Capítulo 3: El anillo de los números enteros

Capıtulo 3: El anillo de los numeros enteros

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Noviembre de 2014

Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2014 1 / 52

Contenido

1 Introduccion

2 Divisibilidad

3 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout

4 Congruencias

5 El anillo Z/Zm

6 Los teoremas de Fermat y de Euler


Introduccion

El conjunto de los enteros

¿Que entendemos por numeros enteros?

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}

¿Que podemos hacer con dos numeros enteros?Sumarlos a + b

Multiplicarlos a · bOrdenarlos a ≥ b


Introduccion

La suma de numeros enteros

Propiedades de la suma de enteros:

Es una operacion interna, la suma de dos enteros es un numero entero.Existe un elemento neutro, el 0, tal que a + 0 = 0 + a = a.

Cada entero a tiene un opuesto −a tal que a + (−a) = 0.Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c .

Propiedad conmutativa: a + b = b + a.


Introduccion

El producto de numeros enteros

Propiedades del producto de enteros:

Es una operacion interna, el producto de dos enteros es un numeroentero.

Existe un elemento neutro, el 1, tal que a · 1 = 1 · a = a.Propiedad asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c .

Propiedad conmutativa: a · b = b · a.Propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c .

Si a · b = 0 entonces a = 0 o b = 0.Propiedad cancelativa: Si a es un entero no nulo y a · b = a · c entonces

b = c .


Introduccion Anillos y cuerpos

Anillos

Definicion (Anillos)

Un anillo es una terna (A,+, ·) formada por un conjunto A y dosoperaciones internas y binarias, + y ·, verificandose:

1 El par (A,+) es un grupo abeliano.2 Para todo x , y , z ∈ A se verifica

1 (xy)z = x(yz) (Propiedad asociativa).2 x(y + z) = xy + xz (Propiedad distributiva a izquierda).3 (x + y)z = xz + yz (Propiedad distributiva a derecha).

En general se usara la expresion “sea A un anillo” sobreentendiendo lasdos operaciones.



Anillos

Definicion (Anillo conmutativo)

Si se verifica la propiedad conmutativa para el producto,

Para todo x , y ∈ A, es xy = yx ,

se dice que el anillo es conmutativo o abeliano.

Definicion (Anillo unitario)

Si existe un elemento neutro para el producto,

Existe un elemento 1 ∈ A tal que 1x = x1 = x , ∀x ∈ A,

se dice que el anillo es unitario o que tiene elemento unidad.



Ejemplos

1 Los conjuntos de numeros Z, Q, R y C son anillos conmutativos yunitarios. La estructura de anillo de Z viene determinada por suestructura de grupo, puesto que el producto de dos enteros xy es lasuma del numero y x veces. Esto no ocurre para Q, R y C,obviamente.

2 El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillocon respecto a la suma y al producto de matrices. Este anillo no esconmutativo pero sı es unitario.

3 Si A es un anillo conmutativo y unitario, el conjunto A[x1, . . . , xn] delos polinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es tambienun anillo conmutativo y unitario.



Unidad y Cuerpo

Definicion (Unidad)

Sea A un anillo unitario, un elemento de A se dice que es una unidad siposee un inverso multiplicativo. Es decir,

x ∈ A es una unidad si ∃y ∈ A tal que xy = yx = 1.

En este caso se escribe y = x−1.

Teorema (El grupo de las unidades)

Sea A un anillo unitario y sea A∗ el conjunto de las unidades de A.Entonces A∗, ·) es un grupo.

Definicion (Cuerpo)

Un cuerpo es un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento nonulo es una unidad.



Divisor de cero y Dominio de integridad

Definicion (Divisor de cero)

Sea A un anillo conmutativo, un elemento x ∈ A distinto de cero se dicedivisor de cero si existe y ∈ A no nulo tal que xy = 0.

Definicion (Dominio de integridad)

Un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero se dice dominio deintegridad.



Propiedad cancelativa

Teorema (Dominio de integridad y propiedad cancelativa)

Sea A un anillo conmutativo y unitario, son equivalentes:

1 A es dominio de integridad.

2 El anillo A satisface la propiedad cancelativa. Es decir,

xy = xz ⇒ y = z para cualesquiera x , y , z ∈ A con x 6= 0.


Introduccion

El orden de los numeros enteros

Propiedades del orden de enteros:

Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .

Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.

Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.

Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .

Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .


Divisibilidad

Divisibilidad

Si a y b son enteros, ¿Que significa “a divide a b”?

