Cap03-ComportamientoMecánicoDeConductores (UMSS)
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8/17/2019 Cap03-ComportamientoMecánicoDeConductores (UMSS)
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CAPITULO 3
COMPORTAMIENTO MECANICO DE CONDUCTORES
Los cables conductores son elementos activos de transporte de energia y son
sometidas a tensiones elevadas, todos los demas elementos de transmisión deben serdimensionados en funcion de estas tensiones, como tambien en funcion de las
solicitaciones mecanicas que estas transmiten a las estructuras. Por esa razoncomensaremos con el estudio del comportamiento mecánico de los conductores.
3.1 COMPORTAMIENTO DE CABLES SUSPENDIDOS-VANOS
AISLADOS
Un cable extendido entre dos puntos suficientemente elevados, para que no se
apoye sobre sobre el suelo , adquiere una forma caracteristica que recibe el nombre de“Catenaria”. Los conductores de las líneas aéreas de transmisión, normalmente
constituidas por cables, describen curvas semejantes a la Catenaria.
Los puntos de suspensión de los conductores de una línea aérea, pueden estar a
una misma altura o, como ocurre mas frecuentemente, a alturas diferentes. Estudiaremos
los dos casos separadamente.
3.1.1 Soportes a las Mismas Alturas
La Fig. 3.1, representa un conductor suspendido en dos soportes rígidos, A y B,separados entre si por una distancia “A”. Esta distancia comúnmente recibe el nombre
de “Vano”. Como los puntos A y B estan a una misma altura ,la curva descrita por los
conductores será simétrica, en su punto mas bajo, o vértice O, encontrándose sobre un
eje que pasa a media distancia entre AyB.
La distancia OF = f recibe el nombre de “Flecha”. En las líneas de transmisión,las alturas de suspensión (H) de los conductores estan directamente relacionados con el
valor de las flechas y con las distancias de los vértices de las curvas al suelo (hs).
Fig. 3.1 Conductor Suspendido en Dos Soportes de la Misma Altura.
La flecha como veremos, depende del vano, la temperatura y del valor de
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CAPITULO 3
tracción aplicada al cable en su fijación entre A y B . La altura (hs), denominada
“Altura de Seguridad” es establecida por normas en función del nivel de tensión de la
línea, del tipo y accidentes topográficos del terreno.
Entonces tenemos:
P[kgf/m] peso unitario del conductor
L[m] longitud del conductor
Siendo:
L>A
Consideremos los ejes OX y OY los cuales vamos a relacionar con la ecuación
de equilibrio. Sea M un punto cualquiera limitando la longitud del conductor OM = s.Este segmento del conductor estará en equilibrio con la fuerza que se ejercen sobre ella,
representada por el peso del conductor ps, la traccion en el punto O, designada por T o
y cuya direccion es tangente a la curva en O , o sea horizontal , y la traccion T , cuya
direccion es tangente a la curva en M , haciendo con la horizontal un ángulo '
Proyectando esas fuerzas sobre el eje OY, tenemos:
Tsen ' = p*s (3.1) Y sobre el eje OX
Tcos ' =T O (3.2)
Si en lugar de considerar un segmento de longitud “ s” de la curva,
consideraremos todo un tramo OB = L/2 de la curva, el punto M se desplazará al punto
B y la fuerza T pasará a ser tangente de la curva en B. En esa condición
Tsen =2
pl (3.3)
Tcos = To. (3.4)
Fig.3.2 Fuerzas Actuantes
Una vez que la fuerza T equilibra a las demás, ella es representada por la reacción
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CAPITULO 3
de la estructura, al sistema de fuerzas actuantes:
a) Una fuerza horizontal y constante T o = T cos
h) Una fuerza vertical V = T sen = pL/ 2, por tanto igual al peso del semivano del
conductor , referido a su longitud real
T=' COS
T O (3.5)
Si dividimos la Ec.(3.1) por la Ec. (3.2), tenemos:
tg ' =oT
ps (3.6)
' =arct tg
oT
ps (3.7)
Estas expresiones muestran que siendo To constante, lo mismo no ocurre con T,que varía a lo largo de la curva, en función del la distancia s , del punto considerado al
vértice de la catenaria. Ella será mínima para =O (en el punto 0), cuando entonces T
=To, será máxima en A o B, cuando:
' = =arctg
To
pL
2 (3.8)
Siendo T la fuerza de tracción axial en el cable, su relacion de trabajo ( )
también varía, desde un mínimo, junto al vértice de la curva, hasta un máximo, junto a
los puntos de suspensión .Por cuestiones de seguridad, las diverzas normas establecen limitaciones para losmáximos esfuerzos de tracción aceptables, en los cables conductores, en función de la
carga de ruptura de los cables.
