Universidad Nacional Tecnológica del Sur Universidad Nacional Tecnológica del Sur UNTECSUNTECS

Ingeniería Electrónica Y TelecomunicacionesIngeniería Electrónica Y Telecomunicaciones

FISICA IFISICA I

CAPITULO-IIICAPITULO-III

CINEMÁTICA DE UNA PARTICULACINEMÁTICA DE UNA PARTICULA

CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA:CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA:

Movimiento Mecánico - Bases para su estudio Movimiento Mecánico - Bases para su estudio Método Vectorial Método Vectorial Método De Coordenadas Cartesianas Método De Coordenadas Cartesianas Método de Coordenadas Intrínsecas o Natural. Método de Coordenadas Intrínsecas o Natural. Movimiento Unidimensional ,MRU,MRUV Movimiento Unidimensional ,MRU,MRUV Movimiento Bidimensional ,Caída Libre Movimiento Bidimensional ,Caída Libre Movimiento Compuesto ,Parabólico Movimiento Compuesto ,Parabólico Movimiento Circular.Movimiento Circular. Aplicaciones .Aplicaciones .

Cinemática:Cinemática: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a la descripción del que se dedica a la descripción del movimiento mecánico movimiento mecánico sin interesarse sin interesarse por las causaspor las causas que lo provocan. que lo provocan.

Dinámica:Dinámica: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a que se dedica a investigar las causasinvestigar las causas que provocan el movimiento que provocan el movimiento mecánico. mecánico.

Movimiento Mecánico:Movimiento Mecánico: Cambio de Cambio de posición de posición de un cuerpoun cuerpo respecto respecto a otrosa otros, , tomados como referencia.tomados como referencia.

Carácter: Carácter: RelativoRelativo

Definir sistema Definir sistema bajo estudiobajo estudio

Definir Definir Sistema de Sistema de Referencia Referencia

(SR)(SR)

SRISRI:: Cuerpos que se toman como referencia para Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio . Que en describir el movimiento del sistema bajo estudio . Que en ausencia de otros cuerpos se mueve con MRU.ausencia de otros cuerpos se mueve con MRU.

Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico

y(t)y(t)

z(t)z(t)

x(t)x(t)

Se le asocia Se le asocia

• ObservadorObservador

• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas

z

y

x

• RelojReloj

)(tr

Magnitudes Físicas Magnitudes Físicas

CinemáticasCinemáticas

Posición, Posición, Velocidad, Velocidad,

Aceleración Aceleración

Dinámicas Dinámicas

Fuerza, Torque Fuerza, Torque

ModelosModelos

De Partícula: De Partícula: el cuerpo puede el cuerpo puede ser considerado como un objeto ser considerado como un objeto puntual.puntual.

De Cuerpo Rígido: De Cuerpo Rígido: Las Las distancias entre los distancias entre los diferentes puntos del diferentes puntos del cuerpo no varían.cuerpo no varían.

Rotación pura de cuerpo sólidoRotación pura de cuerpo sólido

Traslación puraTraslación pura

ObjetivoObjetivo

Determinación de las Leyes del Determinación de las Leyes del MovimientoMovimiento

Posición r(t), Velocidad v(t), Aceleración a(t)

Describir el Describir el Movimiento Movimiento

mecánicomecánico

Métodos UsadosMétodos Usados•Vectorial : Vectorial : (Es (Es conciso, conciso, elegante)elegante)•De Coordenadas:De Coordenadas: Mayor número de Mayor número de

ecuacionesecuaciones•Natural:Natural: Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas

Solución deSolución de

problemas de problemas de la cinemáticala cinemática

Posición (t)Posición (t)

VelocidadVelocidad (t)(t)

AceleraciónAceleración (t)(t)

P. D

irectoP

. Directo P

. In

vers

oP

. In

vers

o

Con

d. I

nic

iale

sC

ond.

In

icia

les

ttr

tr

)(: trposición

ttV

tV

dtdV

tanaceleració )(:

mV r

t

tVttVanaceleració m

:media

Método Método Vectorial:Vectorial:dr

ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

)()(: trttrrentodesplazami

ttrttr

tr

Vmediavelocidad m

)()(

:

dtrd

velocidadt

tr

limv:ainstantane 0

y

x

t1

t2

A

B

r

r(t1)

r(t2)

r(t1) Vector posición en el instante t1

r(t2) Vector posición en el instante t2

Vector desplazamiento

El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1 , t2] esta dado por:

¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?

