Solucoes da Lista de Exercıcios

Unidade 6

1. 100→ 1, 1.100 = 110→ 1, 2.110 = 132

A resposta e 32%.

2. Sejam v e t, respectivamente,a velocidade antiga e o tempo gasto esejam v′ e t′ a velocidade e o tempo depois do aumento.

vt = v′t′

vt = 1, 6vt′

t′ = 11,6

t = 0.6251 = 62.5%t

O tempo se reduz em 37,5%.

3. 1 + 1 = (1 + i)n

1 + I = (1− 0, 05)12

I = 0, 9512 − 1 ≡ −0, 46

Aproximadamente 46%.

4. Sejam P a pressao e V o volume e sejam P ′ a pressao e V ′ o volumedepois da variacao.

PV = P ′V ′

PV = P ′.0, 8V

P ′ = 10,8

P = 1, 25P = 125%P

A pressao aumenta de 25%.

5. Os valores formam uma progressao geometrica.

a4 = a0.q4

12000 = 18000q4

q = 4

√23

a1 = a0q = 18000 4

√23, ou seja, R$ 16264,84.

1

6. Sejam a, aq, aq2 os numeros.

a + aq + aq2 = 19

a2 + (aq)2 + (aq2)2 = 133

Daı, a(1 + q + q2) = 19

a2(1 + q2 + q4) = 133

Dividindo, a(1− q + q2) = 13319

= 7

Daı, 1+q+q2

1−q+q2= 19

7

q = 32

ou q = 23.

Se q = 32, substituindo vem a = 4; se q = 2

3, substituindo vem a = 9.

Os numeros sao 4, 6, 9 ou 9, 6, 4.

7. Se 2p−1 e primo, os divisores de 2p−1(2p−1) sao 1, 2, 22, . . . , 2p−1, (2p−1), 2(2p − 1), 22(2p − 1), . . . 2p−1(2p − 1).

A soma desses divisores e 2p−1(2p−1) sao 1+2+22 + · · ·+2p−1 +(2p−1).(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2p−1) = 2p.(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2p−1) = 2p.(2p−1) =2.2p−1(2p − 1).

8. A k-esima parcela da soma vale 1 + 10 + · · · 10k−1 =10k − 1

9. A soma

e igual a

m∑k=1

10k − 1

9=

1

9

n∑k=1

10k − n

9=

10

9.10n − 1

9− n

9=

10n+1 − 10− 9n

81.

9. Em cada operacao a quantidade de vinho reduz-se em 1p. Os valores

da quantidade de vinho formam uma progressao geometrica de razao1− 1

p.

A resposta e

(1− 1

p

)n

.

10. O tempo que a bola gasta para, partindo de repouso, cair de uma

altura h e

√2h

g. Como as alturas (em metros) das quedas sao 5,

2

49.5(49

)2.5, . . . , supondo g = 10n/s2, os tempos de queda (em segundos)

serao 1, 13,(23

)2,. . .

O tempo total de queda e 1 + 23

+(23

)2+ · · · = 1

1− 23

= 3 segundos.

A este tempo devemos adicional o tempo gasto pela bola nas subidas,que e o mesmo, a excecao do 1s da queda inicial.

A resposta e 5s, aproximadamente.

11. lim an = 300 + 0, 3.200 + 0, 32.300 + 0, 33.200 + · · · =300

1− 0, 32+

0, 3.200

1− 0, 32= 396

lim bn = 200 + 0, 3.300 + 0, 32.200 + 0, 33.300 + · · · =200

1− 0, 32+

0, 3.300

1− 0, 32= 319.

12. bn+1 − bn = log an+1 − log an = log an+1

an= log q = constante.

13.bn+1

bn=

ean+1

ean= ean+1−aner = constante.

14. A2 = 5A

An = 5n−1A =

[5n−1 2.5n−1

2.5n−1 4.5n−1

]

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