Tmax= k Trup
Donde k representa el coeficiente de reduccion, variable para diversos
condiciones de funcionamiento, que se discutirá más adelante.
La variación de T en líneas usuales es bastante pequeño, principalmente cuandolos soportes estan en el mismo nivel y los vanos tienen valores normales, pues los
ángulos también son pequeños. En los cálculos despreciamos esta variacion.
Ejemplo 3.1
Una línea de transmisión de 115 kV debe ser construida con cables de aluminiocon alma de acero (ACSR), compuesto de 30 hebras de aluminio y 7 hebras de acero
galvanizado, con una sección de 210,3 mm2. (Especificado bajo el código Oriole)
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CAPITULO 3
seccion 336.400 CM * la carga de ruptura es igual a 7.735 kgf, su peso de 0,7816 kgf./
m. Admitiendo el conductor tensionado para una tracción To = 1.545 kgf, calcular el
valor de traccion T en los puntos de suspensión , en un vano de 350 m y un vano de1.000 m.
Solucion:
Debemos usar las Ecs. (3.7) y (3.8), admitiendo, para el efecto comparativo, L A.a) Para el vano de 350m :
=arctgTo
pL
2=arctg
1545*2
350*781,0
= 5,05925
Luego
T = cos
To=
05925,5cos
1545=1551,0428kgf
Aumento de tracción %391,0T
b) para el vano de 1.000 m
1545*2
1000*7816,0
2arctg
To
pLarctg
19494,14 y
6592,159319494,14cos
1545
cos
ToT kgf
Aumento de la tracción %1495,3T
Analizando los resultados obtenidos, verificamos que en el primer caso, el
aurnento del traccion es absolutamente despreciable, mientras que en el Segundo caso,merece mayor atencion . Un vano de 350 m podría ser considerado normal en líneas de
esta tension, en cuanto que el vano de 1.000 m sería excepcional en cualquier línea.
Ejemplo 3.2
¿Admitiendo que la longitud desarrollada de los cables es aproximadamente igual al los
vanos horizontales, con que valor del vano de la línea del ejemplo anterior, sufriráruptura el conductor?
Solucion :
Por la Ec.(3.5)
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CAPITULO 3
T
ToT To cos
para
kg To 1545 y kgf T 7735 (tension de ruptura del cable )
4782,78199741.077351545cos
por la Ec (3.6)
p
Totg A
To
pLtg
2,
2 (L A)
Luego:
mtg
A 95,193937816,0
*1545*2
Por tanto, con un vano del orden de 19.400 m, con una tracción To, junto al
vertice de la parabola , no superior a 1.545 kgf, es decir, aproximadamente 20% de latraccion de ruptura, el cable no resistiría los esfuerzos de traccion junto a los apoyos, y
ocurriria la ruptura (teóricamente ).
a) Ecuaciones de Cables Suspendidos. Cálculo de Flechas
Consideraremos nuevamente el sistema de la fig. 3.1: vemos que
To
pstg
'
(3.9)
siendo
z dx
dy
tg
'
(3.10)
podemos escribir
To
ps z (3.11)
Diferenciando encontraremos
dZ= 22 dydxTo
pds
To
p
o
21 Z To
p
dx
dZ
donde
dxTo
p
Z
dZ
21 (3.12)
Integrando la Ec.(3.12), tenemos
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CAPITULO 3
xTo
P Z Z e )1(log
2 (3.13)
cuya constante de integracion es nula, para X=0, Z= 0.De la Ec.(3.13)
podemos obtener xTo pe Z Z )/(21
xTo pe Z Z )/(21
Restando miembro a miembro
2
)/()/( xTo P xTo P ee Z
(3.14)
Como dxdy Z / , obtenemos, por integración
C pTo
x
p
To y
/cosh
para 0 x ; 0 y ; 10cosh ;luego, ./1 pToC por tanto
1
/cosh*
pTo
x
p
To y (3.15)
que es la ecuación catenaria
Designando pToC /1 tenemos
1cosh
1
1C
xC y (3.16 a )
el termino cosh/
x
To p
se puede desarrollar en la siguiente serie
2 4
2 4
1 1 1 1
cosh 1 ........2 4! !
n
n
x x x x
C C C n C
(3.17)
En las lineas de transmisión el valor de 1C , es siempre muy grande, del orden
superior a 1000 , lo que hace que esa serie sea rapidamente convergente, como
muestra la expresion 3.3. En esas condiciones es suficiente considerar los dos primeros
terminos de la serie, haciendo esta sustitución en la Ec. (3.16), obtenemos:
To
px
C
x y
22
2
1
2
que es la ecuación de una Parábola
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CAPITULO 3
Calculamos ahora las expresiones para las flechas . Para la catenaria hacemos en ( 3.16a)
2
A x ; ; f y
1
2cosh
1
1C
AC f (3.16b)
Para la parábola, usando el mismo raciocinio que en (1.18 a), tenemos
To
pA f
8
2
(3.18b)
Ejemplo 3.3
Verificar la convergencia de la serie y calcular las flechas de la líneadescritos en el ejemplo 3.1.
