Cap04 - C1
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Cinemática en Dos Dimensiones
Capítulo 04
Contenido
● Posición● Desplazamiento y distancia recorrida● Velocidad y rapidez media● Velocidad y rapidez instantánea● Aceleración media e instantánea● Movimiento con aceleración constante● Movimientos Unidimensionales● Caída Libre● Movimiento de Proyectiles● Movimiento Circunferencial Uniforme
Posición
rx
y
z
ˆ ˆ ˆ r xi + yj + zk=
2 2 2r = r = x + y + z
Módulo:
frir
Δr
Desplazamiento
vector desplazamiento
trayectoria
f iΔr r r≡ −
distancia recorridaΔ s
Desplazamiento
f iΔ r = r r−
Si: ˆ ˆ ˆi i i ir = x i y j + z k+ ˆ ˆ ˆ
f f f fr x i + y j + z k=y
Entonces:
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ f i f i f iΔr x x i + y y j + z z k= − − −
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆr Δx i + Δy j + Δz kΔ =
Magnitud del vector desplazamiento:
( ) ( ) ( )2 2 2 f i f i f ir = x x + y y + z zΔ − − −
En general:Magnitud del vector desplazamiento
distancia recorrida
Ejemplo:
En un año la Tierra gira en torno al Sol ...
f i
f i
r rΔrvΔt t t
−< > ≡ =
−
Velocidad Media
Δr
[ ] [ ][ ]Δ L mΔ T s
rv
t< > = = =
< >v
Si: ˆ ˆ ˆ i i i ir x i + y j + z k= ˆ ˆ ˆ f f f fr x i + y j + z k=y
Entonces:( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ f i f i f i
f i f i f i
x x y y z zv i + j + k
t t t t t t
− − −< > =
− − −
ˆ ˆ ˆ Δx Δy Δzv i + j + kΔt Δt Δt
< > =
ˆ ˆ ˆ x y zv v i+ v j+ v k< > = < > < > < >
Velocidad Media
f i
f i
r rΔrvΔt t t
−< > = =
−
“Componente y de la velocidad media”= “velocidad media en el eje y”
Ejemplo: Calcule el desplazamiento y la velocidadmedia, si el intervalo de tiempo entre las dos posiciones es Δt = 10 s y las posiciones estánmedidas en metros.
( )0 0
lim lim f iinst
Δt Δt f i
r rΔrv t v =Δt t t→ →
−= ≡
−
Velocidad Instantánea
recta tangente
[ ] [ ][ ]d L md T s
rv
t= = =
0( ) lim
Δt
Δr drv tΔt dt→
= =
0
ˆ ˆ ˆ( ) limΔt
Δx Δy Δzv t i + j + kΔt Δt Δt→
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0 0
ˆ ˆ ˆ( ) lim lim limΔt Δt Δt
Δx Δy Δzv t i + j + kΔt Δt Δt→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ( ) dx dy dzv t i + j + kdt dt dt
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ( ) x y zv t v i v j v k= + +
Velocidad Instantánea
Ejemplo: Considere un automóvil moviéndose en línea recta ...
En este caso tendremos que:
( ) ˆ r x t i=
Suponga, además, que el auto se mueve de acuerdo a la siguienteecuación de itinerario:
( ) 2 ˆ 3r t t i=
con t en segundos y x en metros
¿Cuánto vale la velocidad instantánea cuando t = 3 s?