)t()t( 12rrr

B

t1

t2No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo

A

r

Vector velocidad media

Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:

sm

tt

rr

tr

V12

ttm

12

y

x

t1

t2

A

B

rmV

r//Vm

)(t1r

)(t2r

La velocidad media apunta en la misma dirección del vector desplazamiento

Y(m)

x(m)

t1

t2Δl

:Δl Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]

r

Rapidez mediaLa rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado

tl

empleadotiemporecorridadistancia

v~m

• La rapidez media no es un vector

• la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo)

mm Vv

t2

t'2

t"2

t1

B

A

Y(m)

x(m)

v

r1

r

r2

mV

r2'

r'

mV

r2"

r"

mV

t3A

Y(m)

x(m)

“El vector velocidad instantánea es tangente a la

trayectoria que describe la partícula”

t2

t1

)v(t1 )v(t2)v(t3

vv

La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo

Velocidad instantánea

dtdr

tr

limv(t) 0t

Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares

dtdx(t)

vx dt

dy(t)vy

dtdz(t)

vz

dtdr

tr

limv(t) 0t

)(tx

)(ty

)(tz

)(),(),(: tztytxposición

,)(:dtdx

tVvelocidad x

dtdy

tVy )(

dtdz

tVz )(

dt

dVtanaceleració x

x )(:

dt

dVta y

y )(

dtdV

ta zz )(

y

x

z

zyxentodesplazami ,,:

Método de Coordenadas :Método de Coordenadas :

Rapidez instantánea

La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea

dtdr

tr

limv~ 0t(t)

)t((t) vv~

Al modulo de la velocidad instantánea se le conoce como rapidez instantánea

VelocidadLa velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...

La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...

A

Y(m)

x(m)

t2t1

12

12m tt

)V(t)V(ta

)v(t1)v(t2

Aceleración media

Se define la aceleración media como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo

212

12m

s

mtt

)V(t)V(ta

Cuando la velocidad de un objeto cambia con el tiempo, se dice que el objeto experimenta una aceleración.

La aceleración Instantánea es la tasa de cambio de la velocidad instantánea por unidad de variación de tiempo , cuando por ejemplo un conductor aprieta el pedal del acelerador de su coche ,espera cambiar su velocidad ,de lo contrario si después de alcanzar una alta velocidad imprime los frenos ,estará desacelerando , disminuyendo su velocidad.

tV

lima ot(t)

Y(m)

x(m)

La aceleración en este pequeño intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad

de la trayectoria

t)v(t

t1 )v(t1

v

v atV

lima ot(t)

a

Aplicaciones:Aplicaciones:

Problema : La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación:

Determine y grafique :

(a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0;

(b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s;

(c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ;

(d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s.

2 36x t t

Solución• La ecuaciones de movimiento son

• Las cantidades solicitadas son

326 ttx 2312 tt

dt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

dtˆd

vdtdv

ˆa

La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo ( t ):

(t)a dt

ˆvddtdV

nv

v

ˆdtdv

anaˆaa n

dtdv

a

2

nv

a

2n

2 aaa

Cálculos de radio de curvatura:A)Si se define una curva por las ecuaciones para métricas : x=x(t), y=y(t)Entonces la curvatura será :

Curvatura :

B) Si se define a la curva por la ecuación : y = y(x),entonces la expresión para calcular la curvatura es de la forma :

Curvatura :

Cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular ,la curvatura es 1/R , donde R es el radio del circulo.

Ecuaciones de Y En Componentes Tangencial y Normal :

Sea la velocidad :

La aceleración será :

yx

xyyx

22

12/3

dxdy

xdyd

/ 21

/12/3

22

v a

evesv tt ˆˆ

es

setsetsetsrva nˆˆˆˆ

Velocidad y aceleración:Velocidad y aceleración:

De la ecuación anterior se tiene :

De donde :

Y la magnitud de velocidad :

La magnitud de la aceleración tangencial y normal:

ev

etsa nˆˆ2

aaa nt

esa tt ˆ ev

a nn ˆ2

Centro de curvatura

C=r(t)

enˆ

etˆsv

sat

v

an2

sv

sat v

an2

La aceleración podemos expresar como :

y como , entonces multiplicando vectorialmente la ecuación ,tenemos:

entonces :ya que v y at tienen la dirección tangencial.Otra ecuación para hallar radio de Curvatura de una curva plana:

enaetaa nt ˆˆ

etvv ˆ

axvaaxvaxv ntn )(

v

axvfinalmente

vv

axvandespejando

anvsenavaxvaxv nn

3

2

1

º90

Movimiento Curvilíneo General Movimiento Curvilíneo General :La aceleración se descompone en coordenadas radial y tangencial.