Solución
7144,19767816,0
15451
p
ToC
Usando el mayor valor de x en la línea que es igual a A/2 podemos calcular:
26
1
6
6
1
6
4
1
4
4
1
4
2
1
2
12
2
46080!6;
384!4;
82 C
A
C
x
C
A
C
x
C
A
C
x
Para el efecto comparativo de los vanos de 350 y 1000 m, encontraremoslos valores indicados en la tabla, que muestra la convergencia rápida de las
condiciones de la serie. Muestra, igualmente. que el error que cometemos al usarla ecuación de la paràbola en lugar de la ecuación de la catenaria es
insignificante: 5,1 mm en los vanos de 350m y 337.8 mm en los vanos de 1000m,
respectivamente, es decir 0,066% y 0,53% del valor calculado por la ecuaciónexacta .Siendo errores que pueden ser perfectamente tolerados en problemas
prácticos de transmisión.
Vanos
A
[m]
10 C
p
T
12
2
8C
A
14
4
384C
A
16
6
46080C
A
Flechas[m]
Eq(1.16b) Eq(1.18b)
350
1000
1976,7144
1976,7144
3919*10 6
31990*10 6
2*20 6
170*10 6 0
0
7,7515
63,5741
7,746
63,2363
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CAPITULO 3
b) Cálculo de Longitud de los Cables
La longitud desarrollada por una curva cualquiera, de acuerdo a la GeometríaAnalítica, esta dado por :
dxdx
dy L x
x
2/1
22
1
1
(3.19)
De acuerdo con la Ec.(3.14)
1C
x senh
dx
dy
Como
1
2
1
1coshC
x senh
C
x
Integrando, encontraremos la longitud entre el vértice y un punto de la abscisa:
1
1C
x senhC L x (3.20)
Considerado la curva entera, en el vano A, tendremos,
mC
A senhC L
1
12
2 (3.21)
Efectuando el desarrollo en serie, obtenemos:
n
C
A
nC
A
C
A
C
AC L
1
5
1
3
11
12!
1...
!5
1
2!3
1
22 (3.22)
Una vez más estamos frente a una serie rápidamente convergente. En la mayoría de loscasos, es suficiente considerar solo los dos primeros términos:
2
23
2
1
3
2424 To
p A A
C
A A L (3.23)
Como To p A f 8/2 [Ec.(3.18)], tenemos
m A
f A L
3
8 2 (3.24)
que es la ecuación de la longitud de una parábola , desarrollada en función de la
flecha y de su abertura.
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CAPITULO 3
Ejemplo 3.4
Cuales son los valores de las longitudes de los cables de la línea descritas en el
anterior Ejemplo 3.1, en los vanos de 350 m y 1000m. calculados a través del procesoexacto y el proceso aproximado.
Solución
a) Cálculo por el proceso exacto, del ejemplo3.2 7144,19761 C
Luego
1
12
2C
A senhC L
7144,1976*27144,1976*2
A senh L
;1000)1 m ParaAa
m L 6977,10101000
m ParaAa 350)2
4573,350350 L
b) cálculos por el proceso aproximado:
m A
f A L
3
8 2 (3.24)
Del Ejemplo3.3 7464,7350 f e m f 2363,631000 ; luego
)1b
350*3
)7464,7(*8350
2
350 L
;4572,350350 m L
)2b1000*3
)2363,63(81000
2
1000 L
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CAPITULO 3
L 1000 = 1010,6635 m
Comparando los resultados, verificamos que, si calculamos las longitudes usando
las ecuaciones simplificadas, los errores serian ,:
a) vano 350m , error de 0,002m, o sea ,0,0006% b)vano 1000m, error de 0, 034m, o sea , 0,003 38%
Lo que demuestra que los procesos de calculo aproximados, representados porlas ecuaciones de las parabolas , son plenamente satisfactorias.
3.2 SOPORTES A ALTURAS DIFERENTES
La Fig. 3.3 muestra el cable extendidó entre dos apoyos rígidos cuyas alturas A
y B son diferentes entre si , siendo el vano medido con la horizontal igual a A. Sea h la
diferencia de alturas entre A y B.
