MECÁNICA DEFLUIDOS

Los fluidos desempeñan un papel crucial en muchos aspectos de la vida cotidia­na. Los bebemos, respiramos y nadamos en ellos; circulan por nuestro organis­

mo y controlan el clima. Los aviones vuelan en ellos y los barcos flotan en ellos. Unfluido es cualquier sustancia que puede fluir; usamos el ténnino tanto para líquidoscomo para gases. Normalmente, pensamos que los gases son fáciles de comprimir yque los liquidos son casi incompresibles, empero hay casos excepcionales.

Comenzaremos nuestro esrudio con la estática de fluidos, o sea el estudio defluidos en reposo en situaciones de equilibrio. Al igual que otras situaciones de equi­librio, ésta se basa en la primera y tercera leyes de Ncwlon. Exploraremos los con­ceptos clave de densidad, presión y flotación. La dinámica de fluidos, es decir, elestudio de fluidos en movimiento, es mucho más compleja; de hecho, es una delas ramas más complejas de la mecánica. Por fortuna, podemos analizar muchassituaciones importantes usando modelos idealizados sel)cillos y los principios queya conocernos, corno las leyes de Newton y la conservación de la energía. Aun así,apenas tocaremos la superficie de este tema tan amplio e interesante.

14.1 I Densidad

Una propiedad importante de cualquier material es su densidad, la cual es definidacomo su masa por unidad de volumen. Un material homogéneo, como el hielo o elhierro, tiene la misma densidad en todas sus partes. Usamos la letra griega p (ro) pa­ra la densidad. Si una masa m de material tiene un volumen V, la densidad p es

Este ciclista olimpico monta una bicicletacstacionaria en un túnel de viento. Obser·vando el flujo de aire en tomo a su cuerpo(con la ayuda de cstelas de humo), loscientíficos pueden determinar qué diseñosde bicicleta y técnicas de ciclismo reducenal mínimo la resistencia del aire y aumen­tan al máximo el desempeño.

En diversos puntos alrededor del

ciclista, el aire se ve obligado a pasar

por marcadas constricciones (como entre

el brazo y el tronco). ¿Esto hace que el

aire se frene, se acelere o ning~na de las

dos cosas?

515

, ,

516 CAPftULO 14 I Mecánica de fluidos

1 g/cm3 = 1000 kglm3

resulta útil. En la tabla 14.1, se dan las densidades de varias sustancias comunes atemperaruras ordinarias (véase lambién la Fíg. 14.1). Observe la amplia gama demagnitudes. El material más denso que se encuentra en la Tierra es el metal osmio(p = 22,500 kg/m3), pero esto no es nada en comparación con la densidad de losobjetos astronómicos exóticos como las estrellas enanas blancas y las estrellas deneutrones.

La densidad de algunos materiales varia de un PUnlO a otro dentro del material;ejemplos de ello son la atmósfera terrestre (que es menos densa a mayor altitud) ylos océanos (que son más densos a grandes profundidades). En el caso de estos ma·teriales, la ecuación (J4, 1) describe la densidad media. En general, la densidad deun material depende de los factores ambientales como la temperatura y la presión.

La unidad de densidad en el SI es el kilogramo por metro cúbico (1 kglmJ).

También se usa mucho la unidad cgs, gramo por centímetro cúbico (1 g/cm3). El

factor de conversión

(14.1)

7.8 X IOl

8.6 X Uf8.9 X lo'

10.5 X 10'11.3 X 10'13.6 x 10'19.3 X 10'21.4 X 10'

1010

1011

Densidad(kglrnJ )·

(definición de densidad)m

p~­

V

Tabla 14.1 Densidadesae algunas sustancias comunes

Material Densidad (kglrn3 ). l\'1aterial

La gravedad específica de un material es la razón entre su densidad y la delagua a 4.0°C. 1000 kg/m); es un número puro sin unidades. Por ejemplo, la grave­dad específica del aluminio es 2.7. Aunque "gravedad especifica" no es un buenténnino, pues nada tiene que ver con la gravedad; habria sido mejor la definiciónde "densidad relativa".

La medición de la densidad es una técnica analítica imponante. Por ejemplo,podemos detenninar el nivel de carga de un acumulador midiendo la densidad desu electrólito, o sea una disolución de ácido sulfUrico (H2S04). Al descargarse labatería, el H2S04 se combina con el plomo de las placas del acumulador para for­mar sulfato de plomo (PbS04) insoluble, lo que reduce la concentración de la di­solución. ~a densidad baja de cerca de 1.30 X 103 kg/m3 en un acumuladorcargado a l".J 5 X 103 kg/m3 en uno descargado.

Otro ejemplo automotriz es el anticongelante permanente, que suele ser una di­solución de etilén glicol (p = 1.12 X lO) kg/m3) yagua. El punto de congelaciónde la disolución depende de la concenlraci6n de glicol, el cual puede determinar­se midiendo su gravedad específica. Tales mediciones se realizan en forma rutina·ria en los talleres de servicio aUlOmotriz por medio de un dispositivo llamadohidrómetro, el cual estudiaremos en la sección 14.3.

Aire (1 aun, 2O"C) 1.20 Hierro, liceroEtanol 0.81 X 10' LatónBenceno 0.90 X 10' CobreHielo 0.92 X 10' PlataAgua 1.00 X lo' PlomoAgua de mar 1.03 X lo' MercurioSangre 1.06 x lo' OroGlicerina 1.26 X lo' PlatinoConcreto 2 X IIY Estrella enana blancaAluminio 2.7 X IIY Estrella de neutrones

-Para obtener las densidades en gramos por centirnctro cúbico, divida entre 1!Y.

14.1 El precio del oro se cotiza por peso(digamos, en dólares por onza). Dado queel oro es uno de los mclaJes más densos. esposible almacenar una fortuna en oro en unvolumen pequeño.

14.2 I Presión en un fluido 517

EjemploI 14.1 Peso de un cuarto lleno de aire

Calcu[e la masa y el peso del aire de una estancia cuyo piso mide4.0 m x 5.0 m y que tiene una altura de 3.0 m. ¿Qué masa y pesotiene un volumen igual de agua?

El peso del aire es

IV'ir< = II1tlteK = (72 kg) (9.8 m/s2) = 700 N = 160 lb

llD!!liI!Ii1IDENTIFICAR: Suponemos que el aire es homogéneo, así que ladensidad es la misma en todo el cuano. (Es verdad que el aire esmenos denso a gran allitud que cerca del nivel del mar, pero la va·riación de densidad a 10 largo de la altura de 3.0 m del cuano esdespreciable; véase [a sección 14.2.)

La masa de un volumen igual de agua es

111_ = p_V= (IOOOkglm3)(60m3) = 6.0 x lO~kg

El peso es

w_ = m_K = (6.0 X U)'" kg)(9.8 mis!)

= 5.9 X lo'N = 1.3 X Io'lb = 66tons

Fuerzas oormales igualesejc:rddas 500ft; ambo!; bdospor el fluido cirt'Undante

Área pequet'la dA dentro del fluido

\

14.2 La presión que actúa sobre amboslados de un area pequeita dentro de unfluido es p '" dFJ.IdA.

(14.3)

(14.2)

EVALUAR: ¡El aire contenido en un cuano pesa aproximadamente10 que pesa una persona adulta! El agua es casi mil veces más den­sa que el aire, y su masa y peso son mayores en la misma propor­ción. Oc hecho, el peso de un cuarto lleno dc agua seguramentehundirla el piso de una casa común.

(definición de presión)J

dF,p = dA

PLANTEAR: Usaremos la ecuación (14.1) para relacionar la masa(la incógnita) con el volumen (que calculamos a partir de las di­mensiones del cuano) y la densidad (de la tabla 14.1).

EJECUTAR: El volumen del recintocs V= (3.0 ro) (4.0 m) X (5.0 ro)= 60 mJ . La masa rnOll'O está dada por la ecuación (14.[):

m.ir< = PtlreV= (1.2 kg/ml ) (60 m3) =72kg _

¿Qué volumen de agua tendría la misma masa que un metro cúbico de platino? Siesa agua ocupara un cubo, ¿cuánto mediría cada lado?

Cuando un fluido (liquido o gas) está en reposo, ejerce una fuerza perpendiculara cualquier superficie en contacto con él, como la pared de un recipiente o uncuerpo sumergido en el fluido. Ésta es la fuerza que sentimos en las piernas al me­terlas en una piscina. Aunque el fluido global está en reposo, las moléculas que locomponen están en movimiento; la fuerza ejercida por el fluido se debe a los cho­ques de las moléculas con su entorno.

Si imaginamos una superficie dentro del fluido, el fluido a cada lado de ellaejerce fuerzas iguales y opuestas sobre ella. (Si no, la superficie se acelerarla y elfluido no permaneceria en reposo.) Considere una superficie pequeña de área dAcentrada en un punto en el fluido; la fuerza nonnal que el fluido ejerce sobre cadalado es dF.l. (Fig. 14.2). Definimos la presiónp en ese pumo como la fuerza nor­mal por unidad de área, es decir, la razón de dF.l. a dA:

14.2 I Presión en un fluido

Si la presión es la misma en todos los puntos de una superficie plana finita de áreaA, entonces

518

La pm;ión no lie~ di=:ciÓDpropia: puede producir unafiJeru dFJ. - P dA encualquier dirección

dF.

14.3 La presión es un escalar (no tienedirección intrínseca) y sus unidades sonnewtoos por metro cuadrado. En contraste,la fuerza es un vector y sus unidades sonncwtons.

CAPfTULO 14 I Mecánica de fluidos

donde F.!. es la fuerza nonnal nela en un lado de la superficie. La unidad en el 51de la presión es el pascal, donde

1 pascal = 1 Pa = N/m2

Ya presentamos el pascal en el capítulo 11. Dos unidades relacionadas, que se em­plean principalmente en meteorología, son el bar, igual a lOs Pa, y el milibar,igual a lOO Pa.

La presión atmosférica Pa es la presión de la atmósfera terrestre, es decir, lapresión en el fondo del mar de aire en que vivimos. Esta presión varía con el esta­do de1liempo y con la altitud. La presión atmosférica normal al nivel del mar (va­lor medio) es I atmósfera (alm), definida como exaclamenle 101,325 Pa. Concuatro cifras significalivas,

(P.)..,¡ = I alm = 1.013 X lOS Pa

= 1.013 bar = 1013 milibares = 14.70Ib/pulg.2

1J:!!IJ~~!j En el lenguaje ordinario, las palabras "presión" y "fuerza" signifi­can casi lo mismo, pero en la mecánica de fluidos describen cantidades distintas

con caracteristicas diferentes (Fig. 14.3). La presión de fluidos actúa perpendicu­lar a cualquier superficie en el fluido, sin importar su orientación. Por tanto, la

.presión no tiene uri-a dirección intrfnseca: es un escalar. En cambio, la fuerza esun vector con dirección definida. Recuerde que la presión es fuerza por unidadde área.

Ejemplo14.2 la fuerza del aire

En la estancia del ejemplo 14.1, ¿qué fuerza tOlal actúa hacia abajosobre el piso debida a una presión del aire de 1.00 alm?

lm!m:DIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La presión es uniforme, asi que usa­mos la ecuación (14.3) para determinar la fuer¿a FJ. a partir de lapresión y el área

EVALUAR: El área del piso esA = (4.0 m) (5.0 m) = 20 rn l. Por la

ecuación (14_3) la fuerza total hacia abajo es

FJ. = pA = (1.013 x lOS N/ml )(20 m1 )

= 2.0 X Uf N "" 4.5 x lOS lb = 22510ndadas

EVALUAR: Al igual que en el ejemplo 14.1, esta fuerza basta pamhundir el piso. ¿Por qué no lo hace? Porque hay una fuerza hacia arri­ba en el lado de abajo del piso. Si la ca~ tiene sótano, dicha fuerzaes ejercida por el aire bajo el piso. En este caso, si despreciamosel espesor del piso, la fuerza neta debida a la presión del aire es cero.

Presión, profundidad y ley de Pascal

Si podemos despreciar el peso del fluido, la presión en un fluido es la misma entodo su volumen. Usamos esta aproximaci6n al ver el esfuerzo y la deformaciónde volumen en la sección 11.4, pero muchas veces el peso del fluido no es despre­ciable. La presión atmosférica es menor a gran altitud que al nivel del mar, lo queobliga a presurizar la cabina de un avión que vuela a 35,000 pies. Al sumergirnosen agua profunda, los oídos nos indican que la presión aumenta rápidamente al au­mentar la profundidad.

Podemos deducir una relación general enlre la presión p en cualquier punto deun fluido en reposo y la ahura y del punto. Supondremos que la densidad p y la

14.2 I Presión en un fluido 519

(b)

/I~E:"~m~'~":'o~d:'~fl~o:id:o:.;;,;;;ll" espesor dy O

(p + dp)A

14.4 Fuerzas que actúan sobre unelemento de fluido en equilibrio.

P2 - PI = -pg(Y2 - YI) (presión en un fluido de densidad uniforme) 04.5)

Esta ecuación indica que, siy aumenta,p disminuye; es decir, al subir en el fluidola presión disminuye, como esperariamos. Si PI YP2 son las presiones en las alru­ras y¡ YY2 respectivamente, y si p Yg son constantes, entonces

.r F1U7Q • den,idad r I?I 1'2 PoI T 2

Y2-y¡-h

PI=P!¡ l'y,V-

14.5 La presión P a una profundidad h enun fluido es mayor que en la superficie,por pgh.

14.6 La presión en la parte superior de ca­da columna de fluido cs igual a Po, la pre­sión atmosférica. La presión sólo dcpendede la altura, no de la forma del recipiente,así que todas las colunmas de fluido tienenla misma altura.

()'A)

2:Fy = O asique pA - (p + dp)A - pgA dy = O

Dividiendo entre el área A y reacomodando, obtenemos

dI'-= -pgdy

Suele ser útil expresar la ecuación (14.5) en términos de la profundidad bajo lasuperficie de un fluido (Fig. 14.5). Tomemos el punto I en cualquier nivel en elfluido y sea P la presión en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superficie de! flui­do, donde la presión es Po (el subíndice indica profundidad cero). La profundidaddel pumo"l es h = Y2 - y¡, y la ecuación (14.5) se convierte en

Po - P = -pg(Y2'- YI) = -pgh

P = Po + pgh (presión en un fluido de densidad uniforme) (14.6)(

La presión p a una profundidad h es mayor que la presión Po en la superficie, en unacantidad pgh. Observe que la presión es la misma en cualesquier dos puntos situa­dos en e! mismo nivel en el fluido. Lajólma del recipiente no importa (Fig. 14.6).

La ecuación (14.6) nos dice que, si aumentamos la presiónpo en la superficie, talvez usando un pistón que embona herméticamente en e! recipiente para empujar

aceleración debida a la gravedad g son las mismas en IOdo e! fluido. Si el fluidoestá en equilibrio, cada elemento de volumen está en equilibrio. Considere un e!e­mento delgado, de altura dy (Fig. 14.4). Las superficies inferior y superior tienenárea A, Y están a distancias y y y + dy por arriba de algún nivel de referencia don­de y = O. El volumen del elemento es dV = A dy, su masa es dm = p dV = pA dy,Y su peso esdw = dm g = pgA dy.

¿Qué otras fuerzas actúan sobre este elemento? Llamemos a la presión en la su­perficie inferiorp; la componente y de fuerza total hacia arriba que actúa sobre esasuperficie es pA. La presión en la superficie de arriba es p + dp, y la componentey de fuerza total (hacia abajo) sobre esta superficie es - (p + dp)A. El elemento defluido está en equilibrio, asi que la componente y de fuerza total, incluido el peso ylas fuerzas en las superficies de arriba y abajo, debe ser cero:

Un sistema de calentamiento solar del agua usa paneles solares en­locados en el techo, 12.0 m arriba del tanque de almacenamienlo.La presión del agua en el nivel de los paneles es de 1alm. ¿Qué pre­sión absoluta hay en el tanque? ¿Y cual es la presión manométrica?

