capitulo 4-Optimizacion

MATEMTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 4: OPTIMIZACIN 81

CAPITULO 4: OPTIMIZACIN Optimizacin es el proceso de hallar el mximo o mnimo relativo de una funcin, generalmente sin la ayuda de grficos. 4.1 Conceptos claves A continuacin se describir brevemente algunos conceptos necesarios para comprender apropiadamente el tema de optimizacin. 4.1.1 Funciones crecientes y decrecientes Se dice que una funcin f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el grfico de la funcin crece (cae) al moverse de izquierda a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de una funcin, una primera derivada positiva en x=a indica que la funcin es creciente a; una primera derivada negativa indica que es decreciente.

Grfico 4-1

Funcin creciente en x = a

(Pendiente >0) Funcin decreciente en x = a

(Pendiente 0: funcin creciente en x = a f(a) < 0: funcin decreciente en x= a

4.1.2 Concavidad y convexidad Una funcin f (x) es cncava en x = a, si en alguna pequea regin cercana al punto [a, f(a)] el grfico de la funcin se ubica completamente debajo de su lnea tangente. Una funcin es convexa en x = a, si en un rea cercana a [a, f(a)] el grfico esta complemente arriba de su lnea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a

x

y

a

y

x a



denota que la funcin es convexa en x = a. Anlogamente, una segunda derivada negativa en x = a denota que la funcin es cncava en a. Grfico 4-2

Convexo en x=a f(a) > 0 f(a) > 0 f(a) < 0 f(a) > 0

Cncavo en x=a f(a) > 0 f(a) < 0 f(a) < 0 f(a) < 0

f(a) > 0: f(x) es convexo en x = a f(a) < 0: f(x) es cncavo en x = a

4.1.3 Extremo relativo Un extremo relativo es un punto en el cual una funcin esta a un mximo o mnimo. Para ello, la funcin debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un punto en el dominio de una funcin donde la derivada iguala a cero o es indefinida es llamado punto o valor critico.

y

x

a

x

y

a

x

y

a x

a

y



a a a

x

y y

x a

Grfico 4-3

Mnimo relativo en x=a Mximo relativo en x=a f(a) = 0 f(a) > 0 f(a) = 0 f(a) < 0

4.1.4 Puntos de inflexin Un punto de inflexin es un punto en el grafico donde la funcin cruza su lnea tangente y cambia de cncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexin pueden ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f(a)=0.

Grfico 4-4

f(a)=0

f(a) = 0 f(a) = 0 f(a) < 0 f(a) > 0

f(a) = Nd

f(a) > 0 f(a) < 0 f(a) = 0

y

x

y

x

a x

y y

x

a

y

x

y

x

y

x


4.2 Optimizacin sin restriccin 4.2.1 Funciones objetivo de una variable Sea la funcin: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) mximo(s) o mnimo(s) relativo(s) sern: 1. Identificar los puntos crticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, dy 0dx = 2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos crticos, y revisar los signos. Esta

condicin es llamada condicin suficiente. Si un punto critico es a, entonces:

f(a) < 0, la funcin es cncava en a, por ende un mximo relativo f(a) > 0, la funcin es convexa en a, por ende un mnimo relativo f(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las derivadas

sucesivas:

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se evala un punto critico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la funcin es un punto de inflexin.

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,

cuando es evaluado en un punto crtico es una derivada de grado par, entonces la funcin es un extremo relativo en a. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la funcin es cncava en a (y por ende, es un mximo relativo). Caso contrario, la funcin es convexa y presenta un mnimo relativo en a.

Ejercicio 76: Obtener el extremo relativo de la siguiente funcin:

f(x) = -7x2 + 126x - 23 Solucin. Calculando la primera derivada e igualndola a 0:

f(x)=-14x + 126 = 0 x = 9 (valor critico)



Tomando la segunda derivada y evaluando el valor critico:

f(x) = -14, entonces f(9) = -14 < 0 es cncavo, mximo relativo. Ejercicio 77: Obtener el extremo relativo de la siguiente funcin:

f (x) = 2x4 16x3 + 32x2 + 5 Solucin. Calculando la primera derivada e igualndola a 0:

f(x) = 8x3 48x2 + 64x = 0 f(x) = 8x( x 2 ) ( x 4) = 0

x=0, x=2, x=4 (puntos crticos)

