CAPÍTULO 8. Programación Dinámica - Facultad de ... - Facultad de Ciencias Económicas y...

UNLPAM - Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas18 – Métodos Cuantitativos para la Administración

Guía de Trabajos Prácticos 2007

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CAPÍTULO 8. Programación Dinámica

I. Ejercitación a resolver en el curso.

1. Conceptos básicos. Principio de optimalidad.

1.1. Consignar si las siguientes expresiones son Verdaderas o Falsas. Fundamentar breve-mente la respuesta si es necesario.

a) ..... Para poder aplicar Programación Dinámica a un modelo confeccionado sobre unasituación problemática es necesario que el problema pueda fraccionarse en par-tes que, a su vez, admitan la resolución en forma independiente de las demás.

b) …… Cada vez que en una etapa se toma una decisión se arriba a un nuevo valor dela variable de estado.

c) …… La Programación Dinámica es una técnica de resolución de problemas en la cualse tienen múltiples variables de decisión: una por cada etapa en que se ha divi-dido el problema.

d) …… Un programa dinámico aleatorio únicamente puede tener resolución mediante latécnica denominada “de recursión en avance”.

e) …… En Programación Dinámica no se cuenta con algoritmos pre-definidos de aplica-ción inmediata al problema a tratar, sino que se tienen procedimientos sistémi-cos generales que requieren su adecuación a cada situación en particular.

f) …… Por el hecho de tratarse de una metodología “dinámica” esta técnica sólo esaplicable a situaciones en que el tiempo es factor esencial que afecta a la tomade las decisiones.

g) …… Según el principio de optimalidad la eficiencia de una decisión en una etapacualquiera depende de los estados de situación que ya se han analizado y de lasdecisiones adoptadas durante el avance del proceso de resolución.

h) …… La resolución mediante Programación Dinámica implica aplicar una fórmula re-cursiva que relaciona los rendimientos obtenidos en cada etapa ya resuelta conlos de la etapa bajo análisis.

2. Caso determinístico. Funciones y variables intervinientes. Políticas óptimas.

2.1. Quantum Translogística dispone de 7 m3 de espacio disponible en un camión que saldráhacia Córdoba. Recibe pedidos de tres clientes distintos para llevar bultos destinados aesa ciudad. Por la mercadería a transportar a cada cliente se le aplican diferentes tari-fas. Los tres pretenden llevar la mayor cantidad de bultos que entren en el camión.

Se tiene la siguiente información:

Cliente Pago ($/bulto) Volumen (m3/bulto)

1 11 ($10 a partir del sexto bulto) 1

2 32 3

3 43 4

SE PIDE:

1. Identifique conceptualmente cuáles son las etapas del modelo, variables de estado yvariables de decisión para cada una de las etapas. Consigne cuál es la función obje-tivo y cuál la fórmula de recurrencia.

2. Indique cuántos bultos de cada cliente pueden transportarse para maximizar los in-gresos por lo cobrado a los clientes, sin exceder la capacidad disponible del camión.



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2.2. Máximo Optimus, profesional de las Ciencias Económicas especializado en temas de ad-ministración, recibe ofertas de tres diferentes clientes que quisieran contratar sus servi-cios. A cada cliente le gustaría que Máximo trabajara para él de tiempo completo; sinembargo, tal condición no es posible de satisfacer. El profesional ofrece trabajar paraellos tantos días semanales como pueda hacerlo, percibiendo los honorarios que se de-tallan en la siguiente tabla.

Días Semanales Cliente 1 ($) Cliente 2 ($) Cliente 3 ($)

0 0 0 0

1 100 125 150

2 250 250 300

3 400 375 400

4 525 500 550

5 600 625 650

SE PIDE:

1. Identifique conceptualmente cuáles son las etapas del modelo, variables de estado yvariables de decisión para cada una. Consigne cuál es la función objetivo y cuál lafórmula de recurrencia.

2. Determine cuántos días deberá dedicar el profesional a cada cliente para podermaximizar su ingreso semanal.

4. Caso probabilístico. Funciones y variables intervinientes. Estrategias óptimas.

4.1. Quantum Inversiones y Negocios tiene la oportunidad de realizar colocaciones de fondosdisponibles en los próximos dos años, y evalúa los posibles resultados que se tendríansegún cuál fuera el destino de tales inversiones y los distintos escenarios que podríansurgir durante el horizonte de planeamiento.

En el siguiente gráfico se resumen las diferentes decisiones posibles a lo largo de losdos períodos -en cada uno se puede optar por A, B o C-, sus consecuencias y las res-pectivas probabilidades de ocurrencia.

s1 x1 s2 x2 s3

Decisión Azar Decisión AzarA

B

C

A

B

C

3 / 0,7

2 / 0,2

1 / 0,1

4 / 0,6

3 / 0,4

2 / 0,2

5 / 0,8

2 / 0,8

4 / 0,2

3 / 0,5

4 / 0,5

2 / 0,6

4 / 0,4



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SE PIDE:


2. Defina las estrategias óptimas que aconsejaría a la inversora en función de los distin-tos estados que pueden presentarse al momento de decidir en el inicio de la fase I.

II. Ejercitación sin clasificar, propuesta para revisión.

II.1. Quantum Servicios Empresarios se dedica a la instalación de máquinas expendedorasde bebidas (dispensers) en diversos lugares de la ciudad de Santa Rosa. Tiene la opor-tunidad de absorber a otra empresa del ramo, motivo por el cual es necesario estimarel valor a asignar a los activos de la empresa que será controlada.

Dado que una parte importante de la inversión radica en la calidad del parque de má-quinas que posee la empresa a ser absorbida, es necesario realizar algunos cálculos quepermitan estimar cuál será el costo de dicha inversión para poder aplicarlos en un aná-lisis de flujo de fondos.

A tal efecto se debe tener en cuenta que la política de la empresa para con los equiposen estado malo o regular es proceder a su reemplazo, mientras que los que están enbuen estado pueden ser tanto renovados como mantenidos por un año más.

Los dispensers a ser adquiridos tienen todos una antigüedad de dos años y están enbuen estado. Según la experiencia de la empresa una máquina de tales característicaspuede mantenerse en funcionamiento por un año más previa realización de algunosajustes por única vez a un costo de $250, y puede terminar el año en estado bueno, re-gular o malo con probabilidades 0,3, 0,3 y 0,4 respectivamente. Los costos anuales demantenimiento en tales casos son de $1400, $1600 y $1900. Una alternativa es reem-plazarla por un equipo nuevo a un costo de $5000, con lo cual al final del año se tendráuna máquina con un año de antigüedad que habrá incurrido en los costos de operacióny mantenimiento propios de su utilización; en este caso de reemplazo puede entregarseel equipo viejo como parte de pago, recuperándose así su valor residual.

Los datos mencionados en el párrafo anterior -y los correspondientes a todas las demáscombinaciones de antigüedad, reemplazo y operación y mantenimiento en el parque- sedetallan en la tabla siguiente, donde para simplificar el análisis se ha unificado el valorresidual de cada antigüedad en un solo valor independientemente del estado del equi-po. Los espacios con guiones indican que la combinación fila-columna no es aplicable.

Años antigüed. al fin del período 1 año 2 años 3 años 4 años

Costos operación y manten . Único Anual Prob. Único Anual Prob. Único Anual Prob. Único Anual Prob.

Única vez --- --- --- 180 --- --- 250 --- --- 340 --- ---

Si termina bueno --- 1200 0,8 --- 1400 0,6 --- 1700 0,3 --- --- ---

Si termina regular --- 1500 0,2 --- 1600 0,3 --- 1800 0,3 --- 1900 0,6

Si termina malo --- --- --- --- 1900 0,1 --- 2000 0,4 --- 2100 0,4

Valor residual al final del año 3200 2300 1500 500

Costo de adquisición equipo nuevo 5000



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SE PIDE:


2. Teniendo en cuenta que el análisis se hará considerando los próximos cuatro años,represente el modelo en forma de red.

