Capítulo 2 - Continuidad y derivación

Capıtulo 2

Continuidad y derivacion

Si nos fijamos en las graficas de las funciones elementales, esta claro que no todas cambian

de la misma manera. Ya se ha distinguido una forma de cambiar, el crecimiento y decreci-

miento. Pero, cuantitativamente, el crecimiento puede ser muy diferente. Ası, las funciones

seno y tangente son crecientes en el intervalo (�⇡/2,⇡/2), pero la funcion seno tiene un creci-

miento “limitado”(mas rapido en las cercanıas del origen, y muy lento cerca de los extremos,

precisamente donde alcanza sus valores maximo y mınimo) y la funcion tangente, en cambio,

crece tan rapido cerca de los extremos que su grafica es casi vertical (y parece claro que debe

ser ası, si queremos que tome todos los valores reales).

¿Como se mide la variacion de una funcion? Si su dominio es el conjunto de los numeros

naturales es muy sencillo. Una funcion con dicho dominio es una sucesion, y si es tal que hace

corresponder 1 7! a

1

, 2 7! a

2

, 3 7! a

3

, . . . , n 7! a

n

, . . . se denota por (an

).

Para estudiar como cambia la sucesion, basta comparar el valor en cada punto n del

dominio con el valor en el siguiente (que es n + 1). Es decir, la variacion viene dada por la

sucesion de diferencias (dn

), donde d

n

= a

n+1

� a

n

.

Pero si el dominio es un intervalo I tal diferencia no puede definirse: dado x 2 I ningun

x

0 2 I, con x

0> x, es el siguiente en I, ya que todos los puntos entre x y x

0 tamben son de I.

Como veremos, la funcion que nos da la variacion cuantitativa de la funcion en cada punto

es la derivada, aunque no existe para todas las funciones. Si una funcion tiene derivada se dice

que es derivable, y para ello debe ser tambien continua. Hablando muy informalmente, las

funciones continuas en un intervalo son las que cambian poco en la cercanıa de cada punto,

de forma que su grafica se puede dibujar de un solo trazo, y las funciones derivables son las

que ademas cambian de forma suave.

Tanto las continuidad como la derivabilidad se definen con precision mediante la nocion

de lımite, que es a la que dedicamos la primera seccion.

2.1. Lımites y continuidad

Definicion (informal). Se dice que un valor real ` es el lımite de una funcion f en un punto

a si el valor de f(x) se aproxima a `, tanto como queramos, siempre que x sea distinto de a

pero este suficientemente cerca de a.

Se escribe lımx!a

f(x) = `, o tambien f(x) �!x!a

`, y se dice que f(x) tiende a ` si x tiende al

punto a.

Antes de dar la definicion mas precisa, notemos que no es necesario que a sea un punto

23

24 CAPITULO 2. CONTINUIDAD Y DERIVACION

del dominio, pero sı que podamos acercarnos a el mediante puntos del dominio. Ademas, el

posible valor que pudiera tener f en a es irrelevante. Por ejemplo, si f : R ! R esta dada por

f(x) =

(0 si x 6= 0,

1 si x = 0

entonces lımx!0

f(x) = 0 (aunque f(0) = 1).

Definicion. Dados D ✓ R y a 2 R, se dice que a es un punto de acumulacion de D si, para

cada � > 0, (a��, a+�)\�D\{a}

�6= ; (es decir, si hay puntos en D arbitrariamente proximos

al punto a pero distintos de a). El conjunto de puntos de acumulacion de D se escribe D

0,

y los puntos de D

0 son entonces aquellos en los que tiene sentido estudiar el lımite de una

funcion de dominio D.

Por ejemplo, si D = (0, 1] entonces D0 = [0, 1], y si D = N entonces D0 = ;.

Si un punto a esta en D pero no en D

0 se dice aislado. Por ejemplo, si D = N entonces

todos sus puntos son aislados.

Definicion. Sean f : D ! R, a 2 D

0 y ` 2 R. Se dice que ` es el lımite de f en a si se cumple

lo siguiente:

Para cada " > 0 existe � > 0 tal que todo x 2 D con 0 < |x�a| < � cumple que |f(x)�`| < ".

`

f(a)

2"

a

2�0

0 < |x� a| < �

0 6) |f(x)� `| < "

`

f(a)

2"

a

2�

0 < |x� a| < � ) |f(x)� `| < "

En el dibujo, para el valor dado de " vemos que el de �

0 de la izquierda no es suficiente,

necesitamos acercarnos mas; sı es suficiente el valor � de la derecha, pues en (a��, a+�)\{a}la grafica queda en la ventana limitada por las alturas ` � " y ` + ". Ademas, en este caso

tambien son distintos ` y f(a).

En la practica casi no haremos uso de la definicion rigurosa, porque para calcular el valor

de los lımites que nos interesen nos apoyaremos en los lımites conocidos de las funciones

elementales.

Antes de decir cuales son dichos lımites, tenemos que ampliar la definicion dada para

considerar los casos en que a, `, o ambos, sean +1 o �1. La notacion es la misma, y la

definicion informal sigue valiendo, si bien la “proximidad” a ±1 no se expresa en terminos

de distancia, sino de ser mayor o menor que una cota.

2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD 25

Definicion. Sea f : D ! R, ` 2 R y a 2 D

0.

a) lımx!a

f(x) = +1 si para cada M 2 R existe � > 0 tal que todo x 2 D con 0 < |x�a| < �

cumple que f(x) > M .

b) lımx!a

f(x) = �1 si para cada M 2 R existe � > 0 tal que todo x 2 D con 0 < |x�a| < �

cumple que f(x) < M .

Si D no esta acotado superiormente:

c) lımx!+1

f(x) = ` si para cada " > 0 existe K 2 R tal que todo x 2 D con x > K cumple

que |f(x)� `| < ".

d) lımx!+1

f(x) = +1 si para cada M 2 R existe K 2 R tal que todo x 2 D con x > K


e) lımx!+1

f(x) = �1 si para cada M 2 R existe K 2 R tal que todo x 2 D con x > K


Si D no esta acotado inferiormente:

f) lımx!�1

f(x) = ` si para cada " > 0 existe K 2 R tal que todo x 2 D con x < K cumple

que |f(x)� `| < ".

g) lımx!�1

f(x) = +1 si para cada M 2 R existe K 2 R tal que todo x 2 D con x < K


h) lımx!�1

f(x) = �1 si para cada M 2 R existe K 2 R tal que todo x 2 D con x < K


`

a

lım

x!a

f(x) = +1, lım

x!+1f(x) = `

Nota. En todos los casos el lımite, si existe, es unico. Tambien puede no existir, por ejemplo

la funcion seno no tiene lımite en +1 ni en �1.


Definicion (funcion continua). Sean f : D ! R y a 2 D \D

0. Se dice que f es continua

en a si lımx!a

f(x) = f(a). Tambien se dice que es continua en a si a es aislado en D. Dado

A ✓ D, se dice que f es continua en A si lo es en todo punto de A. Si se dice sin mas que f

es continua, quiere decirse que lo es en todo su dominio.

Todas las funciones elementales son continuas (en todo su dominio). Tambien es continua

la funcion valor absoluto.

Ejemplo. Sea f(x) =x

3 � 2x2 � x+ 2

2x2 + 2x� 12.

El denominador es igual a 2(x� 2)(x+3), luego el dominio de f es R \ {2,�3}. En cualquier

punto de su dominio el lımite de f es su valor en dicho punto, por ser f una funcion continua.

Por otro lado, el numerador es igual a (x � 2)(x2 � 1), ası que en todo x del dominio f(x)

coincide con la funcion racionalx

2 � 1

2(x+ 3). Pero esta funcion es continua en 2, donde toma el

valor 3/10, y por tanto

lımx!2

f(x) = lımx!2

x

2 � 1

2(x+ 3)=

3

10.