Tomando la segunda derivada y evaluando los puntos crticos:

f(x) =24x2 - 96x +64 f(0) =24(0)2 96(0) +64 = 64 >0 convexo, mnimo relativo f(2) =24(2)2 96(2) +64 = -32 0 convexo, mnimo relativo Ejerci 78: Obtener el extremo relativo de la siguiente funcin:

f(x) = - ( x - 8 )4 Solucin. Calculando la primera derivada e igualndola a 0:

f(x) = -4( x - 8 )3 = 0 x=8 (punto critico) Tomando la segunda derivada y evaluando el punto crtico:

f(x) = -12( x - 8 )2

f(8) = -12( 8 - 8 )2 = 0 Se requiere el test de derivadas sucesivas.

f (x) = -24( x - 8 )

f (8) = -24( 8 - 8 ) = 0 test inconcluso



f (x) = -24 f (8) = -24

0 (convexo) PT = 180 6 K = 0 K = 30 K > 30 PT < 0 (cncavo)

Puesto que K = 30, PT = 0, hay un punto de inflexin en K=3 b) Pmek = PTK = 90K K2

Pmek = 90 2K = 0 K=45 (valor critico) Pmek = -2 < 0 (cncavo, mximo relativo) c) PMgk= PT = 180K - 3K2 PMgk = 180 6K = 0 K=30 (valor crtico)



PMgk = 6


2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el punto critico (a,b) para un mximo relativo y positivas para un mnimo relativo. Ello asegura que la funcin es cncava y movindose hacia abajo en relacin a los ejes principales en el caso de un mximo relativo y la funcin es convexo y movindose hacia arriba en relacin a los ejes principales en el caso de un mnimo relativo.

3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto

crtico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas tambin evaluadas en dicho punto. Esta condicin adicional es necesaria para evitar un punto de inflexin o punto de silla (ver grfico 4-6). En resumen:

Condicin necesaria Mximo Mnimo Primer orden fx = fy = 0 fx = fy = 0 Segundo orden* fxx , fyy < 0 y fxx , fyy > (fxy)2 fxx , fyy > 0 y fxx , fyy < (fxy)2 Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto critico (a,b) o los puntos crticos que hubieren.

En la situacin que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la funcin esta en un punto de inflexin. Caso contrario, la funcin estar en un punto de silla. Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requerira mayor informacin.

Grfico 4-6

xy

Mnimo Mximo

y x

z

z



Punto de Silla

z

y

x

Ejercicio 80: En la siguiente funcin encontrar los puntos crticos y determinar si stos son mximos o mnimos relativos, puntos de inflexin o puntos de silla:

f(x, y) = 3x3 5y2 225x + 70y + 23 Solucin. Calculando la primera derivada e igualndola a 0:

fx = 9x2 225 = 0 fy = -10y + 70 = 0

Resulta: x = 5, y 7= . Entonces los puntos crticos sern: (5,7) y (5,-7) Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)

fxx = 18 x

fyy = -10

fxy = fyx = 0

Evaluando el punto crtico (5,7):

fxx ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90 fyy ( 5, 7 ) = -10

Cumple fxx ( 5, 7 ). fyy ( 5, 7 ) > [ fxy(5,7) ]2 ?

90. (-10) < [ 0 ]2 (no cumple!)

Entonces este punto crtico no es ni mximo ni mnimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en este punto crtico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto de silla.



Evaluando el punto crtico (-5,7) fxx ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90

fyy ( -5, 7 ) = -10

Cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 ?

-90. (-10) > 0 (Si cumple!)

Dado que se cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 y adems, fxx, fyy < 0 entonces el punto en anlisis es un mximo. Ejercicio 81: En la siguiente funcin encontrar los puntos crticos y determinar si stos son mximos o mnimos relativos, puntos de inflexin o puntos de silla:

f (x,y) = 3x3 +1.5y2 18xy +17 Solucin. Calculando la primera derivada e igualndola a 0 (condicin de primer orden):

fx= 9x2 18y = 0 y= x2 fy= 3y 18x = 0 y = 6x

Donde x = 0, x = 12, y = 0, y = 72. As, los puntos crticos son: (0,0) y (12,72) Calculando las segundas derivadas:

fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18 Evaluando el punto crtico (0,0) fxx = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0

fyy = ( 0, 0 ) = 3

Cumple que fxx ( 0, 0 ). fyy ( 0, 0 ) > [ fxy(0,0) ]2 ?