3. Indique cuál es el costo total estimado de cada máquina dispensadora que se adqui-rirá junto con la empresa absorbida, así como la estrategia sugerida para la renova-ción del bien.



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CAPÍTULO 9. Teoría de los Juegos


2. Juegos no cooperativos de dos personas de suma cero: representación; estrate-gias; juegos con punto de equilibrio.

a) Representación de situaciones problemáticas.

2.1. ARCOS y CANELA dominan el mercado de productos alimenticios envasados en la ciudadde Córdoba. La primera está perdiendo mercado por lo quetoma la iniciativa para tratar de mejorar su situación, paralo cual concibe 4 estrategias con diferentes políticas de pre-cios. Por su parte, CANELA tiene 3 estrategias, que enfren-tadas con las de ARCOS dan la matriz que se adjunta.

SE PIDE:

1. Indique qué estrategias puras recomendaría a cada em-presa en esta situación. En caso de no ser posible, consigne los motivos por los queno se puede opinar, y defina qué procedimiento corresponde adoptar.

2.2. Dos empresas competidoras que pugnan por ocupar un mercado pueden hacer publici-dad por los diarios o por afiches. Cada período de gestión plantea a los respectivos di-rectores el tomar una decisión relativa a la asignación de sus presupuestos de publici-dad.

El director de la primera empresa ha conseguido determinar que:

1) Si él hiciera exclusivamente su publicidad en los diarios tendría una ganancia suple-mentaria de $100.000 en el caso en que su competidor adoptara su mismo punto devista y ninguna ganancia si su competidor se decidiera por la publicidad en afiches;

2) Si él hiciera su publicidad únicamente en carteles perdería $100.000 si su competi-dor utilizara los diarios, pero ganaría $200.000 si el otro utilizara afiches.

SE PIDE:

1. Represente la situación planteada presentando la matriz de pagos correspondiente.

2. Indique qué estrategias puras recomendaría a cada empresa en esta situación. Encaso de no ser posible, consigne los motivos por los que no se puede opinar, y definaqué procedimiento corresponde adoptar.

b) Determinación de estrategias. Juegos con punto de equilibrio.

2.3. Determine las estrategias de los jugadores A y B, de acuerdoal criterio de Von Neumann, en el juego cuya matriz deconsecuencias es:

2.4. Determine las estrategias puras delos jugadores A y B, en el juego desuma cero cuya matriz es:

B

A

1 -3 -4 1 2 -3

3 8 2 2 4 3

2 3 1 5 -1 2

-3 4 -1 -2 3 -1

1 5 -2 -1 1 1

-1 2 -2 4 2 -1

CANELA

ARCOS

8 9 210 1 37 12 5

11 4 6

B

A

2 31 5



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3. Juegos no cooperativos de dos personas de suma cero: teorema de Von Neu-mann; estrategias mixtas; solución gráfica.

a) Determinación de estrategias.

3.1. Determine las estrategias puras de los jugadores A y B, según el criterio de Von Neu-mann, en un juego de suma cero cuya matriz es:

B

2 3 0 -1 -2 4 -3

0 2 -1 3 4 -3 -2

A 5 -3 -2 0 -1 -2 3

-4 1 0 -2 -3 2 1

-2 3 1 2 0 1 -1

3.2. Determine gráficamente las estrategias mixtas óptimas delpresente juego.

En la resolución utilizar los desarrollos que se consignan a continuación, cuando seapertinente.

Matriz de Pagos Jugador A:Dominación Planteo del juego:

2 4 -1 0 2)

3 1 4 2 3)

4)

x2 v x2 v x2 v

0 0 0

1 1 1

Ecuaciones que determinan el valor del juego:

Resolución analítica del juego:

3.3. Analice los supuestos a considerar para obtener la solu-ción en la matriz de la derecha, donde se dan algunoscasos de dominación, y recomiende una estrategia parael jugador A.

B

A

1 2 3 4 5

1 30 35 40 45 50

2 60 65 20 30 70

3 35 40 19 38 55

4 25 45 18 20 10

2 3 4

4 -

3 -

2 -

1 -

0

-1-

2

3

4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

- 4

- 3

- 2

- 1

0

--1

v

x2

Jugador A

B

A2 4 -1 0

3 1 4 2



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3.4. Determine las estrategias mixtas óptimas de los jugadores A yB, considerando la matriz de decisiones que se adjunta:

3.5. Resuelva el problema Nro 3.4. por el método gráfico.

II. Integración de conocimiento.

II.1. Consigne si las siguientes expresiones son Verdaderas (V) o Falsas (F). Fundamentebrevemente la respuesta si es necesario.

a)…. El Teorema de Von Neumann permite resolver juegos que representan situacionesde conflicto de intereses entre dos oponentes racionales.

b)…. En todo juego de suma cero la ganancia media del jugador maximizante es mayoro igual que la del jugador minimizante.

c)…. Toda solución de un juego reducido, cualquiera sea la forma de reducción, es so-lución del original, coincidiendo el valor del juego.

d)…. La estrategia mixta óptima de Von Neumann es el caso general, y comprendecomo caso particular al caso con punto de equilibrio; lo que no puede asegurarsees la coincidencia del valor del juego.

e)…. Siempre que ambos jugadores adoptan una estrategia pura y coinciden en el va-lor del juego ninguno gana ni pierde.

III. Ejercitación sin clasificar, propuesta para revisión.

III.1. Dado el problema presentado con el número I.2.1.

SE PIDE:

1. Indique cuáles serán los resultados de esta "guerra económica" que se ha desatadoentre las dos empresas para conquistar el mercado.

III.2. Se analiza el comportamiento de dos compañías de aviación que tienen políticas decomercialización distintas. La compañía ALITALIA ha seguido la política de reemplazarequipos tan pronto como aparecen innovaciones tecnológicas; quiere decir que es unaempresa de aviación que, tan pronto como aparece un adelanto, lo incorpora a su flota.La política de LAN ha sido la de utilizar el equipo existente el mayor tiempo posible.

Los ejecutivos de LAN han reconocido siempre que la política que aplican les significaun porcentaje menor del mercado, porque la gente considera más inseguras a sus ae-ronaves. Por otra parte, los costos de la compañía LAN son menores que los de ALITA-LIA (su política de adoptar innovaciones requiere de grandes inversiones para seguir).

Cada vez que ALITALIA compra un avión nuevo LAN debe replantear su estrategia decaptación de pasajeros, ya que si pone un equipo donde está la otra empresa, en esaruta pierde casi todo el mercado.

En estos momentos ALITALIA puede comprar unanueva nave. LAN lo sabe y razona que ALITALIApuede usar este avión en cuatro rutas distintas, ya su vez dispone de cinco estrategias para hacerfrente a la competencia. La tabla de la derecharesume las estrategias y los beneficios asociadosa cada una de las estrategias.

B

A

3 1

2 4

LAN

ALITALIA

B1 B2 B3 B4 B5

A1 30 35 40 45 50

A2 60 60 20 30 70

A3 35 40 35 40 55

A4 25 45 25 20 10



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SE PIDE:

1. Determine qué decisiones deberá tomar cada empresa y cuáles serán los resultadosesperados.

III.3. Dado el problema presentado con el número I.2.2

SE PIDE:

1. Determine qué decisiones deberá tomar cada empresa y cuáles serán los resultadosesperados.

III.4. En el juego que se presenta a la derecha, determine gráfi-camente las estrategias mixtas óptimas para ambos jugado-res:

III.5. Nos encontramos como inversores potenciales ante las siguientes alternativas de co-locación de excedentes, cuyos rendimientos nominales se detallan:1. Títulos públicos dolarizados: 8% anual sobre el capital convertido a dólares.

