CAPITULO 7.- LA TRANSFORMADA z. -...
Transcript of CAPITULO 7.- LA TRANSFORMADA z. -...
1
CAPITULO 7.-LA TRANSFORMADA z.
7.1 Introducción.
7.2 La transformada z.
7.3 Propiedades de la región de convergencia.
7.4 Propiedades de la transformada z.
7.5 Inversión de la transformada z.
7.6 Análisis mediante transformadas de sistemas LTI.
7.7 Estructuras de programación para implementar sistemas en tiempo discreto.
7.8 La transformada z unilateral
7.1 Introducción.
Generalizamos la representación senoidal compleja de la DTFTCaracterización más amplia de sistemas y su interacción con señales
*señales no absolutamente sumables(ej. : respuesta impulso de un sistema inestable)
PropiedadesFunción de transferencia
Estudio de las características de sistemasObtención de estructuras de programación para implementar sistemas en tiempo discreto en computadoras
2
7.2 La transformada z.Ω= jerz
)()cos(][ nsenrjnrznx nnn Ω+Ω==
( ) ( ))()()(cos)(][
)()(][
)(][)(
:)(;::)(
][)()(][][][
][][][*][][][
)()(
)(
ΩΩΩ
Ω
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
−
∞
−∞=
+Ω++Ω=
==
==
=
=⇒=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
−===
∑
∑∑∑
∑
jnjnj
njnzjnzj
zj
k
k
n
nn
k
knn
k
k
k
kn
k
rensenrzHjrenrreHny
erezHzezHny
ezHzkhzH
ticocatacterísvalorzHticacatacterísfunciónzticacaracterísrelaciónzzHzH
zkhzHzzHzzkhzkhny
knxkhnxnhnxHny
φφ
φφ
φ
Figure 7.1 (p. 554)Real and imaginary parts of the signal zn.
3
7.2a cont.
[ ]
∫
∫∫
∫
∑∑
∑
−
Ω
Ω
−
ΩΩ
−
Ω
Ω
−
Ω−
Ω−
∞
−∞=
Ω−−∞
−∞=
−ΩΩ
Ω
∞
−∞=
−
=
=Ω=Ω=
Ω=Ω=
Ω=
⎯⎯ →←
==
=
=
dzzzHj
nh
rzdzjdjredz
derreHdereHrnh
dereHrnh
reHrnh
ernhrenhreH
rez
znhzH
n
j
njjnjjn
njjn
jDTFTn
n
njn
n
njj
jn
n
1)(2
1][
;
)()(21)(
2][
)(21][
)(][
][)(][)(
][)(
π
ππ
ππ
π
π
π
π
π
r
r
Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)
Periódica (k,Ω)
Discreta [n]
No periódica
(k,ω)
Continua (t)
No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo
[ ] tjk
k
ekXtx 0)( ω∑∞
−∞=
=
[ ] dtetxT
kX tjkT0
0)(1 ω−∫=
Tπω 20 =⇒x(t) periodo T
FS FT
DTFS DTFT
njk
Nnenx
NkX 0][1][ Ω−
=∑=
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑=
Nπ2
0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N
( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
( )ΩjeX tiene periodo 2π
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)(
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
4
7.2b cont.
ROCrnxnecesariacondición
rnxznx
zXnx
dzzzXj
nx
DTFTzXeXznxzX
r
n
n
nn
z
n
ezjr
n
nj
⎯→⎯⇒
=
⎯→←
=
=⎯→⎯=
∑
∫
∑
∞
−∞=
−
−−
−
=Ω=
∞
−∞=
−Ω
][
][][
)(][
)(2
1][
|)()(][)(
1
1
π
∏∏
=−
=−
−−
−−
−
−=
++++++
= N
k k
M
k kN
N
MM
zd
zcbzazazbzbbzX
11
11
01
1
110
)1(
)1(1
)(K
K
Figure 7.2 (p. 556)Illustration of a signal that has a z-transform, but does not have a DTFT. (a) An increasing exponential signal for which the DTFT does not exist. (b) The attenuating factor r–n
associated with the z-transform. (c) The modified signal x[n]r–n is absolutely summable, provided that r > α, and thus the z-transform of x[n] exists.