Queda por estudiar el lımite en �3, en +1 y en �1.

Lımites laterales. Se dice que ` 2 R es el lımite por la derecha de f en a si se cumple que:

Para cada " > 0 existe � > 0 tal que todo x 2 D con a < x < a+ � cumple que |f(x)� `| < ".

Se escribe ` = lımx!a

+f(x), o bien f(x) �!

x!a

+`.

Equivale a decir que ` es el lımite en a de la restriccion de f a D \ (a,+1), donde D es

el dominio de f .

Analogamente se define el lımite por la izquierda de f en a ( lımx!a

�f(x)) como el lımite de

la restriccion a D \ (�1, a), y en ambos casos la definicion se amplıa para incluir los valores

` = ±1.

Cuando en un punto a tienen sentido ambos lımites laterales, se cumple que

` = lımx!a

f(x) ()

8<

:

f(x) �!x!a

+`,

f(x) �!x!a

�`.

Si en un punto a del dominio de f ambos lımites laterales existen pero son distintos concluimos

que f no es continua en a. Si son reales se dice que f tiene en a una discontinuidad de salto.

Lımites de las funciones elementales. Con las graficas de las funciones elementales a la

vista, notamos que:

• lımx!+1

log x = +1 , lımx!0

log x = �1.

• lımx!+1

e

x = +1 , lımx!�1

e

x = 0.


• lımx!0

+x

p =

8>><

>>:

0 si p > 0,

1 si p = 0,

+1 si p < 0,

lımx!+1

x

p =

8>><

>>:

0 si p < 0,

1 si p = 0,

+1 si p > 0.

• lımx!�⇡

2+tg x = �1, lım

x!⇡2�tg x = +1, lım

x!⇡2+tg x = �1.

• lımx!+1

arc tg x = ⇡

2

, lımx!�1

arc tg x = �⇡

2

.

2.1.1. Calculo de lımites

En los casos sencillos, para calcular los lımites que nos interesen basta tener en cuenta las

siguientes proposiciones:

Proposicion. Si tomamos lımites en a 2 R o en ±1 y f(x) �! ±1, entonces1

f(x)�! 0.

Por ejemplo, tenemos que1

log xtiende a 0 tanto en 0 como en +1.

Proposicion. Si tomamos lımites en a 2 R o en ±1 y f(x) �! 0, entonces1

|f(x)| �! +1.

Si ademas es f > 0 tenemos que 1/f(x) �! +1, y si f < 0 entonces 1/f(x) �! �1.

Por ejemplo, lımx!0

+

1

x

= +1 (es el caso p = �1 en la lista anterior) pero lımx!0

�

1

x

= �1, y

entonces no existe lımx!0

1/x (aunque lımx!0

1/|x| = +1).

Proposicion (lımites y operaciones). Para lımites en a 2 R o en ±1:

(i) f(x) �! `

1

2 R y g(x) �! `

2

2 R =)

8>>>><

>>>>:

f(x) + g(x) �! `

1

+ `

2

,

f(x)g(x) �! `

1

`

2

,

f(x)

g(x)�! `

1

`

2

si `

2

6= 0.

(ii) f(x) ! ` 2 R y g(x) ! +1 =)

8>><

>>:

f(x) + g(x) �! +1 ,

f(x)g(x) �!(+1 si ` > 0,

�1 si ` < 0.

f(x) ! ` 2 R y g(x) ! �1 =)

8>><

>>:

f(x) + g(x) �! �1 ,

f(x)g(x) �!(�1 si ` > 0,

+1 si ` < 0.

(iii) f(x) �! +1 y g(x) �! +1 =)

8<

:f(x) + g(x) �! +1 ,

f(x)g(x) �! +1 .


f(x) �! �1 y g(x) �! �1 =)

8<

:f(x) + g(x) �! �1 ,

f(x)g(x) �! +1 .

f(x) �! +1 y g(x) �! �1 =) f(x)g(x) �! �1 .

Ejemplo. Sea otra vez f(x) =x

3 � 2x2 � x+ 2

2x2 + 2x� 12.

Ya sabemos que en su dominio es igual ax

2 � 1

2(x+ 3). El numerador tiene lımite 8 en �3, y

el denominador tiende a 0 y es positivo en (�3,+1) y negativo en (�1,�3), por lo que1

2(x+ 3)tiene lımite +1 por la derecha y �1 por la izquierda. Por (ii) resulta entonces que

lımx!�3

+f(x) = +1 y lım

x!�3

�f(x) = �1 ,

y en particular vemos que f no tiene lımite en �3.

Nota. Si resulta que g(x) �!x!b

` y f(x) �!x!a

b, y f(x) 6= b cerca de a, podemos concluir que

g(f(x)) �!x!a

` .

Si ademas g(b) = ` (por ejemplo si g es continua) entonces la salvedad f(x) 6= b no hace falta,

y en la mayorıa de los casos los lımites de las composiciones se resuelven de esta manera.

Ejemplo. lımx!2

exp

✓x

3 � 2x2 � x+ 2

2x2 + 2x� 12

◆= e

3/10

.

Nota. Gracias a la nota anterior y a (i) en la ultima proposicion, podemos afirmar que la

combinacion de funciones continuas (mediante operaciones y composicion) es otra funcion

continua.

Casos de indeterminacion. En los casos no cubiertos en la ultima proposicion no se puede

dar un resultado en general. Distinguimos los siguientes tipos de indeterminaciones:

(a)⇥1 · 0

⇤, lımite de f(x)g(x) con f(x) �! ±1 y g(x) �! 0.

Por ejemplo, si tomamos lımites en +1 vemos que x · (1/x) ! 1, x · (�2/x) ! �2,

x · (1/x2) ! 0, x2 · (1/x) ! +1 y x

2 · (�3/x) ! �1. Y puede no haber lımite, como

le pasa en 0 al producto x · (1/x2).

(b)⇥1�1

⇤, lımite de f(x) + g(x) con f(x) �! +1 y g(x) �! �1.

Por ejemplo, tomando lımites en +1 vemos que (x + 1) � x ! 1, x � (x + 1) ! �1,

x�x ! 0, x2�x = x(x�1) ! +1, x�x

2 ! �1, y no existe el lımite de (x+senx)�x.

Normalmente, para solventar un caso de esta indeterminacion conviene factorizar la

expresion en cuestion.

(c)

0

0

�y

h 11

i, lımite de

f(x)

g(x), con f(x), g(x) �! 0 o bien f(x), g(x) �! ±1.


Aunque suele expresarse de esta manera, en realidad podemos considerar que estamos

en el caso (a), escribiendof

g

= f · 1g

.

Ejemplo (lımites de un polinomio en ±1). Si no es constante y su coeficiente director

es positivo, el lımite en +1 es +1, y el lımite en �1 es bien +1 (si el grado es par) o bien

�1 (si el grado es impar). Se justificarıa como en los siguientes casos,

P (x) = 3x5 � 2x2 + x+ 1 y Q(x) = 2� x� x

4 :

En ambos casos nos encontramos con indeterminaciones del tipo 1�1. Por un lado, P (x) =

x

5

✓3� 2

x

3

+1

x

4

+1

x

5

◆; el parentesis tiende a 3 en ±1, y como x

5 es impar tiene lımites

+1 y �1 respectivamente en +1 y �1, luego P (x) �!x!+1

+1 y P (x) �!x!�1

�1.

Por su parte Q(x) = x

4

✓�1� 1

x

3

+2

x

4

◆, el parentesis tiende a �1 y x

4 tiene lımite +1

en ±1, luego Q(x) �!x!±1

�1.