EI!!m:iIIDENTIFICAR: El agua es casi incompresible. (Imagine que rrata decomprimir con un pistón un cilindro lleno de agua. ¡No podria hacer­lo!) Por tanto, consideramos que el fluido tiene densidad unifonne.

Presión absoluta, presión manométrica y manómetros

Si la presión dentro dc un neumático es igual a la presión atmosférica, el neumáticoestará desinflado. La presión debe ser mayor<¡ue la atmosférica para poder sostenerel vehículo, así que la cantidad significativa es la diferencia entre las presiones inte­rior y exterior. Si decimos que la presión de un neumático es de "32 libras" (en rea­lidad 32lb/pul!i, igual a 220 kPa o 2.2 x lOs Pa), queremos decir que es mayor quela presión atmosférica (14.7 Ib/puli o t.01 x lOs Pa) en esa cantidad. La presiónloral en el neumático es de 47 IbJpul~, o 320 kPa. El exceso de presión más allá dela atmosférica suele llamarse presión manométrica, y la presión total se llama pre­sión absoluta. Los ingenieros usan las abreviaturas psig y psia para "lbJpul~ mano­métrica" y "lb/pulg2 absoluta", respectivamente. Si la presión es menor que laatmosférica, como en un vacío parcial, la presión manomé~ca es negativa.

CAPíTULO 14 I Mecánica de nuidos

o sea, cerca de 0.00035 atm, una diferencia muy pequeña. En cambio, cnrree! ni­vel del mar y la cumbre del Monte Everesl (8882 m) la densidad del aire cambiaen un factor de casi 3, y no podemos usar la ecuaci6n (14.6). Los liquidas, en cam­bio, son casi incompresibles, y suele ser una buena aproximación considerar sudensidad como independiente de la presi6n. Una presión de varios cientos de at­mósferas sólo causa un pequeño incremento porcentual en la densidad de la ma­yor parte de los líquidos.

contra la superficie del fluido, [a presión p a cualquier profundidad awnenla en lamisma cantidad exactamente. El científico franc.és Blaise Pascal (1623-1662) reco­noció este hecho en 1653. y se llama ley de Pascal: La presión aplicada a un flui­do encerrado se transmite sin disminución a todas las partes drl fluido y lasparedes de,) recipiente.

El elevador hidráulico que se muestra esquemáticamente en la figurn14.7 ilus­tra la ley de Pascal. Un pistón oon área transversal pequeña A I ejerce una fuerzaF] sobre la superficie de un líquido (aceite). La presión aplicadap = FlA 1 setransmile a traves del tubo conector a un pistón mayor de areaA l . La presión apli·cada es la misma en ambos cilindros, asi que

F1 F2 A2P = - = - y F2 = - F¡ (14.7)

Al A2 Al

El elevador hidriulico es un dispositivo multiplicador de la fuerza con un factorde multiplicación igual al cociente de las areas de los pistones. Las sillas de losdenlistas, los gatos hidráulicos para aUlaS, muchos elevadores y los frenos hidráu·licos usan este principio.

En el caso de los gases, el supuesto de que la densidad p es uniforme sólo esrealista en distancias verticales cortas. En un cuarto de 3.00 m de altura lleno deaire con densidad uniforme de 1.2 kgfmJ

, la diferencia de presión entre el piso yel techo, dada por lá&:uaci6n (14.6) es

pgh ~ (1.2kg/m')(9.8 m1s')(3.0 m) ~ 35 Pa

Determinación de presión absoluta y manométrica

l.;¡ presión en eslelado lIClúa sobre un área

mayor y produce mayor fuerza

\

Elemplo14.3

PresiOOp bida a f.transmilida por lodo el fluido

(ley de Pascal)

Se aplica onafuerza peqlle/la

en esle lado

\F,

t

520

14.7 Principio del elevador hidráulico, unaaplicación de la ley de Pascal. El tamaño delrecipiente lleno de fluido se ha exagemelopor claridad.

14.2 I Presión en UD fluido 521

PLANTEAR: El nivel de los paneles corresponde al punto 2 de lafigwa 14.5, Yel del ~ue, al puntO 1. Por IaJlto,la incógnita es p enla ecuaci6n (14.6); DOS dan Po = 1atm = 1.01 X l(il Pa yh = 12.0m.

EJECUTAR: Por la ecuación (14.6), la presión absoluta es

p=Po+pgh

= (1.01 x IOSPa) + (1000 kglm3 )(9.80mls2)(12.0 m)

= 2.19 x IO~ Pa = 2.16 atm = 31.81b/pulg2

La presión manoméuica es

p - Po = (2.19 - 1.01) x lOS Pa

= 1.18 X lOS Pa = 1.16 alm = 17.llblpult

EVALUAR: Si un tanque así tiene un medidor de presión, segura·mente estará calibrado para indicar la presión manoméuica, no lapresión absoluta. Como señalamos, la \'3riación en la presión at­mosférica a esta altura es despreciable.

El medidor de presión más sencillo es el manómetro de tubo abierto (Fig. 14.8a).El rubo en fonna de U contiene un líquido de densidad p, con frecuencia mercu­rio o agua. Un extremó del tubo se conecta al recipiente donde se medirá la pre­sión, y el otro está abierto a la atmósfera, con Pa = Pa' La presión en el fondo deltubo debida al fluido de la columna izquierda es P + pgy], y la debida al fluido dela colwnna derecha es PI + pgy2' Eslas presiones se miden en, el mismo punto, asíque deben ser iguales:

o

PI + P8Y2

(b)

P + P8Yl

r,)

Po .. P.

Pnsión P

rPo =

=

)'2 -)'1

"('l

IL~P.

TY, - =.~ ¿

14.8 Dos tipos de medidores de presión.(a) Man6metro de tubo abierto. (b) Baró­metro de mercurio.

(14.8)

(14.9)

P + pgYI = Pa + pg)'2

P - P. = pg(.h - YI) = pgh

P. = p = O+ pg(Y2 - YI) = pgh

En la ecuación (14.8), P es la presión absoluta, y la diferencia P - Pa entre lapresión absoluta y la atmosférica es la presión manométrica. Así, la presión ma­nométrica es proporcional a la diferencia de altura (Y2 - y]) de las columnas.

Otro medidor de presión común es el barómetro de mercurio, que consiste enun tubo de vidrio largo, cerrado por un extremo, que se llena con mercurio y lue­go se invierte sobre un plato con mercurio (Fig. (l4.8b). El espacio arriba de la co­lumna sólo contiene vapor de mercurio, cuya presión es insignificante, así que lapresiónpa arriba de la columna es prácticamente cero. Por la ecuación (14.6),

Asi, el barómetro de mercurio indica la presión atmosféricapa directamente por laaltura de la columna de mercurio.

En muchas aplicaciones, las presiones suelen describirse en términos de la al­tura de la columna de mercurio correspondiente, como "pulgadas de mercurio" o"milimetros de mercurio" (abreviado mm Hg). Una presión de 1 mm Hg es 1 torr,por Evangelista Torricelli, inventor del barómetro de mercurio. Sin embargo, estasunidades dependen de.la densidad del mercurio, que varia con la temperatura, y delvalor de g, que varia con el lugar, y por ello se prefiere el pascal como unidad depresión. "-

Un dispositivo común para medir la presión arterial, llamado esfigmomanóme­tro, usa un manómetro lleno de mercurio. Las lectups de la presión arterial, como130/80, se refieren a las presiones manométricas rnhima y mínima en las anenas,medidas en mm Hg o torrs. La presión aneríal varía con la altura en el cuerpo; elpunto de referencia estándar es la pane superior del brazo, a la altura del corazón.

Muchos tipos de medidores de presión usan un recipiente Oexible sellado (Fig.14.9). Un cambio en la presión dentro o fuera del recipiente causa un cambio ensus dimensiones, que se detecta óptica, eléctrica o mecánicamente.

522 CAPíTULO 14 I Mecánicadenuidos

14.9 (a) Medidor de presión de Bourdon. Al aumentar la presión dentro del rubo espiralmetálico, éste se endereza y desvía la aguja unida a él. (b) Medidor de presión lipoBourdeD empleado en un tanque de gas comprimido.

(b)

no podemos escribir una sola ecuación pal1l el aceite y el agua jun­tos. 1..0 que si podemos hacer es escribir una relación presión-pro­fundidad para cada fluido por sepal1ldo, tomando en cuenta queambas columnas de fluido tiencn la misma presión en la base (don­de están cn contacto y en equilibrio, asi que las presiones deben seriguales) y en la panc superior (donde ambas están en contaclo conla atmósfera y en equilibrio con ella).

EJECUTAR: Para los dos fluidos, la ecuación (14.6) se conviene en

P = Po + p...,gh_

P = Po + poaia&h_

PUeslO que la presiónP en la base del tubo es la misma para ambosfluidos, igualamos las dos expresiones y despejamos ha<aU en tér­minos de h."... Puede demostrarse que el resultado es

p-h...¡~=--h_

Pau;~

PLANTEAR: Sea Po la presión atmosférica, y p, la presión en el fon­do del tubo. Las densidades de los dos fluidos son P.r,ua y P><,,;," (quees menor que p~. Usamos la ecuación (14.6) pal1l cada fluido.

EVALUAR: Puesto que el aceite es menos denso que el agua, la ra­zón p~p><.;~ es mayor que la unidad y h...,,, es mayor que h......(como se muestra en la Fig. 14.10). Este resultado es lógico: se ne­cesila una mayor altul1l de aceite menos denso pal1l producir la mis­ma presión p en la base del tubo.

Presiónpque se mide

(.)

Tr

Historia de dos fluidos

i'-

1

Ejemplo14.4

14.10 Tubo con forma de U que contiene aceite (a la izquierda) yagua (a la derecha). ¿Qué relación hay entre las alturas de las doscolumnas de fluido?

Un tubo de manómetrO se llena parcialmente con agua. Después seviene aceile (que no se mezcla con el agua y tiene menor densidadque el agua) en el brazo izquierdo del tubo hasta que la interfazacei¡c.agua está en el punto medio del tubo (Fig. 14.10). Ambosbrazos del rubo están abienes al aire. Determine la relación entrelas alruras htt:citc y h~.

lE!!I!l!llIIDENTIFICAR: La relación entre presión y profundidad en un flui­do s610 es válida para los fluidos de densidad uniforme, Por tanto,

14.3 I FlQ{ación 523

El mercurio es menos denso a alias temperaturas que a bajas tempera(Uras. Supon­ga que saca al exterior un baTÓmetro de mercurio que estaba dentro de un refrige­rador bien sellado, en un caluroso dia de verano, y observa que la columna demercurio se mantiene a la misma al(Ura en el tubo. Compare la presión del aire enel exterior con la del interior del refrigerador. (Haga caso omiso del cambio aúnmenor en las dimensiones del tubo de vidrio debido al cambio de temperatura.)

14.3 I Flotación

La flotación es un fenómeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua parecepesar menos que en el aire. Si el cuerpo es menos denso que el fluido, entonces flo­ta. El cuerpo humano nonnalmente flota en el agua, y un globo lleno de helio flotaen el aire.

El principio de Arquímedes establece que: Si un cuerpo está parcial o total­mente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre elcuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para demostrar esteprincipio, consideremos una porción arbitraria de fluido en reposo. En la figura14.113, el contorno irregular es la superficie que delimita esta porción de fluido.Las flechas representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la super­ficie de frontera.

Todo el fluido está en equilibrio, así que la suma de todas las componentes y defuerza sobre esta porción de fluido es cero. Por tanto, la suma de todas las compo­nentesy de las fuerzas de superficie debe ser una fuerza hacía arriba de ígual mag­ni(Ud que el peso mg del fluido dentro de la superficie. Además, la suma de losmomentos de torsión sobre la porción de fluido debe ser cero, así que la línea deacción de la componente y resultante de las fuerzas superficiales debe pasar por elcentrO de gravedad de esta porción de fluido.

Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo reemplazamos porun cuerpo sólido cuya forma es idéntica (Fig. 14.11 b). La presión en cada punto esexactamente la misma que antes, de modo que la fuerza total hacia arriba ejercidapor el fluido sobre el cuerpo también es la misma, igual en magnitud al peso I/Igdelfluido que se desplazó para colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arribala fuerza de flotación que actúa sobre el cuerpo sólido. La linea de acción de lafuerza de flotación pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado (que no ne­cesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo).

14.11 Principio de An¡uimedes. (a) Undemento de un fluido en equilibrio. Lafuerza de flotación del fluido circundanlees igual al peso dd demento. (b) Si el ele­mento de fluido se sustituye por un cuerpode idéntica forma, d cuerpo experimenlala misma fuerza de nOlación que en (a).Esta fuerza es igual al peso del fluido des­plazado(b,

Ruido rttmplazado porcuerpo de rorm.a idénlica: expcrimemll

la mi~ fueru de r10laeiónElcllll:IIlO de fluido

en equihllrio

(,'

14.12 (a) Hidrómetro sencillo. (b) Uso deun hidrómetro para probar ácido de unacumulador o del anticongelante.

524

(" (b)

CAPiTULO 14 I Mecánica de fluidos

Si un globo flota en equilibrio en el aire, su peso (incluido el gas en su interior)debe ser igual al del aire desplazado por el globo. Si un submarino sumergido es­tá en equilibrio, su peso debe ser igual al del agua que desplaza. Un cuerpo cuyadensidad media es menor que la del líquido puede flotar parcialmente sumergidoen la superficie superior libre del líquido. Cuanto mayor es la densidad dellíqui­do menor será la porción sumergida del cuerpo. Si nadamos en agua de mar (den­sidad 1030 kg/m3

), flotamos más que en agua dulce (l000 kg/m3). Aunque

parezca improbable, el plomo flota en el mercurio. El "vidrio flotado" de superfi­cie muy plana se fabrica flotando vidrio fundido en estaño fundido y dejándoloenfriar.

Otro ejemplo conocido es el hidrómetro, empleado para medir la densidad delos liquidas (Fig. 14.12a). El flotador calibrado se hunde en el fluido hasta que elpeso del fluido que desplaza es igual a su propio peso. El hidrómetro flota m,as al­to en los líquidos más densos que en los líquidos menos densos, y tiene un pesoen su base para que la posición enderezada sea estable; una escala en el tallo su­perior permite leer directamente la densidad. La figura 14.12b muestra un tipo dehidrómetro de uso común para medir la densidad del ácido de un acumulador o delanticongelante. La base del tubo grande se sumerge en el líquido; se aprieta el bul­

bo para expulsar el aire y luego se suelta, como si fuera un gotero gigante. Ellí­quido sube por el tubp exterior, y el hidrómetro flota en la muestra de liquido.

_ Flotación

Una estatua de oro sólido de 15.0 kg de peso está siendo levantadade un barco hundido (Fig. 14.13a). ¿Qué tensión hay en el cablecuando la estatua está en reposo y a) totalmente sumergida? b)¿Fuera del agua?

D!!l!IDIDENTIFICAR: Cuando la estatua está sumergida, experimenta unafuerza de flotación hacia arriba igual en magnitud al peso del fluidodeplazado. Para calcular la tensión, observamos que la estatua está

"I

ti-"--"\

mg'" 147N

~)

14.13 (a) La estatua completamente sumergida en reposo.(b) Diagrama de cuerpo libre de la estatua sumergida.

en equilibrio (en reposo) y consideramos las tres fuerzas que acruansobre ella: su peso, la fuerza de flotación y la tensión en el cable.