2. Letras de Tesorería: 10% anual nominal.

3. Plazo Fijo: 8% anual nominal.

En el siguiente cuadro se resumen las posibles tasas de interés reales ante la evoluciónque podrían tener las variables macroeconómicas.

I. Inflación Baja II. Inflación Media III. Inflación Alta

1. Títulos Públicos 0,3% 0,5% 0,7%

2. Letras de Tesorería 2,3% 1,0% 0,2%

3. Plazo Fijo 1,7% 0,5% -0,5%

SE PIDE (Utilizar las partes ya resueltas que se consignan a continuación cuando seapertinente):

1. Plantee como un problema de juegos. Comente el significado de cada ecuación e in-ecuación.

2. Puede ser resuelto el problema por el Método Gráfico? Fundamente la respuesta. Encaso afirmativo, halle la solución.

3. Indique el comportamiento concreto a aconsejar al inversor, consignando qué resul-tado garantizaría la solución hallada según el Teorema de Von Neumann.

4. Cuál sería la ganancia media a obtener ante cada situación inflacionaria? Interpreteel significado en cada caso, comparando con el resultado garantizado según inciso 3.

5. Qué comportamiento se aconseja de acuerdo a los siguientes criterios?

a) De equiprobabilidad (o Laplace).

b) Hurwicz suponiendo = 0,3. Explique la respuesta y el significado de .

c) De Aflicción (o de Savage).

Parte de la solución:

1. Matriz de Pagos

I II III

Títulos 0,3 0,5 0,7

Letras 2,3 1 0,2

P.F. 1,7 0,5 -0,5 Se elimina por dominación.

Planteo, sólo para el Jugador A: (por qué?)

1xx

vx2,0x7,0

vxx5,0

vx3,2x3,0

21

21

21

21

1

2

3

B

A

6 -1 5 -3

19 9 -5 17



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Interpretación de lo planteado:

2. Gráficamente:

vx5,07,0

vx0,55,0

vx0,23,0

2

2

2

x2 v x2 v x2 v

0 0,3 0 0,5 0 0,7

1 2,3 1 1 1 0,2

Ecuaciones que determinan el valor del juego: y

0,6v,8,0x2,0x

x5,07,0x0,55,0

12

22

3. Según el criterio de Von Neumann se aconseja poner el ______ del capital en Títulos Pú-

blicos, el ______ en Letras de Tesorería, y __________ en plazo fijo. Esto le garantizaría

una ganancia real esperada del ________ % anual.

4. Ante cada estado inflacionario: (Reemplazo 0,8 y 0,2 en cada inecuación)

I.

II.

III.

1

2

3

1

2

3

2 31

2,5 -

2 -

1,5 -

1 -

0,5

0 -

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

- 2,5

- 2

- 1,5

-1

- 0,5

- 0

v

x2

Jugador A1

2

3

2 3



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5. Aplicación de criterios de Teoría de la Decisión en caso de incertidumbre:

III.6. Dada la matriz que figura a la derecha, relacionada con unasituación de incertidumbre, en que corresponde tomar una de-cisión entre cuatro alternativas y cada una de las cuales puedellegar a encontrar cuatro posibles estados de la Naturaleza.

SE PIDE:

1. Determine cuáles serán las estrategias puras del jugador A:

b) aplicando cuatro criterios acordes a la incertidumbre consignada;

c) en el caso en que la Naturaleza fuera reemplazada por un jugador inteligente yprudente.


4. Juegos no cooperativos de dos personas y suma no constante. Punto de equili-brio; estrategias mixtas.

4.1. El dilema de los prisioneros. La policía ha arrestado a dos sospechosos de un delito.Sin embargo, no se cuenta con suficiente evidencia para mantenerlos detenidos, a me-nos que alguno de ellos confiese.

La policía mantiene a ambos sospechosos en celdas separadas y les explica las conse-cuencias de sus posibles acciones.

Si ninguno de los dos confiesa ser autor del hecho, no se les imputará delito debido a lafalta de evidencias, pero pasarán un mes en prisión hasta que se terminen los trámites.

Si ambos confiesan inculpando al otro se los enviará a prisión por seis meses.

Finalmente, si sólo uno de ellos confiesa imputando al otro, se lo liberará inmediata-mente mientras que al restante se lo condenará a nueve meses de prisión.

SE PIDE:

1. Represente el juego en forma normal. (Tener en cuenta que las consecuencias decada acción, representadas por los tiempos que resultarían por ser encarcelado, de-ben considerarse como penalizaciones).

2. Indique cuál es el equilibrio de Nash para el juego planteado. Es un resultado eficien-te?

4.2. La interrelación estratégica entre dos de las tabacaleras estadounidenses (Empresa 1 yempresa 2) hasta 1970 se puede resumir en los datos que se detallarán a continuación.Se supone que cuando las dos empresas adoptan estrategias comparables, disfrutantambién de beneficios y cuotas de mercado comparables.

Las estrategias de cada empresa son hacer publicidad en televisión o no. El análisis dedatos históricos revela que la publicidad en televisión es una herramienta de marketingpoderosa.

N

A

2 2 0 1

1 1 1 1

0 4 0 0

1 3 0 0



60

Si ninguna de las empresas hace anuncios en televisión, obtienen ganancias por $50millones cada una.

Si la empresa 1 hace publicidad en televisión y la empresa 2 no, los beneficios de laprimera aumentan un 20% mientras que los de la segunda bajan a $20 millones; eiguales efectos ocurren si se intercambian las estrategias entre las empresas.

Cada una de las empresas tiene incentivos para anunciar sus cigarrillos en televisión.Efectivamente, ésta ha sido la estrategia practicada por ambas en el pasado, y los be-neficios son de $27 millones para cada una en tales circunstancias. La razón de esto esque la publicidad de una tiende a anular la de la otra, dejando las ventas del sector máso menos igual pero a un costo mucho más alto.

SE PIDE:

1. Represente el juego en forma normal, consignado los importes en millones de unida-des monetarias.

2. Indique cuál es el equilibrio de Nash para el juego planteado. Es un resultado eficien-te?

3. Después de prolongadas negociaciones, la empresas tabacaleras y el gobierno esta-dounidenses llegaron a un acuerdo, según el cual las empresas debían dejar dehacer publicidad en televisión en 1971. Indique qué consecuencias tendrá para am-bas empresas esta alteración de las reglas de juego. Se trata de una solución eficien-te?

4. Compare el nuevo resultado con el obtenido en 2., y extraiga conclusiones.

4.3. Dado el juego que se representa en la matriz adjunta, en elque el jugador B dispone de las estrategias c y d, mientrasque para A son válidas las designadas con a y b.

SE PIDE:

1. Encuentre todos los equilibrios de Nash en estrategias puras.

2. Si es necesario, encuentre los equilibrios de Nash en estrategias mixtas.

5. Juegos cooperativos. Juegos de n personas. Dominación; núcleo.

5.1. En un juego con cuatro jugadores que participan de negociaciones con la finalidad deobtener alianzas, se conoce que cada uno valora su participación individual en el juegoen $25, y las posibles asociaciones de cualesquiera tres de ellos se valoran en $75 (uti-lidad del conjunto S).

Por su parte, cuando se pretende hacer la alianza entre los cuatro participantes el valorasignado es $100.

Para todas las demás coaliciones, V(S) = 0.

