Solucoes da Lista de Exercıcios

Observacao: as solucoes dos exercıcios abaixo ficaram faltando na Unidade 2

3. Para n = 1, basta de fato uma pesagem, feita com dois dos objetos: seela indicar um objeto mais pesado do que o outro, ele e o procurado; seos objetos tiverem pesos iguais, o objeto que ficou de fora na pesageme o mais pesado. Suponhamos agora que seja possıvel determinar quale mais pesado dentre 3n objetos com n pesagens e consideremos umconjunto com 3n+1 objetos. Dividimos estes objetos em tres gruposcom 3n objetos cada e comparamos o peso de dois deles. Se um delesfor mais pesado, o objeto procurado esta nele; senao, esta no grupoque ficou de fora da pesagem. De qualquer modo, pela hipotese deinducao, ele pode ser encontrado em n pesagens adicionais, para umtotal de n+1 pesagens. Logo, a propriedade vale para conjuntos de 3n+1

objetos e, pelo Princıpio da Inducao, para conjuntos com 3n objetos,qualquer que seja n.

4. A propriedade vale para um conjunto com um unico elemento a1: seusdois unicos subconjuntos sao ∅ e {a1} e e possıvel passar do primeiroao segundo acrescentando-se a1. Suponhamos que a propriedade sejavalida para conjuntos com n elementos e consideremos o conjunto comn + 1 elementos X = {a1, a2, . . . , an, an+1}. Consideremos a lista Ldos subconjuntos de {a1, a2, . . . , an, an+1} satisfazendo as condicoes doenunciado (ela existe, pela hipotese de inducao) e formemos uma listade subconjuntos de X do seguinte modo: comecamos com L e acrescen-tamos a lista L′ que consiste dos subconjuntos de L em ordem reversa,acrescentando-se an+1 a cada um deles. A nova lista e formada por to-dos os subconjuntos de X (ela lista primeiro todos os subconjuntos quenao contem an+1 e, a seguir, todos que o contem). Alem disso, sempre epossıvel passar de um subconjunto ao proximo da lista acrescentando-se ou retirando-se um elemento. De fato, pela hipotese de inducao istoocorrem em L; a passagem do ultimo subonjunto de L para o primeirode L′ ocorre pela adicao de an+1; finalmente, a passagem de cada sub-conjunto de L′ para o proximo se da de forma inversa a ocorrida em L.Assim, a propriedade vale tambem para conjuntos com n+1 elementos.Logo, por inducao, vale para qualquer conjunto finito.

1

Unidade 3

1. a) Como 1.2 =1.2.3

3, a igualdade vale para n = 1. Suponhamos,

agora, que ela seja valida para algum n ∈ N, ou seja, 1.2 + 2.3 +

. . .+n.(n+1) =n(n + 1)(n + 2)

3. Somando (n+1)(n+2) a ambos

os membros da igualdade, obtemos

1.2 + 2.3 + . . . + n.(n + 1) + (n + 1)(n + 2) =n(n + 1)(n + 2)

3+

(n + 1)(n + 2) =(n + 1)(n + 2)(n + 3)

3,

o que mostra que a igualdade tambem vale para n + 1. Logo, porinducao, a igualdade vale para todo n ∈ N.

b) Como 13 =

[1.2

2

]2, a igualdade vale para n = 1. Suponhamos,

agora, que ela seja valida para algum n ∈ N, ou seja, 13 + 23 +

. . . + n3 =

[n(n + 1)

2

]2. Somando (n + 1)3 a ambos os membros

da igualdade, obtemos

13 + 23 + . . . + n3 + (n + 1)3 =

[n(n + 1)

2

]2+ (n + 1)3 =

(n + 1)2[n2

4+ (n + 1)

]= (n + 1)2

[n2 + 4n + 4

4

]=[

(n + 1)(n + 2)

2

]2,

o que mostra que a igualdade tambem vale para n + 1. Logo, porinducao, a igualdade vale para todo n ∈ N.

c) Como 1.20 = 1 = 1 + 0.21, a igualdade vale para n = 1. Su-ponhamos, agora, que ela seja valida para algum n ∈ N, ou seja,1.20+2.21+3.22+ · · ·+n.2n−1 = 1+(n−1)2n. Somando (n+1).2n

a ambos os membros da igualdade, obtemos:

1.20 + 2.21 + 3.22 + · · · + n.2n−1 + (n + 1).2n = 1 + (n − 1)2n +(n + 1).2n = 1 + 2n.2n = 1 + n.2n+1,

2

o que mostra que a igualdade tambem vale para n + 1. Logo, porinducao, a igualdade vale para todo n ∈ N.

d) Correcao: a igualdade deveria ser

(1 +

1

1

)(1 +

1

2

)2

· · ·(

1 +1

n

)n

=

(n + 1)n

n!.