α=a
5
Ejemplo 7.2][][ nunx nα=Determine la transformada z de la señal :
Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) enel plano z
ααα
αα
−=
−=⇒>
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===
−
∞
=
∞
−∞=
−∞
−∞=
− ∑∑∑
zz
zzXz
zznuznxzX
n
n
n
nn
n
n
1
0
11)(
][][)(
α=a
Ejemplo 7.3]1[][ −−−= nunx nαDetermine la transformada z de la señal :
Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) enel plano z
ααα
αα
αα
−=
−−=⇒<
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−−−==
−
∞
=
∞
=
−
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
−
∑∑
∑∑∑
zz
zzXz
zzzX
nkz
znuznxzX
k
k
k
k
n
n
n
nn
n
n
1
01
1
111)(
1)(
]1[][)(
α=a
6
Problema 7.1][)2/1(]1[][ nununx n+−−−=Determine la transformada z de la señal :
Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) enel plano z
121,
)1(21
232
121)( <<
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
+−
= zzz
zz
zz
z
zzX
7.3 Propiedades de la región de convergenciaLa ROC se relaciona con las características de una señal z[n] en eldominio del tiempo, se utiliza para encontrar transformadas inversas.La ROC no pede contener ningún polo.
La ROC para una señal de duración finita incluye el plano z completo,excepto posiblemente z=0 y/oSupongamos que x[n] no es cero únicamente en el intervalo
La única señal cuya ROC es el plano z es :
∞=z
∑=
=
−=⇒≤≤2
1
][)(21
nn
nn
nznxzXnnn
][][ ncnx δ=
7
7.3 Propiedades de la región de convergenciaSeñales de duración infinita y acotadas
Señal lateral derecha : x[n]=0 para n< n1La ROC es de la forma |z|>r+
Señal lateral izquierda : x[n]=0 para n>n2La ROC es de la forma |z|<r-
Señal bilateralLa ROC es de la forma r+<|z|<r-
7.4 Propiedades de la transformada zy
zx
z RROCconzYnyRROCconzXnx )(][;)(][ ⎯→←⎯→←
LINEALIDAD
INVERSIÓN EN EL TIEMPO
CORRIMIENTO EN EL TIEMPO
MULTIPLICACIÓN POR SECUENCIA EXPONENCIAL
CONVOLUCIÓN
DIFERENCIACIÓN EN EL DOMINIO DE Z
I yxz RRmenosalROCconzYbzXanybnxa )()(][][ +⎯→←+
x
z
RROCcon
zXnx 11][ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎯→←−
∞==⎯→←− − ||,0),(][ 00 zzparateposiblemenexceptoRROCconzXznnx x
nz
xzn RROCconzXnx ||][ α
αα ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎯→←
I yxz RRmenosalROCconzYzXnynx )()(][*][ ⎯→←
xz RROCconzX
dzdznxn )(][ −⎯→←
8
Toda z1
ROCTransformadaSeñalTransformadas de z básicas (1)
∫ −= dzzzXj
nx n 1)(21][π
∑∞
−∞=
−=n
nznxzX ][][
111
−− z
][nδ][nu 1>z
][nunα
][nun nα
][)][cos( 1 nunΩ
][)]([ 1 nunsen Ω
111
−− zα
21
1
)1( −
−
− zzαα
α>z
α>z
1>z
1>z21
11
1
cos21cos1
−−
−
+Ω−Ω−
zzz
21
11
1
cos21 −−
−
+Ω−Ω
zzsenz
][)]cos([ 1 nunr n Ω
][)]([ 1 nunsenr n Ω
221
11
1
cos21cos1
−−
−
+Ω−Ω−
zrrzrz
221
11
1
cos21 −−
−
+Ω−Ω
zrrzsenrz
rz >
rz >
ROCTransformada bilateralSeñal
Transformadas bilaterales para señales que son distintasde cero para n<0
111
−− z
]1[ −−− nunα 111
−− zαα<z
]1[ −−nu
]1[ −−− nun nα 21
1
)1( −
−
− zzαα α<z
1<z
9
X(z)Y(z)no
X(z/α)vea abajo
aX(z)+bY(z)Y(z)X(z)
Transformada unilateral
X(z)Y(z)X(1/z)X(z/α)
aX(z)+bY(z)Y(z)X(z)
Transformada bilateral
