Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO...

Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 73

De acuerdo con la grMica del pol inomio p( x) = X4 - 2x3 - 4x2 + 4x + 4 , se ve que todas las

raices a " a 2,a 3 Y a 4 de la ecuacion pol inomica dada son reales, con

a, e [- 2,-1] , a 2 e[-1,0] , a 3 e [1,2] , a 4 e [2,3] .

Se ve claramente que p( x) satisface la hip6tesis general del metodo de Newton-Raphson en

intervalos apropiados para cada una de las rafces a " a2,a 3 Y a 4 .

Usando el metodo de Newton-Raphson para encontrar a " con criterio de aproximacion 5I p(xn) 1< 5 x 10- 0 I xn - xn_, 1< 5 x 10-5 , se obtiene a4 ~ 2.732076 = x4 usando Xo = 3.0 ,

Y el correspondiente polinomio reducido de grado 3, es

q3 (x) = x3 + .7320760x2 - 1.999912x - 1.463912

Usando Deflacion , encontramos una aproximacion de la rafz a 3 , 10 que da

a3 ~ 1.414157 = X5 tomando como aproximaci6n inicial _xo = 1.0 . EI polinomio reducido

correspondiente de grado 2, es

2q2 (X) = x + 2.146233x + 1.035197

Finalmente, encontramos aproximaciones de la rafces a 2 Y a, , resolviendo la ecuacion

cuadratica q2(x) = 0,conloqueseobtiene a2~ -.7319684 Y a, ~ -1.41426 •

Ejemplo 2.9 Encontrar todas las raices reales de la ecuaci6n

X4 + 5x3 - 9x2 - 85x - 136 = 0 , usando el metodo de Newton-Raphson y Deflacion.

La grafica del polinomio p( x) = X4 + 5x3 - 9x2 - 85x -136 es como se muestra en la FIGURA

2.17.

De acuerdo con la FIGURA 2.17, la ecuaci6n dada solo tiene dos raices reales simples

a, e [- 5,0] y a 2 e [0,5] (verifiquelo analiticamente) .

Usando el metodo de Newton-Raphson para encontrar a, con criterio de aproximaci6n

Ip(xn) I < 5 x 10-5 0 I xn - xn_,1 < 5 x 10-5 , obtenemos a , :>:-4.123123 = x5 usando como

punto inicial Xo = - 5.0 , Y el polinomio reducido correspondiente de grado 3, es

3q3 (x) = x + .8768767x2 - 12.61547x - 32.98486

Usando Deflacion, encontramos la aproximacion a 2 :>: 4 _123122 = x4 , tomando como punta

inicial Xo = 5.0 , Y el polinomio reducido correspondiente de grado 2, es

q2(X) = x2 + 4.999999x + 8.000134

Capitulo 2. SOlUCI6N NUMERICA DE UNA

Como

Observe que aunque la ralz Cl · O

podemos aplicar el metodo de

esto con criterio de aproximadO!l

resultados que aparecen en 18

y

74 METODOS NUMERICOS

Y Yi p(X)

0'.,2

o 5 x

FIGURA 2.17

Finalmente , las raices de la ecuaci6n cuadratica q2(X) = 0 son los numeros complejos

conjugados (13 "" - 2.5 + 1.322927i Y (14 "" -2.5 - 1.322927i . •

EI siguiente ejemplo muestra que el metoda, de Newton-Raphson puede converger y hacerlo lentamente cuando se aplica en la busqueda de una raiz multiple de una ecuaci6n t(x)= 0

(cosa similar ocurre cuando hay rarces reales cercanas entre sf).

Ejemplo 2.10 Consideremos la ecuaci6n x - tanx = 0 .

Es claro que (1 = 0 es raiz de esta ecuaci6n. Cual es la multiplicidad de esta raiz?

La grafica de t(x) = x - tanx alrededor de (1 = 0 es como se muestra en la FIGURA 2. 18

siguiente.

Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 75

y

x

FIGURA 2.18

De aeuerdo eon esta grafiea la raiz a = 0 es una raiz multiple eon multiplieidad impar.

Como

f'(x) = 1- see 2 x , f'(0) = 0

f"(x)= - 2see2 xtanx , f"(O)=O

f'''( x) = - 4 see 2 xtan 2 x - 2see4 x, f'''( 0) = -2 ;t 0

entonces a =0 es ralz de multiplieidad m= 3 , segun el teorema 2.3.

Observe que aunque la raiz a = 0 es multiple, f'(x);t 0 para x eerea de 0, X;t 0, asi que

podemos aplicar el metodo de Newton-Raphson para aproximar la raiz a = O. Si haeemos

esto con eriterio de aproximaci6n I f(x ) 1< 5 x 10-s 0 Ixn - x - 1 1< 5 x 10-5

, obtenemos losn n

resultados que apareeen en la TABLA 2.14 siguiente.

n xn f( xn) Ixn - xn - 1 I 0 .3 -9.33...x10-3

1 2.024312 x 10-1 -2.8L x10-3 9.75688 x 102

2 1.356958 x 10 - 1 -8.39 .. x10 -4 6.67354 x 10 -2

3 9.068650 x 10-2 -2.49.. x10-4 4.50093 x 10-2

4 6.052418 x 10-2 - 7.40 ... x10-5 3.016232 x 10-2

2.015497 x 10-25 4.036921 x 10-2 - 2.19... x10-s

TABLA 2.14

Observando los resultados de la TABLA 2.14, vemos que aunque If(xs)1 es pequeno, Xs no

es una buena aproximaei6n de a = 0 , ademas se ve la lentitud de la eonvergeneia del metodo de Newton-Raphson. •

Capitulo 2. SOLUCI6N NU_RICA 76 METODOS NUMERICOS

Ejercicio 2.6 Use el metodo de Newton-Raphson para encontrar las dos raices de la

ecuaci6n X2 - 2.0001x + 1.0001 = 0, usando como puntos iniciales Xo = .5, ~ = 1.5 Y criterio

de aproximaci6n ! f(xn )!< 5 x 10-5 0 I Xn- Xn_1 1< 5 x 10-5 . Cuales son las raices exactas

de esta ecuaci6n? • ..t ' . / ~.. +. r ( ./ I =En situaciones como la del ejemplo anterior (ra fZ .m.ulti.pJe.), se recomienda utilizar el metodo de Newton-Raphson modificado.

2.2.4 Metodo de Newton-Raphson modificado: EI metodo de Newton-Raphson modificado se basa en el siguiente resultado : Si a es una raiz de multiplicidad m > 1 de una ecuacion

f(x) = 0 Y f '(x) *- 0 para toda x en alguna vecindad de a , x *- a , entonces a es una raiz

simple de la ecuaci6n M(x) = 0 , donde la funci6n M esta definida como sigue

f(x)

M(x) = f '( x) ,

10 , x =a

La funci6n M resulta continua en la raiz a .

En efecto: Como por definicion de la funcion M, M(a) = 0, entonces a es ra iz de la ecuaci6n

M(x) = O. Veamos que a es una raiz simple.

Como a es una raiz de multiplicidad m > 1 de la ecuaci6n f(x) = 0 , entonces f( a ) = 0 y

para x *-a, f(x)= (x -at h(x) con limh(x) *- O x.... a

Por ser f(x) = (x - a)m h(x), entonces f '(x) = m(x - at-'h(X) + (x - a th'(x), asi que

M(x) = f(x) = (x -ath(x) == (x- a) h(X)para x *- a , 1f '(x) (x - a t - [mh(x) + (x -a)h '(X)] mh(x) +(x - a)h'(x)

lim h(x) con lim h(x) x~a ( ) == ~ *- 0 , ya que lim h(x) *- O . Luego a es una ra iz

x-+a mh(x) + (x - a)h'( x) m lim h x m x ....a X"" a

simple de la ecuaci6n M(x) = O.