PLANTEAR: La figura 14.13b mucstra el diagrama de euerpo librede la estatua en equilibrio. La incógnita es la tensión T. Nos dan elpeso mg y podemos calcular la fuerza de flotación B usando el prin~cipio de Arquimedes. Lo haremos en dos casos: (a) cuando la esta­tua está sumergida en el agua y (b) cuando está fuera del agua ysumergida en el aire.

EJECUTAR: a) Para calcular la fuerza de flotación, primero calcu­lamos el volumen de la estatua, usando la densidad del oro de la ta­bla 14.1:

m 15.0 kgV~ - = = 7.77 X lO-4 m3

Poro 19.3 X 103 kglmJ

Usando otra vez la tabla 14.1, calculamos el peso de ese volumende agua de mar:

wOIIl = m.."g = PornVg= (1.03 X HY kg/m 3 ){7.77 X 10-4 m3)(9.80 mls2)

= 7.84 NEsto es igual a la fuerza de flotación B.

La estatua está en reposo, así que la fuerza externa neta que ac­túa sobre ella es de cero. De la figura 14.13b,

¿F, = B + T + (-mg) = O

T= mg - B = (15.0kg)(9.80mls2) -7.84N

= 147 N - 7.84 N = 139N

14.3 I Aotación 525

Si hay una balanza de resone unida al extremo superior del cable,marcará 7.84 N menos de lo que marcaria si la estatua no esrnvierasumergida en agua de mar. Por ello, la estatua sumergida parece pe­sar 139 N, cerca de 5% menos que su peso real de 147 N.b) La densidad del aire es de cerca de 1.2 kglm), así que la fuerzade flotación del aire sobre la estarua es

B = p_Yg = (1.2 kglrnl )(7.77 x 10-· mJ )(9.80 mlsl)

=9.1 x IQ-J N

Esto es sólo 62 millonesimas del peso real de la estarua. Este efec­to es menor que la precisión de nuestros datos, asi que lo desprecia-

IDOS. La tensión en el cable con la estarna en el aire es igual al pesode la eslatua, 147 N.

EVALUAR: Recordemos que la fuerza de flotación es proporcionala la densidad delfluidQ, no la de la estarua. Cuanto más denso es elfluido, mayor será la fuerza de flotación y menor será la tensión enel cable. Si el fluido rnviera la misma densidad quc la estarna, lafuerza de flotación scría igual al peso de la CSlatua y la tensión se·ria cero (el cable se aflojaría). Si el fluido fuera mits denso que [aestatua, la tensión sería negativa: la fuerza de flotación sería mayorque el peso de la estatua, y se requeriría una fuerza hacia abajo pa­ra evitar que suba la estarua.

Ejemploconceptual 14.6 Cuestión de peso

Se coloca un recipiente con agua de mar en una balanza y se anotala lectura; luego se suspende la estatua del ejemplo 14.5 en el agua(Fig. 14.14). ¿Cómo cambia la lectura?

Considere el agua., la estatua y el recipiente juntos como UD sistema;el peso total no depende: de si la estatua está sumergida o no. La fuer­za tOlaI de sopone, incluida la tensión Ty la fuerza hacia arriba Fdela balanza sobre el recipiente (igual a la lectura) es la misma en am­bos casos. Sin embargo, en el ejemplo 14.5 vimos que T disminuyeen 7.84 N cuando la CSlatua cslá sumergida, así que la lectura de labalanza debe aumentaren 7.84 N. Otra forma de verlo cs que el aguaejerce una fuerza de flotación de 7.84 N sobre la eslatua, así que és­la debe ejercer una fuerza igual hacia abajo sobre el agua, haciendoa la lectura 7.84 N mayor que el peso del agua y el recipiente.

14.14 ¿Cómo cambia la lecrura de la balanza cuando la estarua sesumerge en agua?

Tensión superficial

Un objeto menos denso que el agua, como una pelota de playa inflada con aire,

flota con una parte de su volumen bajo la superficie. Por otra parte, un clip puede

descansar sobre una superficie de agua aunque su densidad es varias veces mayor

que la del agua. Esto es un ejemplo de tensión sup~rficial: la superficie delliqui­

do se comporta como una membrana en tensión (Fig. 14.15). La lensión superfi­

cial se debe a que las moléculas del liquido ejercen fuerzas de atracción entre sí.

La fuerza neta sobre una molécula dentro del volumen del líquido es cero, pero

una molécula en la superficie es alraída hacia el volumen (Fig. 14.16). Por ello, ellíquido tiende a reducir al minimo su área superficial, tal como lo hace una mem­

brana estirada.

14.15 La superficie del agua actúa comomembrana sometida a tensión, y pennite aeste 7.ancudo caminar literalmente sobre elagua.

526

14.16 Cada molécula de un líquido esatraída por las demás moléculas. Unamolécula en la superficie es alraída haciael volumen del liquido, y esto tiende areducir el área superficial del líquido.

FibrasPresión de aire P.

14.17 La tensión superficial dificulta elpaso del agua por aberturas pequeñas. Lapresión requerida p puede reducirse usandoagua caliente con jabón, todo lo cual reducela tensión superficial.

Líneas de flujo

Tubo de flujo

14.18 Tubo de flujo delimitado por lineasde flujo. En flujo estable, el fluido no puedecruzar las paredes de un tubo de flujo.

CAPÍTULO 14 I Mecánica de fluidos

La tensión superficial explica por qué las gotas de lluvia en caída libre son es­féricas (no con forma de lágrima): una esfera liene menor área superficial para unvolumen dado que cualquier otra forma. También explica por qué se usa agua ja­bonosa caliente en el lavado de la ropa. Para lavarla bien, se debe hacer pasar elagua por los diminutos espacios entre las fibras (Fig. 14.17). Esto implica aumen­tar el área superficial del agua, lo que es dificil por la tensión superficial. La tarease facilita aumentan~o la temperatura del agua y añadiendo jabón, pues ambas co­sas reducen la tensión superficial.

La tensión superficial es importante para una gota de agua de I mm de diáme­tro, que tiene un área relativamente grande en comparación con su volumen. (Unaesfera de radio l' tiene área 4r.r2 y volumen (47T/J)? La razón superficie/área es3/1', y aumenta al disminuir el radio.) En cambio, si la cantidad de líquido es gran­de, la razón supetficie/volumen es relativamente pequeña y la tensión superficiales insignificante en comparación con las fuerzas de presión. En el resto del capí­tulo, sólo consideraremos volúmenes grandes de fluidos, asi que haremos casoomiso de los efectos de la tensión superficial.

Un objeto con densidad uniforme flota en agua con un tercio de su volumen sobrela superficie. Comp-are la densidad del objeto con la del agua.

14.4 I Flujo de fluidos

Ahora ya estamos preparados para considerar el movimiento de un fluido. El flujode fluidos suele ser extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes delos rápidos de los ríos o en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones sepueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideales incompresible (su densidad no puede cambiar) y no tiene fricción interna (llama­da viscosidad). Los líquidos son aproximadamente incompresibles en casi todas lassituaciones, y también podemos tratar a un gas como incompresible si las diferen­cias de presión de una región a otra no son muy grandes. La fricción interna en unfluido causa esfuerzos de corte cuando dos capas de fluido adyacentes tienenun movimiento relativo, como cuando un fluido fluye dentro de un tubo o alrededorde un obstáculo. En algunos casos, podemos despreciar estas fuerzas de corte encomparación con [as fuerzas debidas a la gravedad y a diferencias de presión.

El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama lí­nea de flujo. Si el patrón global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tene­mos un flujo estable. En un flujo estable, cada elemento que pasa por un puntodado sigue la misma linea de flujo. En este caso, el "mapa" de las velocidades delfluido en distintos puntos del espacio permanece constante, aunque la velocidadde llna partícula especifica pueda cambiar tanto en magnitud como en direccióndurante s~ movimiento. Una línea de corriente es una curva cuya tangente encualquier-punto tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. Si el pa­trón de flujo cambia con el tiempo, las líneas de corriente no coinciden con las deflujo. Cons~deraremos sólo situaciones de flujo estable, en las que las líneas de flu­jo y las de corriente son idénticas.

Las líneas de flujo que pasan por el borde de un elemento de área imaginario, co­moA en la figura 14.18, forman un mbo llamado tubo de flujo. Por la definición delínea de flujo, si el flujo es estable el fluido no puede cruzar las paredes lateralesde un tubo de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse.

14.4 I Flujo de fluidos 527

2

14.19 Flujo laminar alrededor de obstáculos con difeRnte fonna.

La ecuación de continuidad

14.20 El flujo de humo que sale de estospalitos de incienso es laminar hasta ciertopunto; luego se vuelve turbulento.

14.21 Tubo de flujo con área de seccióntransversal cambiante. Si el fluido es in­compresible, el producto Av tiene el mismovalor en lodos los puntos a lo l;ugo del rubo.

(14.11)(razón de flujo de volumen)dV-=AudI

La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. Esto da pie a una relacióncuantitativa importante llamada ecuación de continuidad. Considere una porciónde un tubo de flujo entre dos secciones transversales estacionarias con áreas A¡ yAz (Fig. 14.21). La rapidez del fluido en estas secciones es u l Yvz, respectivamen·te. No fluye fluido por los costados del tubo porque la velocidad del fluido es tan­gente a la pared en todos sus puntos. Durante un tiempo corto dr, el fluido en Alse mueve una distancia VI dr, así que un cilindro de fluido de altura u¡ dr y volu­men dV¡ = A¡ul dI fluye hacia el rubo a través de Al' Durante ese mismo lapso, uncilindro de volumen dV! = A!u! di sale del rubo a través de A2.

Consideremos primero el caso de un fluido incompresible cuya densidad p tie­ne el mismo valor en todos los puntos. La masa dml que fluye al tubo por Al en eltiempo di es dm¡ = pAIVI di. Asi mismo, la masa dm2 que sale por A! en el mis·mo tiempo es dml = pAlV2 dr. En flujo estable, la masa tOlal en el tubo es cons·lante, así que dm¡ = dm2 y

pAlu¡ dr = pA2U2dl o sea

Alu¡ = A2ul (ecuación de continuidad, fluido incompresible) (14.10)\

El producto Au es la razón defilljo de volumen dVldr, la rapidez con que el volu­men cruza una sección del tubo:

La figura 14.19 muestra patrones de flujo de fluidos de izquierda a derecha al·rededor de varios obstáculos. Las fotografías se tomaron inyectando un tinte en elagua que fluye entre dos placas de vidrio cercanas. Estos patrones son representa·tivos del flujo laminar, en el que capas adyacentes de flUido se deslizan suave­mente una sobre otra y el flujo es estable. (Una lámina es una hoja delgada.) Si latasa de flujo es suficientemente alta, o si las superficies de frontera causan eam·bias abruptos en la velocidad, el flujo puede hacerse irregular y caótico. Esto sellama flujo turbulento (Fig. 14.20). En flujo turbulento no hay un patrón de esta·do estable; el parrón de flujo cambia continuamente.

Según la ecuación de continuidad, la rapidez de flujo de un fluido puede variar a 10largo de las trayectorias del fluido. La presión también puede variar; depende de laaltura igual que en la situación estática (sección 14.2) y también de la rapidez de flu-

(ecuación de continuidad, fluido compresible) (14.12)

<

dVldt (9.5 Lls)(IO-J m3/L)Vj=~= 7T(4.0XIO-2m)2 = 1.9 mis

La razón de flujo dc masa es p dVldt = (850 kg/m3 ) (9.5 X 10-3

mJ/s) = 8.1 kg/s.b) Puesto que el accite es incompresible, la razón de flujo de volu­men tiene el mismo valor (9.5 Us) en ambas secciones del tubo. Porla ecuación (14.10),

Al 7T(4.0 X lO-2 m )'V2 = -VI = ( , ),( 1.9 mIs) = 7.6 mis

A 2 7T 2.0 X 10 m-

EVALUAR: La segunda sección de tubo ticne la mitad del diámetroy la cuarta parte del área transversal de la primera sección. Por tan­to, la rapidez debe ser cuatro veces mayor en la segunda sección, yeso es precisamente lo que muestra nuestro resultado (V2 = 4vj).

La razón de "flujo de masa es el flujo de masa por unidadae tiempo a través de unasección transversal, y es igual a la densidad p multiplicada por la razón de flujo devolumen dV/dt.

La ecuación (14.10) indica que la razón de flujo de volumen tiene el mismo va­lor en todos los puntos de cualquier tubo de flujo. Si disminuye la sección de untubo de flujo, la rapidez aumenta, y viceversa. La parte profunda de un río tienemayor área transversal y una corriente más lenta que la parte superficial, pero lasrazones de flujo de volumen son las mismas en los dos puntos. El chorro de aguade un grifo se angosta al adquirir rapidez durante su caída, pero dVldt tiene el mis­mo valor en todo el chorro. Si un tubo de agua de 2 cm de diámetro se conecta aun tubo de l cm de diámetro, la rapidez de flujo es cuatro veces más grande en elsegundo tubo que en el primero.

Podemos generalizar la ecuación (14.10) para el caso en que el fluido no es in­compresible. Si PI y P2 son las densidades en las secciones l y 2, entonces

CAPíTULO 14 I Mecánica de tluidos

Dejamos los detalles como ejercicio. Si el fluido es incompresible, de modo quep¡ y P2 siempre son iguales, la ecuación (14.12) se reduce a la ecuación (14.10).

528

_ Flujo de fluido incompresible

Como parte de un sistema de lubricación para maquinaria pesada, unaceite con densidad de 850 kglm3 se bombea a troves de un tubo cilin­drico de 8.0 cm de diámetro a razón de 9.5litros por segundo. a) Calcu­le la rapidez del aceite y la razón de flujo de masa. b) Si el diámetrodel tubo se reduce a 4.0 cm, ¿qué nuevos valores tendrán la rapidez yla razón de-flujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible.

El aire en la atmósfera es casi incompresible. Use este hecho para explicar por quéen los pasos montañosos se observan vientos especialmente rápidos.

\

14.5 I Ecuación de Bernoulli

EJECUTAR: a) La razón de flujo de volumen dVldt es igual al pro·ducto Ajvj, donde Al es el área transversal del tubo de 8.0 cm dediámetro (radio 4.0 cm). Por tanto,

l'l!l!!liI!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos la definición de razón deflujo de volumen [ecuación (14.II)J para detenninar la rapidez VI

en la sección de 8.0 cm de diámctro. La razón de flujo de masa esel producto de la dcnsidad y la razón de flujo de volumen. La ecua­ción de continuidad para flujo incompresible, ecuación (14.10), nospennite obtener la rapidez v2 en la sccción de 4.0 cm de diámetro.

14.5 I Ecuación de Bemoulli 529

14.22 El trabajo neto realizado sobre unelemento de fluido por la presión delfluido circundante es igual al C3lIlbio en laenergía cinerica más el cambio en la energíapotencial gravitaeional.

(14.13)

(14.14)

(14.15)dU ~ pdVg(y., - y,)

El segundo término tiene signo negativo porque la fuerza en e se opone al despla­zamiento del fluido.