SE PIDE:

1. Explicite en símbolos la función característica del juego descripto.

2. Consigne si las siguientes asignaciones de utilidades dentro del conjunto de jugado-res pueden constituir el núcleo del mismo. En caso negativo, indique el motivo por elcual no se forma el núcleo.

a) y = (48, 46, 4, 2)

b) y = (25, 25, 25, 25)

c) y = (0, 0, 0, 100)

d) y = (25, 26, 25, 26)

B

Ac d

a (2,2) (1,5)

b (5,1) (0,0)



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ANEXOS

I. Distribución de Poisson

II. Áreas de la distribución Normal

III. Tablas de Números aleatorios

IV. Fórmulas Teoría de las colas

V. Fórmulas Gestión de Inventarios

VI. Guía metodológica y parámetros aplicables en PAJ


Anexo I - Distribución de Poisson

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Distribución de Poisson

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679 0,3329 0,3012 0,2725

1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3595 0,3659 0,3679 0,3662 0,3614 0,3543

2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0,1647 0,1839 0,2014 0,2169 0,2303

3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,0284 0,0383 0,0494 0,0613 0,0738 0,0867 0,0998

4 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030 0,0050 0,0077 0,0111 0,0153 0,0203 0,0260 0,0324

5 0,0001 0,0002 0,0004 0,0007 0,0012 0,0020 0,0031 0,0045 0,0062 0,0084

6 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0012 0,0018

7 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003

8 0,0001

9

x 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

0 0,2466 0,2231 0,2019 0,1827 0,1653 0,1496 0,1353 0,1225 0,1108 0,1003 0,0907 0,0821 0,0743

1 0,3452 0,3347 0,3230 0,3106 0,2975 0,2842 0,2707 0,2572 0,2438 0,2306 0,2177 0,2052 0,1931

2 0,2417 0,2510 0,2584 0,2640 0,2678 0,2700 0,2707 0,2700 0,2681 0,2652 0,2613 0,2565 0,2510

3 0,1128 0,1255 0,1378 0,1496 0,1607 0,1710 0,1804 0,1890 0,1966 0,2033 0,2090 0,2138 0,2176

4 0,0395 0,0471 0,0551 0,0636 0,0723 0,0812 0,0902 0,0992 0,1082 0,1169 0,1254 0,1336 0,1414

5 0,0111 0,0141 0,0176 0,0216 0,0260 0,0309 0,0361 0,0417 0,0476 0,0538 0,0602 0,0668 0,0735

6 0,0026 0,0035 0,0047 0,0061 0,0078 0,0098 0,0120 0,0146 0,0174 0,0206 0,0241 0,0278 0,0319

7 0,0005 0,0008 0,0011 0,0015 0,0020 0,0027 0,0034 0,0044 0,0055 0,0068 0,0083 0,0099 0,0118

8 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0006 0,0009 0,0011 0,0015 0,0019 0,0025 0,0031 0,0038

9 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0007 0,0009 0,0011

10 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003

11 0,0001

12

x 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0 0,0672 0,0608 0,0550 0,0498 0,0450 0,0408 0,0369 0,0334 0,0302 0,0273 0,0247 0,0224 0,0202

1 0,1815 0,1703 0,1596 0,1494 0,1397 0,1304 0,1217 0,1135 0,1057 0,0984 0,0915 0,0850 0,0789

2 0,2450 0,2384 0,2314 0,2240 0,2165 0,2087 0,2008 0,1929 0,1850 0,1771 0,1692 0,1615 0,1539

3 0,2205 0,2225 0,2237 0,2240 0,2237 0,2226 0,2209 0,2186 0,2158 0,2125 0,2087 0,2046 0,2001

4 0,1488 0,1557 0,1622 0,1680 0,1733 0,1781 0,1823 0,1858 0,1888 0,1912 0,1931 0,1944 0,1951

5 0,0804 0,0872 0,0940 0,1008 0,1075 0,1140 0,1203 0,1264 0,1322 0,1377 0,1429 0,1477 0,1522

6 0,0362 0,0407 0,0455 0,0504 0,0555 0,0608 0,0662 0,0716 0,0771 0,0826 0,0881 0,0936 0,0989

7 0,0139 0,0163 0,0188 0,0216 0,0246 0,0278 0,0312 0,0348 0,0385 0,0425 0,0466 0,0508 0,0551

8 0,0047 0,0057 0,0068 0,0081 0,0095 0,0111 0,0129 0,0148 0,0169 0,0191 0,0215 0,0241 0,0269

9 0,0014 0,0018 0,0022 0,0027 0,0033 0,0040 0,0047 0,0056 0,0066 0,0076 0,0089 0,0102 0,0116

10 0,0004 0,0005 0,0006 0,0008 0,0010 0,0013 0,0016 0,0019 0,0023 0,0028 0,0033 0,0039 0,0045

11 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0009 0,0011 0,0013 0,0016

12 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005

13 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002

14



63

x 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2

0 0,0183 0,0166 0,0150 0,0136 0,0123 0,0111 0,0101 0,0091 0,0082 0,0074 0,0067 0,0061 0,0055

1 0,0733 0,0679 0,0630 0,0583 0,0540 0,0500 0,0462 0,0427 0,0395 0,0365 0,0337 0,0311 0,0287

2 0,1465 0,1393 0,1323 0,1254 0,1188 0,1125 0,1063 0,1005 0,0948 0,0894 0,0842 0,0793 0,0746

3 0,1954 0,1904 0,1852 0,1798 0,1743 0,1687 0,1631 0,1574 0,1517 0,1460 0,1404 0,1348 0,1293

4 0,1954 0,1951 0,1944 0,1933 0,1917 0,1898 0,1875 0,1849 0,1820 0,1789 0,1755 0,1719 0,1681

5 0,1563 0,1600 0,1633 0,1662 0,1687 0,1708 0,1725 0,1738 0,1747 0,1753 0,1755 0,1753 0,1748

6 0,1042 0,1093 0,1143 0,1191 0,1237 0,1281 0,1323 0,1362 0,1398 0,1432 0,1462 0,1490 0,1515

7 0,0595 0,0640 0,0686 0,0732 0,0778 0,0824 0,0869 0,0914 0,0959 0,1002 0,1044 0,1086 0,1125

8 0,0298 0,0328 0,0360 0,0393 0,0428 0,0463 0,0500 0,0537 0,0575 0,0614 0,0653 0,0692 0,0731

9 0,0132 0,0150 0,0168 0,0188 0,0209 0,0232 0,0255 0,0281 0,0307 0,0334 0,0363 0,0392 0,0423

10 0,0053 0,0061 0,0071 0,0081 0,0092 0,0104 0,0118 0,0132 0,0147 0,0164 0,0181 0,0200 0,0220

11 0,0019 0,0023 0,0027 0,0032 0,0037 0,0043 0,0049 0,0056 0,0064 0,0073 0,0082 0,0093 0,0104

12 0,0006 0,0008 0,0009 0,0011 0,0013 0,0016 0,0019 0,0022 0,0026 0,0030 0,0034 0,0039 0,0045

13 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0011 0,0013 0,0015 0,0018

14 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007

15 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002

16 0,0001 0,0001

17

x 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5

0 0,0050 0,0045 0,0041 0,0037 0,0033 0,0030 0,0027 0,0025 0,0022 0,0020 0,0018 0,0017 0,0015

1 0,0265 0,0244 0,0225 0,0207 0,0191 0,0176 0,0162 0,0149 0,0137 0,0126 0,0116 0,0106 0,0098

2 0,0701 0,0659 0,0618 0,0580 0,0544 0,0509 0,0477 0,0446 0,0417 0,0390 0,0364 0,0340 0,0318

3 0,1239 0,1185 0,1133 0,1082 0,1033 0,0985 0,0938 0,0892 0,0848 0,0806 0,0765 0,0726 0,0688

4 0,1641 0,1600 0,1558 0,1515 0,1472 0,1428 0,1383 0,1339 0,1294 0,1249 0,1205 0,1162 0,1118