Observe que lim M(x) = 0 = M(a) , 10 que significa que la funcion M es continua en a . V X"" a

EI metodo de Newton-Raphson modificado consiste en aplicar el metodo de NewtonRaphson a la nueva funci6n M, asi que la funci6n de iteraci6n 9 del metodo de NewtonRaphson modificado esta definida como

,J) ~x) _ x_ ~x == X- M'(X)

es decir,

10 que requiere que f "(X) sea continua "

Si aplicamos el metodo de

aproximar la rafz a:; 0 ,

- X \ < 5 x 10-5, se obtiell8ll

xn n- 1 I siguiente.

n

Newton-Raphson

xo ' Para el ejemplo,

I n

I xn

I M(xn) I I xn - xn-1 I 0 .3 9.75 ... x1 0-2

1 -1.595052 x 10-2 -5.31...x10-3 _31595052

2 2.164831 x 10-6 7.21... x1 0-7 1.595268 x 10-2

luego a es una rafz

TABLA 2.15

Instrucci6n en DERIVE:

NEWTON_MOD( f( x), x, xo , N): aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de

Newton-Raphson modificado aplicado a la funci6n f( x) , tomando como aproximaci6n inicial

xo. Para el ejemplo, aproXime la expresi6n NEWTON_MOD( x- tanx, x, 0.3, 2). 0

Observando la TABLA 2.15 vemos que el valor de ' obtenido por el metodo de Newtonx2

Raphson modificado, es mucho mas cercano a 0 que el valor de X5 obtenido por el metodo

de Newton-Raphson aplicado a la funci6n f( x) = x - tanx .

En el ejemplo anterior M(x) = x - ta~x y la grafica de M en la vecindad de a = 0 se muestra 1- sec x

en la FIGURA 2.19. •

Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 77

f( x)

g(x) = x- M(x) = x- fTx)

M'(x) [f'(X)r -f(x)f"(x)

[f'(XW

es decir,

g(x)=x- f~X)f'(X) [f'(x)] - f(x)f"(x)

10 que requiere que f"( x) sea continua en alguna vecindad de a .

Si aplicamos el metodo de Newton-Raphson modificado a la funci6n f( x) = x - tanx para

aproximar la rafz a = 0, con criterio de aproximaci6n IM(xn) 1< 5 x 10-5 0

Ixn - xn- 1 I< 5 x 10-5 , se obtienen los resultados que se niuestran en la TABLA 2.15

siguiente.

I

78 MtTODOSNUM~ruCOS

y

\ y = M(x) I

0 2 x- 2

FIGURA 2.19

2.2.5 Metodo de la Secante: EI metodo de Newton-Raphson para aproximar una raiz simple

a de una ecuaci6n f( x) = 0 , consiste en generar la sucesi6n {xn}n a partir de la f6rmula de

iterac ion

y escogiendo Xo cercano a la ra iz a .

Como

entonces si queremos evitar el uso de la derivada en la formu la de iteracion de l metodo de . f(x _1)-f(xn_2 }n

Newton-Raphson, una forma es tomar x = xn_2 , Y aproxlmar f'(xn_1) por ,xn- 1 xn- 2-

que no es otra cosa que la pendiente de la recta secante L a la grafica de f por los puntos

(xn_1,f(xn _1)), (xn_2 ,f(x n_ 2 ) (ver la FIGURA 2.20).

Remplazando, en la formula de iteraci6n del metodo de Newton-Raphson, f '( xn_,) por su

f(xn_ 1) - f(x _2 )naproximacion , obtenemos

xn·- - _21 xn

n = 2, 3, ..

que const ituye la formula de iteraci6n para el metodo de la Secante.


