CAPITULO 2- derivación1

Diferenciación: MSc. César Yépez

CAPITULO 2: DIFERENCIACIÓN

En este capítulo estudiaremos un método abreviado de calcular los límites de funciones; la

diferenciación, sus definiciones y propiedades más importantes, así como también algunas

aplicaciones relacionadas a la carrera que usted ha elegido.

2. 1 La derivada

Inicie con una lectura del texto base, revise el Capítulo 11, sección 11.1 La

derivada.

A continuación se presenta un resumen de los aspectos importantes de La derivada.

El estudio de la derivada de funciones reales inicia con el cálculo del límite de una

función.

Gráfica de una función real f y de rectas secantes que pasan por el punto

(x0, f(x0)).

Sean f una función real. La pendiente entre dos puntos de la curva está definida como

pendiente = m = tg(θ) =∆y

∆x=

f(x0 + h) − f(x0)

h.

La pendiente mt de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x0 se define como:

mt = tgα = limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h,

siempre que el límite exista. Más aún se tiene la siguiente definición.


Sea f una función, se llama derivada de f en x y se escribe f´(x) al límite:

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h,

siempre que el límite exista.

Notación:

La derivada de la y = f(x) se puede expresar como:

f´(x) = y´ =dy

dx=

d

dx(f(x)) = Dxy = Dx(f(x))

2.1 Utilice la definición de derivada para calcular 𝒚′ si 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏

Se tiene:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ)2 + 5(𝑥 + ℎ) + 1

Luego, aplicando la definición de derivada:

y´ = f ´(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h= lim

h→0

[(x + h)2 + 5(x + h) + 1] − [x2 + 5x + 1]

h

= limh→0

x2 + 2xh + h2 + 5x + 5h + 1 − x2 − 5x − 1

h= lim

h→0

2xh + h2 + 5h

h

= limh→0

(2x + h + 5) = 2x + 0 + 5 = 2x + 5

Entonces la derivada de 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1 es 𝑦´ = 2𝑥 + 5

2.2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

dado.

𝐲 =𝟓

𝟏−𝟑𝐱 ; (𝟐, −𝟏).

Iniciamos calculando la función que representa la pendiente, mediante la definición de

derivada

Se tiene:

f(x) =5

1 − 3x


𝑓(𝑥 + ℎ) =5

1 − 3(𝑥 + ℎ)

𝒇´(𝒙) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h= lim

h→0

51 − 3 (x + h)

−5

1 − 3xh

= limh→0

5(1 − 3x) − 5[1 − 3(x + h)]

h[1 − 3(x + h)](1 − 3x) = lim

h→0

15h

h[1 − 3(x + h)](1 − 3x)

= limh→0

15

[1 − 3(x + h)](1 − 3x)=

15

[1 − 3(x + 0)](1 − 3x)

=15

[1 − 3(x)](1 − 3x)=

15

(1 − 3x)(1 − 3x)=

15

(1 − 3x)2

Entonces la pendiente a la curva tiene como función: 𝑚 =15

(1−3x)2

Calculamos el valor específico de la pendiente en el punto (2, −1), así:

Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑚 =15

(1−3(2))2 =15

25=

3

5

Por último calculamos la ecuación de la recta tangente:

La ecuación de la recta tangente es:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ⟹

𝑦 + 1 =3

5(𝑥 − 2)

Actividad Recomendada Del texto base: Analice los ejemplos resueltos de la sección 11.1

Resuelva los ejercicios 1, 3, 15, 17, 19, 25 de los Problemas 11.1

2.2. Reglas para la diferenciación

Inicie con una lectura del texto base, revise el Capítulo 11, sección 11.2

Reglas para la diferenciación.

De la lectura precedente establecemos las reglas para la diferenciación más relevantes


A continuación se calculan algunas derivadas de funciones reales.

1. Derivada de la función constante: Si 𝑦 = f(x) = c ∀x ∈ ℝ, entonces

y´ = f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.