La aceleración radial se debe al cambio de dirección del vector velocidad.

La aceleración tangencial proviene del cambio en la magnitud de la velocidad.

= radio de curvatura at

aar

ara

at

v

v

TN

z

y

x

,)(: Vdtds

tVvelocidad

dtdV

taT )(

Ta

a

22

TNaaa

n

0s0s

nv

dtd

vtanaceleració N 2

)(:

Na

Método de Coordenadas Método de Coordenadas Naturales (Curvilíneas):Naturales (Curvilíneas):

)()(: Vdtd

dtdV

tanaceleració

n

)(: tsposición

0s

aaa TN

Descripción intrínseca del movimiento : Descripción intrínseca del movimiento :

Componentes intrínsecas de la aceleración.

dtud

udtd

udtd

dtd

a ttt

Componente sobre una dirección tangente a la trayectoria. Mide el cambio en magnitud de la velocidad.

Componente sobre una dirección normal a la trayectoria. Mide el cambio en dirección de la velocidad.

dirección tangente

dirección normal

ant uu

dtd

dtd

a 2

• Puede demostrarse:

curvatura de radio :

Aceleración tangencial: tt udtd

a dtd

at

Aceleración normal: nn ua 2

2

na 22nt aaa

ta

na

.

.

X

Y

O

i

j

C

P

.

Demostración: nt u

dtud

nutu

jiut

sencos

jdtd

idtd

dtud t cossen

ds

d

dtds

dtd 1

jdtd

idtd

dtud t cossen

dtd

ji

cossen nt u

dtud

nu

d

d

ds

11

curvaturaderadiods

dcurvatura

En coordenadas polares :En coordenadas polares :

ruu

r)

y

xi

j

El vector de posición es :

Sea :Se definen los vectores unitarios como

Por lo tanto el vector de posición será:

La velocidad será :

La aceleración será :

jrsenirtr ˆˆcos)(

jisenrr

jsenir

r

r

r

u

u r

ˆcosˆ/

ˆˆcos/

uu

uu

r

r

d

dd

d

urr r

u rrr

uu rrdt

rdv

r ˆˆ

urrurrdt

vda r

22

Problema 2.-Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo a la ley ax=0, ay=2cos(πt/2) m/s2. En el instante inicial t=0, x=0, y= - 8/π2, vx=2, vy=0. Encontrar: a)El vector posición y el vector velocidad en función del tiempo. b)La ecuación de la trayectoria, representarla .c)Representar la aceleración, aceleración tangencial y normal sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t=2s.

Problema 1.-El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v= (3t-2) i+(6t²-5)j m/s. Si la posición del móvil en el instante t=1 s es r=3i-2j m. Calcular :a)El vector posición del móvil en cualquier instante. b)El vector aceleración. c)Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. d)Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

Aplicaciones :

Problema 3.-Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax = 0, ay=4cos(2t) m/s2. En el instante t=0, el móvil se encontraba en x=0, y= -1 m, y tenía la velocidad vx=2, vy=0 m/s. a)Hallar las expresiones de r(t) y v(t). b)Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=π/6 s.

Problema 4.-Un móvil se mueve en el plano XY con las siguientes aceleraciones: ax=2, ay=10 m/s2. Si en el instante inicial parte del origen con velocidad inicial vx=0 y vy=20 m/s.

a)Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración, y b) El radio de curvatura en el instante t=2 s

Aplicación:

Movimiento en una

dimensión

ivvix(t)r (t)(t)(t)

iaa )t()t(

x)(to

v

(t)v

)(tor

(t)r

Para el movimiento en el eje X las ecuaciones se reducen a:

0ta

X(t)

t

p

Q

R 0v

0v

0v

dt

dxv (t)

Velocidad instantánea

lim

x

tdx

dt

t

0

tti tf

t

a > 0a = 0

a < 0

Aceleración instantánea

dt

dva (t)

tti tf

t

En toda gráfica (v) versus (t) el área bajo la curva es igual al desplazamiento del móvil

curvalabajoarea2

1

t

t

vdtΔxv

dtdx

6.-Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0. a)Dibujar una gráfica de la aceleración en función del tiempo.b)Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s.c) Escribe la expresión de la posición (x), x=x(t) del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC

7.-La gráfica de la figura describe en función del tiempo ,la aceleración de un objeto que baja rodando por una pendiente ,habiendo partido del reposo .