Definicion (Divisibilidad)

Sean a y b dos enteros. Se dira que a divide a b si existe un entero c talque a · c = b. En este caso se escribe a|b.


Divisibilidad

Unidades

¿Hay numeros enteros que dividan a todos los demas?

Sı, el 1 y el −1.¡Las unidades de Z!

¿Hay alguno mas?

No, ¿sabes demostrarlo?


Divisibilidad

Division euclıdea

¿Como se dividen dos numeros enteros, por ejemplo 117586 entre 1532?

Entonces 117586 = 76 · 1532 + 1154.

Teorema (Division euclıdea)

Sean a y b enteros, b 6= 0. Existen unos unicos enteros q y r tales que:

1. a = q · b + r .

2. 0 ≤ r < |b|.Al entero q se le llama cociente y a r resto de la division.


Divisibilidad

Numero primo

¿Que es un numero primo?

Definicion (Numero primo)

Un entero p distinto de 0, 1 y −1 se llama primo si y solo si es divisibleunicamente por p, −p, 1 y −1.


Divisibilidad

Maximo comun divisor

¿Que es el maximo comun divisor de dos enteros?

Definicion (Maximo comun divisor)

Dados dos enteros a y b, diremos que d es un maximo comun divisor dea y b, y lo denotaremos por d = mcd(a, b), si se verifican las siguientespropiedades:

1. d |a y d |b.

2. Si d ′ es un entero tal que d ′|a y d ′|b entonces d ′|dSi 1 es un maximo comun divisor de a y b, se dice que a y b son primosentre sı.


Divisibilidad

Maximo comun divisor. Propiedades

Observacion (Nota 3.2.5)

El maximo comun divisor de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.

Proposicion (3.2.6)

Se verifican las siguientes propiedades:

1. mcd(a, b) = b ⇔ b|a.

2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a,−b) = mcd(−a,−b).

3. mcd(a, b) = mcd(b, a).


Divisibilidad

Mınimo comun multiplo

¿Que es el mınimo comun multiplo de dos enteros?

Definicion (Mınimo comun multiplo)

Dados dos enteros a y b, diremos que un entero m es un mınimo comunmultiplo de a y b, y lo denotaremos por m = mcm(a, b), si se verificanlas siguientes propiedades:

1. a|m y b|m.

2. Si m′ es un entero tal que a|m′ y b|m′ entonces m|m′


Divisibilidad

Mınimo comun multiplo. Propiedades


El mınimo comun multiplo de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.

Proposicion (3.2.8)

Se verifican las siguientes propiedades:

1. mcm(a, b) = a⇔ b|a.

2. mcm(a, b) = mcm(−a, b) = mcm(a,−b) = mcm(−a,−b).

3. mcm(a, b) = mcm(b, a).


Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout

Maximo comun divisor y division euclıdea

Proposicion (3.3.1)

Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisioneuclıdea a = qb + r . Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0

mcd(a, b) = mcd(b, r).



Algoritmo de Euclides

Algoritmo (Algoritmo de Euclides)

Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:

a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2

...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0



Algoritmo de Euclides y existencia del maximo comundivisor

Proposicion (3.3.2)

En la situacion anterior se tiene que mcd(a, b) = rn+1. Es decir, el maximocomun divisor de a y b es el ultimo resto no nulo al aplicar sucesivamentela division euclıdea.

Teorema (Existencia del maximo comun divisor)

Dados dos enteros a, b, existe el maximo comun divisor de a y b,mcd(a, b), que es unico salvo el signo.



Algoritmo de Euclides

Ejemplo (Ejercicio 6: Calcular mcd(23532, 1520))

23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56

732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0

Luego mcd(23532, 1520) = 4



Identidad de Bezout


Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Observese que paracualesquiera enteros γ y δ se verifica que γa + δb es un multiplo de d .

Teorema (Identidad de Bezout)

Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Existen enteros α y βtales que

α · a + β · b = d .

A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de Bezout.



Identidad de Bezout

Observacion (Familia infinita de identidades de Bezout)

Los enteros α y β que aparecen en la identidad de Bezout no son unicos.En efecto, si α · a + β · b = d entonces

(α− kb)a + (β + ka)b = d , ∀k ∈ Z.



Identidad de Bezout

Ejemplo (Ejercicio 6)

Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.

23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732

732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo

Proposicion (3.3.5)

Sean a y b dos enteros no nulos, sea d = mcd(a, b) y consideremos

a′ =a

dy b′ =

b

d.