El trabajo dW se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad conservado­ra, así que es igual al cambio en la energía mecánica total (energía cinética másenergía potencial gravitacional) asociada al elemento fluido. La energía mecánicapara el fluido entre las secciones b y e no cambia. Al principio de dI, el fluido en­tre a y b tiene volumenA¡ds.. masa pA I dsl y energía cinética !P(A I ds. )vtAl fi­nal de dI, el fluido entre e y d tiene energía cínética tp(A1ds2)vt El cambio netode energía cinética dK durante dt es

1dK = 2P dv(vl ~ vn,

¿Y qué hay del cambio en la energía potencial gravitacional? Al iniciar dI, laenergía potencial para la masa que está entre a y b es dm gyl = PdV.!tYI' Al finalde dt, la energía potencial para la masa que está entre e y d es dm gy2 = P dV.!tY2'El cambio neto de energia potencial dU durante dI es

jo. Podemos deducir una relación importante, llamada ecuación de 8ernoulli, que re­laciona la presión. la rapidez de flujo y la altura para el flujo de un fluido ideal. laecuación de Bemoulli es una herramienta indispensable para analizar los sistemas deplomería, las estaciones generadoras hidroeléctricas y el vuelo de los aviones.

La dependencia de la presión respecto a la rapidez se sigue de la ecuación de con­tinuidad, ecuación (14.10). Si Wl fluido incompresible fluye por un tubo con seccióntransversal variable, su rapidez debe cambiar, así que un elemento de fluido debe te­ner una aceleración. Si el tubo es horízontal, la fuerza que causa esta aceleración de4be ser aplicada por el fluido circundante. Esto implica que la presión debe serdiferente en regiones con diferente sección transversal; si fuera la misma en todos la­dos, la fuerza neta sobre cada elemento de fluido seria cero. Si un tubo es horizontalse estrecha y lU1 elemento de fluido sc acelera, debe estarse moviendo hacia una re4

gión dc mcnor presión para tener una fuerza neta hacia adelante que lo acelere. Si laaltura también cambia, esto causa una diferencia de presión adicional.

Para deducir la ecuación de 8ernoul1i, aplicamos el teorema del trabajo y laenergía al fluido en una sección de un tubo. En la figura 14.22, consideramos elelemento de fluido que en algún instanle inicial está entre las dos secciones trans­versales a y c. Las rapideces en los extremos inferior y superior son VI y V2' En unpequeño intervalo de tiempo dI, el fluido que está en a se mueve a b, una distan­cia ds¡ = vldl, Y el fluido que está inicialmente en c se mU$ve a d, una distanciadS2 = V2dt. Las áreas transversales en los dos extremos son Al y A2, como semuestra. El fluido es incompresible, así que, por la ecuación de continuidad, ecua­ción (14.10), el volumen de fluido dV que pasa por cualquier sección transversaldurante dI es el mismo. Es decir, dV = A¡ds. = A2ds2•

Calculemos el trabajo efectuado sobre este elemenlo durante dI. Suponemos quela fricción interna del fluido es despreciable (es decir, no hay viscosidad), así que lasúnicas fuerzas no gravitacionales que efectúan trabajo sobre el elemento fluido sedeben a la presión del fluido circundante. Las presiones en los extremos son PI yP2; la fuerza sobre la sección en a esP1A¡, Yla fuerza en e es P~2' El trabajo netodW efectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante este desplaza­miento es entonces

CAPíTULO 14 I Mecánica de fluidos

Combinando las ecuaciones (14.13), (14.14) Y(14.15) en la ecuación de energíadW = dK + dU, obtenemos

530

1(PI - P2)dV = 2P dV( vl - un + P dV g(Y2 - )',)

p¡ - P2 = ~p(vl ~ un + pg(Y2 - Yl) (14.16)

Ésta es la ecuación de Bernoulli, y dice que el trabajo efectuado sobre un vo­lumen unitario de Ouido por el fluido circundante es igual a la suma de los cam­bios de las energías cinética y potencial por unidad de volumen que se dan duranteel flujo. También podemos interpretar la ecuación (14.16) en términos de presio­nes. El primer término de la derecha es la diferencia de presión asociada al cam­bio de rapidez del fluido; el segundo es la diferencia de presión adicional causadapor el peso del fluido y la diferencia de altura de los dos extremos.

También podemos expresar la ecuación (14.16) en una forma más útil:

(14.18)

(14.17)(ecuación de Bernoutli)

1p + pgy + "2 pv2 = constante

p] + pgy]I 2 _ 1 2

+ "2PVI - P2 + pgY2 + "2PV2

."Los subíndices 1 y 2 se refieren a cualesquier dos puntos del rubo de flujo, así quetambién podemos escribir

11

Observe que, si el fluido no se mueve (VI = Vi = O), la ecuación (14.17) se reducea la relación de presión que dedujimos para un fluido en reposo (ecuación 14.5).

RIIIIRIliII:J Subrayamos de nuevo que la ecuación de Bernoulli sólo es válidapara un flujo estable de un fluido incompresible sin fricción interna (sin viscqsi­dad). Es una ecuación sencilla y fácil de usar; no por ello vaya a aplicarla ensituaciones en que no es válida.

Estrategia pararesolver problemas Ecuación de Bernoulli

La ecuación de BemoulJi se deduce del teorema del trabajo y laenergía, asi que gran parte de las estrategias sugeridas en la sec-ción 7.1 puede aplicarse aquí. '

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Primero, asegúrese deque el flujo del fluido sea estable y que el fluido sca incbmpresi­ble y no tenga fricción interna. Este caso es una idealización, pe­ro se acerca mucho a la realidad en el caso de fluidos que fluyenpor tubos suficientemente grandes y en el de flujos dentro degrandes cantidades de fluido (como aire que fluye alrededorde un avión o agua que fluye alrededor de un pez).

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:l. Siempre comience por identifjcar claramente los puntos I

y 2 a los que se refiere la ecuación de Bemoullí.2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en

qucy = O.3. Haga listas de las cantidades conocidas y desconocidas de

la ecuación (14.17). Las variables son P¡,P2' VI> V2,YI YY2,Ylas constantes son p y g. Decida qué incógnitas debe de­terminar.

14.5 I Ecuación de Bemou11i 531

14.23 ¿Qué presión liene el agua en el cuano de baño del segun­do piso de esta casa?

La figura 14.24 muestra un tanque de almacenamiento de gasolinacon área trans\"ersal Al' lleno hasla una altura h. El espacio arribade la gasolina contiene aire a Po Y la gasolina sale por un rubo cor-

EVALUAR la respuesta: Como siempre, verifique que los resul­tados sean lógicos fisicamente. Compruebe que las unidadessean congruentes. En el SI, la presión esta en Pa, la densidad enkglmJ y la rapidez en mis. Recuerde también que las presionesdeben ser todas absolutas o todas manométricas.

u, y la presión PI en el rubo de entrada, y los diámetros de los rubosen los puntos I y 2 (con lo cual calculamos las áreas A, YAJ. To­mamosYI == O(en la entrada) y Y2 = 5.0 m (en el cuarto de baño).Las dos primeras incógnitas son la rapidez Vz y la presiónP2. Pues·lO que tenemos mis de una incógnita, usamos tanto la ecuación deBemoulli como la ecuación de continuidad. Una vez quc tcngamosuz, calcularemos la razón de flujo de volumen UzA2 en el punto 2.

La razón de f1ujo de volumen e~

dV == A 2UI '" 1T( 0.50 X 10-' m)l( 6.0 m/s)d,

'" 4.7 X 1O-4 ml/s '" 0.47Us

EJECUTAR: La rapidez Uz en el cuarto de baño se obtiene de laecuación de continuidad, ecuación (14.10):

Al 1l'(I.Ocm)l •uz"'-u,'" ( )1(1.5 mis) = 6.0 mis

A2 1T 0.50cm

Nos dan PI y u!> Ypodemos obtener Pl con la ecuación de Bemoulli:

1P2 == PI - "2P(u? - u?) - pg{Y2 - YI) '" 4.0 X lo' Pa

_..!.( 1.0 X 10l kg/mJ )(36 ml/s' - 2.25 m2/s2)2 .

- ( 1.0 X lol kg/rnJ )( 9.8 mls2)( 5.0 m)

'" 4.0 X lOS Pa - 0.17 X lOS Pa - 0.49 X 10~ Pa

== 3.3 X lOS Pa = 3.3 atm = 48lb/pulg2

EVALUAR: Ésta es una razón de flujo razonable para un lavabo oducha. Cabe señalar que, al cerrar el agua, el término tp( u? - ( 1

2)

de la ecuación de la presión desaparece, y la presión sube a 3.5 xlOS Pa.

to de área A2. Deduzca expresiones para la rapidez de flujo en el tu­bo Yla razón de flujo de volumen.

Del suministrode agua(tu.bode 2 cm)

Presión de agua en el hogar

Rapidez de salida

EJemplo148

EJemplo14.9

Tanque deagua caliente

EJECUTAR la solución como sigue: Escriba la ecuación de Bcr­noulli y despeje las incógnitas. En algunos problemas, habrá queusar la ecuación de continuidad, ecuación (14.10), para tener unarelación entre las dos rapideces en ténninos de áreas transversalesde rubos o recipientes. O tll vez se tienen ambas rapideces y hayque determinar una de las áreas. Tal vez necesite también la ecua­ción (14.11) para calcular la razón de flujo de volumen.

Entra agua en una casa por un rubo con diámetro interior de 2.0 cma una presión absoluta de 4.0 X lo' Pa (unas 4 alm). Un rubo de 1.0cm de diámetro va al cuarto de baño del segundo piso, 5.0 m másamoa (Fig. 14.23). La rapidez de flujo en el rubo de entrada es de1.5 mis. Calcule la rapidez de flujo, presión y razón de flujo de YO­

lumen en el cuartO de baño.

lm!Il1':DIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Tomamos los puntos I y 2 en el tubode entrada y el cuarto de baño, respectivamente. Nos dan la rapidez

532 CAPÍTULO 14 I Mecánicadef1uidos

T~1

EJECUTAR: Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2Ytomando y = Oen la base del tanque, tenemos

1 1Po + 2Pv?+ pgh = P. + 2pvl

2 _ 2 + 2 Po - P. + 2 hVl - VI P g

Con v] = 0, tenemos

, ,Po - P. + , IV2 = --- g'

p

dV .~- = A2 v2ghdI

Porla ecuación (14.11), la razón de flujo de volumen es dV/dt = v1A2•

EVALUAR: Puesto que A] es mayor que A 2, V2 es mayor que VI y lapresión P2 en la garganta es menor que PI. Una fuerza neta a la de­recha acelera el fluido al entrar en la garganta, y una fuerza neta a

la izquierda lo frena al salir.

La diferencia de presiónpl -PI también es igual a pgh, donde hes la diferencia de nivel del líquido en los dos tubos. Combinandoesto con el resultado anterior y despejando UI' obtenemos

EJECUTAR: Los dos puntos tienen la misma coordenada vertical

(y] = Y2), así que la ecuación (14.17) dice

1 2 1,PI + "2PVI = P2 + "2 PV{

EVALUAR: La rapidez V2 • conocida como rapidez de safida, depen­de tanto de la diferencia de presión (Pú - P.) como de la altura h delliquido en el tanque. Si el tanque está abierto por arriba a la atmós­

fera, no habrá exceso de presión: Po = P. y Po - P. = O. En ese caso,

V2 = V2ih

Por la ecuación de continuidad, vi = (A ¡!A¡)vI. Sustituyendo y rca­

comodando, obtenemos

14.24 Cálculo de la rapidez de salida de gasolina por el fondo deun tanque de almacenamiento.

La figura 14.25 muestra un medidor VenlUri, que se usa para medirla rapidez de flujo en un tubo. La parte angosta del tubo se llama

garganta. Deduzca una expresión para la rapidez de flujo VI en tér­minos de las áreas transversales A I YA 2 Y la diferencia de altura h

del liquido en los dos tubos verticales.

14.25 El mcdidorVcnturi.

lE:l:!mIIDENTIFICAR: Podemos consider<lr todo el volumen de liquido enmovimiento como un tubo de flujo, asi que podemos usar el princi­

pio de Bemoulli.Esto es, la rapidez de salida por una abertura a una distancia h bajo

-....Ia superficie dc11íquido es la misma que un cuerpo adquiriría ca­PLANTEAR: Los puntos 1 y 2 en la figura 14.24 están en la superfi-

yendo libremente una altura h. Este resultado es el teorema de To­cíe de la gasolina y en el tubo corto de salida, respectivamente. En el rricelli y es válido no sólo para una abertura en la base de unpunto 1, la presión es Po; en el punto 2, la presión es la atmosférica,

recipiente, sino también para un agujero en una pared a una p¡ofun­P._ Tomamosy = Oen el rubo de salida, así queYI = h YY2 = O. Pues-

didad h bajo la superficie. En este caso, la razón de flujo de volu­ta que A I es mucho mayor que Al, el nivel de la gasolina en el tanque

men esbajará muy lentamente, asi que podemos considerar a V¡ práctica-mente igual a cero. Obtendremos la variable meta V2 con la ecuación(14.17) Yla razón de flujo de volumen con la ecuación (14.11).

lE:l:!mIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Aplicamos la ecuación de Bernoulli alas partes ancha (punto 1) Yangosta (punto 2) del tubo. La diferen­

cia de altura entre los dos tubos verticales indica la diferencia depresión entre los puntos 1 y 2.

, -i , El medidor Venturi

533

p;~ !J.p(aire)p,

14.27 La lava es un ejemplo de fluido vis­coso. La viscosidad disminuye al aumentarla temperatura: cuanto más caliente está lalava, más fácilmente fluye.

sustentación que actúa sobre la parte superior dé un paraguas abienopuede hacer que éste se doble Mcia arriba. Tambíén actúa una fuerzade sustentación sobre un automóvil que va a gran velocidad porque elaire se mueve sobre c:I techo curvo del vehículo. Esa sustentaciónpuede reducir la tracción de los neumáticos, y es por cllo que muchosautomóviles estan equipados con un "spoiler" aerodimimico en laparte trasera. El spoiler se parece a un ala invertida y hace que unafuerza hacia abajo acme sobre las ruedas traseras.

14.26 Líneas de flujo aln:rledor de un ala de avión. La cantidadde movimiento de una porción de aire (relativa al ala) es p¡ antes dellegar al ala y Pr después.

14.6 I Viscosidad y turbulencia

Sustentación en un ala de aviónEjemplo

conceptual 14.11

La figw-a 1426 muestra líneas de flujo alrededor de un corte del alade un avión. Las lineas se aprietan arriba del ala, lo que correspondea una mayor rapidez de flujo y una presión n:rlucida en esta región,igual que en la garganta del Venturi. La fuerza que actúa hacia arri­ba sobre dIado inferior del ala es mayor que la que actúa hacia aba­jo sobre el lado superior; hay una fuerza neta hacia arriba, osustentacion. La sustentación no se debe sólo al impulso dcl aireque incide bajo el ala; dc hccho, la presión reducida en la superfi­cie de arriba del ala es lo que más contribuye a la sustentación. (Es­ta explicación muy simplificada no considera la formación devórtices; un análisis más completo los tendria en cuenta.)

También podemos entender la fuerza de sustentación en ténninosde cambios de cantidad de movimiento. La figura 14.26 muestra quehay un cambio neto hacia abajo en la componente vertical de la can­tidad de movimienlO del aire que fluye por el ala, correspondiente ala fuerza hacia abajo que el ala ejerce sobre el aire. La fuerza de reac·ción que actúa sobre el ala es hocia arriba, como habíamos visto.

Se obsen'3 un paoón de flujo y una fuerza de sustentación si~i­

lares en las inmediaciones de cualquier objeto saliente cuando haceviento (vease el flujo de aire sobre la espalda del ciclista en la foto.grafia inicial del capítulo). En un viento bastante intenso, la fuerza de

No es sorprendente que un viento que sopla directamente contra una puerta abier­ta haga que se cierre de golpe. Utilice el principio de Bemoulli para explicar có·mo un viento que sopla paralelo a la abertura de una puerta puede hacer que éstase cierre. (Suponga que la puerta se abre hacia adentro.)