2.1.2. Equivalencias

Definicion. Dos funciones son equivalentes en s, con s = a, a

+

, a

�,+1 o �1, si

f(x)

g(x)�!x!s

1.

Se escribe f(x) ⇠x!s

g(x), o bien f(x) ⇠ g(x) (x ! s).

Notemos que podemos cambiar el orden entre g y f , ya que f/g �! 1 si y solo si g/f �! 1.

La utilidad de las equivalencias consiste en que podemos sustituir un factor por otro equiva-

lente en s para calcular el valor de un lımite en s, lo que justificamos en dos pasos:

(a) Si f(x) ⇠ g(x) (x ! s) y g(x) �!x!s

L entonces f(x) �!x!s

L (aquı L puede ser real o ±1).

Basta notar que f(x) = g(x) · f(x)g(x)

, donde el primer factor tiende a L y el segundo

factor tiende a 1.

(b) Si f(x) ⇠ g(x) (x ! s), entonces tambien f(x)u(x) ⇠x!s

g(x)u(x) cualquiera que sea u(x)

(es claro por la definicion). Entonces, por lo visto en (a), si sabemos que g(x)u(x) �!x!s

L

concluimos que f(x)u(x) �!x!s

L.

Notemos que f y g son equivalentes si y solo si lo son 1/f y 1/g, por lo que tambien podemos

sustituir un factor del denominador por otro equivalente para hallar el lımite de un cociente.

Ejemplos de equivalencias.

• Si P (x) = a

n

x

n + a

n�1

x

n�1 + · · ·+ a

1

x+ a

0

(y a

n

6= 0), entonces

P (x) ⇠ a

n

x

n (x ! ±1) ,

ya queP (x)

a

n

x

n

= 1 +a

n�1

a

n

1

x

+ · · ·+ a

0

a

n

1

x

n

�!x!±1

1.


• Si P (x) es como antes y a

n

> 0, entonces logP (x) ⇠ n log x (x ! +1):

logP (x)

n log x� 1 =

logP (x)� n log x

n log x=

log�P (x)/xn

�

n log x�!

x!+10 ,

ya queP (x)

x

n

⇠ a

n

x

n

x

n

�! a

n

y el numerador tiende a log an

, y n log x �! +1. Por

tantologP (x)

n log x�!

x!+11 .

• e

x � 1 ⇠ x (x ! 0) , y en general e

g(x) � 1 ⇠ g(x) (x ! s) si g(x) �!x!s

0.

• log(1+x) ⇠ x (x ! 0) , y en general log(1+g(x)) ⇠ g(x) (x ! s) si g(x) �!x!s

0.

log x ⇠ x� 1 (x ! 1) , y en general log g(x) ⇠ g(x)� 1 (x ! s) si g(x) �!x!s

1.

• senx ⇠ x (x ! 0) , y en general sen g(x) ⇠ g(x) (x ! s) si g(x) �!x!s

0.

• arc tg x ⇠ x (x ! 0) , y en general arc tg g(x) ⇠ g(x) (x ! s) si g(x) �!x!s

0.

• (1+x)p�1 ⇠ px (x ! 0) , y en general (1+g(x))p�1 ⇠ p g(x) (x ! s) si g(x) �!x!s

0.

x

p�1 ⇠ p(x�1) (x ! 1) , y en general g(x)p�1 ⇠ p (g(x)�1) (x ! s) si g(x) �!x!s

1.

Ejemplos de uso de las equivalencias.

1) Sea de nuevo f(x) =x

3 � 2x2 � x+ 2

2x2 + 2x� 12. Nos preguntamos por su lımite en ±1.

El numerador y el denominador tienden a +1 o �1. Dado que x

3 � 2x2 � x+2 ⇠ x

3

y 2x2 + 2x� 12 ⇠ 2x2 (x ! ±1), resulta que

f(x) ⇠ x

3

2x2=

x

2(x ! ±1) ,

y por tanto lımx!+1

f(x) = +1 y lımx!�1

f(x) = �1.

2) Veamos que e = lımx!+1

✓1 +

1

x

◆x

:

✓1 +

1

x

◆x

es la exponencial de x log (1 + 1/x), y tenemos que hallar el lımite de este

producto. 1/x tiende a 0 en +1, luego el logaritmo tiende a 0 y estamos ante una

indeterminacion 0 ·1. Por la equivalencia dada

x log

✓1 +

1

x

◆⇠

x!+1x · 1

x

�!x!+1

1 ,

luego

e

x log(1+1/x) �!x!+1

e

1 = e .


3) Buscamos ahora el valor de L = lımx!+1

✓3x� 1

3x+ 3

◆x/4

= lımx!+1

exp

✓x

4log

3x� 1

3x+ 3

◆.

Como3x� 1

3x+ 1tiende a 1 en +1, vemos que

x

4log

3x� 1

3x+ 3⇠

x!+1

x

4

✓3x� 1

3x+ 3� 1

◆=

�x

3x+ 3�!

x!+1�1

3,

y entonces L = e

�1/3 =13pe

.

4) Queremos hallar

L = lımx!1

2x� 23p26 + x� 3

.

El numerador y el denominador tienden a 0, y el numerador es igual a 2(x � 1). Las

equivalencias dadas nos dicen que el denominador es equivalente tambien a una potencia

de x� 1 multiplicada por una constante, lo que nos dara el lımite:

3p26 + x� 3 = (26 + x)1/3 � 3 = 3

"✓26 + x

27

◆1/3

� 1

#

⇠x!1

3 · 13

✓26 + x

27� 1

◆=

x� 1

27,

y entonces2x� 2

3p26 + x� 3

⇠x!1

2(x� 1)

(x� 1)/27= 54 ,

luego L = 54.

5) Se trata de hallar el valor de L = lımx!⇡

logp⇡/x · senx

(⇡ � x)2.

El denominador es una potencia de ⇡ � x, y el numerador tiende tambien a 0 en ⇡.

No podemos sustituir senx por x, ya que dicha equivalencia se da si x ! 0 y estamos

calculando un lımite en ⇡. Pero podemos notar que senx = sen(⇡�x), y la equivalencia

vista nos dice que sen(⇡ � x) ⇠ ⇡ � x (x ! ⇡). Por otra parte ⇡/x tiende a 1, luego

logp⇡/x =

1

2log

⇡

x

⇠x!⇡

1

2

⇣⇡

x

� 1⌘=

⇡ � x

2x,

y ası

logp⇡/x senx

(⇡ � x)2⇠

x!⇡

(⇡ � x)2/(2x)

(⇡ � x)2=

1

2x�!x!⇡

1

2⇡, y

L =1

2⇡.


2.2. Propiedades de las funciones continuas

En esta seccion vamos a exponer los dos teoremas mas importantes que cumplen las

funciones continuas en un intervalo. Son los teoremas de Bolzano y de Weierstrass, y lo que

afirman es intuitivamente claro (sobre todo el primero de ellos) si pensamos que las funciones

continuas son las que permiten dibujar su grafica de un solo trazo.

2.2.1. Teorema de Bolzano (y equivalentes)

Teorema de Bolzano. Sean a < b 2 R, y sea f una funcion continua en [a, b] y tal que

f(a)f(b) < 0 (es decir, f toma en a y b dos valores de signos opuestos). Entonces existe

c 2 (a, b) tal que f(c) = 0.

a

b

c

La explicacion intuitiva es como sigue: si tenemos que pasar caminando sobre la grafica

desde el punto inicial (a, f(a)) hasta el final (b, f(b)), como uno de ellos esta por encima de

la recta y = 0 y el otro esta por debajo de ella tiene que existir algun punto (c, 0) por el que

cruzamos dicha recta, con a < c < b.