Fig. 3.3 Cable Suspendido entre Soportes con Alturas Diferente
Si prolongamos la curva AB hasta el punto B ' , situado a una misma altura que el punto
A obtenemos un vano nivelado e A , llamado “Vano Equivalente”, y la catenaria
correspondiente a ese vano, de acuerdo con la Ec (3.16 a ), tenemos
1cosh1cosh
1
2
1
1121
C
x
C
xC y yh
-
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CAPITULO 3
O
1
2
1
11 coshcosh
C
x
C
xC h
que puede ser transformada en:
1
21
1
211
222
C
x x senh
C
x x senhC h
o de acuerdo Fig. 3.3
1
'
1
122
2C
A senh
C
A senhC h (3.25)
De esta ecuación podemos obtener
11
1
11
'
2cos
2
2
1
22 C
Aech
C
h
C
A senh
C
h
C
A senh (3.26)
resolviendo esta ecuación obtenemos A ' , y, consecuentemente, el vano equivalente,
que de acuerdo con la Fig. 3.3, será' A A Ae
De la serie de senohiperbolica
...;!5!3
53
x x
x senhx
entonces
...
!3
1
2
'
22
3
11
'
1
'
C
A
C
A
C
A senh
Usando la serie de co – secante
...;360
7
6
1cos
3
x x
xech ,
...122/
1
2cos
111
C
A
C AC
Aech
Tomando solamente las primeros terminos , y sustituyendo en la Ec.(3.26)
Tenemos eliminadas las funciones trigonometricas
;2 1' C A
h A (3.28)
y el vano equivalente sera
m A
hC A Ae
12
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CAPITULO 3
m Ap
hTo A Ae
2 (3.29)
La carga vertical en el punto de suspension A, sera
kgf p Ap
hTo A p AV e A
2
2
1
2
1
o
kgf A
hTo ApV A
2 (3.30a)
En el punto inferior B tenemos
pC A
h
A
hC A p A AV e B
1
1' 2
22
1
o
kgf A
hTo ApV B
2 (3.31a)
Las cargas verticales tambien pueden ser cal culadas, en la forma siguiente:
a) Actuando sobre el soporte superior:
p AV e A2
1 (3.30b)
b) actuando sobre el soporte inferior
b 1 ) cuando :2/ E A A
kgf p A A
V e B
2
(3.31b)
c)cuando :2/e A A
kgf p A
AV e B
2 (3.31b)
Esa segunda manera de calcular es preferida en la fase del proyecto, una vez
que 2/e A es facil de determinar gráficamente durante la localizacion de las estructuras
sobre los perfiles. Las ecuaciones son equivalentes y ellos llevan a los mismos
resultados.
Como To es constante en cualquier punto de la curva, mientras que la tracción
axial en el cable no será constante, su valor podra calcularse por la suma vectorial de
To con los componentes verticales AV y BV .Con cierto trabajo podemos hacer la
siguiente demostración
-
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CAPITULO 3
22
0
2
A A V T T O
2
0
2
0
1
T
V
T
T A A
Entonces2/1
2
0
1
T
V
T
T A
O
A
Desarrollando esta ecuación en serie binominal, obtenemos
...4*2
1
2
111
4
0
2
0
2/12
0
T
V
T
V
T
V A A A
Tomando los dos primeros terminos que2
00 211
T
V T T A A O
0
2
02T V T T A A
Note que de la Ec. (3.30b)
2
p AV e A
por tanto
;882 0
2
0
22
0
2
p f pT
p A
T
p A
T
V e
ee A
finalmente para el punto mas alto p f T T e A 0 (3.32)
De la misma manera, para el punto mas bajo, llegamos a
ph f T T e B 0 (3.33)donde
0
2
8T
p A f
e
e
es la flecha correspondiente al vano equivalente e A
Ejemplo 3.5
Dos apoyos de la línea de 138 kV descrita en el ejemplo. 3.1 en alturasdiferentes, la diferencia de altura del vano horizontal de 350m, es igual a 40m. Calcular
las fuerzas verticales y axiales en los puntos A y B,siendo A el punto más alto.