0.3 < ( -18 )2 (No cumple)

Entonces este punto crtico no es ni mximo ni mnimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en este punto crtico) tienen signos iguales entonces es un punto de inflexin. Evaluando el punto crtico (12,72)




fxx = ( 12, 72 ) = 18 (12) = 216 fyy = ( 12, 72 ) = 3 Cumple que fxx( 12, 72 ).fyy( 12, 72 ) > [ fxy(12,72) ]2 ?

216.3 > ( -18 )2 (Si cumple!)

Dado que se cumple fxx ( 12, 72 ). fyy ( 12, 72 ) > [ fxy (12,72) ]2 y adems, fxx , fyy > 0 entonces el punto en anlisis es un mnimo relativo. 4.2.3 Funciones objetivo con ms de dos variables Considerando una funcin de tres variables z = f ( x1, x2, x3 ) cuyas derivadas parciales primeras son f1, f2 y f3 y las derivadas parciales segundas fij ( 2z / xixj ) ; con i, j=1, 2, 3. Conforme al teorema de Young se sabe que fij = fji .Como en los casos anteriores, para tener un mximo o un mnimo de z es necesario que dz = 0 para valores arbitrarios de dx1, dx2 y dx3, no todos nulos. Ya que el valor de dz es ahora dz = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3. Ya que dx1, dx2 y dx3 son no nulos, la nica forma de garantizar que dz = 0 es f1 = f2 = f3 = 0. En otras palabras, lo mismo que en el caso de dos variables. Generalizando para 3 o ms variables, el test de determinante para un extremo relativo en este caso ser: Condicin necesaria Mximo Mnimo

Primer orden f1 = f2 = f3 = .. = fn = 0 f1 = f2 = .. = fn = 0 Segundo orden* H1 < 0; H2 > 0; H3 < 0;..;(-1)n Hn > 0 H1, H2,..,Hn>0

Donde nH es el determinante de la matriz Hessiana (simtrica). Hessiano (simtrico) Es simplemente una matriz conformada por derivadas de segundo grado. Esta matriz es utilizada para testear mximos o mnimos en funciones con n variables. En general, el hessiano ser:

H1 = f11

11 122 21 22f fH f f=

11 12 13

3 21 22 231 32 33

f f fH f f f

f f f= 3

11 12 1n21 22 2n

n1 n2 nn

f f ... ff f ... fH . . ... .f f ... f

=

Donde los Menores sern

Y as sucesivamente.



Para el caso de una matriz hessiana del orden 3 x 3, los menores pueden denotarse como:

H1 = f11 11 12

2 21 22f fH f f=

11 12 1321 22 2331 32 33

f f fH f f f

f f f=

H3 = H Ejercicio 82: Hallar los valores extremos de

z = - x13 + 3x1 x3 + 2x2 - x22 - 3x32 Solucin. Las derivadas parciales son:

f1 = - 3x12 + 3x3 f2 = 2 - 2x2 f3 = 3x1 - 6x3 Ahora, haciendo f1 = f2 = f3 = 0, los puntos crticos sern: (0, 1, 0) y (0.5, 1, 0.25). Reemplazando tales puntos en la funcin original z, se tiene que z 1= , y z 17 16= , respectivamente. Las derivadas parciales de segundo orden dispuesta ordenadamente en el hessiano:

16x 0 3H 0 2 0

3 0

=

6

1. Usando (0, 1, 0), el hessiano es:

H1 = 0 H2 = 0

0 0 3H 0 2 0

3 0 6=

H3 = 18 No concuerda con ninguna de las dos test. Entonces es necesaria mayor informacin.

2. Usando (1/2, 1, 1/4) el hessiano es:


H1 = -3 H2 = 6

3 0 3H 0 2 0

3 0 6

=

H3 = -18 Cumple el test, entonces, el punto z 17 16= es mximo. Ejercicio 83: Utilizar el criterio del Hessiano con el ejercicio 81. Solucin. En el ejemplo 81 se obtuvieron los puntos crticos (0, 0) y (12, 72), ahora analizaremos la segunda derivada con el criterio del Hessiano. Las segundas derivadas: fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18 El hessiano ser:

xx xyyx yyf fH f f=

18x 18H 18 3=

1. Evaluando el hessiano para el punto (0,0):

H1 = 18(0) = 0 18(0) 18H 18 3

= H2 = 18(0) x 3 (-18) (-18)= -324

Puesto que H1 = 0 y H2 < 0 entonces el punto no es mximo ni mnimo. Es un punto de silla o de inflexin (revisar los criterios).