O también:

d

dx(c) = 0

2.3 Calcular la derivada de la función 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓

𝑦´ =𝑑

𝑑𝑥(5) = 0

2. Derivada de la función potencia de exponente entero positivo: Sea f la función

definida por f(x) = xn ∀x ∈ ℝ, n ∈ Z+ entonces por la definición de derivada se

tiene:

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h= lim

h→0

(x + h)n − xn

h

= limh→0

[(x + h) − x][(x + h)n−1x0 + (x + h)n−2x1 + ⋯ … + (x + h)0xn−1]

h

= limh→0

h[(x + h)n−1 + (x + h)n−2x1 + ⋯ … + (x + h)1xn−2 + xn−1]

h

= limh→0

[(x + h)n−1 + (x + h)n−2x1 + ⋯ … + (x + h)1xn−2 + xn−1]

= (x + 0)n−1 + (x + 0)n−2x1 + ⋯ … + (x + 0)1xn−2 + xn−1

= xn−1 + xn−2x1 + ⋯ … + x1xn−2 + xn−1

= nxn−1.

Este resultado también los escribimos así:

d

dx(xn) = nxn−1

2.4 La derivada de 𝑦 = 𝑥80 es:

𝑦´ = 80𝑥80−1 = 80𝑥79


3. Derivada del factor constante: Si y = c ∙ f(x) ∀x, c ∈ ℝ entonces la derivada de y

es:

y´ = c ∙ f´(x)

O también:

d

dx(c ∙ f´(x)) = c ∙ f´(x)

2.5 La derivada de la función 𝑔(𝑤) = 8𝑤7 se calcula así:

𝑔´(𝑤) = 8𝑑

𝑑𝑤(𝑤7) = 8[7𝑤7−1] = 56𝑤6

4. Derivada de una suma o de una diferencia de funciones: Sean f, g funciones reales

diferenciables,

Si G = f + g , entonces:

G´(x) = f ′(x) + g′(x).

Si G= f − g, entonces:

G´(x) = f ′(x) − g′(x).

2.6 Calcular la derivada de la siguiente función: 𝑓(𝑥) =

𝑥(3𝑥2 − 10𝑥 + 7)

Multiplicamos para aplicar la derivada de la suma y diferencia

𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥

𝑓´(𝑥) = 3(3𝑥2) − 10(2𝑥) + 7(1)

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 20𝑥 + 7

2.7 La derivada de la función 𝑓(𝑥) =7𝑥3+𝑥

6√𝑥 la calculamos así:

Distribuimos el denominador para obtener una suma de funciones

𝑓(𝑥) =7𝑥3

6√𝑥+

𝑥

6√𝑥

Aplicamos las propiedades de los exponentes


𝑓(𝑥) =7𝑥3

6𝑥1/2+

𝑥

6𝑥1/2=

7

6𝑥5/2 +

1

6𝑥1/2

Calculamos la derivada aplicando las propiedades aprendidas

𝑓´(𝑥) =7

6[5

2(𝑥

52

−1)] +1

6[1

2(𝑥

12

−1)]

𝑓´(𝑥) =35

12𝑥

32 +

1

12𝑥

12

𝑓´(𝑥) =35√𝑥3

12+

√𝑥

12

2. 8 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

indicado.

𝑦 = −√x3

; (8, −2)

Expresando la función en la forma exponencial se tiene:

𝑦 = −√x3

= −x13

Calculamos la derivada, la cual representa la pendiente

y’ = −1

3x−

23 = −

1

3x23

Calculamos la pendiente en el punto (8, −2) esto es cuando 𝑥 = 8

y’ = m = −1

3 (823 )

= −1

3 ∗ 4= −

1

12

Aplicamos la ecuación punto – pendiente

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 + 2 = −1

12(x − 8)

𝑦 = −1

12x −

4

3



2.3 La derivada como razón de cambio


Inicie con una lectura del texto base, revise el Capítulo 11, sección 11.3 La

derivada como razón de cambio.

Ahora, analicemos en forma resumida los aspectos relevantes de la lectura propuesta y

para utilizarlos en ejercicios de aplicación.