8

2

0 2 4 8

a)Determine el cambio de velocidad del objeto entre t=2,5s y t=7,5s .b)Dibuje una gráfica de la velocidad del objeto en función del tiempo .

a(m/s)

t(s)

2 4 8 12 16 t(s)

V(t)En la gráfica velocidad versus tiempo, haga un análisis del tipo de movimiento e indique en que tramos el movimiento es acelerado o desacelerado

Dada la aceleración del móvil hallar el Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidadcambio de velocidad::

Dado un registro de la velocidad : v=v(t),podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 en entre los instantes t y to ,a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo como : a = dv/dt → dv = adt → usando la integral definida tenemos :

∫dv = ∫adt → v-v0 =

La expresión anterior :

v-v0 es igual al área bajo la curva (a-t) .

Como

Entonces ,obtenemos una expresión para la aceleración ; cuando la aceleración es una constante ó es una función de (x) :

t

to

adt a

t

V-v 0

to tV0 vdx

dvv

dtdx

dxdv

dtdv

a

vdvadx

Movimiento rectilíneo como función de la velocidadMovimiento rectilíneo como función de la velocidad

Dada una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo ,en un medio resistente ,la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad ,por lo que su aceleración se expresa como a =-kv²,donde k cte>o .Si para el instante t0=o ,X0=0,v =v0 . Hallar la velocidad : a) v = v(x) ,b) v=v(t).Solución : a)v=v(x) ? → partimos de la expresión : vdv = adx = -kv²dx→separamos variables e integramos :

→Log(v/v0) = - kx →

b)v=v(t)?→partimos de la expresión : a= dv/dt = -kv²→separamos variables e

integramos :∫dv/v² = -∫kdt →tenemos :1/v = kt + c → de las condiciones

iniciales dadas se obtiene : c= 1/v0 → 1/v = kt + 1/v0 , por lo tanto tenemos :

V (t) = v0 / ( 1+v0kt) .

xv

v

kdxvdv

0e

kxvxv

)(

EjemploUn proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

SoluciónVelocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es

POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt

Diremos que un movimiento rectilíneo es uniforme variado si la aceleración del móvil permanece constante en todo momento.

Supongamos que una partícula parte de la posición xo en el instante t0=0 , con una velocidad vo

x

t

0

v

v

adtdvo

aov (t)vox

(t)xt=0

Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de integrar

tvv o(t) a Velocidad instantánea

Problema inverso

Podemos ahora determinar la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo t

t

t0

(t)dtvdxx

xo

t

t0

oo )dtt-t(v(dx ax

xo

)t-t(vv 0o(t) a

200oo(t) )t-t(

2

1)t-(tvxx a

x

aov (t)vox

(t)xt=0

Hallaremos ahora una expresión para determinar la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, t]:

ΔtΔx

Vm t

x-xV o(t)

m

x

aov (t)vox

(t)xt=0

t

x-xV o(t)

m

2oo(t) t

21

tvxx at

v-va o(t)

Y usando las ecuaciones anteriormente deducidas para t0=0

x

aov (t)vox

(t)xt=0

2

vv

t

x-xV o(t)o(t)

m

Finalmente obtenemos

x

aov (t)vox

(t)xt=0

Δx2vv 2

0

2

(t)a

También se puede demostrar:

Donde : 0(t) xxΔx Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo [0 , t]

Δx2vv 2

0

2

(t)a

Resumen

0(t) xxΔx

[0 , t]

tvv o(t) a2

oo(t) t21

tvxx a

2

vv

t

x-xV o(t)o(t)

m

2

vv

tt

x-xV )(t)(t

12

)(t)(t

m1212

[t1 , t2 ]

ctea MRUADespejando t en la 1ra y sustituyendo

en la 2da, se obtiene la 3ra

Movimiento Uniformemente AceleradoMovimiento Uniformemente Acelerado

tvv o(t) a

at

tt

Pendiente =

a

xo

x(t)

t

Pendiente = v0

pendiente = v(t)

2

oo(t) t21

tvxx a

O t

a

aPendiente = 0

a

Pendiente de las gráficas ( e-t )Podemos deducir las características de un movimiento analizando la forma y la de las gráficas posición-tiempo (e-t). La pendiente de una gráfica ( e-t ) representa la velocidad del móvil. Si el movimiento es uniforme, la gráfica e-t es una recta ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos iguales. Comprueba en el siguiente simulador que la pendiente de la gráfica representa la velocidad.

