,07,096,0
)0(3
)1(3
)0(3
)1(2
)0(1
)1(1
xx
xx
xx
34,0)1( =M y ε>===⇒ 1828,086,134,0
)1(
)1()1(
iR xmáx
MM
Para 1=k
( )
( )
( ) 966,0)86,1(396,026101
98,194,096,0851
978,094,0)86,1(27101
)2(3
)2(2
)2(1
=−−×−=
−=−−−=
=−−−=
x
x
x
tes de parada
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=−
=+−=−
=−=−
324,094,0966,0
12,086,198,1
018,096,0978,0
)1(3
)2(3
)1(3
)2(2
)1(1
)2(1
xx
xx
xx
12,0)2( =M y ε>= 0606,098,112,0)2(
RM
Para 2=k
( )
( )
( ) 9984,0)98,1(3978,026101
9888,1966,0978,0851
9994,0966,0)98,1(27101
)3(3
)3(2
)3(1
=−−×−=
−=−−−=
=−−−=
x
x
x
tes
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=−
=+−=−
=−=−
0324,0966,09984,0
00888,098,19888,1
0214,0978,09994,0
)2(3
)3(3
)2(3
)3(2
)2(1
)3(1
xx
xx
xx
0324,3)3( =M y ε<== 0163,09888,10324,0)3(
RM y el proceso de cálculo para
por lo tanto el vector solución es
9984,09888,1
9994,0−=x
60 Ing Hugo Franco Paats
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales 4.3.3 – Criterio de Convergencia para los Métodos Iterativos El siguiente teorema establece una condición suficiente para la convergencia del método de Gauss-Jacobi. Teorema: (Criterio de las Líneas) Dado un sistema lineal bAx = , y considerando
kk
n
kjj
kj
k a
a∑≠=
=1
α Si 1. <= kmáxαα nk ≤≤∀1 , entonces el método de Gauss-Jacobi
genera una secuencia { })(kkx convergente a la solución del sistema, independientemente de la elección de la
aproximación inicial . )0(x
Ejemplo 4.4 – Dado el siguiente sistema lineal, haz un estudio para la convergencia para la aplicación del método de Gauss-Jacobi.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=++=++
6103285
7210
321
321
321
xxxxxxxxx
5,010
32
4,05
11
3,010
12
3
2
1
=+
=
=+
=
=+
=
α
α
α
15,0. 3 <=== ααα kmáx
Por el criterio de las líneas tenemos asegurada la convergencia para el método de Gauss-Jacobi, para cualquier valor inicial.
4.3.4 – Método Iterativo de Gauss-Seidel Análogamente al método de Gauss-Jacobi, en el método de Gauss-Seidel, el sistema lineal bAx = es escrito en la forma equivalente . El proceso consiste en que, partiendo de una aproximación inicial
a la solución , calcula por medio del proceso recursivo:
gCxx +=)0(x )()2()1( ,...,, kxxx
[ ]
[ ]
[ ])1(11,
)1(22
)1(11
)1(
)(2
)(323
)1(1212
22
)1(2
)(1
)(313
)(2121
11
)1(1
...1:
...1
...1
+−−
+++
++
+
−−−−=
−−−−=
−−−−=
knnn
kn
knn
nn
kn
knn
kkk
knn
kkk
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
Ing Hugo Franco Paats 61
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
Entonces el proceso de Gauss-Seidel, en el momento de calcular usamos todos los valores de
que ya fueron calculados.
