VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

I. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

“El dinero produce dinero”, esta premisa es cierta, si nosotros elegimos invertir

hoy en un banco, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos

invertido originalmente, este en cambio en la cantidad de dinero en un periodo

determinado de tiempo se denomina “valor del dinero en el tiempo”

I.1 INTERÉS

Es la evidencia del valor del dinero en el tiempo, es decir es una medida del

incremento entre la suma originalmente invertida o prestada y la cantidad

final acumulada o debida.

Interés = Cantidad acumulada – Inversión original

Interés = Cantidad debida – cantidad prestada.

1.1.1 CALCULO DEL INTERÉS.- cuando el interés se expresa como porcentaje

del monto original por unidad de tiempo entonces tenemos lo que se denomina

tasa de interés.

Tasa de interes=interes acumulado por unidad de tiempocantidad original

*100

Ejemplo 01: La compañía “x “invirtió $/.300,000.00 en julio del 2009 y retiro $/.

324,000.00 exactamente en un año después, calcular el interés ganado y la tasa

de interés.

I=C . F−C .O I=324,000.00−300,000.00=24,000.00

i= 24,000.00300,000.00

=0.08⇒ 8%

Ejemplo 02: “R&R” solicita un prestamos de $/. 45,000.00 a un año al 6% de

interés y la cantidad total a pagar en un año.

i= Cantidad finalCantidad original

∗100⇒Cant .Final= i∗Canti . original100

I=45,000.00∗6100

=27,000.00 ⇒ Monto a pagar 45,000+2,700=47,700

MONTO TOTAL A APAGAR:

F = P+IF = P+P*i = P (1+i)Si son varios periodos de tiempo (n):

F = P (1+i), F = P (1+i*n)Ejemplo 03: hallar el monto total a pagar un prestamos de $/. 25,000.00, pagaderos en 4 años al 5% anual, calcule además el interés a pagar.

I = P*i*n, 25,000*0.05*4 = 5,000.00

F = P+I, 25,000+5,000 = $/. 30,000.00

F = P(1+i*n) 25,000(1+0.05*4) = $/. 30,000.00

I.2 INTERÉS COMPUESTO

Se calcula sobre el capital más la cantidad acumulada de intereses ganados en periodos anteriores es decir intereses de interese.

F=P(1+i)n

Ejemplo 04: se hace un préstamo para pagar en 5 meses de $/. 100,000.00 al 3% mensual de interés compuesto, calcular el monto total a pagar, calcule además el interés simple.

Interés compuesto para los 5 meses:

1º mes: Interés: I=100,000∗0.03=$ / .3,000.00Deuda:F=P(1+i)n ⇒ F=100,000(1+0.03)1=103,000.002º mes:

22,648.30 30,000.00 39,675.00Pasado Presente Futuro

Interés: I=103,000∗0.03=$ / .3,090.00Deuda: F=P(1+i)n ⇒ F=100,000(1+0.03)2=106,090.003º mes: Interés: I=106,090∗0.03=$ / .3,182.70Deuda: F=P(1+i)n ⇒ F=100,000(1+0.03)3=109,272.704º mes: Interés: I=109,272.70∗0.03=$ / .3,278.20Deuda: F=P(1+i)n ⇒ F=100,000(1+0.03)4=112,550.815º mes: Interés: I=112,550.81∗0.03=$ / .3,376.52Deuda: F=P(1+i)n ⇒ F=100,000(1+0.03)5=115,927.41Interés Simple para cada mes

F=100,000(1+0.03∗5) = 115,000.00II. EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO

El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizada conjuntamente genera

el concepto de equivalencia, esto significa que diferentes sumas de dinero en

diferentes tiempos pueden tener igual valor económico.

Pasado Presente Futuro

n n i i

Ejemplo 05: Si tenemos una tasa de interés i = 15% anual, el presente es de $/.

30,000.00 en 2 años

F=P(1+i)n F=P(1+i)n

P= F

(1+ i)nF=300,000(1+0.15)2

P= 30,000

(1+0.15)2= 22,684.00 F = 39,675.00

II.1 ANUALIDAD

Es una serie consecutiva de sumas de pagos o depósitos en periodos de

tiempos iguales.