2. Evaluando el hessiano en el punto (12,72):

H1 = 18(12) = 216 18(12) 18H 18 3=

H2 = 18(12) x 3 (-18) (-18)= 324

Dado que H1 > 0 y H2 > 0, el punto es un mnimo. Cuando se utiliza el criterio del hessiano para funciones de dos variables es necesario resaltar lo siguiente:




La matriz hessiana ser de orden 2:

xx xyyx yyf fH f f=

Para el caso de un mximo, el hessiano requiere inicialmente que:

H1 < 0, o lo que es igual

fxx < 0 (i)

Adems, se requiere que 2H > 0 , o lo que es igual:

fxx fyy - fyx fxy > 0 (ii)

Recordando que fxy = fyx, tal expresin puede quedar como:

fxx fyy > (fxy)2 (iii)

Dado que fxx < 0, para que la expresin (iii) sea vlida, es necesario que:

Entonces, para que el punto critico sea un mximo se requiere que se cumpla (i), (iii) y (iv), condiciones de suficiencia conforme a la seccin 4.2.2. Note que la multiplicacin de las segundas derivadas parciales debe ser positiva (fxx fyy > 0) ya que cada segunda derivada debe ser negativa. Para el caso de un mnimo, el lector puede fcilmente demostrar que las condiciones sealadas en el punto 4.2.2 igualmente coinciden con el criterio del hessiano (simtrico). Por qu?. En realidad, el hessiano (simtrico) es el caso general para optimizacin funciones de cualquier orden. 4.3 Optimizacin con restriccin 4.3.1 Funciones con igualdades Se plantea un nuevo problema, el de optimizar una funcin sujeta a una restriccin de igualdad:

fyy < 0 (iv)



Maximizar f (x1, x2) Sujeto a g(x1, x2) = k (una constante),

Para encontrar la solucin a este nuevo tipo de problema, se debe formar una nueva funcin F que debe ser formada por (1) estableciendo la restriccin igual a cero, (2) multiplicndolo por (el multiplicador de Lagrange) y (3) sumando el producto a la funcin original:

F(x1, x2, ) = f(x1, x2) + [ k - g(x1, x2)]

Aqu, F(x1, x2, ) es llamada la funcin Lagrangiana, f(x1, x2) es la funcin objetivo u original, y g(x1, x2) es la restriccin. Puesto que la restriccin es siempre igual a cero, el producto [ k - g(x1, x2)] tambin es igual a cero y la suma de tal trmino no cambia el valor de la funcin objetivo. Los valores crticos x0, y0 y

0 (para los cuales la funcin

es optimizada) son obtenidos tomando las derivadas parciales de F (con respecto a cada una de las tres variables independientes) e igualndolas a cero. Es decir, simultneamente:

F1(x1, x2, ) = 0 F2(x1, x2, ) = 0 F (x1, x2, ) = 0

Donde F1 expresa una derivada parcial F/ x1 Ejemplo: Considere el siguiente problema con tres variables de decisin (x, y, z), donde la ecuacin G(.) = c (es una constante) y determina un conjunto de restricciones para (x, y, z), en el espacio, el cul es una superficie y lo denotaremos por SG. El problema es determinar el valor ms grande de la funcin V (x1, y, z ) para puntos (x, y, z) sobre la superficie SG.

Maximizar V ( x, y, z ) Sujeto a G ( x, y, z ) = c (1) Solucin: Paso 1: formar el lagrangiano.

L = V (x, y, z ) [G (x, y, z ) c] (2)


Paso 2: Por las condiciones de primer orden tomar las derivadas parciales.

Lx = Ly = Lz = 0 (3) Paso 3: La solucin a este problema es mostrado en la grfico (4-7) por el punto P* = ( x*, y*, z* ) sobre la superficie SG donde la funcin objetivo V (x1, y, z ) consigue ser mximo. Considere tambin que el volumen V (.) pasa por P* y es tangente a la superficie de restriccin SG.