x[n]*y[n]
|α|Rxαnx[n]1/ Rxx[-n]
ax[n]+by[n]
Rx excepto posibl.para |z|=0,inf.x[n-k]
Rx excepto posibl. En la suma o eliminación de z=0
nx[n]
Ryy[n]Rxx[n]
ROCSeñal
Propiedades de la transformada z
)(zXz k−
)(zXdzdz−
yx RRmenosal ∩
yx RRmenosal ∩
Propiedades de corrimiento en el tiempo de la transformada z unilateral
0,]1[]1[]0[][
0,]1[]1[][][1
11
>∀+−−−−−⎯→←−
>∀+−+++−+−⎯→←−−
−+−−
kzkxzxzxknx
kzxzkxkxknxkkz
kz
u
u
X(z)z
X(z)zk
k
L
L
)(zXdzdz−
7.5 Inversión de la transformada z7.5.1 EXPANSIONES EN FRACCIONES SIMPLES
imi
zni
imi
zni
ri
i
i
i
i
ii
kk
kznkk
kk
kznkk
N
k k
k
N
k k
MM
NN
MM
dzROCconzd
Anudm
mnnA
dzROCconzd
Anudm
mnnA
zdA
zdA
zdA
vecesrd
dzROCconzd
AnudA
dzROCconzd
AnudAzd
AzX
NMzd
zbzbbzazazbzbb
zBzAzX
<−
⎯→←−−−
−++−
>−
⎯→←−
−++−−−
⇒
<−
⎯→←−−−
>−
⎯→←−
=
<−
+++=
++++++
==
−
−
−−−
−
−=
−
=−
−−
−−
−−
∑
∏
||)1(
]1[)()!1(
)1()1(
||)1(
][)()!1(
)1()1()1(
,,)1(
,1
:
||1
]1[)(
||1
][)(;1
)(
,)1(1)(
)()(
1
1
1211
1
11
1
11
110
11
110
111
K
K
K
K
K
K
10
7.5a cont.∑∞
−∞=
−=n
nznxzX ][)(
La relación entre la ROC asociada con X(z) y cada polo determinasi la transformada inversa lateral derecha o la lateral izquierda seeligen para cada término.La propiedad de linealidad indica que la ROC de X(z) es la inter-sección de las ROC asociadas con los términos individuales en laexpansión en fracciones parciales.Comparamos la localización de cada polo con la ROC de X(z).
7.5b cont.7.5.2 EXPANSIONES EN SERIE DE POTENCIAS
∑∞
−∞=
−=n
nznxzX ][)(
ROC |z|>a señal lateral derecha
ROC |z|<a señal lateral izquierda
Método división larga: cuando X(z) sea un cociente de polinomios
∑∞
−∞=
−=n
nznxzX ][)(
∑∑∞
−∞=
−−∞
−∞=
==n
n
n
n znxznxzX )(][][)( 1
11
Problema 7.24
221;
123
3)(2
2
<<−+
−= z
zz
zzzX
Utilice el método de la expansión en fracciones simples para calcular la inversa de la siguiente transformada z :
]1[)2(2][21][
212
211
1)(
2,12123
1
21211
231
31
123
3)(
11
1121
1
2
2
−−−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
++
−
−=
=−=−=−
+=
++
−=
−+
−=
−+
−=
−−
−−−−
−
nununx
zzzX
BABABA
zB
z
A
zz
z
zz
zzzX
nn
Problema 7.28
21
2;
411
1)( >−
=−
zz
zX
Utilice la expansión en serie de potencias para calcular la inversade la siguiente transformada z :
imparnsinyparnsi
knnx
zknzzzzX
nk
k
n
n
k
kkn
k
kk
k
kk
k
k
,00,)2/1(
]2[21][
]2[21
21
41
41)(
2
0
0 0
22
0
22
0
2
0
2
>=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
∑
∑ ∑∑∑∑∞
=
∞
=
−∞
=
=∞
=
−∞
=
−∞
=
−
δ
δ
12
Problema 7.28b
21
2;
411
1)( >−
=−
zz
zX
Utilice el método de la expansión en fracciones simples para calcular la inversa de la siguiente transformada z :
imparnsinyparnsi
nunx
zzzXBA
ABBA
z
zABBA
z
B
z
A
zzX
nnn
,00,)2/1(
][21
21
21][
211
1
211
121)(
21
01
411
)(21)(
211
211
411
1)(
11
2
1
112
>=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
+=⇒==
=−=+
−
−++=
−+
+=
−=
−−
−
−
−−−
7.6 Análisis mediante transformadas de sistemas LTI
Examinaremos la relación entre función de transferencia y las Características entrada-salida de sistemas LTI en tiempo discreto.