Para el presente: para el futuro:

A=P∗i(1+i)n

(1+i)n−1A= F∗i

(1+i)n−1

Ejemplo 06: se solicita un préstamo para pagar en 5 años al 4.5% anual, calcule

Ud. Los pagos anuales que se deberían hacer si el prestamos de $/. 320,000.00

debe de pagarse en cuotas anuales que incluyan préstamo e intereses.

A=320,000∗0.045(1+0.045)5

(1+0.045)5−1=72,893.32

Ejemplo 07: Ud. Solicita un préstamo de $/. 50,000.00 para pagar en 5 años al 7%

anual las alternativas son:

a) El interés y el capital se cobran al cabo de los 5 años, el interés se aplica

cada año sobre el interés acumulado del capital e intereses generados.

b) El interés acumulado se paga cada año y el capital es recuperado al final

del 5º año.

c) El interés acumulado y el 20% del capital inicial se paga cada año.

d) Pagos anuales con una proporción del capital inicial y el remanente

cubriendo el interés acumulado.

Calcule Ud. Los montos a pagar para cada alternativa, desde su punto de vista

¿cuál es la mejor alternativa y por qué?

DESARROLLO:

a) F=P(1+i)n⇒F=50,000(1+0.07)5=$ / .70,127.59

b) F=P(1+i∗n)⇒F=50,000(1+0.07∗5) = 67,500

I=C . F−C .O⇒ 67,500 −¿ 50,000 = 17,500.c) 1º Año:

Deuda: 50,000

Interés: I=50,000∗0.07=3,500.00

Amortización: Amort .= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad: Anual .=Interes+Amort .

= 3,500+10,000=13,500

2º Año:

Deuda: 50,000 - 10,000 = 40,000

Interés: I=40,000∗0.07=2,800.00

Amortización: Amort .= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad: Anual .=Interes+Amort .

= 2,800+10,000=12,800

3º Año:

Deuda: 40,000 – 10,000 = 30,000

Interés: I=30,000∗0.07=2,100.00

Amortización: Amort .= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad: Anual .=Interes+Amort .

= 2,100+10,000=12,100

4º Año:

Deuda: 30,000 – 10,000 = 20,000

Interés: I=20,000∗0.07=1,400.00

Amortización: Amort .= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad: Anual .=Interes+Amort .

= 1,400+10,000=11,400

5º Año:

Deuda: 20,000 – 10,000 = 10,000

Interés: I=10,000∗0.07=700.00

Amortización: Amort .= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad: Anual .=Interes+Amort . = 700+10,000=10,700

II.2 DIAGRAMA DE FLUJO

Son representaciones graficas de un flujo de caja en una escala de tiempo,

representa el planteamiento del problema y muestra lo que es dado y lo que

debe de encontrarse, la fecha “cero” es considerada presente y la fecha “uno”

es el final del periodo “uno”, se asume que el flujo de caja ocurre solamente al

final de cada periodo de tiempo.

Futuro Ingreso de caja 0 1 2 3 4 Salida de caja 1º año 2º año 3º año 4º año 5º año t (años)

Presente

Ejemplo 08: si se comienza ahora y se hacen 5 depósitos de $/. 1,000.00 por mes

en una cuenta que paga el 0.5% mensual ¿Cuánto dinero habrá acumulado

inmediatamente después de que haya hecho el ultimo depósito?

Futuro 0 1 2 3 4

t (meses) A= F∗i(1+i)n−1

A = $/. 1,000

Ejemplo 09: se desea depositar una cantidad en una cuenta de ahorros dentro de

2 años de manera que le sea posible retirar $/: 400 anuales durante 5 años

consecutivos, empezando dentro de 3 años. Suponiendo que la tasa de interés i =

5.5%, construya en diagrama de flujo de caja.

A = $/. 400.00

0 1 2 3 4 5 6 7 t(años) p

Ejemplo 10: La compañía “Aire Caliente”, invirtió $/. 2,500.00 en un compresor

nuevo hace 7 años, los ingresos anuales que produce el compresor se estiman en

$/. 700.00 durante el 1º año se ha gastado $/. 100.00 en mantenimiento, costo que

se ha venido aumentando anualmente en $/. 25.00. la compañía piensa vender el

compresor por un valor de rescate de $/: 150.00 a finales del próximo año.