Nota. El punto c en el que la funcion se anula no es necesariamente unico (de hecho, en el

ejemplo del dibujo vemos que ademas del resenado hay otros dos, menores que el).

El teorema sirve para asegurar la existencia de valores donde se anula una cierta funcion,

y en particular puede tratarse de las raıces de un polinomio:

Ejemplo (Los polinomios de grado impar tienen al menos una raız real). Sea

P (x) = a

n

x

n + a

n�1

x

n�1 + · · ·+ a

1

x+ a

0

,

de grado n impar. Podemos suponer que a

n

> 0, porque P se anula si y solo si se anula

�P , y si an

< 0 bastarıa entonces considerar �P . Como lımx!+1

P (x) = +1, es claro que

existen valores en los que P es positivo. Sea b uno cualquiera de ellos. Analogamente, como

lımx!�1

P (x) = �1 podemos elegir un valor a en el que P es negativo, y podemos tomarlo de

forma que a < b. Aplicamos el teorema de Bolzano en el intervalo [a, b], y resulta que en (a, b)

hay al menos una raız de P .

Observacion. Si una funcion f continua en un intervalo I no se anula en ningun punto de

I, podemos concluir que el signo de f en todo el intervalo es constante. En efecto, si tomara

signos opuestos en dos puntos de I, por el teorema del Bolzano se deberıa anular en algun

valor entre ambos, que tambien serıa un punto de I.

2.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS 33

Tambien se puede usar el teorema para justificar que dos funciones continuas, f y g, toman

el mismo valor en algun punto: notemos que f(x) = g(x) si y solo si (f�g)(x) = f(x)�g(x) =

0, y la funcion f � g es continua por serlo f y g.

Ejemplo. Toda aplicacion continua f : [0, 1] ! [0, 1] tiene un punto fijo. Es decir, existe

c 2 [0, 1] tal que f(c) = c.

En efecto, sea h : [0, 1] ! R dada por h(x) = f(x) � x. La funcion h es continua porque

lo es f . Ademas, como 0 f(x) 1, tenemos que

h(0) = f(0)� 0 = f(0) � 0,

h(1) = f(1)� 1 0.

Si h(0) = 0, entonces f(0) = 0; si h(1) = 0, entonces f(1) = 1; por ultimo, si h(0) > 0 > h(1),

por el teorema de Bolzano existe algun c 2 (0, 1) tal que h(c) = 0, es decir f(c)� c = 0.

De forma similar al ejemplo anterior, podemos extender el teorema de Bolzano para afirmar

el siguiente:

Teorema (de los valores intermedios o de Darboux). Si f es una funcion continua en

el intervalo [a, b], y t es un valor intermedio entre f(a) y f(b) (es decir, o bien f(a) < t < f(b)

o bien f(b) < t < f(a)), entonces existe c 2 (a, b) tal que f(c) = t.

La explicacion intuitiva es la misma que la del de Bolzano (la grafica debe cruzar la

recta y = t). Para probar este teorema a partir del de Bolzano basta considerar la funcion

h(x) = f(x) � t. Recıprocamente, observemos que el de Bolzano no es mas que el caso

particular t = 0 en el de Darboux.

La misma informacion que nos da el teorema (el de Bolzano o de Darboux) se puede dar

de una manera mas breve como sigue:

Teorema. Si f es continua en un intervalo I, entonces f(I) es tambien un intervalo.

Hay que notar que f(I) sera un intervalo trivial, con un unico elemento, en el caso en que f

sea constante en I.

2.2.2. Extremos absolutos de una funcion. Teorema de Weierstrass

Definicion. Si f es una funcion definida en D, un valor xM

2 D se dice maximo absoluto

de f en D si cumple que f(xM

) � f(x) para todo x 2 D. Analogamente, xm

2 D es mınimo

absoluto de f en D si cumple que f(xm

) f(x) para todo x 2 D.

La expresion puede llevar a equıvoco (pero es la usual), ya que los que son respectivamente

maximo y mınimo no son x

M

ni xm

, sino f(xM

) y f(xm

) (son maximo y mınimo del conjunto

imagen f(D)).


Notas.

• Una funcion puede tener en un mismo dominio mas de un maximo (o mınimo) absoluto

(si bien en todos ellos debera tomar un mismo valor). Por ejemplo, todos los multiplos

enteros de 2⇡ son maximos absolutos de la funcion coseno en R.

• Aunque sea continua en un intervalo, una funcion no tiene necesariamente maximos

y/o mınimos absolutos: por ejemplo, la identidad (x 7! x) no los tiene en (0, 1), y en

[0,+1) tiene mınimo pero no maximo. Notemos que (0, 1) no es cerrado, y [0,+1) no

es acotado.

Teorema de Weierstrass. Si f es una funcion continua en un intervalo cerrado y acotado

[a, b], (donde a, b 2 R, a < b), entonces f tiene maximos y mınimos absolutos en dicho

intervalo.

a

b

s

r

Mınimo absoluto en r, maximo absoluto en s y en a

Observacion. La nota anterior muestra que si el intervalo no es cerrado o no es acotado no

puede asegurarse la existencia de extremos absolutos. Ademas, como vemos en la figura, los

maximos o mınimos no son necesariamente unicos.

Podemos resumir los de Bolzano y de Weierstrass en un solo teorema, para concluir esta

seccion:

Teorema. Sea f una funcion continua en un intervalo I. Entonces f(I) es tambien un inter-

valo. Ademas, si I es cerrado y acotado entonces f(I) es cerrado y acotado.

2.3. DERIVACION 35

2.3. Derivacion

2.3.1. Definicion de la derivada

Definicion. Sean I un intervalo no trivial, una funcion f : I ! R, y x

0

un punto de I. Se

dice que f es derivable en x0 si existe y es real el lımite

lımx!x0

f(x)� f(x0

)

x� x

0

.

En tal caso, su valor es la derivada de f en x0, y se denota por f 0(x0).

Podemos escribir el valor de f en cualquier punto distinto de x

0

como

f(x) = f(x0

) +f(x)� f(x

0

)

x� x

0

(x� x

0

) .

Si existe f

0(x0

) el lımite del termino de la derecha en x

0

es f(x0

), puesto que en el segundo

sumando el cociente tiende a la derivada y el factor x� x

0

tiende a 0. Hemos demostrado lo

siguiente:

Proposicion. Si f es derivable en x

0

, entonces f es continua en x

0

.

Interpretacion geometrica: recta tangente. Supongamos que existe f

0(x0

), y considere-

mos la funcion

r(x) = f(x0

) + f

0(x0

)(x� x

0

).

Es un polinomio de grado 1 cuya grafica y = r(x) es una recta. Su valor en x

0

es r(x0

) = f(x0

),

ası que las graficas y = f(x), y = r(x) coinciden en el punto (x0

, f(x0

)). Por la expresion que

hemos puesto antes de f(x) vemos que

f(x)� r(x)

x� x

0

=f(x)� f(x

0

)

x� x

0

� f

0(x0

) �!x!x0

0.

En general, las rectas (no verticales) que pasan por el punto (x0

, f(x0

)) son de la forma

y = s(x) = f(x0

) + a(x� x

0

), donde a es su pendiente. Como f es continua en x

0

se cumple

para todas ellas que f(x) � s(x) �! 0 en x

0

, pero el cociente (f(x) � s(x))/(x � x

0

) tiene

lımite f

0(x0

)� a, ası que solo es nulo si a = f

0(x0

) y s(x) = r(x).

La recta y = r(x) es en este sentido la que mejor se ajusta a la grafica de y = f(x) en el

punto (x0

, f(x0

)), y se dice la recta tangente a la grafica en dicho punto.