)1( +kjx
)1(1
)1(2
)1(1 ,...,, +
−++ k
jkk xxx
Ejemplo 4.5 – Resuelve el siguiente sistema lineal por Gauss-Seidel, y una tolerancia del error
0)0( =x2105 −×<ε
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
063364355
321
321
321
xxxxxxxxx
Proceso iterativo:
( )
( )
( ))1(2
)1(1
)1(3
)(3
)1(1
)1(2
)(3
)(2
)1(1
33061
3641
551
+++
++
+
−−=
−−=
−−=
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
Para 0=k
( )
( )
( ) 875,0)75,0(3)1(3061
75,00)1(3641
10)0(2551
)1(3
)1(2
)1(1
−=−−=
=−−=
=−−=
x
x
x
tes de parada
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=−
=−=−
=−=−
875,0875,00
75,075,00
110
)0(3
)1(3
)0(3
)1(2
)0(1
)1(1
xx
xx
xx
1)1( =M y ε>===⇒ 111
)1(
)10)1(
iR xmáx
MM
Para 1=k
( )
( )
( ) 9875,0)95,0(3)025,1(3061
95,0)875,0()025,1(3641
025,1)875,0()75,0(2551
)2(3
)2(2
)2(1
−=−−=
=−−−=
=−−−=
x
x
x
parada
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−=−
=−=−
=−=−
1125,0875,009875
2,075,095,0
025,01025,1
)1(3
)2(3
)1(3
)2(2
)1(1
)2(1
xx
xx
xx
2,0)2( =M y ε>== 19,0025,1
2,0)2(RM
Para 2=k
62 Ing Hugo Franco Paats
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales
( )
( )
( ) 9993,0)9912,0(3)0075,1(3061
9912,0)9875,0()0075,1(3641
0075,1)9875,0()95,0(2551
)3(3
)3(2
)3(1
−=−−=
=−−−=
=−−−=
x
x
x
tes de parada
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=−
=−
0118,0
0412,0
0175,0
)2(3
)3(3
)2(3
)3(2
)2(1
)3(1
xx
xx
xx
0412,0)3( =M y ε<== 0408,00075,10412,0)3(
RM
por lo tanto el vector solución es
9993,09912,00075,1
−=x
4.3.5 – Criterio de Convergencia para Gauss-Seidel El criterio de las líneas visto en el método de Gauss-Jacobi puede ser aplicado para el método de Gauss-Seidel. Si no cumple con este criterio, aún se puede aplicar el criterio de Sassenfeld, válido solamente para este método.
Criterio de Sassenfeld: definimos como:
jj
jnjjjjjjjj
n
n
a
aaaaa
aaaa
aaaa
++++++=
+++=
+++=
+−− ......
:
...
...
1,11,2211
.
22
2231212
11
112121
ββββ
ββ
β
Sea jnj
máx ββ≤≤
=1
si 1<β entonces, el método de Gauss-Seidel genera una secuencia convergente
para cualquier valor inicial . Además cuando menor sea el valor de )0(x β más rápida será la convergencia al vector solución.
En caso de que no cumplan con los criterios de convergencia, no indica que el método sea divergente, sino que ello dependerá de la elección del valor inicial
Ejemplo 4.6: Verifica la convergencia a la solución del siguiente sistema de ecuaciones, a través del criterio de Sassenfeld, si aplicaramos el método de Gauss-Seidel, ,:
5,22,03,01,012,02,01,0
6,21,02,02,02,014,01,05,0
4321
4321
4321
4321
−=+++=++−−−=−−+=−−+
xxxxxxxxxxxxxxxx
Calculamos los valores de β
Ing Hugo Franco Paats 63
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
2736,01
)358,0(2,0)44,0(3,0)7,0(1,0
358,01
2,0)44,0(2,0)7,0(1,0
44,01
1,02,0)7,0(1,0
7,01
1,01,05,0
4
3
2
1
=++
=
=++
=
=++
=
=++
=
β
β
β
β
17,041
<==≤≤ jj
máxββ
Por lo tanto el método de Gauss-Seidel será convergente independientemente de la elección del valor inicial.
4.4 – SISTEMAS MAL CONDICIONADOS Dado un sistema ,se dice que una matriz A está mal condicionada cuando pequeños cambios en A o b provocan grandes cambios en la solución del sistema. Una circunstancia que suele llevar aparejada la mala condición es que la matriz sea “casi singular” y su determinante sea casi cero. Sin embargo, para detectar el mal condicionamiento, primero es necesario escalar todas las ecuaciones de forma tal que la matriz sea diagonalmente dominante. Otra posible causa es que un sistema de dos ecuaciones corresponde a dos líneas rectas casi paralelas, o en un sistema de tres ecuaciones corresponda a tres planos casi paralelos
bAx =
Ejemplo 4.7:
4,1021.1102
21
21
=+=+
xxxx
Que tiene como solución del sistema 4=x e 3=y , si se modifica ligeramente el coeficiente de de la segunda ecuación por 1,05, el resultado cambia drásticamente a y 1x 81 =x 12 =x . Si
sustituimos estos valores en la ecuación original
8,10)1(2)8(1,110)1(28
=+=+
Por lo tanto, aunque y 81 =x 12 =x no son las soluciones reales al problema original, la prueba del error es casi igual, lo que puede provocar el error al hacer creer que las soluciones son correctas
4.5 – COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS
a) Convergencia: los métodos directos son procesos finitos, es decir, teóricamente se obtiene la solución exacta de cualquier sistema no singular. Los métodos iterativos tienen convergencia asegurada solo bajo ciertas condiciones.