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CAPITULO 3
Solucion
De los ejemplos anteriores: kgf T 15450 7144,19761 C e kgf p 7816,0
Tenemos)a Fuerzas verticales
)1a Soporte superior [Ec.(3.30)]
kgf A
hT ApV A 3514,313
350
1545*40
2
7816,0*350
2
0
)2a soporte inferior [Ec.(3.31)]
kgf A
hT ApV B 791,39
2
1545*40
2
7816,0*350
2
0
El signo negativo significa que la traccion BV esta dirigida de abajo para arriba y que
2/e A A
Veamos entonces :
Ap
hT A Ae
02 (3.29)
m Ae 820,8017816,0*350
1545*40*2350
luego
2
350 e A
A
De otra manera, podemos usar las Ecs. (3.30b) y (3.31b):
kgf p AV e A 3514,3137816.0*8204,801*2
1
2
1
kgf p A A
V e B 7914,397816,0*3502
8204,801
2
que confirman lo que fue expuesto anteriormente
)b Fuerzas axiales en el cable
)1b En el soporte superior [Ec.(3.32)]:
p f T T e A 0
donde
m
T
p A f
e
e 65,401545*8
7816,0*8204,801
8
2
0
2
kgf T A 772,15767816.0*65,401545 Otra opcion de cálculo seria usar el teorema de Pitágoras para calcular la resultante en el
punto A:
-
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CAPITULO 3
kgf T V T T A A A 46,157635,31315452
222
0
2
)2b En en el soporte inferior [Ec. (3.33)]:
,508,1545*4065,4015450 kgf ph f T T e B Tambien
kgf T V T T B B B 51,154579.3915452222
0
2
Se verifica que, junto al soporte superior, la tracción en el cable es
aproximadamente 1,95% mayor que T 0 , en otros términos, la tracción equivalente en el
vértice de la catenaria. En los casos de desniveles muy acentuado, este hecho deberáser tomado en consideración en los cálculos, porque puede redundar en factores de
trabajo mayores, que aquellas establecidas por las normas .
3.2.1 Longitudes de Cables en Vanos en Desnivel
Consideraremos el vano en desnivel de la Fig. 3.4. la ecuación referida al eje
111 Y X O puede derivarse de la Ec. (1.16):
1
111 cosh
C
X C y
Sea 0 x e 0 y las coordenadas del punto A en ese sistema, efectuemos un cambio
de los ejes de coordenados, de forma que su origen coincida con A. Tendremos el
sistema AXY. Donde x e y son las coordenadas de un punto cualquiera de la curva
Figura 3.4 Vano en Desnivelrelativo al nuevo sistema de coordenadas .La ecuación de la curva que sustituye a (3.20)
sera:
1
0
1
0 coshcoshC
x
C
x xC y (3.34)
-
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CAPITULO 3
Consideremos el punto B(A,B): para ese punto la ecuación sera :
1
0
1
01 coshcosh
C
x
C
x AC B (3.35)
Sea ds una longitud elemental del conductor . Tenemos
1
0
2/12
cosh1C
x x
dx
dy
dx
ds
y, consecuentemente
1
0
1
0
0
1C
x senh
C
x A senhC ds L
A
(3.36)
Resolviendo, simultáneamente, (3.34) y (3.36), obtendremos el valor de L. Para ello
elevar ambas expresiones al cuadrado y hacer la diferencia 22 B L - recordando, que
1cosh 22 x senh x , obtenemos
1
0
1
0
1
0
1
01
222 coshcosh12C
x senh
C
x A senh
C
x
C
x AC B L
Podemos simplificar esta ecuación utilizando las conocidas fórmulas de suma y
sustracción de los arcos hiperbolicos. Obtenemos finalmente
1
1222 cosh12C AC B L (3.37)
Pero
12cosh2 2 x x senh ;1
2
1 221cosh
C
A senh
C
A
luego
1
21
222
24
C
A senhC B L
O
1
21
22
24
C
A senhC B L (3.38)
Si desarrollamos en série el término hiperbólico de la Ec. (3.37) tendremos
-
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CAPITULO 3
14
4
12
2
1222
242112
C
A
C
AC B L
1
2
22
1
2
4222
12
1
12 C
A A
C
A A B L
12
222
121
C
A A B L (3.39)
Para esta ecuación, empleamos solamente dos terminos de la serie, y ella representa la
longitud del conductor en forma parabólica
Ejemplo 3.6
Calcular la longitud del conductor para la situación descrita en el ejemplo 3.5Empleando las ecuaciones (3.38) y (3.39)Solucion
Son datos : 7144,19761 C m A 350 e m B 40
a) Por la ecuación Ecuación (3.38)
m senh L7144,19762
3507144,1976440 2
22
m L 73272,352 luego
b)Por la ecuación (3.39)
m L
2
222
7144,197612
350135040
m L 73225,352 Vemos que tambien que en este caso ambas ecuaciones dan resultados dentro de
la tolerancias normales de problemas práctico de Ingenieria . En el caso, la relación ah / es relativamente pequeña, por ser líneas reales tipicas. Sin embargo, en el caso de
relaciones ah / elevadas , el error puede ser mayor y afectar los valores de las flechassignificativamente.
