Capítulo 2-Electrostática en El Vacío-Texto TCE-2015

Teoría de Campos Electromagnéticos

JORGE MONTAÑO PISFIL Página 6

CAPÍTULO 2

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 2.1 CONCEPTO DE ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

La electrostática en el vacío estudia los fenómenos o efectos producidos por las cargas

eléctricas en reposo y por los campos eléctricos que no cambian con el tiempo.

Para el estudio de la Electrostática en el vacío es suficiente la cantidad fundamental de campo E

(intensidad de campo eléctrico).

2.2 POSTULADOS FUNDAMENTALES DE LA ELECTROSTÁTICA EN EL

VACÍO

Los dos postulados fundamentales de la electrostática en el vacío o en el espacio libre, que

forman la base para construir la estructura de la electrostática, son:

FORMA DIFERENCIAL

F FORMA INTEGRAL

1) 1) 0

E

2) 0x E

0

QSdE

S

0

dEC

* La forma diferencial de ambas ecuaciones son dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell.

* Se sabe que en el vacío o espacio libre, la densidad de flujo eléctrico D

y la intensidad de campo

eléctrico E

están relacionadas con la ecuación: oD E

. Entonces, la forma diferencial y la forma

integral del primer postulado de la electrostática en el vacío queda:

D ;

SQSdD

Donde: “Q ” es la carga neta libre encerrada por la superficie gaussiana.

Los dos postulados de la Electrostática en el vacío son concisos, sencillos e independientes del sistema

de coordenadas, además pueden usarse para derivar otras relaciones, leyes y teoremas de la

electrostática. Por ejemplo, se puede obtener la ley de Gauss, la ley de voltajes de Kirchhoff, etc.



DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE GAUSS

Tomando integral de volumen a la ecuación (1), queda lo siguiente:

V VdVdVE

0

)(

V VdVdVE

0

1)(

Por teorema de la divergencia tenemos que el primer miembro de la ecuación anterior es igual al flujo

eléctrico a través de la superficie cerrada S, es decir:

V S

SdEdVE)(

El segundo miembro de esta última ecuación equivale a 0/Q , por lo tanto hemos demostrado la ley de

Gauss. Es decir:

S

QSdE

0 (Ley de Gauss)

DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF

Tomando integral de superficie a la ecuación (2), tenemos:

SSdE 0)(

Aplicando el teorema de Stokes a la ecuación anterior, queda:

S C

dESdE )(

El segundo miembro de esta última ecuación equivale a 0 , por lo tanto hemos demostrado la ley de

Voltajes de Kirchhoff. Es decir:

0

CdE (Ley de Voltajes de Kirchhoff)

OBTENCIÓN DE LA LEY DE COULOMB A PARTIR DE LA LEY DE GAUSS

Como se señaló anteriormente, para estudiar la Electrostática en el vacío es suficiente conocer los dos

Postulados Fundamentales que los rigen, porque a partir de ellos se pueden obtener otras relaciones,

leyes y teoremas de la Electrostática. A continuación se muestra el procedimiento a seguir para la

obtención de la Ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss.

Para ello vamos a considerar que tenemos una carga puntual “ q ”, ubicada en la posición ´r

, respecto

al punto de referencia O , tal como se muestra en la figura.

Para obtener la ley de Coulomb, a partir de la ley de Gauss, primero vamos a calcular la intensidad de

campo eléctrico E

(debido a la carga q ) en el punto P , que se halla en la posición r

, respecto a la

referencia O . A continuación, calcularemos la fuerza eléctrica que experimenta una segunda carga Q ,

ubicada en el punto P , debido a la carga q .



Si colocamos una carga puntual Q en el punto P del campo creado por la carga puntual q , la carga

Q experimenta una fuerza eléctrica F

debido al campo eléctrico creado por q . Esta fuerza F

está dada por:

F Q E

3

0

( ')

4 '

qQ r rF

r r

Esta última expresión dada es la que se conoce como ley de Coulomb.