Graficamente, entonces, entendemos la derivada de f en x

0

como la pendiente de la recta

tangente en el punto de la grafica de abscisa x

0

.

Se suele escribir �f(x) = f(x)� f(x0

), el incremento de la funcion al pasar de x

0

a x, y

�x = x � x

0

es el incremento de la variable. La derivada en x

0

es entonces el lımite cuando

x tiende a x

0

del cociente incremental,

f

0(x0

) = lımx!x0

f(x)� f(x0

)

x� x

0

= lımx!x0

�f(x)

�x

.

Una notacion clasica para denotar la derivada esdf

dx

��x=x0

: en los orıgenes del Calculo

Diferencial o Calculo Infinitesimal los conceptos eran menos precisos al no utilizar aun la

nocion de lımite, y se interpretaba la derivada como el valor del cociente incremental cuando

los incrementos se hacen infinitesimales y se escriben como diferenciales.


En el siguiente dibujo, el cociente incremental es la pendiente de la recta secante (la

tangente del angulo ↵

x

senalado), y su lımite cuando x ! x

0

es la pendiente de la recta

tangente y = r(x).

f(x0

)↵

x

↵

�x

�f

y = r(x)

y = f(x)

x

0

↵

x

�!x!x0

↵ , tg↵

x

=

�f(x)

�x

�!x!x0

f

0(x

0

) = tg↵

En Fısica, si a cada valor x de una determinada magnitud (la variable independiente) le

corresponde el valor f(x) de una segunda magnitud (la variable dependiente), el cociente de

incrementos�f(x) � f(x

0

)�/(x � x

0

) corresponde a la variacion media de la variable depen-

diente en el intervalo [x0

, x], y la derivada f

0(x0

) (suponiendo que exista) significa la variacion

instantanea de la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es el tiem-

po, cuando la variable dependiente es el espacio tenemos los conceptos de velocidad media y

velocidad instantanea, que miden como cambia la posicion en el tiempo; cuando la variable

dependiente es la velocidad, la variacion es la aceleracion media y la aceleracion instantanea.

Nota. Podemos tambien considerar lımites laterales, definiendo entonces de manera obvia la

derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una funcion en un punto, cuando

los lımites laterales del cociente de incrementos tengan sentido.

Observacion. Si llamamos h al incremento de la variable x� x

0

, la derivada es el lımite del

cociente incremental cuando h tiende a 0. Como x = x

0

+h, una forma alternativa de escribir

la derivada es

f

0(x0

) = lımh!0

f(x0

+ h)� f(x0

)

h

.

Ejemplos.

1) Si f(x) = x

2 y x

0

= 0, vemos que la derivada es 0, lo que geometricamente significa

que la recta tangente a y = x

2 en (0, 0) es horizontal, concretamente la recta y = 0.

Notemos que contacta con la grafica en el origen sin cruzarla.

lımx!0

f(x)� f(0)

x� 0= lım

x!0

x

2

x

= lımx!0

x = 0 = f

0(0) .

2.3. DERIVACION 37

Analogamente vemos que f

0(0) = 0 si f(x) = x

3, y la recta tangente es la misma, pero

la situacion geometrica es ligeramente distinta, porque en este caso sı cruza la grafica.

y = x

2

y = 0

y = x

3

y = 0

2) La funcion valor absoluto es continua, pero no es derivable en 0; sı tiene derivadas

laterales: la derivada por la izquierda es �1 y la derivada por la derecha es 1.

3) La funcion g : R ! R dada por

g(x) =

8<

:x sen 1

x

si x 6= 0 ,

0 si x = 0

es continua en todos los puntos, pero en 0 no es derivable y ni siquiera tiene derivadas

laterales.

y = |x|

y = g(x)

4) Las equivalencias

log(1 + x) ⇠ x, e

x � 1 ⇠ x, senx ⇠ x y arc tg x ⇠ x (x ! 0)

significan respectivamente que se cumple

lımx!0

log(1 + x)

x

= 1, lımx!0

e

x � 1

x

= 1, lımx!0

senx

x

= 1 y lımx!0

arc tg x

x

= 1 ,

es decir, que las funciones log(1 + x), ex, seno y arco tangente tienen en 0, todas ellas,

derivada igual a 1; geometricamente, que la recta tangente a la grafica de todas ellas en

x = 0 es paralela a la bisectriz y = x.


y = e

x

y = 1 + x

y = senxy = x

Definicion. Se dice que f es derivable en un conjunto A (contenido en su dominio) si lo es

en cada punto de A. La funcion derivada de f es la funcion f

0 dada por x 7! f

0(x). Si

simplemente decimos que f es derivable se sobreentiende que lo es en todo su dominio.

2.3.2. Calculo de derivadas

Observacion. Si f : I ! R es constante, entonces f es derivable y su derivada es la funcion

nula, es decir f 0 = 0.

En efecto, el cociente �f(x)/�x es nulo para todo x, luego su lımite es 0.

Derivadas de combinaciones de funciones:

Proposicion (derivada de la suma y el producto). Sean f, g : I ! R, ambas derivables

en x

0

2 I, y � 2 R. Entonces las funciones f + g, fg y �f son derivables en x

0

, y se cumplen:

(i) (f + g)0(x0

) = f

0(x0

) + g

0(x0

).

(ii) (fg)0(x0

) = f

0(x0

)g(x0

) + f(x0

)g0(x0

).

(iii) (�f)0(x0

) = �f

0(x0

).

Como consecuencia, si f y g son derivables en I se sigue que lo son f + g, fg y �f , con

(f + g)0 = f

0 + g

0, (fg)0 = f

0g + fg

0 y (�f)0 = �f

0.

Veamos la justificacion de (ii):

f(x)g(x)� f(x0

)g(x0

)

x� x

0

=f(x)g(x)� f(x

0

)g(x) + f(x0

)g(x)� f(x0

)g(x0

)

x� x

0

=f(x)g(x)� f(x

0

)g(x)

x� x

0

+f(x

0

)g(x)� f(x0

)g(x0

)

x� x

0

=�f(x)

�x

g(x) + f(x0

)�g(x)

�x

�!x!x0

f

0(x0

)g(x0

) + f(x0

)g0(x0

) .

La de (i) es mas sencilla, y (iii) se sigue de (ii) si consideramos la funcion constante g = �,

ya que g

0 = 0.

2.3. DERIVACION 39

Proposicion (derivada de 1/f). Sea f : I ! R derivable en x

0

2 I, con f(x0

) 6= 0. Entonces

1/f es derivable en x

0

, y ✓1

f

◆0(x

0

) = � f

0(x0

)�f(x

0

)�2

.

En consecuencia, si f es derivable en I y no se anula en I concluimos que (1/f) es derivable

en I, con

✓1

f

◆0= � f

0

f

2

.

Para justificarlo escribimos

1

f(x)� 1

f(x0

)x� x

0

=f(x

0

)� f(x)

x� x

0

· 1

f(x)f(x0

)

= ��f(x)

�x

· 1

f(x)f(x0

)�!x!x0

�f

0(x0

)1

f

2(x0

).

Proposicion (derivada del cociente). Sean f y g derivables en I, de forma que g no se

anula en I. Entonces f/g es derivable en I, y

✓f

g

◆0=

f

0g � fg

0

g

2

.

Para comprobarlo basta aplicar las proposiciones anteriores al producto de f y 1/g. Por

supuesto, se puede dar la proposicion analoga para la derivada del cociente en un punto.

Proposicion (derivada de la composicion de funciones). Si f es derivable en x

0

y g es

derivable en f(x0

), entonces la composicion g � f es derivable en x

0

, y

(g � f)0(x0

) = g

0�f(x

0

)�f

0(x0

) .