Consideremos la gráfica de la función y = f(x). Si el punto P de coordenadas (x, f(x)),

se desplaza hacia Q, entonces x se incrementa en ∆x, mientras f(x) se incrementa en

∆y. Así, se llaman:

∆x : Incremento en x ∆y: Incremento en 𝑦

La razón de cambio promedio es el cociente

∆y

∆x=

f(x + ∆x) − f(x)

∆x

Se interpreta como la pendiente de la recta secante PQ

La razón de cambio instantánea o simplemente razón de cambio es el límite

lim∆x⟶0

∆y

∆x= lim

∆x⟶0

f(x + ∆x) − f(x)

∆x=

dy

dx

Se interpreta como la pendiente de la recta tangente en el punto P.


Si ∆x es muy pequeño, entonces la razón de cambio media se aproxima a la razón de

cambio instantánea, esto es: ∆y

∆x≈

dx

dy

Luego, ∆y ≈dx

dy∆x es el cambio en y.

Las razones de cambio se aplican en todas las ciencias, basta relacionar las variables

dependientes e independientes convenientemente para determinar cuánto cambia

una en relación con la otra.

Por ejemplo si r = f(q) es la función de ingreso total, entonces la razón de cambio del

valor total recibido, con respecto al número de unidades vendidas es la derivada dr

dq. A

ésta razón de cambio se le llama ingreso marginal.

2.9 La función r representa el ingreso total y es una función del número q

de unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal para los valores indicados

de q.

𝐫 = 𝐪 (𝟏𝟓 −𝟏

𝟑𝟎𝐪) 𝐪 = 𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟓𝟎

Expresamos convenientemente la función de ingreso

r = q (15 −1

30q) = 15q −

1

30q2

Calculamos la función de ingreso marginal, ésta es: r´(q) =dr

dq

r´(q) = 15 −1

15q

Calculamos el valor del ingreso marginal para el número de unidades requerido

Si q = 5 ⇒ r′(5) = 15 −1

15(5) =

44

3

Si q = 15 ⇒ r′(15) = 15 −1

15(15) = 14

Si q = 150 ⇒ r′(150) = 15 −1

15(150) = 5

La función c representa el costo de producir q unidades de un producto. Encuentre la función

de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal para los valores dados de q?

𝐜(𝐪) = 𝟎. 𝟎𝟒𝐪𝟑 − 𝟎. 𝟓𝐪𝟐 + 𝟒. 𝟒𝐪 + 𝟕𝟓𝟎𝟎 𝐪 = 𝟓, 𝐪 = 𝟐𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟎𝟎𝟎.

Calculamos la derivada de la función de costo, ésta es el costo marginal

dc

dq= 0.12q2 − q + 4.4


Calculamos el costo marginal para los valores de q requeridos.

Si 𝑞 = 5 entonces dc

dq(5) = 2.4


dq(25) = 54.4


dq(1000) = 119004.4

2. 10 La función �̅� representa el costo promedio por unidad, que es una

función del número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginal y el

costo marginal para los valores indicados de q.

�̅�(𝐪) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝐪𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝐪 + 𝟔 +𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

𝐪 𝐪 = 𝟏𝟎𝟎 ; 𝐪 = 𝟓𝟎𝟎

Calculamos la función de costo 𝑐(𝑞)

Si 𝑐̅ es el costo promedio entonces el costo 𝑐 es: 𝑐(𝑞) = 𝑐̅𝑞

c(q) = c̅q = 0.00002q3 − 0.01q2 + 6q + 20000

Establecemos la función de costo marginal

d

dq(𝑐(𝑞)) = 0.00006q2 − 0.02q + 6

Calculamos el costo marginal para los valores de 𝑞.

Si q = 100 ⇒dc

dq= 4.6

Si q = 500 ⟹dc

dq= 11



2.4 Regla del producto y regla del cociente


Es el momento de realizar una lectura del texto base, revise el Capítulo 11,

sección 11.4 Regla del producto y regla del cociente.

De la lectura propuesta resumimos lo siguiente:

1. Derivada del producto de funciones: Si F = f ∙ g , entonces:

F′(x) = f(x)g′(x) + g(x)f ′(x).