3.2.2 Flechas en Vanos Inclinados
En el caso de dos vanos inclinados hay dos formas de medir las flechas, y eso
puede ser de interés práctico, como muestran las Fig. (3.3) y (3.4)
-
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CAPITULO 3
a) la flecha s f , representada por la mayor distancia vertical entre la linea que
une los puntos de apoyo del cable en un punto de la curva; esta flecha es importante,
cuando el perfil del terreno es mas o menos paralelo a la linea entre los puntos de apoyo
b) la flecha f o medida entre una línea horizontal que pasa por el apoyo inferiory el punto mas bajo de la curva del cable: hay situaciones en que ella es importante,
pues define el levantamiento del cables a obstáculos que la línea cruza en ese punto.Veremos las mismas:
Caso (a)
El cálculo riguroso de la lecha s f es muy trabajoso.Podemos simplificar
sustituyendo la catenaria por la parábola. Por tanto hacemos el desarrollo de la serie del
segundo miembro de la Ecuacion (3.34) de la cual emplearemos apenas los dos primeros terminos . Tenemos :
1
0
1
2
2
02
12
2
01
*
222 C
x x
C
x
C
x
C
x xC y
(3.40)
Para el punto B, con la misma aproximacion B y ; luego,
1
0
1
2
2 C
Ax
C
A B (3.41)
Eliminando 0 x de las ecuaciones (3.40) y (3.41) encotramos
A
B
C
A x
C
x y
11
2
22 (3.42)
que es la ecuación de parábola en desnivel , con el origen de las coordenadas en A
Con esta ecuacion podemos construir la curva por puntos.
El coeficiente angular de la tangente en un punto de esa parabola es obtenido derivandola ecuacion (3.42)
A
B
C
A
C
x
dx
dy
11 2 (3.43)
En el punto P, correspondiente a s f y la tangente es paralela a la recta AB ; luego , su
coeficiente angular es igual a A B / .Igualando la(3.43) a A B / obtenemos
2
A x
Sustituyendo ese valor en la (3.42) obtenemos
A
B
C
A A
C
A y p
11
3
228 (3.44)
De la Fig. 3.4 podemos verificar
p s y B
f 2
(3.45)
-
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CAPITULO 3
Como p y es negativa , tenemos
A
B
C
A A
C
A B f s
11
3
2282
y, simplificando, el obtenemos
0
2
1
2
88 T
p A
C
A f s , (3.46)
la ecuación que, vemos es identica a la Ec. (3.18b). Esto nos permite concluir que el
valor de la flecha máxima en un vano desnivelado tiene el mismo valor que la flecha en
un vano igual , pero nivelado
Caso b).
De la Fig. 3.4 tenemos que
hT
p Ah f f ee 20
2
08
(3.47)
por la Ec.(3.29)
Ap
hT A Ae
02 (3.48)
que sustituida en la anterior nos da , tomando en cuenta (3.46)
s s s s
s f
h
f
h f
h
f
h f f
2161
216 2
22
0 (3.49)
y finalmente2
04
1
s
s f
h f f (3.50)
Ejemplo 3.7
Determinar los valores de las flechas s f y 0 f para la situacion descrita en el ejemplo 3.5
Soluciona) por las Ecs.(3.18) y (3.46) tenemos
m
T
p A f s 746,7
1545*8
7816,0*350
8
2
0
2
b) Por la Ec. (3.50)22
07464,7*4
4017464,7
41
s
s f
B f f
-
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CAPITULO 3
m f 6556,00
3.3 VANOS CONTINUOS
Los vanos aislados son relativamente poco frecuente en las líneas de transmision,que en la realidad, se constituyen en una sucesión de un numero grande de vanos
que no pueden tratarse separadamente, porque los puntos de la suspensión no estánrígidos, como admitimos en los conductores aislados desde el punto de vista
mecanico. Los esfuerzos son transmitidos de un vano para otro. Dé ahí la necesidad
de considerar la sucesión de vanos.
Retornemos a la Fig. 3.1 e imaginemos que en el vano A, intercalados n
soportes de la misma altura , resultando n+1 vanos de longitudes 1/ n Aa comomuestra la Fig3.5 .Admitamos tambien que los soportes intermediarios sean rigidos
y que el cable pueda deslizarse libremente sobre estos soportes intermediarios .En
esas condiciones se tomara en cada uno de los vanos intermediarios , curvas iguales.
Fig. 3.5 División de un Vano por n Apoyos Intermediarios Igualmente
Espaciados
Esta division de vanos afecta a los valores de las fuerzas verticales y tambien
a las fuerzas axiales T. Las fuerzas verticales en los apoyos pueden ser calculados por
22
pa pl V V B A . (3.51)
las fuerzas axiales seran entonces
cos
0T T T B A
para
02T
paarctg (3.52)
En cada estructura intermediaria actuarán simplemente las fuerzas verticales, una
-
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CAPITULO 3
vez que los componentes horizontales T0 de las tracciones se anulan. Las fuerzas
verticales serán, entonces,
pa pl V (3.53)
Ejemplo 3.8
Imaginemos que un vano aislado de 1 000 m. cuyos valores fueron calculadas en los
ejemplos anteriores, se subdivide en cinco vanos iguales de 200m, de las mismas alturasque A y B. Cuales son los esfuerzos que actúan en las estructuras terminales A y B y
sobre las estructuras intermedias ?
