Capítulo 2 - cee.uma.ptcee.uma.pt/edu/Bioest/teorica/capitulo2.pdf · Regras Básicas para o...

Ana M. Abreu - 2006/07

Slide 1Capítulo 2

Probabilidades


Slide 2Definições

Acontecimento

Qualquer colecção de resultados de umaexperiência.

Acontecimento elementar

Um resultado que não pode ser simplificado oureduzido.

Espaço de resultados- ΩΩΩΩ

Constituído por todos os acontecimentoselementares.


Slide 3

Notação das Probabilidades

P - denota a probabilidade.

A, B , e C - denota acontecimentos específicos.

P (A) - denota a probabilidade de ocorrer o acontecimento A.


Slide 4Regras Básicas para o

Cálculo das ProbabilidadesRegra 1: Frequência Relativa;

Aproximação da ProbabilidadeRealize (ou observe) a experiência um grande nº de vezes, e conte o nº de vezes emque ocorreu o acontecimento A. Baseadonestes resultados, P(A) é estimada como se segue:

P(A) = nº de vezes que A ocorreu

nº de vezes que a experiência se realizou


Slide 5Regras Básicas para o

Cálculo das ProbabilidadesRegra 2: Abordagem Clássica (RequerAcontecimentos Equiprováveis)

Suponha que uma experiência é composta por nacontecimentos elementares distintos, em que cada um tem a mesma possibilidade de ocorrer. Se o acontecimento A pode ocorrer em k desses nacontecimentos elementares, então

P(A) = nº de vezes que A pode ocorrer

nº de acontecimentos elementares distintos

kn =


Slide 6Lei dos Grandes Números

Quando uma experiência é repetida um grande nº de vezes, o valor da frequência relativa (regra 1) de um acontecimento tende a se aproximar do valor da verdadeira probabilidade.


Slide 7Exemplo

Cartas Num baralho de cartas, planeia apostar na saídade uma carta de copas. Qual a probabilidade de perder?

Solução Um baralho tem 52 cartas, 13 das quais sãocopas, e as restantes 52-13= 39 não. Cada carta tem a mesma possibilidade de ser retirada do baralho. Como o espaço de resultados é constituído por acontecimentos equiprováveis, usamos a abordagem clássica (regra2) e obtemos

P(perder) =37383952


Slide 8Valores daProbabilidade

A probabilidade de um acontecimento certo é 1.

•

A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (zero).

0 ≤≤≤≤ P(A) ≤≤≤≤ 1 para qualquer acontecimento A.


Slide 9Valores Possíveis para as

Probabilidades

Figura 2-1


Slide 10Definição

O complementar do acontecimento A, denotado por Ac, consiste em todos os acontecimentos nos quais o acontecimento A não ocorre.


Slide 11Arredondamento do Valor das Probabilidades

Quando se apresenta o valor de umaprobabilidade, ou se indica a fracçãoexacta ou se faz um arredondamento com 3 casas decimais.


Slide 12Resumo

Nesta secção apresentámos:

Regras da Probabilidade.

Lei dos Grandes Números.

Acontecimentos Complementares.

Arredondamento das Probabilidades.


Slide 13

Reunião de acontecimentos

Definição

Notação

P(A ou B) = P(A ∪∪∪∪ B)=

= P (o acontecimento A ocorre ou o acontecimento B ocorre ou ambos

ocorrem)


Slide 14

Para determinar a probabilidade de o acontecimento A ou B ocorrer, determine a probabilidade de A ocorrer e aprobabilidade de B ocorrer; em seguida determine o total de tal forma que nenhum acontecimento seja contado mais do que uma vez.

Regra Geral para a Reunião de Acontecimentos


Slide 15Reunião de Acontecimentos

Regra formal

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

onde P(A e B) denota a probabilidade de A e Bocorrerem simultaneamente. A igualdade anterior também se escreve na forma

P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B)


Slide 16Definição

Figuras 2-2 e 2-3

Os acontecimentos A e B são disjuntos(ou mutuamente exclusivos) se nãopodem ocorrer em simultâneo.


Slide 17Aplicando a Regra da Reunião de Acontecimentos

P(A ou B)

A e Bsão

disjuntos?

Não

P(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B)

SimP(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B)P(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B)

Figura 2-4


Slide 18

Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz.

Passageiros do Titanic

Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais

Sobreviventes 332 318 29 27 706Mortos 1360 104 35 18 1517

Totais 1692 422 64 56 2223

Exemplo


Slide 19

Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz.

P(homem ou rapaz) = 1692 + 64 = 1756 = 0.7902223 2223 2223

Homens Mulheres Rapazes Raparigas TotaisSobreviventes 332 31829 27 706Mortos 1360 10435 18 1517

Totais 1692 422 64 56 2223

* Disjuntos *

Exemplo


Slide 20

Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um sobrevivente.


Totais 1692 42264 56 2223

Exemplo


Slide 21

P(homem ou sobrevivente) =1692 + 706 - 332 = 20662223 2223 2223 2223


Totais 1692 42264 56 2223

Determinar a probabilidade de seleccionar ao acaso umhomem ou um sobrevivente.