x
t1 2 3 4
612
2418
303642
0
x
t1 2 3 4
612
2418
303642
( )Δ t s ( )Δr m ( / )< >v m s
1,00 21,00 i 21,00 i
0,50 9,75 i 19,50 i
0,25 4,69 i 18,80 i
0,10 1,83 i 18,30 i
0,05 0,9075 i 18,15 i
0,01 0,1803 i 18,03 i
0,001 0,018003 i 18,003 i
Desplazamiento y velocidad media para diferentes intervalos de tiempo. (los intervalos comienzan en t = 3 s)
2 ˆ( ) 3r t t i=
( ) ( )ˆ ˆ3 0,01 3f iΔr r r x s + s i x s i= − = −Por ejemplo, para Δt = 0,01s:
( ) ( ) ( )2 2ˆ ˆ ˆ ˆ3 3,01 3 3 27,1803 27 0,1803r mi mi m m i miΔ = − = − =
pendiente de la tangente en t =3s
2 ˆ( ) 3r t t i=
Cálculo analítico del límite
Entonces:( ) ( )Δ Δf ir r r r t + t r t= − = −
( )2 2ˆ ˆ 3 Δ 3r t + t i t iΔ = −
( )2 2 2 ˆ3 2 Δ Δ 3r t + t t + t t i⎡ ⎤Δ = −⎣ ⎦2 ˆ6 Δ 3Δr t t + t i⎡ ⎤Δ = ⎣ ⎦
Dividiendo por Δt, se tiene:
[ ]Δ ˆ 6 3Δ
r t t it
= + Δ
Por lo tanto:( )
0
Δ ˆ 6 limΔΔt
rv t t it→
= =
( ) ˆ 6 v t t i=
Resumiendo, si:( ) 2 ˆ 3 r t t i=
Entonces:
“Ruta corta”:
¡ DERIVAR !
( ) ( ) ( )2 23 3 3 2 6d dt t t tdt dt
= = ⋅ =
( )f t d fd t
α 0
nt 1nn t −
( )s in t ( )cos t
( )co s t ( ) s in t−
( ) ( )g t h t+ d g d h+d t d t
( ) ( )g t h t⋅ ( ) ( )dg dhh t + g tdt dt
⋅ ⋅
( )( )g h t d g d hd h d t
⋅
Algunas derivadas útiles
RapidezLa rapidez se define como el módulo del vector velocidad.
2 2 2x y zv v v + v + v≡ =
Por lo tanto, la rapidez no es un vector, es un escalar.
v v v= ⋅
Δ Δ Δ
f iv vvat t
−< > ≡ =
Aceleración Media
x
y
vi
v f
v i
v fv
a< >
Entonces:
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ xf xi yf yi zf zi
f i f i f i
v v v v v va = i + j + k
t t t t t t
− − −< >
− − −
Δ ΔΔ ˆ ˆ ˆ Δ Δ Δ
y zxv vv
a = i + j + kt t t
< >
ˆ ˆ ˆ x y za a i+ a j+ a k< > = < > < > < >
Aceleración Media
“Componente y de la aceleración media” = “aceleración media en el eje y”
Δ Δ Δ
f iv vvat t
−< > = =
Si: ˆ ˆ ˆi xi yi ziv v i + v j + v k= y ˆ ˆ ˆ
f xf yf zfv v i + v j + v k=
0 0
Δ( ) lim limΔ Δ
f iinst
Δ t Δ t
v vva t at t→ →
−= ≡ =
Aceleración Instantánea
r i
r f
v i
v f
v i
v fv a< >
Aceleración Instantánea
0( ) lim
Δt
Δv dva tΔt dt→
= =
0
ˆ ˆ ˆ( ) lim y zx
Δ t
Δv ΔvΔva t i + j + k
Δ t Δ t Δ t→
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
0 0 0
ˆ ˆ ˆ( ) lim lim limy zx
Δ t Δ t Δ t
Δv ΔvΔva t i + j + k
Δ t Δ t Δ t→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ( ) y zxd v d vd v
a t i + j + kd t d t d t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ( ) x y za t a i a j a k= + +Como:
( ) d rv td t
= ⇒2
2( ) d dr d ra tdt dt dt
⎛ ⎞= ≡⎜ ⎟⎝ ⎠
Aceleración Instantánea
Caso particular: Movimiento Rectilíneo
ˆ( )r x t i= ˆ( )xv v t i= ˆ( )xa a t i=
( )xdxv t =dt
2
2( ) xx
dv d xa tdt dt
= =
x x x
vx vx vx
axaxax
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
v(t) = pendiente de la tangente en t
Ejemplo: Δ 1t s=
( ) ˆ2imv t + is
= ( ) ˆ4fmv t + is
=
2ˆ2x
ma is
= +
( ) ˆ4imv t + is
= ( ) ˆ2fmv t = + is
2ˆ2x
ma is
= −
( ) ˆ2imv t is
= − ( ) ˆ1fmv t is
= −
2ˆ1x
ma + is
=
( ) ˆ2imv t is
= − ( ) ˆ3fmv t is
= −
2ˆ1x
ma is
= −
Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.