*14.6 I Viscosidad y turbulencia

ViscosidadLa viscosidad es fricción interna en un fluido. Las fuerzas viscosas se oponen almovimiento de una porción de un fluido relativo a otra. La viscosidad hace quecueste algún trabajo remar una canoa en aguas tranquilas, pero también es lo que ha­ce que funcione el remo. Los efectos viscosos son importantes en el flujo de fluidosen las tuberías, en el flujo de la sangre, en la lubricación de las partes de un motoryen muchas otras situaciones.

Los fluidos que fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menorviscosidad que los líquidos "espesos" como la mielo el aceite para motor. Las vis­cosidades de todos los fluidos dependen mucho de la temperarura, aumentan paralos gases y disminuyen para los liquidos al subir la temperatura (Fig. 14.27). Unobjetivo importante en el diseño de aceites para lubricar motores es reducir lo másposible la variación de la viscosidad con la temperatura.

Al hablar del flujo de fluidos supusimos que el fluido no tenía fricción interna yque el flujo era laminar. Aunque en muchos casos esos supuestos son válidos, enmuchas situaciones fisicas importantes los efectos de la viscosidad (fricción inter­na) y la turbulencia (flujo no laminar) son extremadamente importantes. Exami­nemos someramente algunas de esas situaciones.

534

I=l~~":""':'"14.28 Perfil de velocidad para un fluidoviscoso en un rubo cilíndrico.

CAPfTUlO 14 t Mecánica de fluidos

Un fluido viscoso tiende a adherirse a una superficie sólida que está en contac­lO con ella. Hay una capa de frontera delgada de fluido cerca de la superficie, enla que el fluido está casi en reposo respecto a ella. Es por eso que las partículas depolvo pueden adherirse a un aspa de ventilador aun cuando esté girnndo rápida­mente, y a que no podamos limpiar bien un auto con sólo dirigir el chorro de aguade una manguera hacia él.

La viscosidad tiene efectos importantes sobre el flujo de los líquidos a través detuberías, y esto incluye el flujo de la sangre por el aparato circulatorio. Pensemos pri­mero en un fluido con cero viscosidad, para poder aplicar la ecuación de BemouUi,ecuación (14.17). Si los dos extremos de un tubo cillndrico largo están a la mismaaltura, (YI = yv y la rapidez de flujo es la misma en ambos extremos (VI = v~, laecuación de Bemoulli nos indica que la presión es la misma en ambos exrremos. Sinembargo, este resultado simplemente no es válido si tomamos en cuenta la viscosi­dad. Para ver por qué, considere la figura 1428, que muestra el perfil de rapidez de flu­jo para el flujo laminar de un fluido viscoso en un tubo cilíndrico largo. Debido a laviscosidad, la rapidez es cero en las paredes del tubo (a las que se adhiere el fluido) ymáxima en el centro del tubo. El movimiento semeja muchos tubos concéntricos quese deslizan unos relativos a otros, con el tubo central moviéndose más rápidamente yel mas exterior en reposo. Las fuernl5 viscosas entre los tubos se oponen a este des­lizamiento; si quere.lJlos mantener el flujo, deberemos aplicar una mayor presiónatrás del flujo que delante de él. Es por ello que necesitamos seguir apretando un tu­bo de pasta dentífrica o una bolsa de salsa calSUp (ambos fluidos viscosos) para quesiga saliendo el fluido del envase. Los dedos aplican detrás del flujo una presión mu-cho mayor que la presión atmosférica al frente del flujo. •

La diferencia de presión requerida para sostener una razón dada de flujo de vo­lumen a través de un tubo de pasta cilíndrico de longitud L y radio R resulta serproporcional a UK. Si disminuimos R a la mitad, la presión requerida aumenta 24

= 16 veces; si disminuimos R en un factor de 0.90 (una reducción del 10%), la di­ferencia de presíón requerida aumentará en un factor de (1I0.90t = 1.52 (un au­mento de 52%). Esta sencilla relación explica el vínculo entre una dieta alta encolesterol (que tiende a angostar las anerias) y una presión anerial elevada. Debi·do a la dependencia Jt, incluso un estrechamiento pequeño de las arterias puedeelevar considerablemente la presión arterial y forzar el músculo cardiaco.

TurbulenciaSi la rapidez de un fluido que fluye excede cieno valor crítico. el flujo deja de serlaminar. El palrón de flujo se vuelve muy irregular y complejo, y cambia conti­nuamente con el tiempo; no hay patrón de estado estable. Este flujo irregular ycaótico se denomina turbulencia. La figura 14.20 muestra el contraste entre flujolaminar y turbulento para humo que asciende en el aire. La ecuación de Bemoullino es aplicable a regiones de turbulencia, pues el flujo no es estable.

El que un flujo sea laminar o turbulento depende en parte dc la viscosidad delfluido. Cuanto mayor es la viscosidad, mayor es la tendencia del fluido a fluir encapas y es más probable que el flujo sea laminar. (Cuando hablamos de la ecua­ción de Bemoulli en la sección 14.5, supusimos que el flujo era laminar y que elfluido tenía cero viscosidad. De hecho, se requiere un poco de viscosidad paraasegurar que el flujo sea laminar.)

Para un fluido de ciena viscosidad, la rapidez de flujo es un factor detenninante.Un patrón de flujo que es estable a baja velocidad se vuelve inestable de repen­te cuando se alcanza una rapidez crílica. Las irregularidades en el patrón de flujopueden deberse a asperezas en la pared del tubo, variaciones en la densidad delfluido y muchos otros factores. Si la rapidez de flujo es baja, estas penurbacionesse eliminan por amortiguaci6n; el patrón de flujo es estable y tiende a maDlener su

14.6 I Viscosidad Yturbulencia 535

naturaleza laminar. Cuando se alcanza la rapidez crilica, el patrón de flujo se ha·ce inestable; las perturbaciones ya no se amortiguan, sino que crecen hasta des­truir el patrón de flujo laminar.

El flujo de sangre normal en la aorta humana es laminar, pero una alteraciónpequeña, como una patología cardíaca, puede hacer que el flujo se vuelva rurbu·lento. La turbulencia hace ruido; por ello, escuchar el flujo sanguíneo con un es­tetoscopio es un procedimiento de diagnóstico útil.

¿Un lanzamiento de C\.Il'Ya en béisbol es rea/menle una cun'll? Sin du­da, y la nu.On es la turbuJencia. La figunl; 1429a muestra una bola quese mueve en el aire de izquierda a derecha. Para un observador que semueve junto con el centro de la bola, la corriente de aire parece roo­verse de derecha a izquierda, como muestran las líneas de flujo de lafigura. Las velocidades suelen ser altas (cerca de 160 kmIh), así quehay una región de flujo turbulento detrás de la bola.

La figura 14.29b muestra una bola que giro con u top spin". Ca­pas de aire cerca de la superficie dc la bola son llevadas en la direc·ción del giro por la fricción entre la bola y el aire y por la fricción,interna (viscosidad) del aire. La rapidez del aire relativa a la supcr­ficie de la bola se hace menor cn la pane de arriba de la bola que enla pane de abajo, y la turbulencia se presenta más hacia adelanteeu el lado de arriba que en el de abajo. Esta asimetria causa una di­ferencia de presión; la presión media en la parte de arriba de la Ix>-

la es ahora mayor que abajo. La fuerza neta desvia la bola haciaabajo, como se muestra en la figura 14.29c. Es por eSlo que se usael "Iop spin" en tenis para evitar que un servicio ripido se salga dela cancha (Fig. 14.29<1). En un lanzamiento de curva en béisbol, labola gira alrededor de un eje casi vertical, y la desviación real esa un lado. En un caso asi, la figura 14.29c es una vista superior dela situación. Una curva lanzada por un lanzador zurdo se curva haciaun bateador derecho, y es mas difícil golpearla (Fig. 14.2ge).

Un efecto símilar se da eon las pelotas de golf, que siempre tie·nen "giro hacia atrás" por el impacto con la cara inclinada del palo.La diferencia de presión resultante entre la parte de arriba y de aba­jo de la bola causa una fuerza de sustentación que mantiene la bolaen el aire mucho más tiempo del que seria posible sin el giro. Ungolpe fuene bien dado parece hacer que la bola "flote" o incluso securve hacia arriba durante la porción inicial del vuelo. Éste es unefecto real, no una ilusión. Los hoyuelos de la pelota desempeñan unpapel fundamental; la viscosidad del aire hace que una bola sin !lo­yuclos tenga una trayectoria mucho más corta que una con hoyueloscon la misma velocidad y giro iniciales. La figura 14.30 muestra elgiro de una pelota de golfjusto después de ser golpeada por un palo.

=~"~",C"

La curvaEjemplo

conceptual 14 12

Ó("

14.30 Fotografía estrobos<:ópica de una pelota de golf golpeadapor un palo. La imagen se tomó a 1000 destellos por segundo. Labola gira aproximadamente una vez cada ocho imágenes, 10 quecorresponde a una rapidez angular de 125 revls, o 7500 rpm.

(ol

14.29 El movimiento del aire de derecha a izquierda, relativo a labola, corresponde al movimiento de una bola por aire irnnóvil de iz­quierda a derecha. (a) Una bola que no gira tiene una región de tur·bulencia simétrica atrás. (b) Una bola que gira arrastra capas de airecerca de su superficie. (e) La región de turbulencia asimétricaresultante y la desviación de la corriente de aire por la bola girato·ria. La fuena que se muestra es la que la corriente de aire ejercesobre la bola; empuja la bola en la dirección de la velocidad tan·gencial del frente de la bola. La fuena puede (d) empujar una bolade tenis hacia abajo o (e) curvar una bola de bCisbo1. '

¿Cuánta más presión deberá aplicar una enfermera con el pulgar para administrar unainyección con una aguja hipodérmica de diametm interno de 0.40 mm, en compara­ción con una aguja con diametro interno de 0.55 mm'? Suponga que las dos agujas tie­nen la misma longitud y que la razón de flujo de volumen es la mísma en ambos casos.

536 CAPÍTULO 14 I Mecánica de fluidos

RESUMEN

Densidad es masa por unidad de volumen. Si una masa m dematerial homogéneo tiene un volumen V, su densidad p es elcociente mlV. La gravedad especifica es la relación elllrc ladensidad de un material y la del agua. (Véase el ejemplo 14.1.)

mp=­

V( 14.1)

Presión es fuerza normal por unidad de área. La ley de Pascalestablece que la presión aplicada a la superficie de un fluidoencerrado se transmite sin disminución a todas las porcionesdel fluido. La presión absoluta es la presión total en un flui­do; la presión manométrica es la diferencia entre la presiónabsoluta y la aunosférica. la unidad SI de presión es el pas­cal (Pa); I.Pa = 1 N/m2• (Véase el ejemplo 14.2.)

dF,p~­

dA(14.2)

Área pequella dA dC'ntro del fluido

El principio de Arquímedes dice que, si un cuerpo se sumerge en un fluido, ésle ejercesobre el una fuerza de flotación hacia arriba igual al peso del fluido que el cuerpo des.plaza. (Veanse los ejemplos 14.5 y 14.6.)

El F1uit. densidad p

Pl-Po

dF,

~ 8 ,~

:-'" ).

P2 - PI = -pg(:h - YI)(presión en un fluido de densidad uni­forme) (14.5)

p=Po+pgh(presión en un fluido de densidad uni­fonne) (14.6)

La diferencia de presión entre dos puntos 1y 2 enun fluido estático con densidad uniforme p (un flui­do incompresible) es proporcional a la diferenciaentre las alturas Yl y Yi. Si la presión en la superfi­cie de un líquido incompresible en reposo es Po> lapresión a una profundidad h es mayor en una canti­dad pgh. (Véanse los ejemplos 14.3 y 14.4.)

Un fluido ideal es incompresible y no tiene viscosídad (no hay fricción interna). Una lí­nea de flujo es la trayectoria de una partícula de fluido; una linea de corriente es una cur­va tangente en todo punto al vector de velocidad en ese punto. Un tubo de flujo es untubo delimitado en sus costados por líneas de flujo. En flujo laminar, las capas de fluidose deslizan suavemente unas sobre otras. En flujo turbulento, hay gran desorden y el pa­trón de flujo cambia constantemente.

La conservación de la masa en un fluido incom­presible se elCpresa con la ecuación de continui­dad, que relaciona las rapideces de flujo VI y V2

para dos secciones transversales A I YA2 de untubo de flujo. El producto Aves la razón de flujode volumen, dV/dr, la rapidez con que el volu­men cruza una SC1:cí6n del tubo. (Vease el ejem~

plo 14.7.)

Alu l = A1Ul

(ecuación de continuidad, fluido incom­presible) (14.10)

dV-=Aud,

(razón de flujo de volumen)(14.11)

La ecuación de Bemoulli relaciona lapresión p, la rapidez de flujo v yla alruray de dos puntos 1 y 2 cuales­quiera, suponiendo flujo estable enun fluido ideal. (Véanse los ejemplos14.8a 14.11.)

Términos clave

barómetro de mercurio, 521densidad, 515dinámica de fluidos, 515ecuación de Bernonlli, 530ecuación de continuidad, 527estática de fluidos, 515flotación, 523fluido ideal, 526flujo estable, 526

Notas del lector

Notas del lector

1 1PI + pgYI + "2Pu?= P2 + pgy:! + "2pul(ecuación de Bemoulli) (14.17)

flujo laminar, 527flujo turbnlcnto, 527fuerza de flotad6i:1, 523gravedad especifica, 516ley de Pascal, 520línea de corriente, 526línea de flujo, 526pascal, 518presión, 517

presión absoluta, 520presión atmosférica, 518presión manométrica, 520principio de Arquímedes, 523tensión superficial, 525tubo de flujo, 526turbulencia, 534l1scosidad,526viscosidad, 533

537

538 C.... PÍTULO 14 I Mecánica de fluidos

Preguntas para análisis

Respuesta a la pregunta inicialdel capítulo

Respuestas a las preguntas de Evalúesu comprensión

El aire mantiene casi la misma densidad al pasar por semejanteconstricción, así que puedc aplicarse [a ecuación dc continuidad pa­ra un fluido incompresible [ecuación (14.10)]. Una constricción ca·rrespondc a un área de sección transversal reducida, asi que larapidcz v debe aumentar.