b) Esparcidad de la matriz A. Muchos sistemas lineales poseen la matriz de los coeficientes, esparza, es decir, muchos de sus elementos son nulos. Para estos sistemas no es recomendable adoptar los métodos directos, dado que durante el proceso de triangulación muchos elementos nulos pasan a ser no-nulos. Para estos sistemas se recomienda los métodos iterativos.
c) Número de operaciones. Los métodos directos requieren un número mayor de operaciones aritméticas.
64 Ing Hugo Franco Paats
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales d) Errores de Redondeo.
Lo métodos directos presentan serios problemas de redondeo y que para atenuar este inconveniente se adopta la técnica de pivoteamiento descrita anteriormente. Los métodos iterativos no presentan problemas con el redondeo.
4.6 – EJERCICIOS 4.1- Para el conjunto de ecuaciones
841064135249837
−=+−=−−−=−
zyxzyx
zyx
a) calcula su determinante b) resuelve utilizando la regla de Cramer c) sustituye los resultados en la ecuación original y compruebe los resultados. 4.2- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
9210254680712
321
321
321
=+−−=+−−=−+−
xxxxxx
xxx
a) resuelve por eliminación de Gauss, mostrando todos los pasos b) comprueba los resultados 4.3- Usa el método de eliminación de Gauss, con pivoteamiento parcial para resolver el sistema de ecuaciones
4844462
50133
31
321
32
=+=+−−=−
xxxxxxx
4.4- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
a) por eliminación de Gauss
02326251
10113
=++=++=+−
zyxzyx
zyx
b) por el método L-U 4.5- Analiza los siguientes sistemas con relación al número de soluciones, usando el método de eliminación de Gauss
a) b)
1115646231969
98467523
4321
4321
4321
4321
=+−−=++−−=+−+−=++−
xxxxxxxxxxxxxxxx
925.021.0147.0824.016.011.0712.036.0252.0
321
321
321
=++=++=++
xxxxxxxxx
4.6- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
Ing Hugo Franco Paats 65
Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales
323288212516123
321
321
321
=++=++=+−
xxxxxxxxx
a) utilizando a) el método de eliminación de Gauss b) el método iterativo de Gauss-Seidel con ε < 5% c) el método iterativo de Gauss-Jacobi con ε < 5% 4.7- Verifica la convergencia para la solución para los sistemas dados a continuación, utilizando la iteración de Gauss – Seidel. Efectúa tres pasos partiendo de una aproximación inicial de [1, 1, 1].
a) b)
610610610
=++=++=++
zyxzyxzyx
2081051424
=++=−+=++
zyxzyxzyx
4.8- Aplicar Gauss – Seidel (tres iteraciones) a los sistemas del problema anterior partiendo de a)[0, 0, 0] b)[10, 10, 10] compare y haga un comentario (analiza el error en cada iteración). 4.9- Utilizando la ley de Kirchhoff para resolver el circuito siguiente, encuentra las intensidades de la corriente e para los siguientes casos: 21, II 3I
a) 29,23,4,2,1,2,1,1 21654321 ======== VVRRRRRR
b) 38,413,5,1,3,4,2,1 21654321 ======== VVRRRRRR
c) con las mismos valores de R del item 1) pero cambiando 20,10 21 == VV 4.10- Haga un programa que dada una matriz A verifique el criterio de las líneas para la convergencia de los métodos iterativos.
nxn
4.11- Haga un programa que resuelva un sistema de n x n por el método de Gauss – Jacobi 4.12- Repita el problema anterior para el método de Gauss – Seidel 4.13 – Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando uno de los métodos numéricos
235651465222
432
4321
4321
321
=++=+++−=+++=−+
xxxxxxxxxxxxxx
66 Ing Hugo Franco Paats