Construya Ud. El diagrama de flujo de caja.

A = $/. 750.00 150.00

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

100 125 150 175

P=2,500 200 225 250 275

III. EVALUACION DE ALTERNATIVAS

SIMBOLOGIA Y REPRESENTACION

a) i % F 0 1 2 3 4 5

F=P(1+i)n t P

F

P= F

(1+ i)n0 1 2 3 4 5 t P

b) A

A=P∗i(1+i)n

(1+i)n−1 0 1 2 3 4 5 t

P

P

P=A [(1+i )n−1]i∗(1+i)n

0 1 2 3 4 5

t

A

A

c)

0 1 2 3 4 5 t (tiempo)

A= F∗i(1+i)n−1

F

F

F=A ¿¿ 0 1 2 3 4 5t (tiempo)

A

III.1 FACTOR DE ACTUALIZACION SIMPLE

Ejemplo 11: Hallar el valor presente de $/. 8,000.00 al cabo de 4 años con una

tasa de i = 4%. F = $/. 8,000.00

0 1 2 3 4

P = ? i = 4% t (años) P= 8,000

(1+0.04)4 = 6,838.4

Ejemplo 12: se pide calcular el valor presente de un alquiler mensual de $/.

400.00 durante 9 meses a una tasa de interes mensual de i = 6%

P = ¿ i = 6%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A = $/. 400.00

P=400 [ (1+0.06 )9−1]0.06∗(1+0.06)9

= 2,720.68

Ejemplo 13: La empresa minera “X” espera tener un ingreso de mineral de 4

´700,000.00 para el proximo año, la proyeccion de sus ingresos dice que

aumentaron uniformemente con el incremento de la produccion hasta un nivel de

10´000,000.00, en 7 años. Determine la gradiente y construya el diagrama de flujo.

0 1 2 3 4 5 6 7 G= INCREMENTOn−1

4`700,000.00

10´000,000.00

G=4 ´ 700,000−10 ´ 000,0007−1

=8´ 833,333.00

III.2 PRESENTE DE UNA SERIE ESCALONADA (P¿¿E)¿

PE=D∗{[ (1+E )n/ (1+i )n]

E−i}

E : tasa escalonada, D : Cantidad inicial

Ejemplo 13: Ud. Deposita $/.600.00 hoy y $/. 300.00 mas tarde y $/. 400.00 dentro de 5 años. Cuanto tendra en su cuenta de ahorros dentro de 10 años si la tasa promedio del bano es de i = 5%.

F =?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FT=F600+F300+F400

600 300 400 FT=600 (1+0.05)10+300 (1+0.05)8+400(1+0.05)5

= 1,931.09

PT=600+P300+P400 = 600+300

(1+0.05)2+ 400

(1+0.05)5=1,185.52⇒ valor en el presente

Ahora llevamos ese valor al futuro:F=P(1+i)n

F=1,185.52(1+0.05)10 = 1,931.09

III.3 EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION CON VALOR PRESENTE

a) VIDAS UTILES IGUALES

Se tiene 2 maquinas A y B, cuyos datos son los sgts. ¿Cuál de las dos

alternativas escogeria?

DESCRIPCION PERFORADORA “A” PERFORADORA “B”Precio de adquisicionCosto anual de operaciónValor de rescateVida util (años)Tasa de interes (i)

12,500.004,500.001,000.00

0510%

17,500.003,500.001,750.00

0510%

PARA LA PERFORADORA “A” F = 1,000.00

0 1 2 3 4 5

A = 4,500P = 12,500

V PA=12,500+4,500( PA ;10% ;5)−1,000( PF ;10% ;5)

V PA=12,500+

4,500[ (1+0.1 )5−1](1+0.1)5∗(0.1)

− 1,000

(1+0.1 )5=28,937.62

PARA LA PERFORADORA “B” F = 1,750

i = 10% 0 1 2 3 4 5

A = 3,500P = 17,500

V PB=17,500+3,500( PA ;10% ;5)−1,750( PF ;10% ;5)

V PB=17,500+

3,500[ (1+0.1 )5−1](1+0.1)5∗(0.1)

− 1,750

(1+0.1 )5=29,681.14

V PA<V PB⇒ la respuesta es la alternativa “A”

b) VIDAS UTILES DIFERENTES:

El supervisor de una planta de tratamiento quiere decidir entre 2

maquinas cuyos datos se detallan a continuacion, ¿puede Ud.