5 0,1740 0,1728 0,1714 0,1697 0,1678 0,1656 0,1632 0,1606 0,1579 0,1549 0,1519 0,1487 0,1454

6 0,1537 0,1555 0,1571 0,1584 0,1594 0,1601 0,1605 0,1606 0,1605 0,1601 0,1595 0,1586 0,1575

7 0,1163 0,1200 0,1234 0,1267 0,1298 0,1326 0,1353 0,1377 0,1399 0,1418 0,1435 0,1450 0,1462

8 0,0771 0,0810 0,0849 0,0887 0,0925 0,0962 0,0998 0,1033 0,1066 0,1099 0,1130 0,1160 0,1188

9 0,0454 0,0486 0,0519 0,0552 0,0586 0,0620 0,0654 0,0688 0,0723 0,0757 0,0791 0,0825 0,0858

10 0,0241 0,0262 0,0285 0,0309 0,0334 0,0359 0,0386 0,0413 0,0441 0,0469 0,0498 0,0528 0,0558

11 0,0116 0,0129 0,0143 0,0157 0,0173 0,0190 0,0207 0,0225 0,0244 0,0265 0,0285 0,0307 0,0330

12 0,0051 0,0058 0,0065 0,0073 0,0082 0,0092 0,0102 0,0113 0,0124 0,0137 0,0150 0,0164 0,0179

13 0,0021 0,0024 0,0028 0,0032 0,0036 0,0041 0,0046 0,0052 0,0058 0,0065 0,0073 0,0081 0,0089

14 0,0008 0,0009 0,0011 0,0013 0,0015 0,0017 0,0019 0,0022 0,0025 0,0029 0,0033 0,0037 0,0041

15 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0012 0,0014 0,0016 0,0018

16 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0005 0,0006 0,0007

17 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003

18 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

19



64

x 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8

0 0,0014 0,0012 0,0011 0,0010 0,0009 0,0008 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0004

1 0,0090 0,0082 0,0076 0,0070 0,0064 0,0059 0,0054 0,0049 0,0045 0,0041 0,0038 0,0035 0,0032

2 0,0296 0,0276 0,0258 0,0240 0,0223 0,0208 0,0194 0,0180 0,0167 0,0156 0,0145 0,0134 0,0125

3 0,0652 0,0617 0,0584 0,0552 0,0521 0,0492 0,0464 0,0438 0,0413 0,0389 0,0366 0,0345 0,0324

4 0,1076 0,1034 0,0992 0,0952 0,0912 0,0874 0,0836 0,0799 0,0764 0,0729 0,0696 0,0663 0,0632

5 0,1420 0,1385 0,1349 0,1314 0,1277 0,1241 0,1204 0,1167 0,1130 0,1094 0,1057 0,1021 0,0986

6 0,1562 0,1546 0,1529 0,1511 0,1490 0,1468 0,1445 0,1420 0,1394 0,1367 0,1339 0,1311 0,1282

7 0,1472 0,1480 0,1486 0,1489 0,1490 0,1489 0,1486 0,1481 0,1474 0,1465 0,1454 0,1442 0,1428

8 0,1215 0,1240 0,1263 0,1284 0,1304 0,1321 0,1337 0,1351 0,1363 0,1373 0,1381 0,1388 0,1392

9 0,0891 0,0923 0,0954 0,0985 0,1014 0,1042 0,1070 0,1096 0,1121 0,1144 0,1167 0,1187 0,1207

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11 0,0353 0,0377 0,0401 0,0426 0,0452 0,0478 0,0504 0,0531 0,0558 0,0585 0,0613 0,0640 0,0667

12 0,0194 0,0210 0,0227 0,0245 0,0263 0,0283 0,0303 0,0323 0,0344 0,0366 0,0388 0,0411 0,0434

13 0,0099 0,0108 0,0119 0,0130 0,0142 0,0154 0,0168 0,0181 0,0196 0,0211 0,0227 0,0243 0,0260

14 0,0046 0,0052 0,0058 0,0064 0,0071 0,0078 0,0086 0,0095 0,0104 0,0113 0,0123 0,0134 0,0145

15 0,0020 0,0023 0,0026 0,0029 0,0033 0,0037 0,0041 0,0046 0,0051 0,0057 0,0062 0,0069 0,0075

16 0,0008 0,0010 0,0011 0,0013 0,0014 0,0016 0,0019 0,0021 0,0024 0,0026 0,0030 0,0033 0,0037

17 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0012 0,0013 0,0015 0,0017

18 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0006 0,0006 0,0007

19 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003

20 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

21

x 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1

0 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001

1 0,0029 0,0027 0,0025 0,0023 0,0021 0,0019 0,0017 0,0016 0,0014 0,0013 0,0012 0,0011 0,0010

2 0,0116 0,0107 0,0100 0,0092 0,0086 0,0079 0,0074 0,0068 0,0063 0,0058 0,0054 0,0050 0,0046

3 0,0305 0,0286 0,0269 0,0252 0,0237 0,0222 0,0208 0,0195 0,0183 0,0171 0,0160 0,0150 0,0140

4 0,0602 0,0573 0,0544 0,0517 0,0491 0,0466 0,0443 0,0420 0,0398 0,0377 0,0357 0,0337 0,0319

5 0,0951 0,0916 0,0882 0,0849 0,0816 0,0784 0,0752 0,0722 0,0692 0,0663 0,0635 0,0607 0,0581

6 0,1252 0,1221 0,1191 0,1160 0,1128 0,1097 0,1066 0,1034 0,1003 0,0972 0,0941 0,0911 0,0881

7 0,1413 0,1396 0,1378 0,1358 0,1338 0,1317 0,1294 0,1271 0,1247 0,1222 0,1197 0,1171 0,1145

8 0,1395 0,1396 0,1395 0,1392 0,1388 0,1382 0,1375 0,1366 0,1356 0,1344 0,1332 0,1318 0,1302

9 0,1224 0,1241 0,1256 0,1269 0,1280 0,1290 0,1299 0,1306 0,1311 0,1315 0,1317 0,1318 0,1317

10 0,0967 0,0993 0,1017 0,1040 0,1063 0,1084 0,1104 0,1123 0,1140 0,1157 0,1172 0,1186 0,1198

11 0,0695 0,0722 0,0749 0,0776 0,0802 0,0828 0,0853 0,0878 0,0902 0,0925 0,0948 0,0970 0,0991

12 0,0457 0,0481 0,0505 0,0530 0,0555 0,0579 0,0604 0,0629 0,0654 0,0679 0,0703 0,0728 0,0752

13 0,0278 0,0296 0,0315 0,0334 0,0354 0,0374 0,0395 0,0416 0,0438 0,0459 0,0481 0,0504 0,0526

14 0,0157 0,0169 0,0182 0,0196 0,0210 0,0225 0,0240 0,0256 0,0272 0,0289 0,0306 0,0324 0,0342

15 0,0083 0,0090 0,0098 0,0107 0,0116 0,0126 0,0136 0,0147 0,0158 0,0169 0,0182 0,0194 0,0208

16 0,0041 0,0045 0,0050 0,0055 0,0060 0,0066 0,0072 0,0079 0,0086 0,0093 0,0101 0,0109 0,0118

17 0,0019 0,0021 0,0024 0,0026 0,0029 0,0033 0,0036 0,0040 0,0044 0,0048 0,0053 0,0058 0,0063

18 0,0008 0,0009 0,0011 0,0012 0,0014 0,0015 0,0017 0,0019 0,0021 0,0024 0,0026 0,0029 0,0032

19 0,0003 0,0004 0,0005 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0011 0,0012 0,0014 0,0015

20 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0005 0,0006 0,0007

21 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003

22 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001


Anexo II - Áreas de la distribución Normal

65

Áreas de la distribución Normal (- a Z)

( )