Solución:
De los ejemplos anteriores para el vano de 1 000 rn, la tracción horizontal era
kgf T 15450 después de la subdivisión, nosotros necesitamos calcular el nuevo0
T de
la línea. Para eso, nosotros podemos usar el raciocinio que sigue.Para el vano aislado, la longitud del cable esta dado por (3.24):
;3
8 2
A
f A L
Después de ser subdividido tenemos 5/' A A e 5/' L L ; luego
53
8
55
2'
A
f A L
A
f A L
3
258 2'
y por tanto 2'2 25 f f , donde
5
' f f
para el vano aislado la flecha del cable esta dado por (3.18b)
0
2
8T
pA f
después de la subdivisión tenemos 5/' f f e 5/' A A luego
To
A p f
8
5
5
2
0
2
58 T
pA f
-
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CAPITULO 3
y por tanto 00 5T T `, donde
5
0
0
T T
a) Estructuras terminales)1a fuerzas verticales
kgf a p
V 16,782
200*7816,0
2
*
)2a fuerzas axiales
cos
0T T T B A
194,14
5
15452
200*7816,0
2 0 arctg
T
paarctg
donde
kgf T T B A 72,3189695,0
5/1545
)b Estructuras Intermediarias
)1b Fuerzas verticales
kgf apV 32,156200*7816,0
)2b Fuerzas axiales
Las mismas que en las estructuras terminales . Comparando estos resultados conaquellos obtenidos en el Ej. 3.1, verificamos que la subdivisión del vano no sólo trajo
una reducción en las cargas verticales, como era de espera, sino también en las cargas
axiales, en otros términos, la solicitaciones en los cables.Las flechs a su vez, se reducieron, en este caso:
5
' f f
Veamos lo que pasa cuando el vano A es subdividido por estructurasdesigualmente espaciadas. Para la comodidad de razonar las consideremos, con las
mismas alturas, como la Fig. 3.6.
-
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CAPITULO 3
Fig. 3.6 Subdivisión de un Vano por n Vanos Desiguales
Las fuerzas horizontales 0T son constantes y iguales en todas las estructuras y ellos
están absortos por las estructuras terminales, mientras, que en las estructuras intermediarias,
ellas se anulan. Las fuerzas verticales en las estructuras terminales son proporcionales a los
semivanos vecinos,
pa
V A2
1 y pa
V B2
3
mientras que las fuerzas verticales que actúan en las estructuras intermediarias soniguales a la suma de los pesos de los cables de los dos semivanos vecinos,
222
323232
aa p
aa pV V V c
o, genéricamente,
kgf aa
pV ji
2 (3.54)
Las tracciones axiales iT y J T serian también diferentes siendo mayores en los
cables en los lados de los vanos mas grandes
Por su parte las flechas, se distribuirá en la razón de los cuadrados de los vanos. Ellosserán más grandes en los vanos más grandes o sea
2
j
i ji
a
a f f (3.55)
-
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CAPITULO 3
Ejemplo 3.9
Calcular las fuerzas verticales y axiales de los conductores cerca al punto de suspensión
de un estructura que es flanqueada de vanos ma 3001 y ma 5002 y cuyasestructuras adyacentes están en la misma altura. El cable es el mismo de los ejemplos
anteriores y la tracción horizontal es de 1 545 [kgf]
Solución
)a Por la Ec.(3.54)
kgf aa
pV 64,3122
5003007816,0
2
21
)b Fuerzas axiales, lado del vano menor 1T
3395,41545*2
300*7816,0,
cos
01 arctg
T T
luego
kgf T 44,15499971,0
15451
El lado del vano más grande (T 2 ):
2081,7
1545*2
500*7816,0 arctg
luego
kpT 3073,15572
flechasc)
;6913,5
1545*8
300*7816,0
8
2
0
12
1 mT
pa f
;809,15
1545*8
500*7816,0
8
2
0
22
2 mT
pa f
Por los resultados de (b) vemos que los cables en los lados de los vanos más
grande son los más solicitados, asi como las estructura de suspension.
Finalmente, analizaremos el caso más general y tambien el mas frecuente en laslineas transmisión; una sucesión de vanos desiguales y los cables suspendidos en alturas
diferentes . La Fig 3.7 muestra una linea de transmisión que atrabiesa un terreno
-
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CAPITULO 3
accidentado lo cual examinemos caso por caso.
Estructura Terminal A
Sometida a una traccion horizontal 0T y una fuerza de compresión , vertical de arriba para abajo , cuyo valor puede ser calculado por las Ecs. (3.31a) o (3.32b) para cada uno
de los conductores
pnV aao
La fuerza de traccion del conductor AT puede ser calculada con auxilio de lasEc. (3.33) y aO y el vértice de la catenaria equivalente.