Si el movimiento es acelerado, la gráfica ( e-t ) es una curva ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos diferentes. En el siguiente simulador puedes comprobar que la aceleración representa el ritmo con que varía la velocidad.

Movimientos de caída libre:Movimientos de caída libre:

La histórica Torre de Pisa(Italia) ,en donde Galileo Galilei hizo algunas de sus pruebas para verificar sus hipótesis.

Movimiento vertical :Si soltamos una piedra desde cierta altura ,observamos que describe una trayectoria vertical mientras desciende con una rapidez aumentativa ;es decir su movimiento hacia abajo es acelerado .En cambio si la lanzamos verticalmente hacia arriba ,apreciaremos que su rapidez disminuye conforme asciende hasta que se hace cero ,es decir su movimiento hacia arriba es desacelerado.

Aceleración de la caída libre :Galileo Galilei a través de sus observaciones experimentales sobre el movimiento de los proyectiles en caída libre había llegado a la conclusión de que :“Todos los cuerpos que se dejan caer desde la misma altura llegaría simultáneamente al piso independientemente de que sean pesados y livianos”.Hipótesis comprobada cuando se inventó la bomba de vacio.

Paracaidista en caída libre ,sufre resistencia del aire.

Equipo de medición experimental de caída libre en el laboratorio.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO:

vvttvv

vt

bajsub

bajsub

bajsub

lanzsub g

,

ghf

gt

vv

vv f

2022

0

tgtvh

tvv

hf

20

0

2

1

2

El movimiento vertical de caída libre es un MRUV por lo que las ecuaciones de movimiento son : donde a=g y d=h.

A un mismo nivel : Las ecuaciones se utilizaran con el

signo(+)cuando el cuerpo desciende(acelerado) y el signo( - ) cuando asciende (movimiento desacelerado).

v0 -v0

V =0

Haga click en la bolita verde

jga jvv

00

y

0

gtvv0

2gt21

tvyy00

yg2vv 20

2

av

x

t t

t

v0

-v0-g

tvtv/2

tv

H

jga

gtvv0

2gt21

tvyy00

Movimiento de proyectilesPara el movimiento de proyectiles supondremos que la aceleración es constante y dirigida hacia abajo, además despreciaremos la resistencia del aire.

INSTRUMENTOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTILES:

ga

Ecuaciones de movimiento:y

x

R

hmax

(x,y)vo

)

voy

vox

j

i

El vector de posición : Toma la siguiente forma:

De la figura deducimos:

Este resultado se ha obtenido ,considerando un MRU en el eje X y un MRUV en el eje Y.

),( yxr

jg

tyyitvjyixr toox

)2

(2

0

senvvvv oyox 00 ,cos

jg

tsenvyitvjyixr t )2

(cos2

000

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil en cualquier tiempo son:

vx = vx0 = v0 cos = const.

vy = vy0 – gt = v0 sen – gt

x = vx0t = v0 (cos )t

y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen )t – ½ gt2

Trayectoria de un proyectil

Trayectoria de un proyectil arrojado con una velocidad inicial v0.

Vector desplazamiento en el tiro parabólico :

El vector desplazamiento r puede escribirse como: r = v0t + ½gt2

TrayectoriaDe las ecuaciones para x y y podemos obtener la ecuación de la trayectoria.

x = vx0t = v0 (cos )t ……………………(1)

y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen )t – ½ gt2 ………(2)

Despejando (t) de la ecuación(1) y reemplazan en (2) se tiene :

tiempo de vuelo

00 cosvx

t

2

000000 cos2

1cos

sen

vx

gv

xvy

2

022

00 cos2

tan xv

gxy

Esta Ecuación Representa una parábola

Algunos parámetros del tiro parabólico

gv

h2

senmax 0

220

gv

Rx 020sen2

max

altura máxima : se logra cuando vy=0,se obtiene el tiempo de ascenso ta :

, para t=ta,y=hmax , se

tiene :

alcance máximo : para t=2tael proyectil intersecta al eje x por segunda vez ,es decir x=R

g

senvta

0

Máximo alcanceTrayectorias de un proyectil con diferente ángulo inicial

Ejemplo1.-Un golfista golpea una pelota en un acantilado a la orilla del mar con una velocidad de 48 m/s y un ángulo de 36°. El acantilado tiene una altura de 52 m. Encontrar la distancia total que avanza la pelota y el tiempo total de vuelo.