vx
t
vx(t) = vx0 = constante
vx0
tfti
Δt
área "bajo la curva": Δ Δx0 f iv t = x = x x−
Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General
vx
ti tf
1 2Δ Δ ...x x + x +Δ =
1 2Δ Δ ...x1 x2x v t + v t +Δ =
1 2 ...x A + A +Δ ≈
x AΔ =
Δ f ix x x= −
x
ti ti t
vx
desplazamientoΔx entre ti y tf
= área delimitada por gráfico vx v/s t entre ti y tf
Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General
( ) ( )dtttv=Δtt
tv=Δx
f
itii
f
itiΔt∫∑
→lim
0
Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.A.
Este cálculo ya se hizo en el capítulo 2 y las leyes obtenidas son:
( ) ( ) ( )20 0 02
xx0
ax t x + v t t + t t= − −
( ) ( )0x x0 xv t v + a t t= −
.xa cte=
Además:( )2 2
02x x0 xv v + a x x= −
Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con aceleración constante
Suponga que en 3D el cuerpo se mueve con aceleración cte.
ˆ ˆ ˆx y za a i + a j + a k=
Podemos descomponer este mov. en 3 mov. independientes: uno en el eje x, otro en el eje y y otro en el eje z
( ) ( ) ( )20 0 02
xx0
ax t x + v t t + t t= − −Eje x: ax= cte. ( ) ( )0x x0 xv t v + a t t= −
( ) ( ) ( )20 0 02
yy0
ay t y + v t t + t t= − −Eje y: ay= cte. ( ) ( )0y y0 yv t v + a t t= −
( ) ( ) ( )20 0 02
zz0
az t z + v t t + t t= − −Eje z: az= cte. ( ) ( )0z z0 zv t v + a t t= −
Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con aceleración constante
( ) ( ) ( )20 0 0 0
12
r t r + v t t + a t t= − −
( ) ( )0 0v t v + a t t= −
.a = cte
Además:
( ) ( )2 20 02v t v + a r r= ⋅ −
Caída Libre y Movimiento de Proyectil
.a cte g= ≡
Caida Libre y Movimiento de Proyectil
Galileo Galilei (1564-1642): Nacido en Pisa. Su padre, Vincenzio Galilei fue matemático y músico. Estudió medicina en la Univ. de Pisa. 1589: Profesor de matemáticas en Pisa. En 1610 publica “Sidereus Nuncius”en el que presenta observaciones astronómicas efectuadas con su telescopio. En 1632 publica “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”. En 1638 publica “Discorsi e Dimostrazioni Matematiche delle due nuove scienze” (donde describe la caída libre).
Galileo Galilei
pelota
vy= 0 en el punto más alto
durante el ascenso ay = -g, la rapidez disminuye y la velocidad se hace menos positiva
durante el descensoay = -g, la rapidez aumenta y la velocidad se hace más negativa
g
( ) ( ) ( )20 0 02y0
gy t y + v t t t t= − − −
( ) ( )0y y0v t v g t t= − −
2ˆ ˆ 9,8 mg g j j
s= − = −
y(t) (m)
vy(t) (m/s)
t (s)
t (s)
En ambos lanzamientos, vy=0 m/s en el punto de alturamáxima velocidad
altura
lanzamiento “rápido”lanzamiento “lento”
Problema: Calcular el tiempo que tarda un proyectil en llegar a tierra, si éste se lanza con una velocidad de 16 m/s hacia arriba, desde una altura de 100 m
-3,17 s 6,44 s
Movimiento de Proyectil● Podemos:
● Ignorar el roce con el aire● Ignorar la rotación de la tierra
● Con estas aproximaciones, tenemos que :
– Una vez liberado, sólo la gravedad actúa sobre el cuerpo, tal como en el movimiento de lanzamiento vertical.– Como la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo,
entonces:
Hay aceleración vertical hacia abajo.NO hay aceleración horizontal.El cuerpo sigue una trayectoria parabólica.