Entonces a′ y b′ son primos entre sı.

Proposicion (3.3.6.)

Sean a y b dos enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Entonces

mcm(a, b) =ab

d.



Existencia del mınimo comun multiplo

Teorema (Existencia del mınimo comun multiplo)

Dados dos enterosa y b, existe el mınimo comun multiplo de a y b,mcm(a, b), que es unico salvo el signo.



Teorema fundamental de la divisibilidad

Teorema (fundamental de la divisibilidad)

Todo entero distinto de 0, 1 y −1 se descompone como producto de unnumero finito de primos. Esta descomposicion es unica salvo el orden y elsigno de los factores primos.



El conjunto de los numeros primos es infinito

Teorema (de Euclides sobre la infinitud de los numeros primos)

El conjunto de los numeros primos es infinito.



Calculo de mcd y mcm

Proposicion (3.3.8)

Seana = ±

∏p>0 primo

pνa(p), b = ±∏

p>0 primo

pνb(p)

las descomposiciones de dos enteros a y b en producto de primos.Consideremos

d =∏

p>0 primo

pmın(νa(p),νb(p)) y m =∏

p>0 primo

pmax(νa(p),νb(p)).

Entonces d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b).


Congruencias

Congruencias

¿Que hora marcara el reloj despues de pasar 4, 15, 211, 1203 o 12352horas?

Despues de 15 horas el reloj marca lo mismo que si hubieran pasado 1203horas. ¿Como podemos saber si tras a horas el reloj marcara lo mismo que

tras b horas?


Congruencias

Congruencias

Definicion (Congruencia)

Sean a, b y m enteros, m 6= 0, se dira que a es congruente con bmodulo m si a− b es divisible por m. Se escribira a ≡ b(modm).


a y b son congruentes modulo m si y solo si son congruentes modulo −m.Luego podemos suponer siempre, sin perdida de generalidad, que m > 0

Proposicion (3.3.10)

a ≡ b(modm) si y solo si a y b tienen el mismo resto en la divisioneuclıdea por m.


Congruencias

Congruencias. Propiedades

Algunas propiedades de la relacion “ser congruentes modulo m”:

1. Propiedad reflexiva: a ≡ a(modm).

2. Propiedad transitiva: si a ≡ b(modm) y b ≡ c(modm) entoncesa ≡ c(modm).

3. Propiedad simetrica: si a ≡ b(modm) entonces b ≡ a(modm).

Luego es una relacion de equivalencia.

4. Si a ≡ b(modm) y c ≡ d(modm) entonces a + c ≡ b + d(modm).

5. Si a ≡ b(modm) y c ≡ d(modm) entonces ac ≡ bd(modm).

En general no se verifica la propiedad cancelativa, es decir,

ax ≡ bx(modm) ; a ≡ b(modm).

De hecho, se satisface la propiedad cancelativa si y solo simcd(x ,m) = 1.


Congruencias

Ecuaciones en congruencias

Proposicion (3.3.15)

La ecuacion en congruencias

ax ≡ b(modm)

tiene solucion si y solo si d = mcd(a,m) divide a b.


Congruencias

Ecuaciones en congruencias

Teorema (chino del resto)

Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,sean a1, a2, . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias

x ≡ a1(modm1)x ≡ a2(modm2)

...x ≡ an(modmn)

tiene solucion. Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′(modM), donde M = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x(modM) entonces x ′ tambien es solucion.


El anillo Z/Zm

El conjunto Z/Zm

Observacion (Conjunto cociente Z/Zm)

Notaremos por Z/Zm al conjunto cociente de Z por la relacion deequivalencia “ser congruente modulo m”.


El anillo Z/Zm

El conjunto Z/Zm

Observacion (Conjunto cociente Z/Zm)

Llamaremos clase de congruencia modulo m a las clases deequivalencia. Es decir, a {b ∈ Z | a ≡ b(modm)}.Sabemos que b ∈ Z esta en la clase de a si y solo si b es congruente con amodulo m, es decir, m|(b − a), luego b = a + km. Por tanto, la clase decongruencia modulo m de a es el conjunto

a + Zm = {a + km | k ∈ Z}.


El anillo Z/Zm

El conjunto Z/Zm

Proposicion (3.4.2)

Todo numero entero es congruente modulo m a uno (y solo uno) de losenteros del conjunto {0, 1, . . . ,m − 1}.