Ayudarlo?

DESCRIPCION MAQUINA “A” MAQUINA “B”

Precio de adquisiciónCosto de operación / añoValor de rescateVida útil (años)

11,000.003,500.001,000.006 años

18,000.003,100.002,000.009 años

Tasa de actualización 15% 15%

PARA LA MAQUINA “A”:

1,000 1,000 1,0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t (años) 3,500

11,000 11,000 11,000

V PA=11,000+3,500( PA ;15% ;18)+ (11,000−1,000 )( PF ;15% ;6)+10,000( PF ;15% ;12)−(1,000 )( PF ;15% ;18)

V PA=11,000+

3,500[ (1+0.15 )18−1](1+0.15)18∗(0.15)

+ 10,000

(1+0.15 )6+ 10,000

(1+0.15 )12− 10,000

(1+0.15 )18

V PA = 38,559.42

PARA LA MAQUINA “B” :

2,000 2,0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t (años)A = 3,100 A = 3,100

18,000 18,000

V PB=18,000+3,100( PA ;15% ;18)+(16,000 )( PF ;15% ;9)−2,000( PF ;15% ;18)

V PB=18,000+

3,100[ (1+0.15 )18−1](1+0.15)18∗(0.15)

+ 16,000

(1+0.15 )9− 2,000

(1+0.15 )18

V PB=41,383.28

V PA<V PB ⇒ Máquina “A”

Ejemplo 13: La minera “RRR”, espera abrir una nueva cantera en sojo, se han

diñado 2 planes para el movimiento deo material, el plan “A” contempla la

adquisicion de 2 palas y la construccioin de un terminal de descarga. El plan “B”

contempla la construccion de una faja transportadora desde la cantera hasta la

planta. ¿Cuál es la mejor alternativa? si el valor actual del dinero es de 15% anual

los datos se muestran en la siguiente tabla.

DESCRIPCION PLAN “A” PLAN “B”PALA TERMINAL FAJA TRANS.

PRECIO ($)COSTO DE OPERAC.($)VALOR DE RESCATE ($)VIDA UTIL

45,000.006,000.005,000.008 años

28,000.00300

2,000.0012 años

175,000.002,500.00

10,000.0024 años

PLAN “A” , M.C.M de 8 y 12 es 24 ⇒ n = 24 Para la pala:

5,000 5,000 5,000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 A = 6,000 A = 6,000 A = 6,000 t (años)45,000 45,000 45,000

V PALA=45,000+6,000( PA ;15% ;24)+(4,000 )( PF ;15% ;8)+4,000( PF ;15% ;16)−5,000 (PF ;15% ;24 )

V PALA=45,000+

6,00 [ (1+0.15 )24−1](1+0.15)24∗(0.15)

+ 4,000

(1+0.15 )8+ 4,000

(1+0.15 )16− 5,000

(1+0.15 )24

V PALA=100,778.62

Para el terminal: 2,000 2,000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 A = 300 A = 300

28,000 28,000

V TERM .=28,000+300( PA ;15% ;24)+(26,000 )( PF ;15% ;8)+2,000 (PF ;15% ;24 )

V TERM .=28,000+300[ (1+0.15 )24−1](1+0.15)24∗(0.15)

+ 26000

(1+0.15 )12− 2,000

(1+0.15 )24

V TERM . = 236,277.09

Plan “B”: 10,000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 A = 2,500.00

175,000

V FAJA .=175,000+25,000( PA ;15% ;24)−(10,000 )( PF ;15% ;24)

V TERM .=175,000+2,500 [ (1+0.15 )24−1 ]

(1+0.15 )24∗(0.15 )− 1,000

(1+0.15 )12

V TERM .=190,735.09