)()()(;)()()(][*][][
zXzYzHzXzHzYnxnhny ==⇒=
* Relación entre la función de transferencia y la ecuación en diferencias
∑
∑∑∑
∑∑∑∑
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
==
==⇒=
=⎯→←−=−
N
k
kk
M
k
kkM
k
kk
N
k
kk
M
k
kk
N
k
kk
M
k
zk
N
kk
za
zb
zXzYzHzbzXzazY
zXzbzYzaknxbknya
0
0
00
0000
)()()()()(
)()(][][
Función de transferencia racional
13
7.6a cont.
)(][
~;)1(
)1(~)(
0000
:~;)1(
)1(~)(
11
11
110
110
0
0
11
11
0
0
zXnh
ab
bzdz
zczbzH
zenésimolordendeceroaaasizenésimopordendepolobbbsi
gananciadefactorabb
zd
zcb
za
zbzH
z
l
plN
k kl
pM
k kp
l
p
N
k k
M
k kN
k
kk
M
k
kk
⎯→←
=−
−=
⇒=−⇒=====−⇒====
=−
−==
∏∏
∏∏
∑
∑
−
=−−
−
=−−
−
−
=−
=−
=
−
=
−
L
L
Debemos conocer la ROC para calcular h[n].La ecuación en diferencias no brinda información de la ROC
Deberán conocerse otras características del sistema : la estabilidad ola causalidad
7.6b cont.•Relación de la función de transferencia y la descripción en variables de estado
[ ]dzzH
zXzHzXdzzYzXDzzY
zXzzzXzz
zXzzz
zQ
zQzQ
z
tq
tqtq
t
z
z
N
z
N
+−=
=+−=
+=⎯→←+=
−=
=−=−⎯→←+=+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎯→←
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+=+=+
−
−
−
bAIcbAIc
qccqbAIq
bqAIbqAqbAqq
qqcq
bAqq
1
1
1
2
1
2
1
)()()()()()()(
)()(~)(x[n]D[n]y[n])()()(~
)()(~)()()(~)(~x[n][n]1][n
)(
)()(
)(~
)(
)()(
)(;x[n]D[n]y[n]
x[n][n]1][nMM
La función de transferencia es invariante para una transformacióndel vector de estado del sistema.
14
7.6c cont.•Estabilidad y causalidad
derechaslateralesinversasastranformadnhzHnhnnh
z :][)(][00][
⇒⎯→←
<∀=⇒CAUSAL
7.6d cont.ESTABLEh[n] es absolutamente sumable y existe su DTFT.La ROC debe incluir el circulo de unitario en el plano zUn polo dentro del circulo unitario aporta a la respuesta al impulsoun término lateral derecho que decae exponencialmente.Un polo fuera del circulo unitario aporta a la respuesta al impulsoun término lateral izquierdo que decae exponencialmente.
15
7.6e cont.Sistemas ESTABLES Y CAUSALESDeben tener sus polos dentro del circulo unitario.Dichos polos aportan términos exponenciales decrecientes lateralesderecho o causales a la respuesta al impulso.
7.6f cont.•Sistemas inversos
0
0
11
11
0
01
11
11
~;)1(~
)1()(
1)(
1)()(][][*][)()()(][*][][
)()()(][*][][
abb
zcb
zd
zb
za
zHzH
zHzHnnhnhzYzHzXnynhnx
zXzHzYnxnhny
M
k k
N
k kM
k
kk
N
k
kk
=−
−===
=⇒=
=⇒=
=⇒=
∏∏
∑
∑
=−
=−
=
−
=
−
−
−−
−−
δ
Sistema de FASE MÍNIMA : todos sus ceros y polos están dentrodel circulo unitario, el sistema y suinverso son estables y causales.
16
7.7 Estructuras de programación paraimplementar sistemas en tiempo discreto
)(][)()()()(][
)( zYnyzXzHzYzXnx
zH zz ⎯→←⇒=⇒
⎯→←
Hay muchas implementaciones de diagramas de bloques diferentesque corresponden a un sistema con una característica entrada-salida.Elegir optimizando criterios asociados con el cálculo :
-Número operaciones,-Sensibilidad del sistema a los redondeos numéricos de los cálculos
En las representaciones mediante diagramas de bloques del Capitulo 2implementamos sistemas descritos por ecuaciones en diferencia Teníamos las operaciones :
Corrimiento en el tiempo, operador S (z-1 en transformadas z)Multiplicación por constanteSumas
Figure 2.33 (p. 162)Block diagram representation of a discrete-time LTI system
described by a second-order difference equation.
