Solucao da Lista de Exercıcios

Unidade 5

1. O aumento de um triangulo causa o aumento de dois palitos. logo,o numero de palitos constitui uma progressao aritmetica de razao 2.an = a1 + (n− 1)r = 3 + (n− 1)2 = 2n + 1.

2. 200 = 11.18 + 2; logo, 205 = 11.18 + 7.

400 = 11.36 + 4 = 11.35 + 15; logo, 392 = 11.35 + 7

As parcelas a somar sao 11.18+7, 11.19+7, 11.20+7, . . . , 11.35+7, queformam uma progressao aritmetica de razao 11, cujo primeiro termo e205, cujo ultimo termo e 392 e cujo numero de termos e 35− 17 = 18.

A soma vale S =(205 + 392)18

2= 5373

3. a.(aq).(aq2).(aq3). . . . .(aqn−1) = an.q1+2+3+···+(n−1)

2 = anqn(n−1)

2

4. A soma de todos os elementos da matriz e 1 + 2 + · · ·+ n2 = (n2+1)n2

2.

Como a soma de todos os elementos e igual a n vezes a constante

magica, a constante magica vale C = 1n· (n

2+1)n2

2= n(n2+1)

2.

5. Considerando a menor e a maior das medias que podem ser obtidas,

1 + 2 + · · ·+ (n− 1)

n− 1≤ 16.1 ≤ 2 + 3 + · · ·+ n

(n− 1)

n2≤ 16, 1 ≤ n+2

2

30, 2 ≤ n ≤ 32, 2

n so pode valer 31 ou 32.

Chamemos de k o numero suprimido.

Se n = 31,

1 + 2 + · · ·+ 31− k = 483

496− k − 483

1

k = 13

Se n = 32,1 + 2 + · · ·+ 32− k

31= 16, 1

1 + · · ·+ 32− k = 499, 1, o que e absurdo, pois k nao seria inteiro.

Logo, n = 31; o numero suprimido e igual a 13.

6. A desvalorizacao total e de R$ 6.000,00 e a desvalorizacao anual e deR$ 6.000,00/4 = R$ 1.500,00. Portanto, em tres anos a desvalorizacaofoi de R$ 4.500,00 e o valor do bem sera R$ 8.000,00 - R$ 4.500,00 =R$ 3.500,00.

7. A soma pedida e a soma de uma progressao aritmetica de razao 1, comprimeiro termo igual a 10n−1 e ultimo termo igual a 10n − 1.

S =(10n−1 + 10n − 1)(10n − 10n−1)

2=

102n − 102n−2 − 10n + 10n+1

2

=1

2[102n + 10n−1]− 1

2[102n−2 + 10n]

=1

2.

n−1︷ ︸︸ ︷1000 . . . 00

n︷ ︸︸ ︷1000 . . . 00−1

2.

n−4︷ ︸︸ ︷1000 . . . 001

n+1︷ ︸︸ ︷1000 . . . 00

=1

2.98

n−3︷ ︸︸ ︷999 . . . 99

n︷ ︸︸ ︷1000 . . . 00 = 494

n−3︷ ︸︸ ︷999 . . . 99 55

n−1︷ ︸︸ ︷000 . . . 00

8. Quem disser 55 ganha o jogo, pois nao permite ao adversario alcancar63 e, escolhendo o complemento para 8 do numero escolhido pelo ad-versario, alcancara o 63.

Analogamente, as posicoes ganhadoras sao 63, 55, 47, 39, 31, 23, 15, 7.O primeiro jogador tem a estrategia ganhadora: comecar dizendo 7 e, apartir daı, escolher sempre o complemento para 8 do numero escolhidopelo adversario.

9. O botafogo joga 23 vezes, o Santos joga (sem contar a partida contrao Botafogo, ja contada) 22 vezes etc. A resposta e 23 + 22 + 21 + · · ·+1 + 0 = (23+0).24

12= 276.

10. Se ha n retas, a colocacao de mais uma reta cria n + 1 novas regioes.Portanto, se an e o numero de regioes para n retas, an+1 = an +(n+1).Trata-se, portanto, de uma progressao aritmetica de segunda ordem.

2

an = An2 + Bn + C

Como a1 = 2, a2 = 4 e a3 = 7, temos

A + B + C = 2

4A + 2B + C = 4

9A + 3B + C = 7

Resolvendo, A = 12, B = 1

2, C = 1

an =n2 + n + 2

2.

11. (a) Sao multiplos de 4 os anos 2000, 2004, 2008,. . . , 2400.

an = a1 + (n− 1)r

2400 = 2000 + (n− 1)4

n = 101

Mas 2100, 2200, 2300 nao sao bissextos por serem multiplos de100, mas nao de 400.

A resposta e 98.

(b) Um ano nao-bissexto e formado por 52 semanas e 1 dia e um anobissexto e formado por 52 semanas e 2 dias. Se um ano nao-bissexto comeca numa segunda-feira, por exemplo, o ano seguintecomecara numa terca; se for bissexto, o ano seguinte comecaranuma quarta.

De 1997 a 2500 sao multiplos de 4 os anos 2000, 2004, 2008,. . . ,2496, num total de 125 anos. Mas 2100, 2200 e 2300 nao sao bis-sextos por serem multiplos de 100, mas nao de 400. Ha, portanto,122 anos bissextos.

Se 1997 comecou numa quarta-feira, 2500 comecara (2500−1997)+122 = 625 dias de semana depois. Como 625 = 7x89 + 2 o ano2500 comecara numa sexta-feira.

(c) Em cada bloco de 400 anos ha 100 anos que sao multiplos de 4 e,destes, 3 nao sao bissextos por serem multiplos de 100, mas nao

de 400. A resposta e97

400= 0, 2425.

12. 1 + (j − 1) + (2j − 3) + · · ·+ [1 + (n− 1).(j − 2)] =

=1 + 1 + (n− 1).(j − 2)

2.n =

n[(j − 2)n− j + 4]

2.

3

13. ∆ak = ∆bk ⇒ ak+1 − ak = b + k + 1− kk ⇒ ak+1 − bk+1 = ak − bkpara todo k e ak − bk e constante.

14.n∑

k=1

∆ak = (a2 − a1) + (a3 − a2) + . . . + (an+1 − a1) = an+1 − a1 (os

demais termos se cancelam).

(a)∑

3k = 12

∑nk=1 3k(3− 1) = 1

2

∑nk=1 ∆3k =

3n+1 − 3

4.

(b)n∑

k=1

k.k! =n∑

k=1

[(k + 1).k! − k!] =n∑

k=1

[(k + 1) − k”] =n∑

k=1

∆k! =

(n + 1)!− 1.

(c)n∑

k=1

1

k(k + 1)=

n∑k=1

(1

k=

1

k + 1

)= −

n∑k=1

∆1

k=

= −(

1

n + 1− 1

)=

n

n + 1

4