N6tese que para calcular con el metodo de la Secante se requiere conocer dos aproximaciones iniciales Xo Y Xl '

y L

x

FIGURA 2.20

Observe la relaci6n entre el metodo de la Secante y el metodo de Regula Falsi Ambos metodos usan dos puntos iniciales 0 de arranque para encontrar una nueva aproximacion a la rafz buscada, pero hay una gran diferencia entre la escogencia de esos dos puntos: mientras que en el metodo de Regula Falsi los dos puntos deben encerrar a la raiz buscada y el metodo siempre converge, en el metodo de la Secante los dos puntos iniciales no necesariamente encierran a la rafz buscada 10 que puede provocar divergencia del metodo. EI metodo de la Secante converge bajo las mismas hip6tesis de convergencia del metodo de Newton-Raphson.

Algoritmo 2.6 (Secante) Para encontrar una aproximaci6n a de una raiz a de una

ecuaci6n f(x) =0 conocidas dos aproximaciones iniciales Xo Y Xl :

Entrada: f( x) ; dos aproximaciones iniciales Xo Y Xl ; una tolerancia Tol , y un numero

maximo de iteraciones N.

Salida: Una rafz aproximada a ' 0 un mensaje.

Paso 1: Tomar n = 2 , Yo = f(xo) Y Yl = f(Xl) '

Paso 2: Mientras que n :-::; N seguir los pasos 3-7:

Paso 3: Si Y1 - Yo = 0 , entonces salida: "No se puede aplicar e\ metodo, porque el denominador en la f6rmula de la Secante se anuI6". Terminar.


Paso 5: Si Ix2 - x11< Tol, entonces salida: "Una aproximaci6n de una raiz de la

ecuaci6n dada es a' = x2 " . Terminar.

Paso 6: Tomar n = n + 1 .

Paso 7: Tomar Xo = x1

Yo = Y1

Y1 = f(x1)

Paso 8: Salida: "Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia" . Terminar.

Ejemplo: 2.11 Si aplicamos el metodo de la Secante para encontrar la menor raiz positiva de

la ecuacion x - tanx = 0, con criterio de aproximacion I xn - xn_11<5 x 10-5 , obtenemos los

resultados que se muestran en la TABLA 2.16 siguiente.

n xn xn +1 f( xn+1) I xn +1 - xn I

0 4.4 4.5 -.137. .. .1 1 4.5 4.490469 5.85... x10-2 9.531 x 10-3

2 4.490469 4.494723 -2.66... x10-2 4.254 x 10-3

3 4.494723 4.492822 1.18 .. x10-2 1.901 x 10-3

4 4.492822 4.493671 -5.28. .x10-3

2.37 .x 10-3

8.490 x 10-4

3.790 x 10-45 4.493671 4.493292

6 4.493292 4.493461 -1.04 .. x1 0-3 1.690 x 10-4

7 4.493461 4.493386 4.73 .. x10-4 7.500 x 10-5

3.300 x 10-58 4.493386 4.493419 -1.92 .. x 1 0 -4

TABLA 2.16

Instrucci6n en DERIVE:

SECANTE( f(x) , x, xo , x1,N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de la

Secante aplicado a la funci6n f( x) tomando aproximaciones iniciales Xo Y x1. Para el

ejemplo , aproXime la expresi6n SECANTE( x - tanx , x, 4.4 , 4.5,6). 0

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.16, la menor raiz positiva de la ecuacion x-tanx = O es ao:::: 4.493419=x s .•

2.3 RAPIDEZ DE CONVERGENCIA

Los metodos numericos estudiados aqu i para hallar una raiz a de una ecuacion f( x) = 0

consistieron en generar una sucesi6n {xn} n tal que lim xn = a . n--> oo

La eficiencia de un metodo sucesi6n {xn} n converge a a,

necesarias para tener ~ •

para algun E > 0 dado. . Una iterativo de los que estudl8mD1.