* NÃO Disjuntos *

= 0.929

Exemplo


Slide 22Acontecimentos Complementares

P(A) e P(Ac)são

mutuamente exclusivos

Todos os acontecimentos elementares ou estão em A ou em Ac.


Slide 23

P(A) + P(Ac) = 1, logo

P(Ac) = 1 – P(A),

P(A) = 1 – P(Ac)

Regras dos Acontecimentos Complementares


Slide 24Diagrama de Venn para oAcontecimento Complementar

de A

P(A)P(A)

P(Ac)=1-P(A)

Area Total =1ΩΩΩΩ

Figura 2-5


Slide 25

Resumo

Nesta secção estudámos:

Cálculo da reunião de acontecimentos.

Acontecimentos complementares.

Acontecimentos disjuntos.


Slide 26Notação

P(A e B) = P(A ∩∩∩∩ B)

P(o acontecimento A ocorre na 1ª experiência e o acontecimento Bocorre na 2ª experiência )


Slide 27Princípio Importante

É importante notar que a probabilidadedo 2º acontecimento deve ser calculadatendo em conta que o 1º acontecimentojá ocorreu.


Slide 28Notação para a

Probabilidade Condicional

P(B|A) representa a probabilidade de o

acontecimento B ocorrer após o

acontecimento A ter ocorrido (lê-se B|A

como “ B dado A.”)


Slide 29Definições

Acontecimentos Independentes

• Dois acontecimentos A e B são independentesse a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Se A e Bnão são independentes, dizem-se dependentes.


Slide 30

Algumas Regras Formais

P(A e B) = P(A ∩∩∩∩ B) = P(A)• P(B|A)

Temos também P(A ∩∩∩∩ B) = P(B) • P(A|B)

Note que se A e B são acontecimentos independentes, P(B|A) é igual a P(B) e P(A|B) é igual a P(A).


Slide 31Aplicando as regras de acordo com a independência

P(A e B)

A e Bsão

independentes?

Não

P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) . P(B|A)

= P(B) . P(A|B)

SimP(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B)P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) . P(B)

P(A e B)

Figura 2-6


Slide 32Em suma

Na regra da probabilidade da reunião de acontecimentos, a palavra “ou” em P(A ou B) sugere adição. Adicione P(A) e P(B), mas de tal forma a que cadaacontecimento seja considerado apenas uma vez.

Na regra da probabilidade condicionada, a palavra “e ” em P(A e B) sugere multiplicação. Multiplique P(A) e P(B), mas certifique-se de que a probabilidade do acontecimento B tem em conta o facto de que o acontecimento A já ocorreu.


Slide 33Definição

P(B A ) = P(A e B)

P(A)

A probabilidade condicionada de um acontecimento é a probabilidade obtida com a informação adicional de que um outro acontecimento já ocorreu. P(B | A) denota a probabilidade condicionada de o acontecimento B ocorrer, dado que o acontecimento A já ocorreu, e pode ser

calculado dividindo a probabilidade de os acontecimentos A e B ocorrerem pela probabilidade de ocorrer o acontecimento A :


Slide 34Verificando a Independência

Já sabemos que os acontecimentos A e B são independentes se a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente, temos:

Dois acontecimentos Ae B são independentes se

Dois acontecimentos Ae B são dependentes se

P(B | A) = P(B)

ou

P(A | B) = P(A)

ou

P(A e B) = P(A) . P(B)

P(B | A) ≠ P(B)

ou

P(A | B) ≠ P(A)

ou

P(A e B) ≠ P(A) . P(B)


Slide 35

“Pelo menos um” é equivalente a “um ou mais.”

O complementar de obter pelo menos um item é o mesmo do que não obter qualquer item.

Complementos: a Probabilidade de “Pelo Menos Um”


Slide 36Exemplo

Sexo de uma criança. Determine a probabilidade de um casal com 3 filhos ter pelo menos uma menina. Considere que a probabilidade de nascer menina é a mesma do que a probabilidade de nascer rapaz e queo sexo de uma criança é independente do sexo dos irmãos.

Solução

Passo 1: Use um símbolo (letra) para representar o acontecimento em causa. Neste caso, seja A =“o casal ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos”.


Slide 37

Solução (cont.)

Passo 2: Identifique o acontecimento complementar de A.

Ac = “o casal não ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos”

= “os 3 filhos são rapazes”

= rapaz e rapaz e rapaz

Exemplo

Passo 3: Determine a probabilidade do complementar :

P(A) = P(rapaz e rapaz e rapaz)

= 1. 1. 1 = 0.125

2 2 2


Slide 38Exemplo

Solução (cont)

Passo 4: Determine P(A) através do cálculo de

P(A) = 1-0.125 = 0.875

Interpretação Um casal com 3 filhos, tem uma

probabilidade 0.875 de ter, pelo menos, uma

menina.


Slide 39Princípio Chave

Para determinar a probabilidade de pelo menos um , calcule a probabilidade de nenhum , e depois subtraia o resultado a 1. Ou seja,

P(pelo menos um) = 1 – P(nenhum)


Slide 40Resumo

Nesta secção estudámos:

Notação para P(A e B).

Notação para a probabilidadecondicionada.

Acontecimentos independentes.

Definição formal para o cálculo daprobabilidade condicionada.

Noção de “pelo menos um”.

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