Grfico (4-7) x P z

GS

y

=V V(x ,y ,z )

Ejercicio 84: Considerar el siguiente ejemplo:

Maximizar 2x 3y + z Sujeto a x2 + y2 + z2 = 9

Solucin. Paso 1: formamos el lagrangiano para este problema

L = 2x 3y + z - (x2 + y2 + z2 - 9)

Paso 2: Por las condiciones necesarias de primer orden




Lx = 2 - 2 x = 0

(1)

Ly = -3 - 2 y = 0

(2)

Lz = 1 - 2 z = 0

(3)

L = - x2 - y2 - z2 + 9 (4)

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones: De la ecuacin (1) y (2)

2 - 2 x = 0 = 1/x -3 - 2 y = 0 = -3/2y Igualando se obtiene: y = - 3x/2 (en funcin de x) (a) De la ecuacin (1) y (3)

2 - 2 x = 0 = 1/x 1 - 2 z = 0 = 1/2z Igualando se obtiene: z = x/2 (en funcin de x) (b) Luego reemplazamos (a) y (b) en la restriccin

2 22 3x xx 02 2

+ + = x 3 2= 7 Resulta en dos soluciones:

x1 = 3 2 7 = 1.6 y1 = -9 / 14 = -2.41 z1 = 3 / 14 = -0.8 x2 = 3 2 7 = -1.6 y2 = 9 / 14 = 2.41 z2 = -3 / 14 = -0.8 Notamos sin embargo que:

V (x1, y1, z1)= 42/ 14 = 11.22 V (x2, y2, z2)= -42/ 14 = -11.22



Por lo tanto, el punto mximo es ( x1, y1, z1 ) y el punto mnimo es ( x2, y2, z2 ). El problema y la solucin son retratados en la siguiente grfico (4-8).

Grfico (4-8) V* 11.22 2x 3y z= = + 2 2 2x y z 9+ + = 1 1 1(x ,y ,z ) (1.6, 2.4,0.8)= Ejercicio 85: Considere una economa de recurso basada en que cada obreros (L) puede optar por cosechar rboles madereros (T) o pescar (F). Suponga que la economa exporta tanta madera como peces y se enfrentan a precios mundiales constantes significados PT y PF respectivamente. La siguiente curva de transformacin son combinaciones tcnicamente eficientes de madera, peces y trabajo

G( T, F, L ) = T2 + F2 / 4 L = 0

Suponga que PT = $ 500 / TM, PF = $ 1000 / TM y L = 1700 es el nmero de las horas disponibles asignados entre cosechar rboles madereros o pescar. Resolver el problema de optimizacin esttico que trata de maximizar el valor de la cosecha sujeto a la funcin de transformacin.

z

y

x

11

4

6

3

3

3


Solucin. Paso1: Formamos el problema de maximizacin. Maximizar V = 500T + 1000F Sujeto a T2 + F2 / 4 = 1700 Paso 2: Formamos el lagrangiano.

L = 500T +1000F - ( T2 + F2 / 4 - 1700 ) Paso 3: Por las condiciones de primer orden

LT = 500 2 T = 0

(1)

LF = 1000 0.5 F = 0

(2)

L = -T2 + F2 / 4 - 1700 (3)

Paso 4: Resolvemos el sistema de ecuaciones -De la ecuacin (1)

500 2 T = 0 = 250/T (a) -De la ecuacin (2)

1000 2 F = 0 = 2000/F (b) - Igualamos (a) y (b) y obtenemos F en funcin de T.

= =250 2000T F F = 8T

(c)

Luego reemplazamos (c) en la restriccin (3). ( )22 8TT 17004+ =




Las soluciones son:

T = 10 F = 80 = 25

Por lo tanto, la economa debe asignar la fuerza de trabajo disponible para producir 10 toneladas mtricas de madera y 80 toneladas mtricas de peces. El valor marginal (precio sombra) de una unidad adicional de trabajo es $25/horas. Hessiano Orlado Ahora, para determinar si los valores crticos corresponden a un mximo o mnimo, es necesario utilizar el criterio del Hessiano Orlado. Este tipo de hessiano se aplica para el caso de optimizacin de funciones con restricciones. En general, cuando la funcin objetivo toma la forma de F = F ( x1, x2,. Xn) sujeta a g( x1, x2,. Xn) = k, el Hessiano Orlado ser de la forma siguiente:

1 2

2 1 11 122 21 22

0 g gH g F F

g F F

2

1 2 n1 11 12 1n

21 22 2n

n n1 n2 nn

0 g g ... gg F F ... Fg F F ... FH... ... ... ... ...g F F ... F

= 1 2 31 11 12 13

3 2 21 22 233 31 32 33

0 g g gg F F FH g F F Fg F F F

Condicin necesaria Mximo Mnimo

Primer orden F = F1 = F2 = .. = Fn = 0

F = F1 = .. = Fn = 0 Segundo orden 2H 0> ; 3H 0< ; 4H 0> ;..; n n( 1) H 0 > 2 3 nH , H ,..., H 0

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