Notaci6n: Si e,,'" xn - a I

En = IEn I= Ixn - a I denotl

En la siguiente definici6n sucesi6n, usando el IlmiII. sucesi6n.

Definici6n 2.4

limEn=O. n....oo

asint6tico L. V


La eficiencia de un metodo numerico depende, en parte, de la "rapidez" con la cual la

sucesi6n {xn} n converge a a, donde "rapidez" significa el numero minimo de iteraciones N

necesarias para tener xN a una distancia dada de la raiz a, es decir, tal que Ixn - a I< £

para algun £ > 0 dado. Una forma de medir la "rapidez" de la convergencia de un metodo iterativo de los que estudiamos, es en los siguientes terminos .

Notaci6n: Si En = Xn - a, entonces En puede ser pos itiv~ , negativo 0 cero y

En =IEn I=IXn - a I denota el valor absoluto del error de truncamiento en la iteraci6n n.

En la siguiente definici6n se introduce el concepto de orden de convergencia de una sucesi6n , usando el limite. Hay otras formas de definir orden de convergencia de una sucesi6n.

Definici6n 2.4 Supongamos que lim xn = a E R, es decir, lim En = 0 0 equivalentemente n~~ n~~

lim En = O. Si existen constantes positivas /... y L tales que n---+ oo

E l l Xn+1 - a Ilim ~= lim =L

n---+ oo E~ n---+ oo I xn _ a IA

entonces se dice que la sucesi6n {xn } n converge a a con orden de convergencia /... y error

asint6tico L . V

Veamos que la definici6n 2.4 es una buena definici6n en el sentido que si /... y L existen, entonces son unicos.

Supongamos que existen /... 1' /... 2' L1 Y L2 constantes positivas, tales que

I· En+ 1 LIm-- = 1 y n ---+ oo EA,

n

Basta probar que /... 1= /...2' pues si esto ocurre, entonces L1 = L2 (por la unicidad del limite,

cuando existe) .

Supongamos, por reducci6n al absurdo, que existen /... 1 y /...2 con /...1 > /... 2 > 0 y tales que

I · En+1 LIm - - = 1 n-to o:> EA, I

n

Como /... 1> /...2 > 0, entonces /...1 - /... 2 > 0 , Y


E E'-2 _ _ _ = ~_n_

asi que

lim __1_ = lim EM1 E~2 n-+oo EA, - A2 n-+", EA, En n n+1

Pero

lim __1_ = Xl ya que lim EA,-A2 = 0 n____ n EA '- :z ' n.....-+ C() n )

n

y

10 cual es una contradiccion . Luego "1 = 71. 2 , V

De la definicion 2.4 se tiene que, para n suficientemente grande

y' asi , fijado L, entre mayor sea A, mas rap idamente converge la sucesion {xn} n a a, es

decir, entre mayor sea el orden de convergencia de una sucesion {xn }n' menor sera el

numero de iteraciones necesarias para tener a xn a una distancia dada del limite de esa

sucesion .

Casos especiales:

i) Si 71. =1, en la definicion 2.4 , es decir, el orden de convergencia es uno, se dice que la convergencia es lineal.

Si la convergencia es lineal , entonces para n suficientemente grande

10 que significa que el error en un paso es aproximadamente proporcional al error en el paso anterior (en este caso debe tenerse 0 < L ~ 1, casi siempre L < 1 ).

ii) Si 71.= 2 , en la definicion 2.4 , la convergenc ia se dice cuadratic3.

Si la convergencia es cuadratica, entonces para n suficientemente grande

es decir, el error en un paso es aproximadamente proporcional al cuadrado del error en el paso anterior. En este caso es claro que el error En decrece mas rapidamente que en el

caso lineal , y as! la convergencia sera mas "rapida" .

Ejemplo 2.12 Consideremos las sucesiones

Como lim xn = 0 y n--+oo

sucesiones.