Como consecuencia, dadas dos funciones derivables If�! J

g�! R sabemos que la composicion

I

g�f�! R es derivable, con

(g � f)0 = (g0 � f) · f 0.

La justificacion (no del todo rigurosa, porque obviamos el problema de dividir posiblemente

por 0) consiste en escribir

g

�f(x)

�� g

�f(x

0

)�

x� x

0

=g

�f(x)

�� g

�f(x

0

)�

f(x)� f(x0

)· f(x)� f(x

0

)

x� x

0

,

y cuando x ! x

0

el primer factor tiende a g

0�f(x

0

)�y el segundo a f

0(x0

).

Derivadas de las funciones elementales:

• Derivada de una funcion polinomica y racional. Sabemos que la derivada de una

funcion constante es la funcion nula. La derivada de la identidad es la constante 1:

lımx!x0

id(x)� id(x0

)

x� x

0

= lımx!x0

x� x

0

x� x

0

= 1.


La formula ciclotomica nos permite obtener la derivada de p(x) = x

n para n natural y

mayor que 1:

p(x)� p(x0

)

x� x

0

=x

n � x

n

0

x� x

0

= x

n�1 + x

n�2

x

0

+ · · ·+ xx

n�2

0

+ x

n�1

0

�!x!x0

nx

n�1

0

= p

0(x0

).

Por lo que hemos visto para la suma de funciones y el producto por constantes conclui-

mos que, si P es la funcion polinomica de grado n dada por

P (x) = a

n

x

n + a

n�1

x

n�1 + · · ·+ a

2

x

2 + a

1

x+ a

0

,

su derivada P

0 existe y es otra funcion polinomica de grado n� 1,

P

0(x) = na

n

x

n�1 + · · ·+ 2 a2

x+ a

1

.

Aplicando la formula vista para derivar un cociente, sabemos tambien como calcular la

derivada de una funcion racional P (x)/Q(x) (que es derivable en todos los puntos de su

dominio).

En particular, si n es un numero natural, la potencia x

�n =1

x

n

tiene derivada en cada

x igual a

�nx

n�1

x

2n

= � n

x

n+1

= �nx

�n�1

,

ası que la expresion de la derivada de las potencias vale para todos los exponentes enteros

(veremos despues que vale para cualquier exponente real).

• Derivada de la funcion logaritmo. Sin dar la demostracion (que es consecuencia de

su definicion mediante integrales) afirmamos que, para todo x 2 (0,+1),

log0 x =1

x

.

Nota. Si sabemos que la derivada en 1 vale 1, lo que equivale a que la derivada de la

funcion log(1+x) es 1 en x = 0, entonces podemos usar la equivalencia, y comprobamos

que en efecto

log x� log x0

x� x

0

=log(x/x

0

)

x� x

0

⇠x!x0

(x/x0

)� 1

x� x

0

�!x!x0

1

x

0

.

• Derivadas de las funciones seno y coseno. Como ya hemos dicho en una observacion

anterior, la derivada de la funcion seno es la funcion coseno.

Analogamente al caso del logaritmo, podemos justificarlo a partir de la equivalencia

senx ⇠ x (x ! 0) (que equivale a que sen0 0 = 1):

Tenemos que

senx� senx0

= 2 · cos x+ x

0

2· sen x� x

0

2⇠ 2 · cos x+ x

0

2· x� x

0

2(x ! x

0

),

2.3. DERIVACION 41

y entoncessenx� senx

0

x� x

0

⇠x!x0

cosx+ x

0

2�!x!x0

cosx0

.

Ahora, como cosx = sen�x+

⇡

2

�y la derivada de x+

⇡

2es 1, vemos que

cos0 x = sen0�x+

⇡

2

�= cos

�x+

⇡

2

�= sen(x+⇡) = sen(⇡� (�x)) = sen(�x) = � senx .

Es decir, la derivada de coseno es la opuesta de la funcion seno, y tenemos que

sen0 = cos y cos0 = � sen .

• Por la formula para derivar un cociente podemos obtener la derivada de la funcion

tangente: en cada punto x de su dominio vemos que

tg0 x =sen0 x cosx� senx cos0 x

cos2 x=

cos2 x+ sen2 x

cos2 x=

1

cos2 x= 1 + tg2 x ,

ası que

tg0 =1

cos2= 1 + tg2 .

Para obtener las derivadas del resto de las funciones elementales conviene dar un resul-

tado general previo:

Proposicion (derivada de la funcion inversa). Si f : I ! R es inyectiva y derivable

con imagen J y la derivada f

0 no se anula en I, entonces la funcion inversa f

�1 : J ! I

tambien es derivable, de forma que para cada x 2 J

�f

�1

�0(x) =

1

f

0�f

�1(x)�.

Es decir,�f

�1

�0=

1

f

0 � f�1

.

Lo mas complicado de una demostracion es probar que f

�1 es derivable, y no vamos a

entrar en los detalles. Si admitimos que lo es, la formula es cierta porque f � f�1 = id

(la identidad en J), y derivando la composicion resulta que

1 = id0 =�f � f�1

�0= (f 0 � f�1) ·

�f

�1

�0.

• Derivada de la funcion exponencial. Por la proposicion anterior, al ser exp la inversa

de log, cuya derivada no se anula en ningun punto, resulta que

exp0 x =1

log0(expx)=

1

1/ expx= expx .

Es decir, la funcion derivada de exp es ella misma, exp0 = exp.


• Dado a > 0, si f(x) = a

x, es decir f(x) = e

x log a = exp(x log a), concluimos que

f

0(x) = log a · exp(x log a) = (log a) ax ,

f(x) = a

x =) f

0(x) = (log a) ax .

• Dado p 2 R, para cada x > 0 sabemos que x

p = e

p log x = exp(p log x), y la derivada de

esta composicion es exp(p log x) · p log0 x = x

p · p · (1/x), ası que

f(x) = x

p =) f

0(x) = p x

p�1

.

• Derivada de las funciones arco tangente y arco seno. Como la funcion tangente

tiene derivada 1 + tg2, vemos que para todo x 2 R

arc tg0 x =1

tg0(arc tg x)=

1

1 + tg2(arc tg x)

=1

1 + x

2

.

Por su parte, la funcion arco seno es derivable en (�1, 1), donde es la inversa de la

restriccion de la funcion seno al intervalo (�⇡/2,⇡/2) (en el cual no se anula el coseno).

Para cada x 2 (�1, 1), segun hemos visto tenemos que

arc sen0 x =1

sen0(arc senx)=

1

cos(arc senx).

Como cos2(arc senx)+sen2(arc senx) = cos2(arc senx)+x

2 = 1 resulta que cos2(arc senx) =

1 � x

2 y, como el coseno de arc senx es positivo, entonces cos(arc senx) =p1� x

2, y

por tanto

arc sen0 x =1p

1� x

2

(�1 < x < 1) .

• Derivadas del seno y coseno hiperbolicos. Es muy sencillo, por su definicion en

terminos de la exponencial, comprobar que

senh0 = cosh y cosh0 = senh .

Como ya dijimos, la inversa del seno hiperbolico, o sea la funcion argumento seno hi-

perbolico, admite la expesion log(x+p1 + x

2), de la que facilmente se obtiene que para

cada x 2 Rarg senh0 x =

1p1 + x

2

.

2.3. DERIVACION 43

2.3.3. El teorema del valor medio. Aplicaciones

Intuitivamente, por su significado geometrico, es claro que el signo de la derivada determina

si f es creciente o decreciente. El teorema que nos permite justificarlo (cuando el signo sea

el mismo en todo un intervalo) es el teorema del valor medio, que resulta ser el teorema mas

importante en el Calculo Diferencial y tiene una aplicacion decisiva tambien en el Calculo

Integral (como veremos). El teorema es a su vez consecuencia de un resultado basico acerca

de los extremos de una funcion, con el que comenzamos la seccion.