/

Z

Z

dz

1

2

2

-z2

e

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 3 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000


Anexo III - Tablas de Números Aleatorios

66

Distribución al azar de la función Beta de EulerPara a=4, b=4 Para a=2, b=6 Para a=6, b=2

Para utilizar cuando tm es equidistante de to y tp Para utilizar cuando tm se acerca a to Para utilizar cuando tm se acerca a tp

0,19 0,58 -0,34 -0,85 0,40 -0,77 -0,07 -0,11 -0,69 1,03 1,41 -0,66 0,33 1,55 0,18

0,61 0,31 -0,75 -1,17 -0,40 -0,30 -0,07 0,19 -0,98 1,38 -0,96 0,78 -0,09 1,52 0,97

0,68 0,61 -0,49 -0,28 0,88 0,94 0,03 -1,09 -0,73 0,37 0,04 0,92 1,39 0,13 -,097

0,58 -1,22 -0,85 1,64 -0,28 -0,03 -0,72 0,57 0,47 -1,57 -0,33 0,60 0,86 0,46 0,00

-1,08 1,82 0,22 -0,85 -0,37 0,01 -0,82 -0,22 0,93 0,49 -1,09 0,51 0,91 0,32 0,03

0,08 -0,52 -1,37 0,96 -0,55 0,12 0,49 -1,00 -0,72 -0,33 1,42 -0,52 0,19 -1,33 2,00

-0,19 -1,08 1,00 0,55 -0,52 -0,20 0,11 -0,06 -0,93 -1,53 0,47 -0,63 1,11 1,64 1,93

-0,70 -0,68 -1,64 -0,74 0,34 0,97 2,01 0,41 0,04 -1,53 0,30 -0,36 1,07 1,68 -1,11

-1,72 1,50 1,50 0,22 1,00 0,12 -0,84 0,02 -0,11 -1,36 1,00 -1,49 -1,13 0,69 0,99

0,46 -1,35 0,03 -0,46 0,28 -0,23 -1,46 0,31 0,31 -1,39 0,48 1,41 0,20 -0,87 -0,37

-0,43 -0,05 1,04 0,64 1,33 -0,10 -1,47 0,29 -0,53 1,01 1,59 0,47 -0,97 -2,43 -0,90

-1,43 -0,31 -1,64 1,72 -0,11 1,84 0,00 -0,19 2,43 0,00 0,61 -1,45 1,36 1,66 0,11

-0,58 -0,58 -1,08 0,92 0,78 -0,08 -0,59 -0,93 -1,15 2,13 -0,97 1,49 1,23 -1,51 1,06

0,14 -1,00 -1,08 -0,58 -0,02 1,19 -0,47 -0,46 -1,41 -0,61 1,47 1,41 1,16 -1,07 -0,07

1,18 -3,00 -0,19 0,03 0,81 -1,89 -1,23 2,03 -1,05 -1,07 0,48 1,57 -1,34 1,33 0,07

-0,55 0,03 0,37 -0,14 1,72 1,34 -1,25 -0,77 0,33 -0,41 -0,19 0,15 -0,32 0,32 0,71

-1,32 -1,00 0,22 -0,14 -1,57 -0,91 -1,84 0,47 -1,54 -0,27 0,83 1,99 1,00 1,69 0,43

1,07 0,58 0,46 0,92 1,64 -0,94 -0,34 -1,17 0,77 0,28 0,16 0,93 0,33 -0,72 1,02

1,07 1,95 2,32 2,09 1,56 -0,91 -0,46 -0,87 0,17 -0,87 1,42 -1,80 2,00 0,20 2,00

-0,22 0,58 -0,49 -0,34 0,28 1,25 0,82 -1,23 0,84 -1,07 -1,28 -0,13 1,09 0,81 0,71

0,05 0,19 -0,55 -1,72 0,25 1,19 -1,44 -0,23 0,73 -0,07 -0,93 0,82 -0,43 0,27 0,88

-1,43 -1,82 -0,25 2,52 -1,50 -1,26 -0,31 -0,61 -0,43 -1,23 0,38 0,76 0,70 0,90 -0,62

-2,32 -2,32 0,46 1,04 0,05 -1,70 -0,38 1,47 -1,27 -1,53 0,51 0,45 -0,97 0,89 -0,41

0,55 0,40 -0,46 -0,70 0,03 -0,84 -0,13 -0,62 -1,93 0,43 -0,27 1,21 0,39 -1,37 1,46

-0,55 -0,92 -0,17 -0,61 1,18 -1,53 -0,21 1,07 -0,77 -1,48 -0,51 0,04 0,88 0,08 -1,02

-0,68 -2,25 0,96 -0,11 -0,31 -1,76 -1,12 0,41 -1,37 0,15 0,33 1,53 1,10 1,96 0,63

0,43 0,14 1,44 0,52 -1,13 1,67 -0,66 -1,23 -0,37 0,56 1,09 -1,81 -1,77 -1,27 -0,27

1,07 -2,32 0,58 -0,58 0,68 -1,38 -1,69 -0,17 -0,99 2,40 0,32 0,42 0,19 -1,94 0,41

-1,72 1,08 -0,43 1,44 -0,17 -2,00 -0,52 0,23 -1,47 -0,11 2,00 0,37 -1,61 -1,87 -2,25

-1,32 1,38 1,13 0,96 1,22 -0,65 -0,94 0,51 -0,30 -0,14 0,91 2,00 1,66 0,97 0,98

1,27 -0,11 0,22 1,44 -0,22 -1,74 -1,34 -0,53 -0,57 1,53 1,64 0,81 0,66 -1,03 0,14

2,09 0,28 -1,32 -0,78 -1,37 -1,44 1,96 -1,23 2,07 -0,83 0,93 1,43 1,36 -0,57 -1,47

0,05 1,82 -0,14 0,19 0,58 -1,67 -0,32 2,40 -1,99 0,43 1,23 0,29 0,20 -0,15 -1,27

1,44 -0,55 0,31 -0,61 1,22 0,72 0,81 -0,09 0,00 0,51 -0,15 0,69 1,03 -0,16 -0,97

-1,57 -1,57 -1,13 0,43 0,40 1,20 -0,61 -1,94 0,31 0,73 1,22 0,99 1,63 -0,13 1,73

-1,22 -0,49 -0,74 -1,82 -0,31 0,33 -0,93 0,73 -0,61 -1,28 -0,70 -2,32 1,33 -1,33 0,27

1,50 -0,52 -0,34 -0,96 0,81 2,13 -0,17 0,61 0,23 -0,30 0,84 1,02 0,59 -0,58 0,29

-1,22 -1,93 -0,55 1,44 1,13 -1,44 -0,67 -0,87 0,11 1,27 -0,82 1,00 1,20 -0,27 0,57