Encontremos el orden de convergencia de II

Como

entonces n). .

lim-= 11m n.... oo n +1 n"'"' n

Luego el orden de convergencia dI

converge linealmente a cern

Procediendo de manera similar

de la sucesi6n {xn)n con X.

cuadraticamente a cera, con

Encontremos ahora, los

sucesi6n {

hi


Ejemplo 2.12 Consideremos las sucesiones {Xnt con xn = -;- , y {xn } con xn =-1-n . n n 102

Como lim xn = 0 y lim xn = 0 , entonces a = 0 , en la definicion 2.4, para ambas n 4C() n 4ct:l

sucesiones.

Encontremos el arden de convergencia de la sucesion {xn } n .

Como

entonces

I· nA I' 1 L R1m -- = 1m = E , L > 0, si Y solo si A = 1 n-><() n + 1 n-.<o n1-A + n- A

1 Luego el orden de convergencia de la sucesi6n {xn } n con xn = -3 es uno, es decir, {xn } n

n converge linealmente a cera. Observe que si A = 1 , entonces L = 1 .

Pracediendo de manera similar al caso anterior, se puede ver que el orden de convergencia

• } A 1de la sucesion { xn con xn = --n es dos, es decir, la sucesion {Xn } n converge

n 102

cuadraticamente a cero, con error asintotico L = 1 .

Encontremos ahara, los valores mfnimos de N, y N2 tales que

3En =-;- < 10- c:> n3 > 10 3 c:> n > 10, asiqueN, =11 . n

La anterior nos dice que para la sucesi6n {xn } n can xn = n~ , que converge linealmente a

3 a = 0, son necesarias 11 iteraciones para que I xn - a I< 10 - , mientras que para la

A} A 1sucesi6n {xn can xn = - -n , que converge cuadraticamente a a = 0 , son necesarias solo n 102

2 iteraciones para que I xn - a I < 10-3. •

Can base en la definici6n 2.4, estudiaremos el orden de convergencia de los metodos abiertos que ya vimos.


2.3.1 Orden de convergencia del metodo de iteracion de Punto Fijo: Sea a un punto fijo

de una funci6n g. es decir a = g(a) .

i) Si g' es continua en alguna vecindad de a, g'( a) ~ 0 , y la sucesi6n {xn} n definida por

converge a a, entonces la convergencia es lineal .

En efecto

con c'n entre xn Y a .

Ahora , como g' es continua en a, entonces lim g'( c,n) = g'( a), ya que c'n ~ a cuando n-.'"

n ~ 00 , y entonces

asfque

10 que significa que la convergencia es lineal. V'

ii) Si g" es continua en alguna vecindad de a, g'(a) = 0 , g"(a) ~ 0 (el punto (a,g(a)) no es

de inflexi6n de la grafica de g) , y la sucesi6n {xn} n definida por

converge a a, entonces la convergencia es cuadratica , es decir, {xn} n converge a a

con orden de convergencia dos.

En efecto.

Como g" es continua en un intervalo abierto que contiene a a , entonces para x en ese intervalo, se tiene

g"(c,)g(x)=g(a)+ g'(a)(x-a)+--(x - a)2 con E, entre x y a

2

Como g(a) =a y g'(a) = O, entonces

Capitulo 2. SOLUCION NUM~RICA

g"(~) 2 g(x) =a +-2-(x-a)

En particular, cuando x = xn ' n EN, se tiene

Por tanto

y como g" es continua en eI

lim g"(c,n)=g"(a), 10 que implica que n..... '"

y entonces

10 cual significa que la

Un teorema que generalizl ii) vistos antes, es el


g "(~ )g(x)=a+--(x-a)2 con ~ entre x y a

2

En particular, cuando x = xn ' n EN , se tiene

Por tanto

y como g" es continua en el intervalo que contiene a xn y a , entonces

lim g"( ~ n) = g"(a ) , 10 que implica que n.... '"

lim En+1 = lim g"(~ n) = g"(a ) n .... ao E2 n .... ao 2 2

n

yentonces

lim En+1 = lim 1 En+1 1=1 g"(a ) I=L>O H ao E~ n..... ao 1 En 12 2

10 cual significa que la convergencia es cuadratica . V

Si queremos tener esquemas iterativos

con orden de convergencia mayor, tenemos que poner condiciones sobre g.