Como(1 + 1

1

)1= 2 = 21

1!, a igualdade vale para n = 1. Supo-

nhamos, agora, que ela seja valida para algum n ∈ N, ou seja,(1 +

1

1

)(1 +

1

2

)2

· · ·(

1 +1

n

)n

=(n + 1)n

n!. Multiplicando am-

bos os membros da igualdade por(1 + 1

n+1

)n+1, obtemos:(

1 +1

1

)(1 +

1

2

)2

· · ·(

1 +1

n

)n(1 +

1

n + 1

)n+1

=

(n+1)n

n!

(1 + 1

n+1

)n+1= (n+1)n

n!

(n+2n+1

)n+1=

(n+2)n+1

n!(n+1)= (n+2)n+1

(n+1)!,

o que mostra que a igualdade tambem vale para n + 1. Logo, porinducao, a igualdade vale para todo n ∈ N.

e) Como 1.11 = 2! − 1, a igualdade vale para n = 1. Suponhamos,agora, que ela seja valida para algum n ∈ N, ou seja, 1.1! + 2.2! +3.3! + · · ·+n.n! = (n+ 1)!− 1. Somando (n+ 1).(n+ 1)! a ambosos membros da igualdade, obtemos:

1.1! + 2.2! + 3.3! + · · · + n.n! + (n + 1).(n + 1)! = (n + 1)! − 1 +(n + 1).(n + 1)! = (n + 1)!(n + 2)− 1 = (n + 2)!− 1,

o que mostra que a igualdade tambem vale para n + 1. Logo, porinducao, a igualdade vale para todo n ∈ N.

2. a) Como 21 > 1, a desigualdade vale para n = 1. Suponhamos,agora, que ela seja valida para algum n ∈ N, ou seja, 2n > n.Multiplicando ambos os membros da igualdade por 2, obtemos2n+1 > 2n. Mas, para todo n natural, 2n ≥ n + 1 (ja que estadesigualdade e equivalente a n ≥ 1). Portanto, 2n+1 > n + 1, oque mostra que a desigualdade tambem vale para n+1. Logo, porinducao, a desigualdade vale para todo n ∈ N.

b) Como 12

= 1√3+1

, a desigualdade vale para n = 1. Suponhamos,agora, que ela seja valida para algum n ∈ N, ou seja,

3

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n≤ 1√

3n + 1. Multiplicando ambos os mem-

bros da desigualdade por2n + 1

2(n + 1), obtemos:

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) · (2n + 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n · 2(n + 1)≤ 1√

3n + 1

2n + 1

2(n + 1).

Para mostrar que a desigualdade tambem vale para n+1, precisa-

mos mostrar que2n + 1√

3n + 1 · 2(n + 1)≤ 1√

3(n + 1) + 1ou, equi-

valentemente,(2n + 1)2

(3n + 1)(2(n + 1))2≤ 1

3n + 4. Mas

(2n + 1)2

(3n + 1)(2(n + 1))2− 1

3n + 4=

(2n + 1)2(3n + 4)− (3n + 1)(2n + 2)2

(3n + 1)(2n + 2)2(3n + 4)=

− n

(3n + 1)(2n + 2)2(3n + 4)< 0.

Logo, de fato temos1√

3n + 1

2n + 1

2(n + 1)<

1√3(n + 1) + 1

e, por-

tanto,1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) · (2n + 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n · 2(n + 1)<

1√3(n + 1) + 1

, o que mos-

tra que a desigualdade tambem vale para n+1. Logo, por inducao,a desigualdade vale para todo n ∈ N, sendo estrita para todon > 1.