..]2[],1[0]2[]1[][]2[]1[][
]2[]1[][]2[]1[][][]2[]1[][]2[]1[][][
21021
21021
21
210
ICyynnxbnxbnxbnyanyany
nxbnxbnxbnyanyanynwnyanyany
nxbnxbnxbnw
−−⇒≥−+−+=−+−+−+−++−−−−=
+−−−−=−+−+=
Forma I directa
17
7.7a cont.
22
11
22
110
22
110
22
11
21021
1)()()(
))(()1)((
..0]2[]1[0]2[]1[][]2[]1[][
−−
−−
−−−−
++++
==
++=++
=−=−⇒≥−+−+=−+−+
zazazbzbb
zXzYzH
zbzbbzXzazazYzdatransformalaaplicando
nulasICyynnxbnxbnxbnyanyany
Forma directa I
7.7b cont.Para obtener la forma directa II :[ ] [ ]
[ ]
22
11
2
22
1101
1
2
21
2122
11
22
1102
21
1
22
110
11)(
)(
)()()()()()(
)()()()(
)()(1
11)(
)()(
−−
−−
−−−−
−−
−−
++=
++=
===
=++
++=++++
==
zazazH
zbzbbzH
zFzHzYzXzHzF
zXzHzHzY
zHzHzaza
zbzbbzazazbzbb
zXzYzH
Forma directa II
18
7.7c cont.
∏∏∏
∑
∑=
=−
=−
=
−
=
−
=−
−==
p
iiN
k k
M
k kN
k
kk
M
k
kk
zHzd
zcb
za
zbzH
11
11
1
0
0 )()1(
)1(~)(
Implementación en cascada
Implementación en paralelo
∑∏
∑
∑
∑=
=−
=
−
=
−
=
−
=−
==p
iiN
k k
M
k
kk
N
k
kk
M
k
kk
zHzd
zba
za
zbzH
11
100
0
0 )()1(
1
)(
Las Hi(z) contienen subconjuntos distintos de ceros y polos de H(z).Los Hi(z) son de primero o segundo orden.
Cada Hi(z) contiene un conjunto distinto de los polos de H(z), unoo dos polos.
Problema 7.39
)()(
411
2
411213
][
211
1
21
1
21
1
211
2][
][21][
2][
2][
212][
2122
1
1111
zHzHzz
zzH
zzjzjzzH
nunujnujnunhnnnn
+=+
+−
+=
++
++
−+
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−
−
−−−−
Dado el sistema definido por la ecuación en diferencias, dibuje una implementación de diagrama de bloques como una combinación en paralelo de secciones de segundo orden con coeficientes de valores reales.
19
Problema 7.39a
22
2
1
1
411
2)(;
411213
)(−−
−
+=
−
+=
zzH
z
zzH
7.8 La transformada z unilateral.
)(][
0,][;][)(0
zXnx
nnxdesolodependeznxzX
uzn
n
⎯→←
≥∀=∑∞
=
−
Apropiada en problemas que incluyan señales y sistema causalesNo necesitamos usar ROC.Permite estudiar sistemas descritos por ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales no nulas.Para señales causales coinciden las transformadas z bilateral yunilateral.Satisface las mismas propiedades que la transformada z bilateralexcepto la propiedad de corrimiento.
20
7.8a cont.Propiedad de corrimiento
0,]1[]1[]0[][
0,]1[]1[][][
]1[]1[
)(][
)(]1[][]1[][]1[
]1[]1[]1[][)(
][)(;]1[][
1
11
1
0
1
0
)1(
1
100
0
>∀+−−−−−⎯→←−
>∀+−+++−+−⎯→←−
+−⎯→←−
⎯→←
+−=+−=+−=
=−+−=−==
=−=
−
−+−−
−
−∞
=
−−∞
=
+−
−=∞
=
−∞
=
−∞
=
−
∞
=
−
∑∑
∑∑∑
∑
kzkxzxzxknx
kzxzkxkxknx
xnx
zXnx
zXzxzmxzxzmxx
znxxznxznwzW
znxzXnxnw
kkz
kz
z
zm
m
m
m
nm
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
X(z)z
X(z)z
X(z)z
k
k
1
L
L
7.8b cont.Solución de ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales
Las condiciones iniciales se incorporan como una propiedad decorrimiento en el tiempo.