P14.5 Tal vez haya notado que, cuanto menor es la presión de unneumatico, mayor es el area de contaclO entre él y el pavimento.¿Porqué?P14.6 Un globo de aire caliente se llena con aire calentado por unquemador en la base. ¿Por qué debe calentarse el aire? ¿Cómo secontrola el ascenso y el descenso?P14.7 Al describir el tamano de un barco grande, se dice por ejem­plo, "desplaza 20,000 toneladas", ¿Qué significa esto? ¿Se puedeobtener de este dalo el peso del barco?P14.8 Se deja caer una esfera sólida de aluminio en un cubo deagua que descansa en el sucio. La fuerza de flotación es igual al pe­so del agua desplazada, que es menor que el peso de la esfera, asique esta se hunde. Si llevamos el cubo a un elevador que acelera ha­

Sección 14.1 Por la tabla 14.1, la densidad del platino es 21.4 ve· cia arriba, el peso aparente del agua aumenta y, por tanto, aumenta laces la del agua (21.4 X leY kgfmJ contra 1.00 X leY kgfml). Por la fuerza de floración que acnia sobre la esfera. ¿La ace1ernción del ele­ecuación (14.1), el volumen y la densidad son inversamenle propor- vador podria ser tan grande que haga que la esfera Oote en el agua?cionales, así que la misma masa de agua tiene 21.4 veces el volu· Explique.men que e~lat¡nOI o sea, 21.4 ml. La longitud de cada lado del P14.9 Un dirigible rígido más ligero que el aire, lleno de helio, nocubo sería 21.4 ml

'"' 2.78 m. puede elevarse indefinidamente. ¿Por qué no? ¿Qué determina laSección 14.2 Por la ecuación (14.9), la presión exterior es igual al altitud máxima alcanzable?producto pgh. La densidad p decrece, mientras que la altura h de la P14.10 La presión del aire disminuye al aumentar la altitud. ¿Porcolumna de mercurio no cambia; por tanto, la presión debe ser me.. qué entonces el aire cerca de la superficie no es succionado conti.nor afuera que dentro del refrigerador. .... nuamente hacia las regiones altas que están a baja presión?Sección 14.3 El objeto desplaza dos tercios de su volumen V, asi P14.11 Puede probarse la pureza del oro pesándolo en aire y enque la fuerza de flotación hacia arriba es B :::: fp_vg. El objeto es- agua. ¿Cómo? ¿Cree que podría hacer pasar por oro un lingote deta en equilibrio, asi que B es igual_al peso del objeto, PobjoooYg. Por material mis barato chapeado con oro?tanto, Pd;p> = IP..... Éste es un ejemplo de una regla general: si un P14.12 Durante la gran inundación del río Mississippi de 1993.105objeto flota un un liquido coo una fracciÓDx de su yolwnco sumergi- diques en San Luis tendian a romperse primero en la base. ¿Porda, la densidad media del objeto es x veces la densidad del liquido. qué?Sección 14.4 Dado que el aire es casi incompresible, la razón de P14.13 Un barco carguero viaja del Atlantico (agua salada) al lagoflujo dc volumen del aire es prácticamenle conslante. Cuando sopla Ontario (agua dulce) por el río San Lorenzo. El barco se sume va­aire a través de una constricción, como un paso montañoso, su rapi. rios centímetros más en el agua del lago que en el océano. Expliquedez aumenta para mantener constante la razón de flujo de volumen. por qué.

Sección 14.5 Por la ecuación de Bernoulli, un aumento en la rapi- P14.14 Un submarino es mas compresible que el agua. ¿Cómodez de flujo v corresponde a una disminución en la presión del aire puede entonces un submarino rodeado completamente por agua es­p. La prcsión reducida del aire en el lado ';exterior" de la puerta ha· tar sólo en equilibrio inestable?ce que Ja puerta oscile hacia ese Jado, cerrándose. P14.15 Una vieja pregunta reza asj: "¿Qué pesa más, una libra deSección 14.6 La presión requerida es proporcional a l/K. Con la plumas o una de plomo?" Si el peso cn libras es la fuerza gravitaeio­aguja de menor diamctro, la presión es mayor en un factor de nal, ¿una libra de plumas equilibrará una libra de plomo en charolas[( 0.55 rnm)/(0.40 mm)]( = 3.6. opuestas de una balanza de brazos iguales? Explique, considerando

las fuerzas de flotación.P14.16 Suponga que la puerta de un cuarto embona hermética­mente, pero sin fricción en su marco. ¿Cree que podría abrir lapucrta si la presión del aire cn un lado fuera la presión aunosféricaeslindar y en el otro difiriera en un I%? Explique.P14.17 Un globo es menos compresible que el aire. ¿Cómo es quehay una altura en la que un globo inflado con helio esta cn equili.brio estable?P14.18 Un trozo de hierro está pegado encima de un bloque demadera. Si éste se coloca en una cubeta de agua con el hierro arri­ba, flota. Ahora se voltea el bloque para que el hierro quede sumer·gido bajo el bloquc. ¿El bloque flotará Ose hundirá? ¿El nivel deagua en la cubeta subirá, bajará o no cambiará? Explique.P14.19 Se toma una jarra de vidrio vacía y se mete en un tanque deagua con la boca hacia abajo, atrapando el aire dentro de la jarra. Simete mis lajarra en el agua, ¿cambia la fuerza de flotación que ac-

P14.1 Si el peso de un CUInO lIeoode agua es tan grande (ejemplo14.1, sección 14.1), ¿por que no se colapsa el piso de las casas consótano cuando se inundan hasta e1lecho del SÓtano?P14.2 Una manguera de hule se conecta a un embudo y el extremolibre se dobla hacia arriba. Si se vierte agua en el embudo, sube almismo nivel en la mangucra que en el embudo, a pesar de que ésteticne mucha más agua. ¿Por qué? .P14.3 Si compara los ejemplos 14.1 y 14.2 de las secciones 14.1 y14.2, parece que 700 N de aire cjercen una fuerza hacia abajo de 2.0X 106 N sobre el piso. ¿Cómo es posible?P14.4 La ecuación (14.7) muestra que una relación de área de 100a I puede dar lOO \'eces mas fuerza de salida que de entrada. ¿Noviola esto la conservación de la energía? Explique.

Ejercicios 539

14.5 Una esfera uniforme de plomo y una de aluminio licnen lamisma masa. ¿Quí: relación hay entre el radio de la esfera de alumi·nio y el de la esfera de plomo?14.6 a) Calcule la densidad media del Sol. b) Calcule la densidadmedia de una estrella de neutrones que tiene la misma masa que elSol pero un radio de sólo 20.0 km.

tUa sobre la jarra? Si lo hace, ¿aumenta o disminuye? Juslifique surespuesta.P14.20 Imagine que Ilota en una canoa en el centro de una alberca.Una amiga está en la orilla, lomando nota del ni\'el eJ¡;acto del aguaen la pared de la alberca. Usted lle-.'3 consigo en la canoa una bola deboliche, la cual deja caer cuidadosamenle por la borda. La bola sehWlde hasta el fondo de la alberca. ¿El nivel de agua en la albercasube o baja?P14.21 Imagine que flota en una canoa en el centro de una albcr- Sección 14.2 Presión en un fluidoca. Un ave grande llega volando y se posa en su hombro. ¿El nivel 14.7 ¿A qué profundidad del mar hay una presión manométrica dede agua en la alberca sube o baja? 1.00 x 10' Pa?P14.22 Imagine que está nadando en una alberca y se encarama en 14.8 En la alimenlación intravenosa, se inserta una aguja en unauna balsa inflable de plástico que está flolando en el agua. Si usled es- vena del brazo dcl paciente y se conecla un tubo entre la aguja y unlá totalmente fuera del agua cuando está arriba de la balsa, ¿el nivel de depósito de fluido (densidad 1050 kg/m

J) que está a una altura h so-

agua en la alhcrca sube o baja cuando usted se sube a la balsa? bre el brazo. El depósilo está abierto a la atmósfera por arriba. Si laP14.23 Un cubo de hielo flota en un vaso de agua. Al derretirse el presión manométrica dentro de la vena es de 5980 Pa, ¿qué valorhielo, ¿el nivel de agua en el vaso subirá, bajará o no cambiará? Ex- mínimo de h permite que entre fluido en la vena? Suponga que elplique. diámetro de la aguja es lo bastanle grande como para despreciar la

P14.24 Le dicen que "la ecuación de Bernoulli nos dice que, don. viscosidad (sección 14.6) del fluido.de la rapidez del fluido es más alta, su presión es mas baja, y vice. '14.9 Un barril contiene una capa de aceite (densidad de 600versa". ¿Es verdad siempre esa afirmación, incluso en el caso deun kgfm) de 0.120 m sobre 0.250 m de agua. a) ¿Qué presión mano-fluido idealizado? Explique. métrica hay en la interfaz aceite-agua? b) ¿Qué presión manomélri-

P14.2S Si en un fluido en flujo estable la velocidad en cada punlo '. ca hay en el fondo del barril?es constante, ¿cómo puede acelerar una partícula de fluido? 14.10 Una vagoneta vacia pesa 16.5 kN. Cada neumálico tiene unaP14.26 En una exhibiciÓD de escaparate, una pelota de ping-pong presión manométrica de 205 kPa (29.7 Ib/pulgl). a) Calcule c:I áreaestá suspendida en un chorro de aire expulsado por la manguera de de contacto lolal de los neumáticos con el suelo. (Suponga que lassalida de una aspiT3dora de tanque. La pelota se mueve un poco pe_ paredes del neumálico son flexibles de modo que la presión ejerci-TO siempre regresa al centro del chorro. aunque éste no esté vertical. da por el neumatieo sobre el suelo es igual a la presión de aire en su¿Cómo iluslra este comportamiento la ecuación de Bemoulli? inlerior.) b) Con la misma presión en los neumálicos, calcule el áreaP14.27 Un tomado consiste en un vórtice de aire que gira rápida- después de que c:I auto se carga con 9.1 kN de pasajeros y carga.menle. ¿Por qué es la presión mucho más baja en el centro que 14.11 Se está diseñando una campana de buceo que resista la pre·afuera? ¿Cómo explica esto la potencia destructiva de un tomado? sión del mar a 250 m de profundidad. a) ¿Cuánto vale la presiónP14.28 Los aeropuenos a gran allitud tienen pistas más largas pa. manométrica a esa profundidad? (Desprecie el cambio en la densi·ra los despegues y aterrizajes. que los aeropuenos que están al ni- dad del agua con la profundidad.) b) A esta profundidad, ¿qué fuer-vel del mar. Un motivo es que los motores de los aviones za neta ejercen el agua exterior y el aire interior sobre unadesarrollan menos potencia en elllire enrarecido. Cite otro motivo. ventanilla circular de 30.0 cm de diámetro si la presión dentro de laP14.29 Cuando un chorro de agua fluye suavemente de un grifo, campana es la que hay en la superficie del agua? (Desprecie la pe·se angosta al caer. Explique este fenómeno. queña variación de presión sobre la superficie de la ventanilla.)

14.12 ¿Qué presión manométrica (en Pa y atm) debe producir,unabomba para subir agua del fondo del Gran Cañón (elevación 730 m)a Indian Gardens (elevación 1370 m)?

F 14.13 El líquido del manómetro de tubo abierto de la figura 14.8a esmercurio'YI = 3.00 cm yY2 = 7.00 cm. La presión atmosférica es de980 milibares. a) ¿Qué presión absolUla hay en la base del tubo enU? b) ¿Ven el tubo abierto 4.00 cm abajo de la superficie libre? e)¿Qué presión absoluta tiene el aire del tanque? d) ¿Qué presión ma­nométrica tiene el gas en pascales?14.14 Hay una profundidad maxima a la que-uu buzo puede respirarpor Wl··snorkd~ (Fig. 1431) pues, al aumentar la profimdidad, au­menta la diferencia de presión que tiende a colapsar los pulmonesdel buzo. Dado que el snorltel conecta los pulmones con la atmÓs·fera, la presión en ellos es la almosférica. Calcule la diferencia depresión inlema-externa cuando ros pulmones del buzo están a 6.1 mde profundidad. Suponga que el buzo está en agua dulce. (Un buzoque respira el aire comprimido de un tanque puede operar a mayo­res profundidades que uno que usa snorkel, porque la presión del

Ejercicios

Sección 14.1 Densidad ,14.1 En un trabajo de medio tiempo, un supervisor le pide traer delalmacén una varilla cilindrica de acero d~5.8 cm de longitud y2.85 cm de diim.etro. ¿Necesitará usted un carrit~? (para contestar,calcule el peso de la varilla.)14.2 El radio de la Luna es de 1740 km; su masa es de 7.35 X loDkg. Calcule su densidad media. .14.3 Imagine que compra una pieza rectangular de me'tai de 5.0 X15.0 X 30.0 mm y masa de 0.0158 kg. El \'endedor le dice que esde oro. Para verificarlo. usted calcula la densidad media de la pie­za. ¿Qué valor obtiene? ¿Fue una estafa?14.4 Un secuestrador exige un cubo de platino de 40.0 kg comorescate. ¿Cuánto mide por lado?

540 CAPíTULO 14 I Mecánica de nuidos

om

-+-10.0Agua cm

b..:;J;~.dI--"--

II---"A"""'""'--II---.--­10.0

Figura 14.32 Ejercicio 14.25.

14.23 Un objeto con densidad media p'flota sobrc un fluido de den­sidad Pfluido' a) ¿Qué relación debe haber entre las dos densidades? b)A la luz de su respuesta a la parte (a), ¿cómo puedcn flotar barcos deaccro en el agua? c) En tenninos de P YPnuiOO, ¿qué fracción del ob­jeto está sumergida y qué fracción está sobre el fluido? Verifique quesus respuestas den el comportamiento correcto en el limite donde P_ Pilo""'" Ydonde P _ O. d) Durante un paseo en yate, su primo Titorecorta una pieza rC{:tangular (dimensiones: 5.0 X 4.0 X lO cm) deun salvavidas y la tira al mar, donde flota. La masa de la pieza esde 42 g. ¿Qué porcentaje de su volumen está sobre la superficie?14.24 Un cable anclado al fondo de un lago de agua dulce sostieneuna esfera hueca de plástico bajo la superficie. El volumen de la es­fera es de 0.650 m l y la tensión en el cable es de 900 N. a) Calculela fuerza de flotación ejercida por el agua sobre la esfera. b) ¿Quémasa tiene la esfera? e) El cable se rompe y la esfera sube a la su­perficie. En equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esfera esta­rá sumergida?

f 14.25 Un bloque cúbico de ma-dera de 10.0 cm por lado flota enla interfaz entre aceite yagua

Ejer- con su superficie inferior 1.50_"' cm bajo la interfaz (Fig. 14.32).

"La densidad del aceite es de 790kg/m l . a) ¿Qué presión mano­métrica hay en la supcrficie dearriba del bloque? b) ¿Yen lacara inferior'! c) ¿Qué masa ydensidad tiene el bloque?14.26 Un lingote de aluminio sólido pesa 89 N en el aire. a) ¿Quévolumen tiene? b) El lingote se cuelga de una cuerda y se sumergepor completo en agua. ¿Qué tensión hay en la cuerda (el peso apa­reme del lingote en agua)?14.27 Dos bloques cúbicos idénticos en tamaño y forma se cuel­gan de hilos y se sumergen totalmente en una alberca. El bloque Aes de aluminio; su cara superior está 0.5 m bajo la superficie delagua. El bloque B es de latón; su cara superior está 1.5 bajo la su­perficie del agua. Indique si las siguicntes cantidades tienen un va­lor mayor para el bloqueA o para el bloque B, o si son iguales: a) lapresión del agua sobre la cara superior del bloque; b) la fuerza deflotación ejercida por el agua sobre el bloque; c) la tensión en el hi­lo del que cuelga el bloque.14.28 Una roca cuelga de un hilo ligero. Cuando está en el aire, latensión en el hilo es de 39.2 N. Cuando está totalmente sumergida enagua, la tensión es de 28.4 N. Cuando está totalmente sumergida en unlíquido desconocido, la tensión es de 18.6 N. Detennine"la densidaddel liquido desconocido.

p,

6.1 m

Figura 14.31cicio 14.14.

aire dentro de los pulmones aumenta hastaequilibrar la presión externa del agua.)14.15 Un cilindro a1lo con árca transversalde 12.0 cm1 se llenó parcialmente con mer-curio hasta una altura de 5.00 cm. Se viertelentamente agua sobre el mercurio (los doslíquidos no se mezclan). ¿Qué volumen deagua deberá añadirse para aumentar ál do-ble la presión manométrica en la base delcilindro?14.16 Un recipiente cerrado se llena par­cialmente con agua. En un principio, el airearriba del agua está a presión atmosférica(1.01 X tal Pa) y la presión manométri­ca en la base del recipiente es de 2500 Pa.Después, se bombea aire adicional al inte­rior, aumentando la presión del aire sobreel agua en 1500 Pa. a) Calcule la nueva pre­sión manométrica en el fondo. b) ¿Cuántodeberá reducirse el nivel del agua en el re­cipiente (extrayendo agua a través de unaválvula en el fondo) para que la presiónmanométrica en el fondo vuelva a ser de2500 Pa? La prcsión del aire sobre el agua se manticnc a 1500 Pasobre la presión atlTlosférica.14.17 Un corto deja sin electricidad a un submarino que está 30 mbajo la superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe empu­jar hacia afucra una escotilla en el fondo que tiene un área de 0.75m2 y pesa 300 N. Si la presión interior. es de 1.0 atm, ¿qué fuerzahacia abajo se debe ejercer sobre la escotilla para abrirla?14.18 Imagine que le encargan diseñar un tanque de agua cilindri":.co presurizado para una furura colonia en Marte, donde la acelera­ción debida a la gravedad es de 3.71 m/s2. La presión en lasuperficie del agua será de 130 lePa, y la profundidad del agua seráde 14.2 m. La presión del aire en la construcción afuera del tanqueserá de 93 lePa. Calcule la fuerza neta hacia abajo que el agua y elaire interior y el aire exterior ejercen sobre la base plana del tanque(área = 2.00 ml

).