2.3 POTENCIAL ELÉCTRICO

El potencial eléctrico es una cantidad escalar que se utiliza para expresar cuantitativamente la

medición de los efectos del campo eléctrico en un punto de dicho campo.

Dado que el potencial eléctrico es una cantidad escalar, entonces lleva el mismo signo de la

carga que genera el campo eléctrico.

Para dar la ecuación o ecuaciones correspondientes que nos permitan calcular el Potencial eléctrico,

vamos a recordar las siguientes relaciones:

1) “El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es idénticamente cero (nulo)”

Es decir, si suponemos que el campo escalar es el potencial eléctrico , entonces:

( ) 0

2) “Si un campo vectorial tiene rotacional nulo, entonces este campo vectorial puede expresarse

como el gradiente de un campo escalar”

Es decir, si suponemos que el campo vectorial es la intensidad de campo eléctrico E

, entonces:

Por ley de Gauss:

S

QSdE

0

Como la superficie Gaussiana considerada

es una esfera de radio ´r r

, al evaluar la

integral cerrada resulta

2

( )4 ´E r r

.

Luego, la expresión anterior es igual a:

2

0

( )4 ´q

E r r

2

04 ´

qE

r r

Vectorialmente sería:

3

´

0

( ')

4

q r rE

r r

r

'rr

y

z

O

P

Superficie Gaussiana q

E

x

'r



r

'rr

'r

y

z

x

O

P

q

0E

Luego, se cumple que:

E

Donde el campo escalar es el potencial eléctrico.

Nota: el signo menos del gradiente del potencial eléctrico es porque el trabajo que se realiza para

trasladar una carga de prueba es en contra de la dirección del campo eléctrico.

Se cumple asimismo que:

1) La diferencia de potencial entre los puntos B y A ( AB ), viene dado por:

B

A

P

PAB dEVV ; :donde d d r

Donde:

BV : Potencial eléctrico en el punto B (

BP )

AV : Potencial eléctrico en el punto A (

AP )

2) El potencial eléctrico en un punto B viene dado por:

BP

fB dEV

.Re ; :donde d d r

Por convención se asume que en la referencia el potencial eléctrico es cero ( 0Re ferencia ).

Se consideran como puntos de referencia el infinito y tierra, por lo tanto:

3) El potencial eléctrico en la posición r

indicada en la figura, debido a una carga puntual “ q ”, viene

dado por:

04 ´

qV

r r

AB

B

A

B

0;0)( Tierra

rdd

rdd



4) El potencial eléctrico en la posición r

(ver figura), debido a una distribución continua de carga, viene

dado por:

2.4 ENERGÍA ELECTROSTÁTICA ( EW )

Es la energía que se almacena en un punto cualesquiera de un campo electrostático, debido a la

presencia de este campo. En el caso de una distribución continua de carga, esta energía se puede

calcular con la siguiente ecuación:

2

0

1

2E

V

W E dV

Donde: E = módulo o magnitud de la intensidad de campo eléctrico.

* Se denomina densidad de energía electrostática (Ew ) a la cantidad de energía que almacena un

campo electrostático por cada unidad de volumen. Por lo tanto, la energía electrostática EW , en

función de Ew , se puede expresar de la siguiente forma:

E E

V

W w dV ; Donde: 2

0

1

2Ew E

Nota.- La intensidad de campo eléctrico E

debido a una distribución continua de carga en el vacío, se

halla con la siguiente ecuación:

´0

1

4

dQV

r r

Donde:

dQ d : Para una distribución lineal.

dQ dA : Para una distribución superficial.

dQ dV : Para una distribución volumétrica.

QdQ

2r

x

y

z

O

Sistema de referencia “fijo”

dQ

r

'r

'rr P

3

0´

)́(

4

1

rr

rrdQE

Donde:

dQ d : Para una distribución lineal.

dQ dA : Para una distribución superficial.

dQ dV : Para una distribución volumétrica.

QdQ

2r

x

y

z

O

Sistema de referencia “fijo”

dQ

r

'r

'rr P

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