Definicion (extremos relativos). Sean f : D ! R y x

0

2 D. Se dice que x0

es un maximo

relativo (o maximo local) de f si existe un � > 0 tal que todo x 2 D con |x�x

0

| < � cumple

que f(x) f(x0

).

Se dice que x

0

es un mınimo relativo (o mınimo local) de f si existe un � > 0 tal que

todo x 2 D con |x� x

0

| < � cumple que f(x) � f(x0

).

En particular, cualquier extremo absoluto es tambien un extremo relativo, porque cual-

quier � > 0 cumple la condicion.

a s

t

u v w

b

y = f(x)

extremos de f : (�1, b] ! R

Para la funcion f del dibujo, todos los puntos de [a, s) son maximos absolutos, y no hay

mınimos absolutos. Sı son mınimos relativos t, v y b, y tambien son maximos relativos u y w.

El punto s no es extremo relativo.

Definicion. Sea A ✓ R y c 2 R. Se dice que c es un punto interior de A si para algun � > 0

se verifica que (c� �, c+ �) ✓ A.

Ejemplo. Si I es un intervalo, sus extremos no son puntos interiores, pero los demas puntos

sı lo son.

Proposicion. Sea f : D ! R, y x

0

un punto interior de D. Si x0

es un extremo relativo de

f y ademas f es derivable en x

0

, entonces f 0(x0

) = 0.


Para demostrarlo, supongamos que f tiene en x

0

un maximo relativo (si es un mınimo

relativo, solo hay que cambiar de sentido algunas desigualdades o pasar a la funcion opuesta).

Como x

0

es un punto interior de D y f es derivable en x

0

, existen las dos derivadas laterales

de f en x

0

y coinciden. Es decir,

f

0(x0

) = lımx!x

+0

f(x)� f(x0

)

x� x

0

= lımx!x

�0

f(x)� f(x0

)

x� x

0

.

Existe un valor h > 0 tal que (x0

� h, x

0

+ h) esta contenido en D y x

0

es maximo absoluto

de f en dicho intervalo. Considerando los signos de los numeradores y denominadores, vemos

que:

si x 2 (x0

� h, x

0

), entoncesf(x)� f(x

0

)

x� x

0

� 0,

si x 2 (x0

, x

0

+ h), entoncesf(x)� f(x

0

)

x� x

0

0,

de donde se deduce que

f

0(x0

) = lımx!x

�0

f(x)� f(x0

)

x� x

0

� 0,

f

0(x0

) = lımx!x

+0

f(x)� f(x0

)

x� x

0

0,

y finalmente que f

0(x0

) = 0.

Nota. Si suprimimos la condicion de que c sea punto interior el resultado es falso. Por ejemplo,

la funcion f(x) = x definida en el intervalo [0, 1] tiene extremos en los puntos 0 y 1, y f es

derivable en los dos puntos, pero su derivada no es 0, sino 1 en ambos.

Como otro ejemplo (grafico), en la funcion f del dibujo anterior podemos aplicar el teorema

a los puntos de (a, s), v y w, y comprobamos que en todos ellos la derivada es nula (la recta

tangente es horizontal); pero no a los puntos a, t ni u (porque no tienen derivada) ni tampoco

a b (que tiene derivada no nula), porque no es interior.

Nota. La derivada puede anularse en un punto interior sin que este sea extremo relativo: por

ejemplo, la de f(x) = x

3 se anula en 0, pero dicha funcion es creciente en R, y por tanto no

tiene extremos relativos.

Observacion. Un punto del dominio de una funcion es un punto crıtico si es un punto interior

en el que la derivada se anula. Tambien convendremos que lo es si no es un punto interior o

si en dicho punto no existe la derivada.

Por la proposicion anterior, los posibles puntos extremos de una funcion en un intervalo

habremos de buscarlos entre los puntos crıticos. Si una funcion f es derivable en todo el inter-

valo, eso nos lleva a plantearnos la ecuacion f

0(x) = 0 y considerar, como posibles extremos,

las soluciones de dicha ecuacion y los extremos del intervalo (si pertenecen a el).

Sin embargo, como hemos visto en el ejemplo anterior, no todo punto crıtico es extremo

relativo. Suele ser mejor, por los teoremas que vemos a continuacion, plantearnos en cambio

las inecuaciones f

0(x) > 0 y f

0(x) < 0, ya que ası conoceremos los intervalos de crecimiento

y decrecimiento, y de paso los extremos relativos.

2.3. DERIVACION 45

Teorema (de Rolle). Sean a < b, y sea f una funcion continua en [a, b] y derivable en (a, b)

y tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c 2 (a, b) tal que f

0(c) = 0.

Se demuestra como sigue: puesto que f es continua en [a, b], sabemos que tiene maximo y

mınimo absolutos en [a, b], por el teorema de Weierstrass.

Si ambos extremos absolutos estan en a y b, entonces f tiene que ser constante, ya que

f(a) = f(b). En tal caso la derivada se anula en todos los puntos de (a, b).

En caso contrario, f tiene algun extremo absoluto (que tambien es relativo) en un punto

interior c 2 (a, b). Y es derivable en c, por lo que el teorema anterior asegura que f

0(c) = 0.

a

b

c

Teorema de Rolle

a

c

b

Teorema del valor medio

Teorema (del valor medio). Sean a < b, y sea f una funcion continua en [a, b] y derivable

en (a, b). Entonces existe al menos un punto c 2 (a, b) tal que

f

0(c) =f(b)� f(a)

b� a

,

o equivalentemente

f(b)� f(a) = f

0(c)(b� a).

Es una consecuencia del de Rolle: si definimos

g(x) = f(x)� f(b)� f(a)

b� a

(x� a),

entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y ademas g(a) = f(a) = g(b). Por lo

tanto existe c 2 (a, b) tal que g

0(c) = 0, es decir f 0(c) =f(b)� f(a)

b� a

.

El teorema del valor medio afirma que la variacion media de f en el intervalo coincide con

la variacion instantanea en algun punto del intervalo. Por ejemplo, si un vehıculo ha recorrido

180 km en 2 horas podemos asegurar que en algun instante ha marchado exactamente a 90

km/h.

Geometricamente, la pendiente de la cuerda que une los extremos de la grafica coincide

con la pendiente de la tangente en algun punto.


Signo de la derivada y monotonıa.

Se llama interior de un conjunto al subconjunto formado por sus puntos interiores. En

particular, el interior de un intervalo es el mismo intervalo prescindiendo de sus extremos (si

es que forman parte de el), de forma que es un intervalo abierto.

Supongamos entonces que I es un intervalo no trivial, y que f es una funcion continua en I

y derivable en su interior.

(i) Si f 0 = 0 en todo el interior de I, entonces f es constante en I.

(ii) Si f 0> 0 en todo el interior de I, entonces f es creciente en I.

(iii) Si f 0 � 0 en todo el interior de I, entonces f es no decreciente en I.

(iv) Si f 0< 0 en todo el interior de I, entonces f es decreciente en I.

(v) Si f 0 0 en todo el interior de I, entonces f es no creciente en I.

En efecto, sean x < y 2 I. Por el teorema del valor medio, existe c 2 (x, y) tal que

f(y)� f(x) = f

0(c)(y � x) .

Como y � x > 0, el signo de f(y)� f(x) es el signo de f

0(c).

En el caso (i) deducimos que f(y) = f(x) (y por tanto f es constante, pues esto es para

cualesquiera x, y).