" 14.19 Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene0.250 m l de queroseno, con una masa de 205 kg. La presión en lasuperficie del queroseno es de 2.01 x 101 Pa. El queroseno ejerceuna fuerza de 1ó.4 kN sobre el fondo del tanque, cuya área es de0.0700 ml

. Calcule la profundidad del qucroseno.14.20 El pistón de un elevador hidráulico para autos tiene OJO mde diámetro. ¿Qué presión manométrica, en pascales y en alm, serequierc para levantar un auto de 1200 kg?

Sección 14.3 Flotación14.21 Una plancha de hielo flota en un lago de agua dul.ce. ¿Quévolumen mínimo debe tener para que una mujer de 45.0 kg puedapararse en ella sin mojarse los pies?14.22 Una muestra de mineral pesa 17.50 N en el aire pero, si secuelga de un hilo ligero y se sumerge por completo en agua, la ten­sión en el hilo es de 11.20 N. Calcule el volumen total y la densidadde la muestra.

Sección 14.4 Flujo de fluidos14.29 Una regadera ticne 20 agujeros circulares cuyo radio es de1.00 mm. La regadera está conectada a un rubo de 0.80 cm de radio.Si la rapidez del agua en el tubo es de 3.0 mis, ¿con qué rapidez sal­drá de los agujeros de la regadera?14.30 Fluye agua por un rubo de sección transversal variable, lle­nándolo en todos sus puntos. En el punto 1, el área transversal delrubo es de 0.070 m2, y la rapidez del fluido es de 3.50 mis. a) ¿Quérapidez tiene el fluido en puntos donde el área transversal es de i)

Problemas 541

O. J05 m~ ii) ¿0.M7 m~ b) Calcule el volumen de agua descarga­da del extremo abierto del tubo en 1.00 h.14.31 Fluye agua por un rubo circular de sección transversal varia­ble, llenándolo en todos sus puntos. a) En un punto, el radio del tu­

bo de 0.150 m. ¿Qué rapidez tiene el agua en este punto si la razónde flujo de volumen en el rubo es de 1.20 ml/s? b) En otro punto. larapidez del agua es de 3.80 mis. ¿Qué radio tiene el tubo en estepunto?14.32 a) Deduzca la ecuación (14.12). b) Si la densidad aumenta en un1.50"10 del punto I al 2. ¿qué sucede con la razón de flujo de volumen?

Sección 14.5 Ecuación de Bernoulli14.33 Un tanque sellado que contiene agua de mar hasta una altu­ra de 11.0 m contiene tambien aire sobre el agua a una presión Ola­nometrica de 3.00 alm. Sale agua del tanque a travCs de un agujeropequeño en el fondo. Calcule la rapidez de salida del agua.14.34 Se corta un agujero circular de 6.00 mm de diámetro en elcostado de un tanque de agua grande, 14.0 m debajo del nivel delagua en el tanque. El tanque está abierto al aire por arriba. Calcule a)la rapidez de salida; b) el volumen descargado por unidad dc tiempo.14.35 ¿Qué presión manométrica se requiere en una toma munici­pal de agua para que el chorro de una manguera de bomberos c.o­nectada a ella alcance una altura vertical de 15.0 m? (Suponga quela toma tiene un diámetro mucho mayor que la manguera.)14.36 En un punto de una tubería, la rapidez del agua es de 3.00mis y la presión maoometrica es de 5.00 x l<t Pa. Calcule la pre­sión manométríca en otro punto de la rubería, 11.0 m más abajo, siel diámetro del tubo ahi es el doble que en el primer punto.14.37 Sustentadón en un avión. El aire fluye borizontalmentepor las alas de una avioneta de modo que su rapidez es de 70.0 misarriba del ala y 60.0 mis debajo. Si la avioneta tiene una masa de1340 kg Yun área de alas de 16.2 01

1• ¿qué fuerza vertical ncta (in­

cluida la gravedad) actUa sobrc la nave? La densidad del aire es de1.20kglmJ •

14.38 Una bebida no alcohólica (principalmente agua) fluye poruna tuberia de una planta embotclladora con una razón dc flujo demasa que llenaría 220 latas de 0.355 L por minuto. En el punto 2del tubo, la presión manométrica es de 152 kPa y el área tranSl/er­sal es de 8.00 cml

. En el punto 1, 1.35 m arriba del punto 2, el áreatransversal es de 2.00 cm". Calcule a) la razón de flujo de masa; b)la razón de flujo de volumen; c) la rapidez de flujo en los puntos Iy 2; d) la presión manométrica en cl punto l.14.39 Se descarga agua de un rubo horizontal cilindrico a razón de465 cml/s. En un punto del tubo donde el radio es de 2.05 cm, lapresión absoluta es de 1.60 x lOS Pa. ¿Qué radio tiene una consulc­ción del rubo donde la presión se reduce a 1.20 x las Pa?14.40 En cierto punto de una tubcría horiZQntal, la rapidcz delagua es de 2.50 mis y la presión manométrica cs de 1.80 X lit Pa.Calcule la presión manométrica en un segundo punto donde el áreatransversal es el doble que en el primcro. \14.41 Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua deun tubo horizontal a razón de 7200 cm~/s. En un punto del tubo,donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.40X IO~ Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una cons­tricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene elagua al fluir por esa constricción?

Problemas

14.42 En una demostración en la clase, una profesora separa confacilidad dos cascos hemisféricos de acero (diámetro D) usando lasasas con las que están provistos. Luego los une, extrae el aire hastauna presión absoluta P, y se los da a un fisicoculturista quc cstá sen­tado en la última fila del salón para que los separe. a) Si la presiónaunosférica es Po, ¿qué fuerza dcberá cjercer el fisieoculturista so­bre cada casco? b) Evalúe su respuesta para el caso en que p =0.025 alm y D = 10.0 cm.14.43 El punto más profundo conocido de los océanos es la Fosade las Mariana~ con una profundidad de 10.92 km. a) Suponiendoque el agua es incompresiblc, ¿qué presión haya esa profundidad?Use la densidad del agua de mar. b) la presión real es de 1.16 X lo'Pa; su \!<llor calculado será menor porque la densidad sí \!<lria con laprofundidad. Usando la compresibilidad del agua y la presión real,calcule la densidad del agua en el fondo de la fosa. ¿Qué procenta­je de cambio experimenta la densidad?14.44 Una piscina mide 5.0 m de longitud y 4.0 m de anchura, ytiene 3.0 m de hondo. Calcule la fuer¿a ejercida por el agua contraa) el fondo; b) cualquier pared. (Sugerencia: Calcule la fuerza queactúa sobre una tira horizontal delgada a una profundidad h, e inte­gre a lo alto del extremo de la piscina.) No incluya la fuerza debidaa la presión dcl aire.14.45 El borde superior de unacompuerta en una presa está alnivel de la supeñicie del agua. mLa compuerta tiene 2.00 m de al­rora y 4.00 m de anchura, y pivo­ta sobre una línea horizontal quepasa por su centro (Fig. 14.33).Calcule el momento de torsión Figura 14.33 Problema 14.45.en tomo al pivote causado porel agua. (Sugerencia: Use ljn procedimicnto similar al del problema14.44: calcule el momento de torsión de una tira horiwntal delgadaa una profundidad h e integre a lo alto de la compuerta.)14.46 Fuerza}' momento de torsión sobre una presa. Una presatiene forma de sólido rectangular. El lado que da al lago licne arcaA y altura H. La superficie dcllago de agua dulce detrás de la pre­sa llega al borde superior de la presa. a) Demuestre que la fuerzahorizontal neta ejercida por el agua sobre la presa es ~pgHA, es de­cir, la presión manométrica media sobre la cara de la presa multipli­cada por el área. (véase el problema 14.44.) b) Demuestre que elmomento de torsión ejercido porel agua alrededor de un eje que co­rre a lo largo de la base de la presa es pgH~AJ6: e) ¿Cómo depen­den la fuerza y el momenlo de torsión del tamaño del lago?14.47 Un aslronauta está parado en el polo norte de un planeta esfé­ricamente simétrico recién descubierto, cuyo radio es R. En las ma­nos, sostiene un recipiente lleno con un líquido de masa m y volumenV. En la superficie del1íquido, la presión es Po; a una profundidad dbajo la superficie, la presión tiene un valor más grande p. Determinela masa del planeta con esta infonnación.14.48 Para obtener la densidad en un punto dado dentro de un ma­terial, considere un volumen pequeño d/l centrado en ese punto. Sila masa dentro de ese volumen es dm. la densidad en ese punto es

I

542 CAPfTULO [4 I Mecánica de fluidos

Figura 14.34 Problema 14.51.

p = dmldV. Considere una varilla cilíndrica de masa M, radio R ylongitud L, con una densidad proporcional al cuadrado de la distan­cia a un extremo, p = U. a) Demuestre que e = 3MhrR1L3, b)Demuestre que la densidad media, dada por la ecuación (14.1), esun tercio de la densidad en el extremo x = L14.49 La Tierra no liene densidad uniforme; es más densa en elcentro y menos en la superficie. Una aproximación a SU densidad esp(r) = A -8r, donde A = 12,700 kg/m1 y B = 1.50 X IO-lkglm·, UseR = 6.37 X 106 m para el radio de la líerra aproximada como unaesfera. a) Los indicios geológicos sugieren que las densidades son13.100 kglmJ en el centro y 2400 kglmJ en la superficie. ¿Qué valo­res da el modelo de aproximación lineal para las densidades en estoslugares? b) Imagine que divide la Tierra en capas esfericas concén­tricas. Cada capa tiene radio r, espesor dr, volumen dV = 41lT~ dr ymasa dm = p(r) dV. Integrando de r = Oa r = R, demuestte quela masa de la Tierra en este modelo es M = ~r.R3(A - ~BR).

e) Demuestre que los valores dados para A y 8 dan la masa de la Tie­rra con un error de menos de 0.4%. d) En la sección 12.6 vimos queun casco esferico uniforme no contribuye a g en su imerior. Oe­muestte que g(r) = tr.Gr{A - ~Br) dentro de la Tierra en eslemodelo. e) Verifique que la expresión de la pane (d) dag = Oen elcenlro de la Tierra y g = 9.85 m/s2 en la superficie. f) Demuestreque, en este modelo, g no disminuye unifonnememe con la profun­didad, sino que tiene un mhimo de 4r.GA~/9B = 10.01 mis' en r =UI3B = 5640 km.14.50 En el ejemplo 12.10 (sección 12.6) vimos que, denlro de unplaneta con densidad uniforme (supuesto poco realista para la Tie­rra), [a aceleración debida a la gravedad aumenta uniformementecon la distancia al centro. Es decir, g(r) = g.rlR, donde g, es la ace­leración debida a la gravedad en la superficie, 1" es la distancia alcentro del planeta y R es el radio del plant¡ta. El interior del plane­ta puede tralarse aproximadamente como fluido incompresible condensidad p. a) Sustituya la altura y de la ecuación (14.4) por lacoordenada radial r e integre para delerminar la presión dentro deun planeta uniforme en función de r. Sea cero l<l presión en la su­perficie. (Esto implica despreciar la presión de la atmósfera.) b)Usando este modelo, calcule la presión en el centro de la Tierra.(Use un valor de p igual a la densidad media de la Tierra, calculadacon la masa y el radio dados en el apéndice E) c) Los geólogos es­liman que la presión en el centro de la TIerra es de apTOximadamen­le 4 x lOlt Pa. ¿Concuerda eslO con su cálculo para la presión en r= O? ¿Qué podría explicar las diferencias, si las hay?

~""'=~=~~ Men:urio

14.51 Un tubo en forma de U abieno por ambos extremos contie­ne un poco de mercurio. Se viene con cuidado un poco de agua enel brazo izquierdo del tubo hasta que la altura de la columna deagua es de 15.0 cm (Fig. 14.34). a) Calcule la presión manométricaen la interfaz agua-mercurio. b) Calcule la distancia vertical h entrela superficie del mercurio en el brazo derecho del tubo y la superfi­cie del agua en el brazo izquierdo.14.52 La gran inundación de melaza. En la tarde del 15 de ene­ro de 1919. un dia inusitadamente cálido en Bastan, se rompió untanque metálico cilíndrico de 27.4 m de altura y 27.4 m de diáme­Ira usado para almacenar melaza. La melaza fluyó por las calles enuna corriente de 9 m de profundidad, matando peatones y caballosy tirando edificios. La melaza tenia una densidad de 1600 kgfm3. Siel tanque estaba lleno antes del accidente, ¿qué fuerza total ejerciala melaza contra los costados? (Sugerencia: Considere la fuerza ba­cia afuera que actúa sobre un aníllo de la pared del tanque de an~

chura dy a una profundidad y bajo la superficie. Integre paracalcular la fuerza total hacia afuera. Suponga que, anles de romper­se el tanque, la presión en la superficie de la melaza era igual a lapresión del aire afuera del tanque.)14.53 Un lancbón abierto tiene

.1¡lS dimensiones que se muestranen la figura 14.35. Si el lanchónestá hecho con placa de acero de4.0 cm de espesor en sus cualTO

costados y el fondo, ¿que masa Figura 14.35 Problema 14.53.de carbón (densidad aproxima-da 1500 kgfm3

) puede llevar ellanchón sin hundirse? ¿Hay espacio en el lanchón para contener esecarbón?14.54 Un globo de aire caliente tiene un volumen de 2200 ml . Latela del globo pesa 900 N. La canasta con su equipo y tanques depropano llenos pesa 1700 N. Si el globo apenas puede levantarotros 3200 N de pasajeros, desayuno y champan cuando la densidaddel aire exterior es de 1.23 kgfm3, ¿que densidad media tienen losgases calientes del imcrior?14.55 Los anuncios de cicno coche aseguran que flota en agua. a)Si la masa del coche es de 900 kg Ysu volumen interior es de 3.0mJ, ¿qué fracción queda sumergida al flotar? Puede despreciarse elvolumen del acero y demás materiales. b) Poco a poco se filtra aguay desplaza al aire del cochc. ¿Qué fracción del volumen interior es­ui llena de agua cuando el coche se hunde?14.56 Un cubo de hielo de 9.70 g flota en un vaso totalmente llenocon 420 cmJ de agua. Desprecie la tensión superficial del agua y suvariación de densidad con la lemperatura (mientras siga liquida). a)¿Que volumen de agua desplaza el hielo? b) Una vez derretido elhielo, se habni desbordado algo de agua? Si así fue, ¿cuánta? Si no,explique por qué no. e) Suponga que el agua del vaso era muy sala­da, con densidad de J050 kglmJ . ¿Qué volumen de agua salada des­plazaría el cubo de hielo de 9.70 g? d) Repita la parte (b) para elcubo de agua dulce en agua salada.14.57 Un trozo de madera de 0.600 m de longitud, 0.250 m de an~

chura y 0.080 m de espesor tiene una densidad de 600 kglmJ. ¿Quévolumen de plomo debe sujetarse a su base para hundir la maderaen agua tranquila de modo que su cara superior esté al ras del agua?¿Que masa tiene ese plomo?