0,92 2,09 0,49 1,72 1,57 -1,43 -1,06 0,21 -0,14 1,03 0,90 -0,03 -0,40 1,40 0,42



67

Números aleatorios de una población uniforme

19 61 27 84 30 11 66 19 47 70 77 60 36 56 69 86 86 81 26 65 30 01 27 59 89

39 14 17 74 00 28 00 06 42 38 73 25 87 17 94 31 34 02 62 56 66 45 33 70 16

64 75 68 04 57 08 74 71 28 36 03 46 95 06 78 03 27 44 34 23 66 67 78 25 56

92 90 15 18 78 56 44 12 29 98 29 71 83 84 47 06 45 32 53 11 07 56 55 37 71

03 55 19 00 70 09 48 39 40 50 45 93 81 81 35 36 90 84 33 21 11 07 35 18 03

98 88 46 62 09 06 83 05 36 56 14 66 35 63 46 71 43 00 49 09 19 81 80 57 07

27 36 98 68 82 53 47 30 75 41 53 63 37 08 63 03 74 81 28 22 19 36 04 90 88

59 06 67 59 74 63 33 52 04 83 43 51 43 74 81 58 27 82 69 67 49 32 54 39 51

91 64 79 37 83 64 16 94 90 22 98 58 80 94 95 49 82 95 90 68 38 83 10 48 38

83 60 59 24 19 39 54 20 77 72 71 56 87 56 73 35 18 58 97 59 44 90 17 42 91

24 89 58 85 30 70 77 43 54 39 46 75 87 04 72 70 20 79 26 75 91 62 36 12 75

35 72 02 65 56 95 59 62 00 94 73 75 08 57 88 34 26 40 17 03 46 83 36 52 48

14 14 15 34 10 38 64 90 63 43 57 25 66 13 42 72 70 97 53 18 90 37 93 75 62

27 41 67 56 70 92 17 67 25 35 93 11 95 60 77 06 88 61 82 44 92 34 43 13 74

82 07 10 74 29 81 00 74 77 49 40 74 45 69 74 23 33 68 88 21 53 84 11 05 36

21 44 58 27 93 24 83 19 32 41 14 19 97 62 68 70 88 36 80 02 03 82 91 74 43

72 51 37 64 00 52 22 59 23 48 62 30 89 84 81 29 74 43 31 65 33 14 16 10 20

71 47 94 50 27 76 16 05 74 11 13 78 01 36 32 52 30 87 77 62 88 87 43 36 97

83 21 05 14 66 09 08 85 03 95 26 74 30 53 06 21 70 67 00 01 99 43 98 07 67

68 74 99 51 48 94 89 77 86 36 96 75 00 90 24 94 53 89 11 43 96 69 36 18 86

05 18 47 57 63 47 07 58 81 58 05 31 35 34 39 14 90 80 88 30 60 09 62 15 51

13 65 16 25 46 96 89 22 52 40 47 51 15 84 83 87 34 27 88 18 07 85 53 92 69

00 56 62 12 20 00 29 22 40 69 25 07 22 95 19 52 54 85 40 91 21 28 22 12 96

50 95 81 76 95 58 07 26 89 90 60 32 99 59 55 71 58 66 34 17 35 94 76 78 07

57 62 16 45 47 46 85 03 79 81 38 52 70 90 37 64 75 60 33 24 04 98 68 36 66

09 28 22 58 44 79 13 97 84 35 35 42 84 35 61 69 79 96 33 14 12 99 19 35 16

23 39 49 42 06 93 43 23 78 36 94 91 92 68 46 02 55 57 44 10 94 91 54 81 99

05 28 03 74 70 93 62 20 43 45 15 09 21 95 10 18 09 41 66 13 78 23 45 00 01

95 49 19 79 76 38 30 63 21 92 82 63 95 46 24 72 43 49 26 06 23 19 17 46 93

78 52 10 01 04 18 24 87 55 83 90 32 65 07 85 54 03 46 62 51 35 77 41 46 92

96 34 54 45 79 85 93 24 40 53 75 70 42 08 40 86 58 38 39 44 52 45 67 37 66

77 96 33 11 51 32 36 49 16 91 47 35 74 03 38 23 43 52 40 65 08 45 89 53 66

07 52 01 12 94 23 23 80 17 48 41 69 06 73 28 54 81 43 77 77 10 05 74 23 32

38 42 30 23 09 70 70 38 57 36 46 14 81 42 58 29 23 61 21 52 05 08 86 58 25

02 46 36 55 33 21 19 96 05 55 33 92 80 18 17 07 39 68 92 15 30 72 22 21 02

15 88 09 22 61 17 29 28 81 90 61 78 14 88 98 92 52 52 12 83 88 58 16 00 98

71 92 60 08 19 59 14 40 02 24 30 57 09 01 94 18 32 90 69 99 26 85 71 92 38

64 42 52 81 08 16 55 41 60 16 00 04 28 32 29 10 33 33 61 68 65 61 79 48 34

79 78 22 39 24 49 44 03 04 32 81 07 73 15 43 95 21 66 48 65 13 65 85 10 81

35 33 77 45 38 44 55 36 46 72 90 96 04 18 49 93 86 54 46 08 93 17 63 48 51



68

Números aleatorios de una población normal estandarizada ( = 0, = 1)

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

0,464 0,134 2,455 -0,323 -0,068 0,296 -0,288 1,298 0,241 -0,9570,060 -2,256 -0,531 -0,194 0,543 -1,558 0,187 -1,190 0,022 0,5251,486 -0,354 -0,634 0,697 0,926 1,375 0,785 -0,963 -0,853 -1,8651,022 -0,472 1,279 3,521 0,571 -1,851 0,194 1,192 -0,501 -0,2731,394 -0,555 0,046 0,321 2,945 1,974 -0,258 0,412 0,439 -0,035

0,906 -0,513 -0,525 0,595 0,881 -0,934 1,579 0,161 -1,885 0,3711,179 -1,055 0,007 0,769 0,971 0,712 1,090 -0,631 -0,255 -0,702

-1,501 -0,488 -0,162 -0,136 1,033 0,203 0,448 0,748 -0,423 -0,432-0,690 0,756 -1,618 -0,345 -0,511 -2,051 -0,457 -0,218 0,857 -0,4651,372 0,225 0,378 0,761 0,181 -0,736 0,960 -1,530 -0,260 0,120

-0,482 1,678 -0,057 -1,229 -0,486 0,856 -0,491 -1,983 -2,830 -0,238-1,376 -0,150 1,356 -0,561 -0,256 -0,212 0,219 0,779 0,953 -0,869-1,010 0,598 -0,918 1,598 0,065 0,415 -0,169 0,313 -0,973 -1,016-0,005 -0,899 0,012 -0,725 1,147 -0,121 1,096 0,481 -1,691 0,4171,393 -1,163 -0,911 1,231 -0,199 -0,246 1,239 -2,574 -0,558 0,056

-1,787 -0,261 1,237 1,046 -0,508 -1,630 -0,146 -0,392 -0,627 0,561-0,105 -0,357 -1,384 0,360 -0,992 -0,116 -1,698 -2,832 -1,108 -2,357-1,339 1,827 -0,959 0,424 0,969 -1,141 -1,041 0,362 -1,726 1,9561,041 0,535 0,731 1,377 0,983 -1,330 1,620 -1,040 0,524 -0,2810,279 -2,056 0,717 -0,873 -1,096 -1,396 1,047 0,089 -0,573 0,932

-1,805 -2,008 -1,633 0,542 0,250 -0,166 0,032 0,079 0,471 -1,029-1,186 1,180 1,114 0,882 1,265 -0,202 0,151 -0,376 -0,310 0,4790,658 -1,141 1,151 -1,210 -0,927 0,425 0,290 -0,902 0,610 2,709

-0,439 0,358 -1,939 0,891 -0,227 0,602 0,873 -0,437 -0,220 -0,057-1,399 -0,230 0,385 -0,649 -0,577 0,237 -0,289 0,513 0,738 -0,300

0,199 0,208 -1,083 -0,219 -0,291 1,221 1,119 0,004 -2,015 -0,5940,159 0,272 -0,313 0,084 -2,828 -0,439 -0,792 -1,275 -0,623 -1,0472,273 0,606 0,606 -0,747 0,247 1,291 0,063 -1,793 -0,699 -1,3470,041 -0,307 0,121 0,790 -0,584 0,541 0,484 -0,986 0,481 0,996

-1,132 -2,098 0,921 0,145 0,446 -1,661 1,045 -1,363 -0,586 -1,023

0,768 0,079 -1,473 0,034 -2,127 0,665 0,084 -0,880 -0,579 0,5510,375 -1,658 -0,851 0,234 -0,656 0,340 -0,086 -0,158 -0,120 0,418