El anillo Z/Zm

El conjunto Z/Zm

Corolario (3.4.3)

El conjunto de las clases de congruencias modulo m es

Z/Zm = {0 + Zm, 1 + Zm, . . . , (m − 1) + Zm}.


El anillo Z/Zm

Suma y producto en Z/Zm

Definicion (Suma y producto de clases de congruencias)

Sean a + Zm, b + Zm ∈ Z/Zm dos clases de congruencias.

(a + Zm) + (b + Zm) := (a + b) + Zm

(a + Zm) · (b + Zm) := (ab) + Zm.

Proposicion (3.4.5)

La suma y el producto de clases de congruencias modulo m estan biendefinidas.


El anillo Z/Zm

Propiedades de la suma en Z/Zm

Es una operacion interna, la suma de dos elementos de Z/Zm es unelemento de Z/Zm.

Existe un elemento neutro, el 0 + Z/Zm, tal que(a + Z/Zm) + (0 + Z/Zm) = (0 + Z/Zm) + (a + Z/Zm) = aZ/Zm.

Cada elemento a + Z/Zm tiene un opuesto −a + Z/Zm tal que(a + Z/Zm) + (−a + Z/Zm) = 0 + Z/Zm.

Propiedad asociativa: (a + Z/Zm) + [(b + Z/Zm) + (c + Z/Zm)] =[(a + Z/Zm) + (b + Z/Zm)] + (c + Z/Zm) = (a + b + c) + Z/Zm.

Propiedad conmutativa:(a + Z/Zm) + (b + Z/Zm) = (b + Z/Zm) + (a + Z/Zm).

Luego (Z/Zm,+) es un grupo abeliano.


El anillo Z/Zm

Propiedades del producto en Z/Zm

Es una operacion interna, el producto de dos elementos de Z/Zm es unelemento de Z/Zm.

Existe un elemento neutro, el 1 + Z/Zm.Propiedad asociativa.

Propiedad conmutativa.Propiedad distributiva: (a + Z/Zm) · [(b + Z/Zm) + (c + Z/Zm)] =

(a+Z/Zm) ·(b+Z/Zm)+(a+Z/Zm) ·(c+Z/Zm) = (a ·b+a ·c)+Z/Zm.La propiedad cancelativa se verifica si y solo si a es primo con m. En estecaso (a + Zm) · (b + Zm) = (a + Zm) · (c + Zm)⇒ b + Zm = c + Zm.


El anillo Z/Zm

El anillo Z/Zm

Proposicion (3.4.7)

El conjunto Z/Zm con la suma y producto definidas anteriormente es unanillo conmutativo y unitario.

Ejemplo (3.4.8)

El anillo Z/Zm no es necesariamente un dominio de integridad. EnZ/Z6 el producto (2 + Z6)(3 + Z6) = 0 + Z6, luego ambos elementos,2 + Z6 y 3 + Z6, son divisores de cero.


Los teoremas de Fermat y de Euler

Unidades de Z/Zm

Teorema (Unidades de Z/Zm)

El grupo de las unidades del anillo Z/Zm es

Um = {a + Zm | mcd(a,m) = 1, 0 ≤ a < m}.

Observacion (3.5.1)

El conjunto Z/Zp es un cuerpo si y solo si p es primo. De hecho

Up = {1 + Zp, . . . (p − 1) + Zp}

y |Up| = p − 1.



El teorema de Fermat

Teorema ((Pequeno) teorema de Fermat (1640))

Si p es un numero primo y no divide a un entero a entonces

ap−1 ≡ 1(mod p).



La funcion de Euler

Definicion (Funcion φ o indicatriz de Euler)

A la cantidad de numeros enteros a, 1 ≤ a ≤ m, que son primos con m sele denota por φ(m), la funcion φ o indicatriz de Euler. Es decir,

φ(m) = |Um|.



Propiedades de la funcion de Euler

Observacion (3.5.2)

Sea p ∈ N, p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.

Proposicion (3.5.3)

Sea p ∈ N primo, entonces φ(pr ) = (p − 1)pr−1.

Teorema (3.5.4)

Sean m y n dos enteros primos entre si, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n).

Corolario (3.5.5)

Sea n un entero y n = pn11 pn2

2 · · · pnrr su descomposicion en factores primos,entonces

φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1

r .



Teorema de Euler

Teorema (Teorema de Euler (1736))

Sea a + Zm una unidad en Z/Zm. Entonces

aφ(m) ≡ 1(modm).


Capítulo 3: El anillo de los números enteros

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