Un teorema que generaliza las ideas anteriores y cuya prueba es sim ilar a la de los casos i) y ii) vistos antes, es el siguiente:

Teorema 2.4 Sea a una raiz de una ecuaci6n x =g( x). Si 9 tiene las primeras k-derivadas

continuas en alguna vecindad de a, g{;l (a ) = 0 para i = 1,2,,,., k - 1, g{kl (a);,; 0 , y la sucesion

{xn} n definida por

converge a a , entonces la convergencia es de orden k, es decir, {xn} n converge a a con

orden de convergencia k. V

Observaci6n: Por 10 general, la can tidad de calculos involucrados en la formula de un metodo iterativ~ aumenta a medida que el orden de convergencia crece , por 10 tanto, la ganancia en el orden de convergencia no debe medirse por el numero de iteraciones necesarias para que el error de truncamiento alcance cierta tolerancia , sino por el numero total de operaciones 0 tiempo del computador.


Sin embargo, los metodos de convergencia cuadratica parecen estar en un punto de equ ilibrio si tenemos en cuenta la dificultad de los metodos, el numero de operaciones requeridas y los resultados obtenidos; es por eso, que uno de los metodos mas usados es el de Newton-Raphson que, como veremos enseguida , es de convergencia cuadratica

2.3.2 Orden de convergencia del metodo de Newton-Raphson: Sea a una raiz de una

ecuacion f(x) == O. Si la funcion f ti ene sus dos primeras derivadas continuas en alguna

vecindad de a, f '(x);t: O para todo x en esa vecindad, f "(a);t: O (el punto (a, f(a)) no es de

inflexion de la 9 rafica de f ), y la sucesi6n {xn} n definida por

converge a a, entonces la convergencia es cuadr<ltica .

En efecto

Como la funci6n f tiene segunda derivada continua en algun intervalo que contiene a a , entonces para todo x en ese intervalo, se tiene

f " ( ~ )f(x)==f(a)+ f '(a)( x ~a )+-(x ~ a ) 2 con ~ entre x y a 2

Pero f( a) = 0 , asi que

f " (~ )f ( x) == f ' (a )(x ~ a )+ --(x ~a)2 con ~ entre x y a 2

De la misma manera

f' ( x)= f '(a )+f " (~ ) ( x ~ a ) con ~ entre x y a

En particu lar, cuando x = xn ' n EN , se tiene

Sustituyendo f '( xn) en la formula de iteracion del metodo de Newton-Raphson , obtenemos

. con ~ n entre xn Y a

Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA

f( Xn ) ==

En ~ f'(a) + f " (~n ) En

. d f(X) en la ultima ecuaci6n anterior,y sustltuyen On'

~ [2f"(~n )-f"(~n)

2[ f'(a) + f"(~n) ~J

Luego

sComo {Xn } n converge a a, entonce

como for es continua en converge a O,y

lim En+1 _ n->'" ~

Por tanto

(recuerde que f'(a)~O Y

Observe, en el

multiplicidad dos

Restando a a ambos miembros de la ecuaci6n anterior, se obtiene


f'(a) En +f"(~ n) E~ - f(xn)

f'(a) + f"(~ n) En

y sustituyendo f( Xn) , en la ultima ecuaci6n anterior, obtenemos

• f ,,(~ ) f '(a) En +f"(~n) E~ -f'(a) En - -f- E~

f '(a) + f"(~n) En

E~ [2f"(~n) - f"(~n)]