-0,513 -0,344 0,210 -0,736 1,041 0,008 0,427 -0,831 0,191 0,0740,292 -0,521 1,266 -1,206 -0,899 0,110 -0,528 -0,813 0,071 0,5241,026 2,990 -0,574 -0,491 -1,114 1,297 -1,433 -1,345 -3,001 0,479

-1,334 1,278 -0,568 -0,109 -0,515 -0,566 2,923 0,500 0,359 0,326-0,287 -0,144 -0,254 0,574 -0,451 -1,181 -1,190 -0,318 -0,094 1,1140,161 -0,886 -0,921 -0,509 1,410 -0,518 0,192 -0,432 1,501 1,068

-1,346 0,193 -1,202 0,394 -1,045 0,843 0,942 1,045 0,031 0,7721,250 -0,199 -0,288 1,810 1,378 0,584 1,216 0,733 0,402 0,226

0,630 -0,537 0,782 0,060 0,499 -0,431 1,705 1,164 0,884 -0,2980,375 -1,941 0,247 -0,491 0,665 -0,135 -0,145 -0,498 0,457 1,064

-1,420 0,489 -1,711 -1,186 0,754 -0,732 -0,066 1,006 -0,798 0,162-0,151 -0,243 -0,430 -0,762 0,298 1,049 1,810 2,885 -0,768 -0,129-0,309 0,531 0,413 -1,541 1,456 2,040 -0,124 0,196 0,023 -1,204

0,424 -0,444 0,593 0,993 -0,106 0,116 0,484 -1,272 1,066 1,0970,593 0,658 -1,127 -1,407 -1,579 -1,616 1,458 1,262 0,736 -0,9160,862 -0,885 -0,142 -0,504 0,532 1,381 0,022 -0,281 -0,342 1,2220,235 -0,628 -0,023 -0,463 -0,899 -0,394 -0,538 1,707 -0,188 -1,153

-0,853 0,402 0,777 0,833 0,410 -0,349 -1,094 0,580 1,395 1,298


Anexo IV - Fórmulas Teoría de las colas

69

Teoría de las colas - Fórmulas aplicables

Concepto/Modelo

Probabilidad de que no haya elementos en elsistema en el instante t. (Probabilidad de no espe-rar)

Probabilidad de que haya n elementosen el sistema en el instante t.

Probabilidad de que se forme cola. Número promedio de elementos en lacola. (Longitud media de la cola)

M/M/1

1p )0( 1p n)n( )1n(p

c

2

1n)n(c

T.

1

p).1n(L

M/M/s

1

1s

0n

ns

)0(!ns

s

!sp

!ss.pp:sn

!n.pp:sn

sn

n

)0()n(

n

)0()n(

s

s.

!s.pp

s

)0()sn(2

s

)0(c)s()!1s(

.pL

M/M/1/∞/PEPS/N

1N

0n

n

)0(!nN

!Np

)0(

N

0n

n

)n( p.!nN

!Np

)0(c p1NL


Anexo IV - Fórmulas Teoría de las colas

70

Concepto/Modelo

Tiempo promedio de espera en la cola Número promedio (o esperado) de elementosen el sistema. (Longitud media del sistema)

Tiempo promedio de perma-nencia en el sistema

Número promedio de cana-les en uso (u ocupados)

Número promedio decanales ociosos

M/M/1

sc

cc

TT

LT

s

ss

cs

0n)n(s

L

TL

LL

1p.nL

1

1TT cs

M/M/s

2

s

)0(c

cc

)s()!1s(.pT

LT

cs LL

1TT cs

H

sHs

M/M/1/∞/PEPS/N

)LN(

LT

s

cc

)0(cs p1LL

1TT cs

1/T/1T serva

CT : Costo total del sistema.

Cc: Costo unitario del cliente

Cs : Costo de atención.

.CL.CCT ssc

s

co

C

.C


Anexo V - Fórmulas Gestión de Inventarios

71

Modelos de Stocks - Fórmulas aplicables

I. Modelos deterministas

Modelo I Modelo II Modelo III

Co; Cm; Ca; T; D; n; h=D/nSp

Cm ; Cr;CrCm

Cr

; tnst i

no

Dn.Tt o

o

TCmn21

nDCoDCaCTEo

CrrCCm

TCm

DCo2no

CrCmCrnS oo

CrrCCm

DCm

TCo2t

CrCmCrTCmDCo2'

CTE O

II. Modelos probabilísticos

1. p(n)nS)-(n

21Crp(n)

nS

21Cmp(n)

2nSCmCTE

2

1Sn

2

1Sn

S

0nS

n

p(n)21SSnp

CmCr

Cr

np(n)

21S1Snp

1S1S

p(s)...p(2)p(1)p(0)s)p(n

Sns

1.n

Snt;1.

n

St

nSs;1t

nS;nS

i

21

iii

2. p(n)SnCrp(n)nSCaCTE1Sn

S

0nS

CTECTECTE 1oo1o SSS


Anexo VI - Metodología y parámetros PAJ

72

Proceso Analítico de Jerarquías

I. Guía metodológica para resolución

1º paso: Construir el Árbol Jerárquico: Representación gráfica en términos de objetivo, criterios, al-ternativas.

Procedimiento iterativo pasos 2º a 4º, para cada uno de los criterios

2º paso: Matriz de Comparaciones pareadas (MCP) de las alternativas: indicar las preferen-cias del decisor en relación con cada alternativa comparándolas de ados, en función del criterio aplicado.

3º paso: Procedimiento de sintetización: Calcular la prioridad relativa de cada alternativacon respecto al criterio analizado:

1. Matriz normalizada (MCPN).

2. Vector de prioridad de cada criterio (VP).

4º paso: Análisis de Consistencia: Indagar sobre la “transitividad” entre los elementos de laMCP y determinar la Relación de Consistencia.

1. Vector Suma Ponderada (VSP): para cada fila de la MCP sumar el producto de cadacelda por la prioridad de la alternativa correspondiente.

2. Dividir los elementos del VSP por el correspondiente valor de prioridad de la alternati-va.

3. Determinar el máx como promedio de los valores obtenidos en 2.

4.1-n

nIC

máx

5. RC = IC / IA

5º paso: MCP para todos los criterios: Indicar preferencias del decisor en relación con cada crite-rio comparándolos de a pares. Analizar consistencia.

6º paso: Jerarquización global de prioridades:

1. Resumen de resultados en Matriz de Prioridad; alternativas por filas y criterios por columnas.

2. Vector de prioridad global (PG): Aplicación de ponderaciones de criterios y alternativas que conduz-can a evaluar las distintas opciones y hacer una decisión provisional.

II. Indices aleatorios de consistencia

Orden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Índice aleatorio 0 0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59

Fuente: SANCHEZ, Ramiro(2002); Implementation of Multicriteria Decision Aiding models; Cochabamba; Centro de Planificación y Gestión (CEPLAG),Universidad Mayor de San Simón.


Anexo VI - Metodología y parámetros PAJ

73

III. Escala de comparaciones pareadas

Valornumérico

Escala verbal Explicación

1 Igual importancia de ambos elementos Dos elementos contribuyen de igual forma

3 Moderada importancia de un elemento sobre otro La experiencia y el juicio favorecen a un elemento porsobre el otro

5 Fuerte importancia de un elemento sobre el otro Uno de los elementos es fuertemente favorecido

7 Muy fuerte importancia de un elemento por sobre elotro

Uno de los elementos es muy fuertemente dominante

9 Extremada importancia de un elemento por sobre otro Un elemento está favorecido por evidencia de magni-tud del más alto orden posible

2, 4, 6, 8 Valores intermedios. Utilizados para comprometer entre dos juicios convalor impar.

Fuente: FORMAN, E. y SELLY, M. A.; Decision By Objectives (How to convince others that you are right).

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