Th

...LTIS.Oem

1Agua

544 CAPfTULO 14 I Mecánicadetluidos

(b)••

en función de la distancia del eje de rotación a 10 largo de una líneahorizontal en y = o. c) Combine el resultado de la parte (b) con laecuación (14.5) para demostrar que la superficie dclliquido tieneformaparabálica, es decir, la altura dcllíquido está dada por h(r)= oJ?l2g. (Esta técnica se usa para hacer espejos de telescopio pa­rabólicos; se gira vidrio liquido, dejando que se solidifique mien­tras gira.)14.77 Un fluido inwmpresible con densidad p está en un tubo deensaye horizontal con área transversal interior A. El rubo gira en uncín;ulo horizontal en una ultraceotrifuga con rapidez angular Ctl. Lasfuerzas gravitacionales son insignificantes. Considere un elementode volumen del fluido con área A y espesor dr', a una distancia r'del eje de rotación. La presión en su superficie interior es p, y en lacxterior,p + dp. a) Aplique la segunda ley de Newton al elementopara demostrar que dp = ptJr'dr'. b) Si la superficie del fluido es­tá en un radio ro donde la presión es Po> demuestre que la presión pa una distancia r;::: ro es p = Po + por(r1 - ro1)12. e) Un objeto convolumen V y densidad Pdo tiene su centro de masa a una distancia~ del eje. Demuestre que la fuerza horizontal neta que actUa so­bre el objelo es pVar~ donde Re. es la distancia del eje al centrode masa del fluido desplazado. d) Explique por qué el objeto set!'ueve hacia adentro si pRCfII >p~ y hacia afuera si pRm¡ <p~. e) Para objetos pequei\os con densidad uniforme, R<m ""/4moo. ¿Qué sucede con una mezcla de objetos de este tipo con di­fcrentes densidades en una ultrncentrifuga?14.78 Globos sueltos llenos de helio, flotando en un coche con lasventanas y las ventilas cerradas, se mueven en la dirección de laaceleración del coche, pero globos sueltos llenos de aire se muevenen la dirección opuesta. Para entender esto, considere sólo las fuer­zas horizontales que acnían sobre los globos. Sea a la magnitud dela aceleración hacia adelante del coche. Considere un tubo horizon­lal de aire con área transversal A que se eluiende del parabrisas.donde.T = OYP = Po> hacia atrás sobre el eje x. Considere un ele­mento de volumen de espesor dr en este tubo. La presión en su su­perficie delantera es p, y en la lrasera es p + dp. Suponga que el airetiene una densidad constante p. a) Aplique la segunda ley de New­ton a este elemento para demostrar que dp "" pa dx. b) Integre elresultado de (a) para obtener la presión en la superficie delantera entérminos de a y x. c) Para demostrar que considerar a p constante esrazonable, calcule la diferencia de presión en atmósferas para unadistancia de hasta 2.5 m y una aceleración grande de 5.0 mlgl. d)Demuestre que la fuerza horizontal neta que actúa sobre un globode volumen JI es pVa, e) Si las fuerzas de fricción son desprecia­bles, demuestre que la aceleración del globo (densidad media p",Jes (plp¡Io)a y que su aceleración relativa al coche es atd = [(plp,.J

(.)

figura 14.39 Problema 14.79.

-1

y,

, • ¡, ~,

C--,

···Figura 14.38 Problema 14.76.

Figura 14.37 Problema 14.75.

desencallarlo, el petróleo se bombea a barriles de acero que vacíostienen una masa de 15.0 kg Ycapacidad de 0.120 ml. Puede despre.ciar el volumen ocupado por el acero del barril. a) Si un rescatistaaccidentalmente deja caer al mar un barril lleno y sellado, ¿flotaráo se hundirá? b) Si el barril flota, ¿Que fracción de su volumen es­tará arriba de la superficie? Si se hunde, ¿qué tensión mínima ha­bria que ejercer con una cuerda para subir el barril del fondo? e)Repita las partes (a) y (b) si la densidad del petróleo es de 910kgfm' y los barriles vacíos tienen una masa de 32.0 kg.14.73 Un bloque cúbico con densidadPB y lados de longitudL flo­ta en un líquido con densidad mayor PL. a) ¿Qué fracción del volu­men del bloque está sobre la superficie del liquido? b) El líquido esmas denso que el agua (densidad p,,) y no se mezcla con ella. Si sevierte agua en la superficie del liquido, qué espesor (en términos deL, PB, Pi. y PA) debe tener la capa de agua para que su superficie es­té al ras de la cara superior del bloque? e) Calcule la profundidad dela capa de agua en la pane (b) si el líquido es mercurio, el bloqueestá hecho de hierro y la longitud de su lado es de 10.0 cm.14.74 Una barcaza está en una esclusa rectangular en un río deagua dulce. La esclusa mide 60.0 m. de longitud y 20.0 m de anchu­ra, y las puertas de acero en sus extremos están cemldas. Con labarcaza flotando en la esclusa, una carga de 2.50 X llfi N de chala­rra se coloca en la barcaza. El metal tiene una densidad de 9000kglm3

• a) Cuando la carga, que inicialmente estaba en ticrra, se co­loca en la barcaza, ¿qué distancia vertical sube el agua en la esclu­sa'? b) Ahora la chatarra se tira de la barcaza al agua. ¿El nivel delagua en la esclusa sube, baja o no cambia? Si sube o baja, ¿cuánto10 hace?14.75 Un tubo en forma de Ucon una porción horizonlal delongitud 1 (Fig. 14.]7) contieneun liquido. ¿Qué diferencia de al­tura hay entre las columnas de li­quido en las ramas verticales a)si el rubo tiene una aceleración ahacia la derecha? b) ¿Si el tuboser monta en una tomamesa ho-rizontal que gira con velocidadangular al, con una rama vertical en el eje de rotación? c) Expliquepor que la diferencia de altura no depende de la densidad dellíqui­do ni del área de sección ttansversal del tubo. ¿Seria lo mismo si lasramas verticales 00 tuvieran la misma sección? ¿Seria lo mismo sila porción horizontal estuviera ahusada de un extremo al otro? Ex­plique.14.76 Un recipiente cilíndrico con un líquido incompresible (den­sidad p) gira con velocidad an­gular constante Ctl alrededor desu eje de simetría. que tomamoscomo eje y (Fig. 14.38). a) De­mueslre que la presión a una al­tura dada dentro del fluidoaumenla en la dirección radial(hacia afuera desde el eje de ro­tación) según aptar = pt.ir. b)Integre esta ecuación diferencialparcial para obtener la presión

Problemas de desafío 545

Figura 14.41 Problema 14.8!'.

Figura 14.40 Problema 14.80.

I

T Eh,

B

------------l---

'le j' D

F

A

2000 N por m2 de área de ala. Suponga que aire (densidad:: 1.20kglm l) fluye por el ala de un avión con flujo de linea de comente.Si la rapidez de flujo por la cara inferior del ala es de 120 mis, ¿quérapidez debe haber sobre la cara superior para obtener una susten­tación de 2000 NIm~?

14.84 El radio del huracán Emily de 1993 fue de unos 350 km. Larapidez del viento cerca del centro ("ojo") del huracán, cuyo radiofue de unos 30 km, alcanzó cerca de 200 km/h. Al entrar aire delborde del huracán hacia el ojo, su cantidad de movimiento angularse mantiene casi constante. a) ESlime la rapidez del viento en elborde del huracán. b) Estime la diferencia de presión en el suelo en­tre cl ojo y el borde del huracán. (Sugerencia: Vea la tabla 14.1.)¿Dónde es mayor la presión? c) Si la energía cinética del aire arre­molinado en el ojo pudiera convertirse totalmente en energía potcn­cial gravitacional, ¿cuánto subida el aire? d) De hecho, el aire en elojo sube a alturas de varios kilómetros. ¿Cómo puede conciliar es­to con su respuesta a la parte (c)?14.85 Dos tanques abiertos muy grandes A y F (Fig. 14.42) contie­nen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD, con una constric­ción en e y abierto al aire en D, sale del fondo del tanque A. Untubo vertical E emboca en la constricción en e y baja al líquido deltanque F. Suponga flujo de línea de corrieDle y cero viscosidad. Siel área transversal en e es la mitad del área en D, y si D está a unadistancia ni bajo el nivel del líquido en A, ¿a qué alturn h2 subirá elliquido en el rubo El Exprese su respuesta en tenninos de ni'

Figura 14.42 Problema 14.85.

14.86 El tubo horizontal de la 4O.0cm2 10.0cm2figura 14.43 tiene un área trans-versal de 40.0 cm2 en la partemás ancha y de 10.0 cm2 en laconstricción. Fluye agua en el h

IUbo, cuya descarga es de 6.00 xIo-J ml/s (6.00 Us). Calcule a)la rapidez de flujo en las porcio-nes ancha y angosta; b) la dife- Agura 14.43 Problema 14.86.

rencia de presión entre estasporciones; e) la diferencia de al-tura entre las columnas de mercurio en el tubo con fonna de U.14.81 Un líquido que fluye de un tubo \'ertical produce un chorrocon una fonna bien definida. Para obtener la ecuación de esta for­ma, suponga que el líquido está en caida libre una vez que sale deltubo. Al salir, e11íquido tiene rapidez Vo. y el radio del chorro es TO'

a) Obtenga una ecuación para la rapidez del líquido en función dela distancia y que ha caído. Combinando esto con la ecuación

-.

T10.0 m .. .,~

14.81 Una cubeta cilindrica, abiena por arriba, tiene 25.0 cm dealtura y 10.0 cm de diámetro. Se hace un agujero circular con áreade 1.50 cm2 en el centro del fondo de la cubeta. Se está viniendoagua en la cubeta mediante un tubo que está arriba, a razón de 2.40X 10""" ml/s. ¿A qué altura subirá el agua en la cubeta?14.82 Fluye agua continuamente de un tanque abieno como en laFig. 14.41. La altura del PUnlO 1 es de 10.0 m, y la de los puntos 2y 3 es de 2.00 m. El área transversal en el punto 2 es de 0.0480 m2¡en el punto 3 es dc 0.0160m1. El área dcl tanque es muy grande encomparación con el área transversal del tubo. Suponiendo que pue­\:le aplicarse la ecuación de Bernoulli, calcule a) la rapidez de des­carga en ml/\i b) la presión manométrica en el punto 2.

14.83 El diseño moderno de a\'iones exige una sustentación, debi­da a la fucrza neta del aire en movimiento sobre el ala, de ccrca de

- Ila. l) Use la exp~sión para atd de la parte (e) para explicar elmovimiento de los globos.14.19 Un bloque cúbico de madera de 0.30 m por lado induye pe­sos que hacen que su centro de gravedad eslé en el punto que se in­dica en la figura 14.39a. El bloque flota en agua con la mitad de suvolumen sumergido. El bloque se "ladea" con un ángulo de 45.0",como en la figura 14.39b. Calcule el momento de torsión neto res­pectO a un eje horizontal perpendicular al bloque y que pasa por sucentro geométrico.14.80 Hay agua hasta una altura H en un tanque abierto grande conparedes verticales (Fig. 14.40). Se hace un agujero en una pared auna profundidad h bajo la superficie del agua. a) ¿A qué distanciaR del pie de la pared tocará el piso el chorro que sale? b) ¿A quédistancia sobre la base del tanque podria hacerse un segundo aguje­ro tal que el cborro que salga por él tenga el mismo alcance que elque sale por el primero?

~devidJÍO

Niveldel agua

Obstrucción bajoel nivel del aguaen los tubos

Burbuja de aire atrapada enla manguera

\

Figura 14.46 Problema de desafío 14.92.

blecer el flujo, el tubo debe llenarse inicialmente con fluido. Sea pla densidad del fluido y p, la presión atmosférica. Suponga que elárea transversal del tubo es la misma en toda su longitud. a) Siel extremo inferior del sifón está a una distancia h bajo el nivel dellíquido en el recipiente, ¿con qué rapidez fluye el líquido por dichoextremo? (Suponga que el recipiente tiene un diámetro muy gran­de, y haga caso omiso de los efectos de viscosidad.) b) Un aspectocurioso es que el fluido inicialmente fluye hacia arriba. ¿Qué altu­ra máxima H puede tener el punto alto del tubo sin que deje de ha­ber flujo?14.92 Lo siguiente se tomó de una carta. Los carpinteros locales

acostumbran, al trazar y nivelar los cimientos de construccionesrelalivamente largas. usar una manguera de jardin llena de agua,en cuyos extremos meten rubos de vidrio de 10 a 12 pulgadas delongitud. La teoria es que el agua. buscando un nivel común. ten­dra fa misma altura en ambos tubos y servirá como nivel. Surge fa

duda de qué pasa si se deja una burbuja de aire en fa manguera.Nueslros expel'los aseguran que el aire no afecta la lecrura de uneXlremo af otro. Otros dicen que sí habra una inexactitlld importan­te. ¿Pucdc el1ector dar una respuesta relativamentc sencilla a esta

\\,:.t~Il\\t&, ~1l\\\.Q, "Q,\\ IlWl til:i.~\\(¡<:\.'\¡\Q\\1 \"'a n~llW. I..4.A(i QQ,~(,l,IJ.~~íl. t<l,¡;ituación que causó la disputa..,

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CAPíTULO 14 I Mecánica de fluidos

Figura 14.45 Problema dedesafio 14.91.

14.90 Un tanque grande condiámetro D, abierto al aire, con­tiene agua hasta una alrura H. Sehace un agujero pequeiio con diá­metro d(d« D) en la base deltanque. Haciendo caso omiso delos efectos de viscosidad, calcu­le el tiempo que el tanque lardaen vacIarse.14.91 Un sifón (Fig. 14.45) esUIl dispositivo útil para sacar lí­quidos de recipientes. Panl esta-

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Cuerda

de continuidad, obtenga una expresión para el radio del chorro enfunción dcy. b) Si l1uye agua de un tubo vertical con rapidez de sa­lida dc 1.20 mis, i.a qué distancia bajo la salida sc habrá reducido ala mitad el radio original del chorro?

Figura 14.44 Problema de desafio 14.89.

14.88 Una roca con masa ni = 3.00 kg se cuelga del techo de unelevador con un cordón ligero. La roca está totalmente sumergidaen una cubeta con agua que está cn el piso del elevador, pero no tocael fondo ni los lados de la cubeta. a) Con el clcvador en reposo, latensión en el cordón es de 21.0 N. Calcule el volumen dc la piedra.b) Deduzca una expresión para la tensión en el cordón cuando elelevador tiene una aceleración de magnitud a hacia arriba. Calcu­le la tensión cuando a = 2.50 m!s2 hacia arriba. e) Deduzca una ex­prcsión para la tensión en el cordón cuando el elevador tiene unaaceleración de magnitud a hacía abajo. Calcule la tcnsión cuando a= 2.50 mls2 hacia abajo. d) Detennine la tensión cuando el eleva­dor está en caída libre con aceleración hacia abajo igual ag.14.89 Suponga que un trozo de espuma depoliestireno, p = 180 kgfm',

se mantiene totalmente sumergido en agua (Fig. 14.44). a) Calcu­le la tensión en la cuerda usando el principio de Arquímedes. b) Usep= Po + pgh para calcular directamente la fuerza que el agua ejerce so­bre los dos lados inclinados y la base del trozo; luego demuestre quela suma vectorial de estas fucrzas es la fuerza de flotación.

Problemas de desafío