2.11 Diferencie la siguiente función:

𝐲 = (𝐱𝟐 − 𝟏)(𝟑𝐱𝟑 − 𝟔𝐱 + 𝟓) − 𝟒(𝟒𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏)

Realizamos la operación −4(4x2 + 2x + 1) y resulta

y = (x2 − 1)(3x3 − 6x + 5) − 16x2 − 8x − 4

Observamos que existe el producto (x2 − 1)(3x3 − 6x + 5), entonces aplicamos la

fórmula de la derivada del producto solo a ésta expresión

y′ = [(x2 − 1)′(3x3 − 6x + 5) + (3x3 − 6x + 5)′(x2 − 1)] − 32x − 8 y′ = [2x(3x3 − 6x + 5) + (9x2 − 6)(x2 − 1)] − 32x − 8

y′ = 6x4 − 12x2 + 10x + 9x4 − 9x2 − 6x2 + 6 − 32x − 8 y′ = 15x4 − 27x2 − 22x − 2

2. Derivada del cociente de funciones: Si F =f

g con g ≠ 0, entonces :

F′(x) =g(x)f ′(x) − f(x)g′(x)

(g(x))2 .

. 12 Diferencie la siguiente función: 𝐟(𝐱) =𝐱𝟑−𝐱𝟐+𝟏

𝐱𝟐+𝟏

Aplicando la fórmula del cociente se tiene

f ′(x) =(x2 + 1)(x3 − x2 + 1)´ − (x3 − x2 + 1)(x2 + 1)´

(x2 + 1)2

=(x2 + 1)(3x2 − 2x) − (x3 − x2 + 1)(2x)

(x2 + 1)2

=3x4 − 2x3 + 3x2 − 2x − 2x4 + 2x3 − 2x

(x2 + 1)2=

x4 + 3 x2 − 4 x

(x2 + 1)2


=x(x3 + 3x − 4)

(x2 + 1)2


Resuelva los ejercicios 1, 15, 17, 19, 21, 45, 59, 69 de los Problemas 11.4

2.5 Regla de la cadena y regla de la potencia

Es el momento de realizar una lectura del texto base, revise el Capítulo 11,

sección 11.5 Regla de la cadena y regla de la potencia.

En resumen se tiene lo siguiente:

1. Regla de la cadena: Si y = f(u), u = g(x) entonces:

dy

dx=

dy

du∙

du

dx

2.13 Se tienen las siguientes funciones:

𝐳 = 𝐟(𝐲) = 𝟐𝐲𝟐 − 𝟒𝐲 + 𝟓

𝐲 = 𝐠(𝐱) = 𝟔𝐱 − 𝟓

𝐱 = 𝐡(𝐭) = 𝟐𝐭,

Encuentre 𝐝𝐳/𝐝𝐭 cuando 𝐭 = 𝟏

Acoplamos la regla de la cadena a las tres funciones, así:

dz

dt=

dz

dy.dy

dx.dx

dt

=d

dy(2y2 − 4y + 5).

d

dx(6x − 5).

d

dt(2t)

= (4y − 4). (6). (2) dz

dt= 48(y − 1)

Evaluamos dz/dt cuando t = 1

Si t = 1 ⟹ x = 2(1) = 2 ⟹ y = 6(2) − 5 = 7


Entonces resulta:

dz

dt|t = 1

= 48(7 − 1) = 288

2. Regla de la potencia: Si u = f(x) y n ∈ ℝ entonces:

d

dx(u)n = nun−1

du

dx

En forma equivalente tenemos: Si y = un u = f(x) entonces:

y´ = nun−1u´

2.14 Calcular la derivada de la siguiente función:

𝐲 = 𝟕 √(𝐱𝟓 − 𝟑)𝟓𝟑

Expresamos en forma exponencial

y = 7 √(x5 − 3)53= 7(x5 − 3)

53

Aplicamos regla de la derivada de la potencia

y´ = 7 ∗5

3(x5 − 3)

53

−1 d

dx(x5 − 3)

y´ =35

3(x5 − 3)

23(5x4)

y´ =175x4

3√(x5 − 3)23


Resuelva los ejercicios 1, 5, 9, 19, 27, 39, 41, 80 de los Problemas 11.5

CAPITULO 2- derivación1

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