3. a) Como x1 = 1, temos 1 ≤ x1 ≤ 32

e, assim, a desigualdade valepara n = 1.

Suponhamos que ela seja valida para um certo n ∈ N. Como

xn ≤ 32, temos 2

xn≥ 4

3. Logo, n+1 = 1

2

(xn + 2

xn

)≥ 1

2

(1 + 4

3

)=

76> 1. Por outro lado, xn+1 − 3

2= x2

n−3xn+22xn

= (xn−1)(xn−2)2xn

. Como

1 ≥ xn ≥ 32, (xn − 1) ≥ 0 e (xn − 2) < 0, o que mostra que

xn+1 − 32≤ 0, ou seja xn+1 ≤ 3

2. Logo, a desigualdade tambem

vale para n + 1. Por inducao, ela vale para todo n natural.

b) xn+1−√

2 = 12

(xn + 2

xn

)−√

2 = 12xn

(x2n +2−2

√2xn) = 1

2xn(xn−√

2)2.

4. a) Como 13 + 23 + 33 = 36, que e divisıvel por 9, a propriedadevale para n = 1. Suponhamos que ela seja valida para algum

4

n ∈ N, ou seja, n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 9k, para algum inteirok. Daı, (n + 1)3 + (n + 2)3 + (n + 3)3 = 9k + (n + 3)3 − n3 =9k+n3+9n2+27n+27−n3 = 9(k+n2+3n+3), o que mostra que(n+ 1)3 + (n+ 2)3 + (n+ 3)3 tambem e divisıvel por 9. Portanto,por inducao, a propriedade vale para todo n natural.

b) Como 34 + 8 − 9 = 80, que e divisıvel por 16, a propriedadevale para n = 1. Suponhamos que ela seja valida para algumn ∈ N, ou seja, 32n+2 + 8n− 9 = 16k, onde ou, equivalentemente,32n+2 = 16k − 8n + 9 para algum k ∈ N. Multiplicando por 9 osdois lados da igualdade, obtemos 32(n+1)+2 = 144k−72n+81. Daı,32(n+1)+2 + 8(n+ 1) + 9 = 144k−72n+ 81 + 8(n+ 1)−9 = 144k−64n+80 = 16(9k−4n+5), o que mostra que 32(n+1)+2+8(n+1)+9e divisıvel por 16 e, assim, que a propriedade tambem vale paran + 1. Portanto, por inducao, a propriedade vale para todo nnatural.

c) Como 41 + 15.1− 1 = 18, que e divisıvel por 9, a propriedade valepara n = 1. Suponhamos que ela seja valida para algum n ∈ N, ouseja, 4n + 15n− 1 = 9k, ou, equivalentemente, 4n = 9k − 15n + 1para algum k ∈ N. Multiplicando por 4 ambos os membros daigualdade, obtemos 4n+1 = 36k−60n+4, ou seja, 4n+1−15(n+1)−1 = 36k−60n+4+15(n+1)−1 = 36k−45n+18 = 9(4k−5n+2),o que mostra que 4n+1−15(n+1)−1 e divisıvel por 9, ou seja quea propriedade tambem vale para n + 1. Portanto, por inducao, apropriedade vale para todo n natural.

d) Neste caso, e mais conveniente comecar com n = 0. Como 112 +121 = 133, a propriedade vale para n = 0. Suponhamos que elaseja valida para algum n ∈ N, ou seja, 11n+2 + 122n+1 = 133k, ou,equivalentemente, 122n+1 = 13k−11n+2 para algum k ∈ N. Multi-plicando por 122 = 144 ambos os membros da igualdade, obtemos122(n+1)+1 = 133.144k− 144.11n+2. Logo, 122(n+1)+1− 11(n+1)+2 =133.144k− 144.11n+2 + 11.11n+2 = 133(144k− 11n+2), o que mos-tra que 122(n+1)+1 − 11(n+1)+2 e divisıvel por 133 e, assim, que apropriedade vale para n+1. Portanto, por inducao, a propriedadevale para todo n natural.

e) Como 231 + 1 = 9, que e divisıvel por 31+1 = 9, a propriedade evalida para n = 1. Suponhamos que ela seja valida para algum n ∈N, ou seja, 23n+1 = k.3n+1 ou, equivalentemente, 23n = k.3n+1−1,