2[f'(a) + f"(~n) En]

Luego

Como {Xn} n converge a a, entonces {~n) n y {~n} n tambien convergen a a, y {En) n

converge a 0, y como f" es continua en a, entonces

2f"(a) - f"(a) f"(a) 2[f'(a)] 2f'(a)

Por tanto

~I= L>O2f '( a)I

(recuerde que f'(a) *- ° y f"(a) *- 0), asi que la convergencia es cuadratica. VI

Observe, en el trabajo anterior, que si f(a) = 0, f'(a) = °y f"(a) *- ° , es decir, a es raiz de

multiplicidad dos de la ecuaci6n f(x) = 0, entonces el metoda de Newton-Raphson puede aun

converger, pero la convergencia es lineal con error asintotico L = ~ . En general, se tiene 2

que: Si °=f(a)= .. . =f(m-l)(a) y f(m)(a) *-0 , es decir, a es una ralz de multiplicidad m ~ 2 de una ecuaci6n f( x) = 0, y el metodo de Newton-Raphson converge, entonces la

convergencia es lineal con error asit6tico L = m - 1 . m


Se puede demostrar, vease Ralston ,1965, paginas 326 y 327, que el metodo de la Secante,

' d d , 1+/5 16 ' cuand0 converge, tlene or en e convergencla I, =-- "" . 2, Yque el metodo de Regula 2

Falsi es de convergencia lineal siempre que la grafica de la funcion f sea concava hacia abajo o hacia arriba en la vecindad de la ra iz Ct., EI metodo de Biseccion se considera de convergencia lineal.

TALLER 2.

1. EI metodo de Biseccion se puede aplicar siempre que f(a)f(b) < 0, Si f(x) tiene mas de

un cera en ( a, b) , se podra saber de antemano cual cera es el que se encuentra al aplicar

el algoritmo 21? /lustre su respuesta con ejemplos,

2. Las siguientes funciones cumplen la condici6n f( a)f(b) < 0 donde a = 0 y b = 1, Si se

aplica el metodo de Biseccion en el intervalo [a, b] a cada una de esas funciones, que

punto se encuentra en cada caso? Es este punto un cero de f ?

1 x> 0 a) f(x) =(3x-1t b) f(x) = cos(10x) c) f(x)= ' { -1, x ~ 0

2

3. Pruebe que la funcion f( x) = eX -1 - x - ~ tiene un unico cero, precisamente en x = 0 ' 2

Sugerencia: Puede usar el residuo en una expansion en serie de Taylor de eX alrededor de 0,

Evalue en una calculadora 0 un computador la funcion f( x) para valores de x cercanos a

cero, Nota cambios de signo en los valores f( x) para numeros x, a un mismo lado de '

cero? De haber cambios de signo, que hara el metodo de Bisecci6n en uno de los intervalos en los que hay uno de esos cambios? Comente sobre la posibilidad de encontrar, por un metodo numenco, un "falso cero",

, 4. Verifique que se puede aplicar el metodo de Biseccion para aproximar el unico cero de la

funci6n f(x) = x3 - x -1 en el intervalo [1.2J, Cuantas iteraciones seran necesarias para

que al aplicar el metodo de Biseccion en el intervalo [1,2] se logre una aproximacion de la

raiz, con una precision de por 10 menos 3 cifras decimales exactas? Calcule tal aproximacion ,

, '6 de (2i5. Encuentre una aproximaci n Atado

ldecimales exactas, usando e me

6. Se quiere encontrar la menor ralz usando el metodo de IteracI6n de iteraci6n de punto fijo y un Teorema 2,1, Y calcule una menos tres cifras decimales

.. a) e-x -cosx=O

7. Estudie la funci6n ri.,x) == P que no es convergente la

8. a) Verifique que cada una

iteraci6n de PunlO

a = 9;(a):::)f(a) =O. j

b)

Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO...

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