En el caso (ii) deducimos que f(y) > f(x) si y > x, ası que f es creciente en I. Los casos

restantes son analogos.

Ejemplo. Veamos que, para todo x > 0, x� 1

3x

3

< arc tg x.

En efecto: tomamos la funcion f : R ! R dada por f(x) = arc tg x� x+x

3

3. Es una funcion

derivable, y su derivada es

f

0(x) =1

1 + x

2

� 1 + x

2 =x

4

1 + x

2

.

Por lo tanto f

0(x) > 0 para todo x 2 (0,+1), y la funcion f es estrictamente creciente en el

intervalo cerrado [0,+1). En particular, para todo x > 0 se tiene f(0) < f(x), es decir,

0 < arc tg x� x+1

3x

3

,

que es lo que querıamos demostrar.

2.3. DERIVACION 47

y = arc tg x

y = x� 1

3

x

3

Ejemplo. Sea g(x) = x� e log x, definida en el intervalo (0,+1). Es una funcion derivable,

y para cada x > 0

g

0(x) = 1� e

x

=x� e

x

,

luego g

0(x) < 0 si x 2 (0, e). Por lo tanto g es estrictamente decreciente en el intervalo

(0, e ] (observemos que podemos incluir el punto e, pero no 0). Por otra parte, g0(x) > 0 si

x 2 (e,+1), ası que g es estrictamente creciente en el intervalo [ e,+1) (de nuevo podemos

incluir el punto e). Deducimos que g tiene un mınimo absoluto estricto en e, que quiere decir

que en cualquier otro punto la funcion es estrictamente mayor que su valor en e,

0 = g(e) < g(x) = x� e log x.

Dicho de otra manera, e log x < x para cada x positivo y distinto de e. Ademas, la funcion g

no tiene mas extremos relativos ni absolutos.

e

y = x� e log x

La funcion x� e log x

Nota. Dado que e ⇠ 2,72 y ⇡ ⇠ 3,14, los valores de e

⇡ y ⇡

e deben ser bastante similares.

¿Cual de ellos es mayor?

Como estamos comparando e

⇡ con e

e log ⇡ y la exponencial es creciente, basta comparar

los exponentes ⇡ y e log ⇡. En otras palabras, el orden entre e

⇡ y ⇡

e es el orden entre sus

logaritmos (porque el logaritmo es creciente), que son ⇡ y e log ⇡. El ejemplo anterior nos dice

que e log ⇡ < ⇡, ası que

⇡

e

< e

⇡

(de hecho ⇡

e ⇠ 22,46 y e

⇡ ⇠ 23,14).


Ejemplo. Hacemos un cercado rectangular con L metros de valla y una pared recta. ¿Que

dimensiones debe tener para conseguir que el area cercada sea la maxima posible?

x x

y

Si los lados perpendiculares a la pared miden x y el de la pared mide y, el area es A = xy.

Como 2x + y debe ser igual a L, podemos escribir A como una funcion de x, simplemente

A(x) = x (L� 2x) = Lx� 2x2, y estudiar el maximo de dicha funcion continua en su dominio

(0, L/2). Para estudiar la variacion de A estudiamos su derivada,

A

0(x) = L� 4x .

Podemos llegar correctamente a la solucion con dos argumentaciones distintas:

• La derivada es positiva si x 2 (0, L/4) y es negativa si x 2 (L/4, L/2). Por tanto L es

creciente en (0, L/4] y decreciente en [L/4, L/2), y el maximo se alcanza en L/4, ası que

debemos tomar x = L/4 e y = L/2 (el valor del area maxima es A(L/4) = L

2

/8).

• Si admitimos los valores x = 0 y x = L/2 (con area nula) la funcion A es continua en

[0, L/2], y tiene al menos un maximo absoluto que debe estar en el interior, y por tanto

tendra derivada nula. Pero la derivada solo se anula si x = L/4, ası que ese es el valor

buscado.

2.3.4. La regla de L’Hospital

Se trata de una aplicacion al calculo de lımites, muy util, del teorema del valor medio (en

una version mas general que veremos luego).

Teorema (regla de L’Hospital). Sean I un intervalo, f, g : I ! R y s uno de los sımbolos

a, a

+

, a

�,+1,�1 (a 2 R) tal que tiene sentido tomar lımites para f y g cuando x ! s.

Supongamos que:

a) f y g son derivables en I y g

0 no se anula en I.

b) se verifica alguna de las tres condiciones siguientes:

lımx!s

f(x) = lımx!s

g(x) = 0,

lımx!s

g(x) = +1,

lımx!s

g(x) = �1.

2.3. DERIVACION 49

c) existe lımx!s

f

0(x)

g

0(x)= L 2 R [ {±1}.

Entonces existe el lımite de f(x)/g(x) y es igual a L:

lımx!s

f(x)

g(x)= lım

x!s

f

0(x)

g

0(x)= L.

Ejemplo (comparacion de infinitos).

1) Si p > 0, entonceslog x

x

p

�!x!+1

0 y x

p log x �!x!0

+0 .

El primer lımite es el cociente entre f(x) = log x y g(x) = x

p, que tienden a +1. En

este casof

0(x)

g

0(x)=

1/x

p x

p�1

=1

p x

p

�!x!+1

0,

por lo que tambienf(x)

g(x)�!

x!+10.

Para aplicar L’Hospital al segundo, escribimos xp log x =log x

x

�p

=f(x)

g(x), (g(x) �! +1).

Entoncesf

0(x)

g

0(x)=

1/x

�p x

�p�1

= �x

p

p

�!x!0

+0,

luegof(x)

g(x)�!x!0

+0.

2) Si a > 1 y p > 0, entoncesx

p

a

x

�!x!+1

0.

a) Si p = 1 aplicamos la regla de L’Hospital a f(x) = x y g(x) = a

x (con lımite +1).

Ahora tenemosf

0(x)

g

0(x)=

1

(log a) ax�!

x!+10,

y por tantox

a

x

�!x!+1

0.

b) Para otro valor de p notamos que

x

p

a

x

=

✓x

(a1/p)x

◆p

,

y como a

1/p

> 1 ya sabemos quex

(a1/p)x�!

x!+10, luego

✓x

(a1/p)x

◆p

�!x!+1

0.

La regla de L’Hospital se basa en el siguiente resultado:

Teorema (del valor medio generalizado). Sean a < b, y f, g dos funciones continuas en

[a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe al menos un punto c 2 (a, b) tal que

f

0(c)�g(b)� g(a)

�= g

0(c)�f(b)� f(a)

�.


Notemos que, si g(x) = x, obtenemos el teorema del valor medio. La demostracion se basa,

tambien, en el teorema de Rolle: basta tomar la funcion h dada por

h(x) = f(x)�g(b)� g(a)

�� g(x)

�f(b)� f(a)

�.

h es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y h(a) = h(b), luego existe algun c 2 (a, b) tal que

h

0(c) = 0, es decir f 0(c)�g(b)� g(a)

�� g

0(c)�f(b)� f(a)

�= 0.

Todos los casos de la regla de L’Hospital se pueden reducir (no es obvio) al caso s = a

+

con f, g ! 0, y entonces podemos considerar que f(a) = g(a) = 0, de modo que f y g

son continuas en a. Para cualquier x > a en el intervalo I, por el teorema del valor medio

generalizado existe y entre a y x tal que

f(x)

g(x)=

f(x)� f(a)

g(x)� g(a)=

f

0(y)

g

0(y).

Por tanto, sif

0(y)

g

0(y)�!y!a

+L resulta que

f(x)

g(x)�!x!a

+L.

Capítulo 2 - Continuidad y derivación

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Transcript of Capítulo 2 - Continuidad y derivación