5

para algum k ∈ N. Elevando ao cubo ambos os membros da

igualadade, obtemos(23n)3

= (k.3n+1 − 1)3 e, daı, 23n+1+ 1 =

k3 (3n+1)3 − 3k2 (3n+1)

2+ 3k.3n+1 − 1 + 1 = k333n+3 − k232n+3 +

k3n+2 = 3n+2(k332n+1 − k23n+1 + k). Logo, 23n+1+ 1 e divisıvel

por 3n+2, ou seja, a propriedade vale para n + 1. Portanto, porinducao, ela vale para todo n ∈ N.

5. Uma reta divide o plano em duas regioes adjacentes, que certamentepodem ser coloridas com duas cores. Portanto, a propriedade vale paran = 1 reta. Suponhamos que ela valha para toda subdivisao formadapor n retas e incluamos uma reta adicional. Uma coloracao satisfazendoas condicoes do enunciado pode ser obtida trocando a cor de todas asregioes que ficam em um dos semiplanos determinados pela nova reta, oque mostra que a propriedade tambem vale para n+ 1 retas. Portanto,por inducao, vale para subdivisoes geradas por qualquer quantidade deretas.

6. a) Ao acrescentar-se o plano n+1, os planos ja existentes determinamneste plano n retas de intersecao que, por sua vez, determinampn regioes planas. Cada uma destas regioes planas, divide emduas uma das regioes determinadas anteriormente, criando assimpn novas regioes do espaco. Portanto, o numero qn+1 de regioesdeterminadas por n + 1 planos e dado por qn+1 = qn + pn.

b) Com n = 1 plano sao determinadas duas regioes; isto e, q1 = 2.Como 13+5.1+6

6= 2, a formula esta correta para n = 1. Supo-

nhamos que ela esteja correta para algum n ∈ N, ou seja, qn =n3 + 5n + 6

6. Entao, qn+1 = qn+pn =

n3 + 5n + 6

6+n2 + n + 2

2=

n3 + 3n2 + 8n + 12

6=

(n3 + 3n2 + 3n + 1) + (5n + 5) + 6

6=

(n+1)3+5(n+1)+66

, o que mostra que a formula tambem esta corretapara n + 1. Logo, por inducao, ela esta corrreta para todo nnatural.

7. O numero maximo de regioes determinadas por um ziguezague formadopor 2 semirretas e n segmentos de reta e n2+n+4

2. Para n = 1, sao de-

terminadas 3 regioes; como 12+1+42

= 3, a formula proposta esta corretapara n = 1. Suponhamos que a formula esteja correta para n segmentos

6

de reta. Um segmento de reta pode ser acrescentado transformando-seuma das semi-retas em um segmento (o que faz com que duas regioesse transformem em uma so) e acrescentando-se uma nova semirretaintersectando os n segmentos ja existentes e a outra semirreta; isto de-termina sobre esta semirreta uma total de n + 2 segmentos. Portanto,no processo sao acrescentadas n + 2 − 1 = n + 1 regioes. Logo, onumero de regioes determinadas por um ziguezague com n segmentos

e n2+n+42

+ n + 1 = n2+3n+62

= (n2+2n+1)+(n+1)+42

, o que mostra que aformula tambem esta correta para n + 1. Logo, por inducao, ela estacorreta para todo n natural.

8. a) Em 2 movimentos, passa-se o disco menor para a terceira haste;a seguir, o disco maior deve ser passado para a central; em mais2 movimentos, o disco menor deve voltar para a primeira haste; odisco maior e passado para a terceira haste; finalmente, em maisdois movimentos, o disco menor passa para a terceira haste, paraum total de 8 movimentos.

b) hn+1 = 3hn + 2

c) Para n = 1, sao necessarios dois movimentos. Como 31− 1 = 2, aformula esta correta para n = 1 disco. Suponhamos que ela estejacorreta para n discos, isto e, hn = 3n−1. Entao hn+1 = 3hn +2 =3(3n − 1) + 2 = 3n+1 − 1, o que mostra que a formula tambemesta correta para n + 1 discos. Logo, por inducao, a formula estacorreta para qualquer numero de discos.

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