)()()()()(
)()()(
][)(
)(;)(
)()()()()(][][
][,],2[],1[][
0,]1[]1[][][
)()(
1
0 1
00
00
11
zYzYzAzCzX
zAzBzY
zmkyazC
zbZBzazA
zXzBzCzYzAknxbknya
NyyyinicialesscondicioneNX(z)zknxcausalsistema
kzxzkxkxknx
nf
N
m
mN
mkk
M
k
kk
N
k
kk
M
k
zk
N
kk
kz
kz
u
u
+=−=
+−=
==
=+⎯→←−=−
−−−⇒⎯→←−⇒
>∀+−+++−+−⎯→←−
∑ ∑
∑∑
∑∑
−
=
−
+=
=
−
=
−
==
−
−+−−
L
L X(z)z k
21
Ejemplo 7.23_1
Suponemos que abrimos una cuenta bancaria con 10.000 €El banco nos da un interés compuesto mensual “r” es del 6 %A partir del primer mes del segundo año sacamos 100 € mensualesDeterminar el balance al final de cada mesCalcula cuantos meses tienen que transcurrir para que dicho balancese haga cero.Sea :ρ=1+r/100=1+(6/12)/100=1,005x[n] ingreso/adeudo mensualy[n] balance después del ingreso/adeudo mensual
y[-1]=10.000 € condición inicialHay un retardo de 2 entre el índice temporal “n” y el índice del mesy[n] representa el balance de la cuenta al principio del mes ”n+2”El primer adeudo de 100 € lo realizaremos al principio del mes 13
(n=11)
Ejemplo 7.23_1a
[ ]
][)005,1(050.10]11[)005,1(000.20]11[000.20][005,11050.10
005,11000.20
1000.20)(
)()(005,11
)000.10(005.1)005,11)(1(
100)(
1100)(]11[100][
1]1[
1)()(
]1[)()()1()()(]1[)(
][]1[][
11
11
11
1
11
)()(111
11
1
11
11
1
1
nunununyzz
zz
zzY
zYzYzzz
zzY
zzzXnunx
zy
zzXzY
yzXzYzzXzYzyzY
nxnyny
nn
nf
z
+−−−=
−+
−−
−=
+=−
+−−
−=
−−
=⎯→←−−=
−−
+−
=
−+=−
=+−−
=−−
−
−−
−
−
−
−−−
−
−
−
−−
−
−
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
El balance se hace cero al sacar dinero al principio del mes 163
22
Figure 7.30a (p. 601)Solution to Example 7.23_1, depicted as a function of the
month. (a) Account balance at the start of each month following possible withdrawal.
Figure 7.30b (p. 601)(b) Natural response.
23
Figure 7.30c (p. 602)Forced response.
Ejemplo 7.23_2
Suponemos que abrimos una cuenta bancaria con 10.000 €El banco nos da un interés compuesto mensual “r” es del 6 %A partir del primer mes del segundo año sacamos 100 € mensualesDeterminar el balance al final de cada mesCalcula cuantos meses tienen que transcurrir para que dicho balancese haga cero.Sea :ρ=1+r/100=1+(6/12)/100=1.005x[n] ingreso/adeudo mensualy[n] balance después del ingreso/adeudo mensual
mes=1 , n=0 , y[0]=10.000 €Hay un retardo de 1 entre el índice temporal “n” y el índice del mesy[n] representa el balance de la cuenta en el mes ”n+1”El primer adeudo de 100 € lo realizaremos en el mes 13 (n=12)
24
Ejemplo 7.23_2a
]12[)005.1(000,20]12[000,20][)005,1(000.10][005,11
000.201000.20
005,11000.10)(
)005,11)(1(100
005,11000.10)(
1100000.10)(]12[100][000.10][
1)()(
)()()1()()()(
][]1[][
12
1
12
1
12
1
11
12
1
1
12
1
1
1
−−−+=
−−
−+
−=
=−−
−−
=
−−=⎯→←−−=
−=
=−
=−
=−−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
nunununyz
zz
zz
zY
zzz
zzY
zzzXnunnx
zzXzY
zXzYzzXzYzzY
nxnyny
nn
zδ
ρ
ρ
ρ
ρ
El balance se hace cero al sacar dinero el mes 163
Problema 7.17
25
Problema 7.20
Problema 7.21
26
Problema 7.24
Problema 7.29
27
Problema 7.31
Problema 7.31
28
Problema 7.32
Problema 7.38
29
Problema 7.39
Problema 7.41
30
Problema 7.42
Problema 7.42