Ejemplo (cont.)

Podemos calcular la coordenada x en que la pelota choca con el mar resolviendo la ecuación de la trayectoria para y = –52 m, 0 = 36°, v0 = 48 m/s.

Sustituyendo obtenemos la siguiente ecuación:

–0.00325x2 + 0.72654x + 52 = 0

Las soluciones son:

x = –57.0272487 y x = 280.6225766

La raíz aceptable es la segunda. El tiempo de vuelo lo calculamos con:

t = 7.23 s

2

022

00 cos2

tan xv

gxy

00 cosvx

t

Ejemplos :2.-Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20m/s , desde la azotea de un edificio de 50 m de altura .La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleración de 2m/s² (tomar :g= 10m/s²). Calcular:

a)La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto . b)La altura máxima . c)Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=3s.

3.-Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura, haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal.

a)Determinar la velocidad de disparo para que el proyectil impacte sobre un blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a partir de la base de la colina.

b)Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración cuando el proyectil se encuentra a 200 m de altura.

Aplicaciones:

4.-Un cañón está situado sobre la cima de una colina de 500 m de altura y dispara un proyectil con una velocidad de 60 m/s, haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal.

a)Calcular el alcance medido desde la base de la colina. b)Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración 3 s después de efectuado el disparo. c)Dibujar un esquema en los que se especifique los vectores velocidad, aceleración y sus componentes tangencial y normal en ese instante. (Tómese g=10 m/s2)

5.-Se lanza un objeto desde una altura de 300 m haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal. Al mismo tiempo se lanza verticalmente otro objeto con velocidad desconocida v0 desde el suelo a una distancia de 100 m. a)Determinar, la velocidad v0, el instante  y la posición de encuentro de ambos objetos. b)Dibujar la trayectoria de ambos objetos hasta que se encuentran. c)Calcular las componentes tangencial y normal del primer objeto en el instante de encuentro. ( g=9,8 m/s²)

 

Aplicaciones :6.-Un bloque de 0.5 kg de masa de radio comienza a descender por una pendiente inclinada 30º respecto de la horizontal hasta el vértice O en el que deja de tener contacto con el plano. a)Determinar la velocidad del bloque en dicha posición. b)Hallar el punto de impacto de la esfera en el plano inclinado 45º, situado 2 m por debajo de O, tal como se indica en la figura. c)Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto). d)Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante T/2.

7.-Calcular el ángulo de tiro con que se ha de apuntar un cañón para que dé en el blanco situado a 200 m de distancia horizontal y 100 m de altitud sobre el cañón, sabiendo que la velocidad de disparo es de 60 m/s. Justifíquese la respuesta.

Z

X

Y

R

r

s

Movimiento circular. cteR • Magnitudes angulares

Desplazamiento angular :Rs 1

Velocidad angular:

kωdtd , 1t

Aceleración angular:

kdtd

kdtd

dtd

2

2

, 2t

Movimientos curvilíneos (an 0) en el plano.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR :ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR :

dtd

Rdtds

vLa velocidad es :

RRv

Movimientos curvilíneos en el plano.

Movimiento circular.

Z

X

Y

r

r

sR

cteR • Relaciones entre magnitudes lineales y angulares.

r ra

rat na

MCU 0ta

cteT /20

00 tt

MCUA cteat 00 tt cte

20000 2

1tttt

/TνT 1 , periódico mov.

CONTINUACION:CONTINUACION:

Periodo y frecuenciaPeriodo y frecuencia

Al tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama periodo (T) está dado por

2R = vT

222 RR

vR

T

La frecuencia es el recíproco del periodo

f = 1/T = /2

La frecuencia es el número de revoluciones por segundo, se mide en hertz (Hz) que se define como un ciclo por segundo (cps).

Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.

EjemploCalcule la rapidez angular, la rapidez, la frecuencia, el periodo y la aceleración correspondiente en un punto del ecuador de la tierra.

El periodo es 24 h o sea

T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s

La frecuencia es

f = 1/T = 1.16 x 10–5 Hz

El radio de la tierra es R = 6.4 x 106 m, la velocidad es

v = 2R/T = (2)(6.4 x 106)/86,400 = 465 m/s

La rapidez angular es

= 2f = 2(1.16 x 10–5) = 7.3 x 10–5 Hz

La aceleración es

a = v2/R = (465)/(6.4 x 106) = 0.034 m/s2