Si elegimos un sistema de referencia tal que la dirección y sea vertical y positiva hacia arriba, entonces:
ya g= −20 m/sxa =
0 0 mx = 0 0 my =
Supongamos también que en t0 = 0 el cuerpo parte del origen de coordenadas, es decir:
( ) 212y0y t v t gt= −( ) x0x t v t=
( )y y0v t v gt= −( )x x0v t v=2
12y0
x0 x0
x xy v gv v
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22
1( ) 2
y0
x0 x0
v gy x x xv v
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
g
x
y
x
y
0v 0
x0 y0v vg
2
2y 0vg
g
22
1 2
y0
x0 x0
v gy x xv v
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 22
2 2
21 1 2 2 2
x0 y0 x0 y0 y0
x0 x0
v v v v vg gy x x x +v g v g g
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
g
Alcance y Altura MáximaEl proyectil alcanza la altura máxima cuando: vy = 0 m/s
( ) 0 0yv t v senθ g t= − 0 00 hmv senθ gt= −
0 0h m
v sen θt
g= tiempo en que
alcanza la altura máxima
Al sustituir este tiempo en la ley de la posición vertical, se tiene:
( ) 20 0
12max hm hmy t h v senθ t gt= = −
20 0 0 0
0 012max
v senθ v senθh v senθ g
g g⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 20 0
2m axv sen θ
hg
=
Reemplazando en la ley de la posición horizontal, se tiene:
0 02tv senθ
tg
=
( ) 0 0co st tx t = v θ t
( ) 0 00 0cos 2
v senθR v θ
g⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 02cosv θ senθ
Rg
=
20 0( 2 )v sen θ
Rg
=
El tiempo total de vuelo es: tt = 2thm
Luego, el alcance R es:
Siempre que el punto inicial y final estén a la misma altura:
( )0 02πR θ R θ⎛ ⎞− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
20
m a xv
Rg
= 0Para: 4πθ =
ProblemaUn avión lanza un paquete a un grupo de exploradores. El avión vuela horizontalmente a una altura de 100 m sobre el suelo, con unarapidez de 40 m/s¿Dónde cae el paquete, relativo a la posición en que fue lanzado?
d
1. Introducimos un sistema de coordenadas
Eje y: dirigido hacia abajoEje x: dirigido hacia la derechaOrigen: en la posición del avión
cuando lanza el paquete
2. Tenemos que: x0 = 0 m y0 = 0 mvx0= +40 m/s vy0 = 0 m/sax= 0 m/s2 ay= +g = + 9,8 m/s2
( ) ( )2 2 213. 4,9 /2
y t gt = + m s t=
( ) ( )40 /x0x t v t = m s t=
2
1004. 100 4,52 4,9 /
my + m t sm s
= → = =
( ) ( ) ( )5. 4,52 40 / 4,52 181 d x s m s s m= = ⋅ =
0
Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.
irfr
iv
fv
iv
fvΔv
a< >
• La trayectoria del móvil es una circunferencia y• La recorre con rapidez constante: v = cte.
ac
iv
fv
Δ θ
Δ / 2θΔ / 2θ
ΔvΔθiv
fv
Δ2 2
vθsenv
Δ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
ΔΔ2 2
rθsenr
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Δ Δ vv rr
=
Δ ΔΔ Δ
v r vt t r
=
va vr
=Si: Δ 0t →
Aceleración Centrípeta.
2
cvar
=
AceleraciónCentrípeta:
VelocidadTangencial:
2π rvT
=
T = Periodo
Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.
Aceleración Radial (Centrípeta) y Tangencial
En general: c ta a + a=2
cvar
= t
d vdvadt dt
= =
2 2c ta a + a=
Movimiento Relativo
.u cte=
K'
r'
ut
r
Kpos. del cpo. c/r al sist. K = pos. del cpo. c/r al sist. K ' + pos. del sist. K ' c/r a Kr r' + ut=
v v' + u=
a a'=
vel. del cpo. c/r al sist. K = vel. del cpo. c/r al sist. K ' + vel. del sist. K ' c/r al sist. K
acel. del cpo. c/r al sist. K = acel. del cpo. c/r al sist. K ' (si vel. de K ' c/r a K es cte.)
Movimiento Relativo
N
S
EO
vbr
vrt
vbt
Movimiento Relativo
N
S
EOvbr
vbt
θ
vrt
Movimiento Relativo
bt br rtv v v= +