Estructura Intermediaria B
Actuan las fuerzas verticales BAV y BC V . Como bce a A 2/ , el vértice de la
catenaria equivalente esta “atrás” del soporte B ; luego 0 BC V .La fuerza verticalactuante por cada conductor sera:
kgf nm pV V V bb BC BA B Los cables son solicitados a la traccion, en la suspensión en B, por la fuerza BAT ,
que solicita a los cables del vano del vano ABa y por la fuerza BC T que solicita los cables
de lado del vano BC a .Que pueden ser calculados de forma ya vista
Fig. 3.7 Sucesión de Vanos Desiguales a Alturas Desiguales.
-
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CAPITULO 3
Estructura Intermedia C
Actua sobre la estructura la fuerza vertical C V , resultante de la suma CBV y
CDV , debidas a cada uno de los conductores:
kgf nm pV V V ccCDCBC Las fuerzas axiales en lo cables son BC T y CDT , respectivamente en los vanos BC a y
CDa
Estructuras Intermedia D
La fuerza vertical sobre la estructura y por conductor sera:
kgf nm pV V V cd DE DC D Las fuerzas axiales en los cables son
DC
T y DE
T , respectivamente del lado de los
vanos CDa y BE a
Estructura Intermedia E
El vértice de la catenaria en el vano DE a coincide con el punto de suspensión de
los conductores. Por lo tanto no colabora con la componente de la fuerza vertical
actuando sobre la estructura. Luego ,
kgf pnV V e EF E Las fuerzas axiales en el cable son 0T T ED y EF T respectivamente, en el lado de los
vanos DE a y EF a A esta altura , cabe la introducción de dos conceptos bastante importantes para los
proyectos de líneas: vano Medio y vano Gravante de una estructura
Vano Medio de una Estructura
Es igual a la semisuma de los vanos adyacentes a ella
maa
a ji
n2
(3.56).
Llamado tambien ¨Vano Viento¨
Vano Gravante ( Peso) de una Estructura
Es un vano ficticio Ga que multiplicado por el peso unitario de los conductoresindica el valor de la fuerza vertical que un cable transmite a la estructura que lo
soporta.Tambien denominado “vano de peso”
-
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CAPITULO 3
Así, de acuerdo Fig. 3.6,tendremos los siguientes vanos gravantes:
Estructura A , aGC na ;
Estructura B, bbGB nma ;
Estructura C C C GC nma ;
Estructura D DE d d d GD amnma ;
Estructura E eGE na
El ultimo caso de vanos desiguales con alturas desiguales , por proposito no seincluyó en el analisis anterior , y es aquella ilustrado en la Fig3.8. En una situación que
debe ser evitado siempre que sea posible en las lineas reales principalmente en las de
tensiones mas elevadas En general, por errores en la selección de la ruta y las fallas de
orientación apropiada de los topógrafos encargados de los trabajos de exploracion ,reconocimiento y levantamientos, fijan los puntos obligatorios de la línea, como, por
ejemplo , vértices entre las alineaciones, en lugares inadecuados.
La estructura B sera solicitada, en este caso, por dos fuerzas verticales
BAV y BC V , dirigidas de abajo para arriba tendiendo a suspenderla:
BC BA B V V V Esa situación es conocida en la práctica como “arrancamento” o
“colgado”. Ella es inadmisible en los aisladores pendientes que en su caso
pierden su verticalidad . Con aisladores de pins , podra tolerarse en pequeño
grado , en caso de absoluta necesidad .No ocurre tanto en las lineas primariasrurales , siendo raro observar a uno o mas aisladores arrancados de sus pins y
colgados los conductores aproximadamente 0,5 o incluso 1,0 m sobre eltravesaño de la estructura.
Fig. 3.8 Situacion de Arrancamiento.
-
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CAPITULO 3
Ejemplo 3.10
En el tramo de la línea ilustrado en Fig. 3.7, fueron medidos en escala, lassiguientes distancias :
;234ma AB mh AB 45,15 ; ;31mn
a mm
b 203 ma BC 175 mh BC 30,25 ; mnb 95 mmc 276
;476maCD mhCD 75,14 ; mnc 197 ; mmd 290
;152ma DE mh DE 20,8 ; mnd 152 ; mme 0
mne 214
La componente horizontal de la traccion en los cables en la condicion de la
flecha maxima, sin viento es de 1020kp. Calcular:
)a vanos medios ;
)b vanos gravantes
)c cargas verticales sobre las estructuras
)d tracciones en los cables junto a los soportes.
Solucion:
)a Vanos medios de acuerdo con la Ec.(3.56), tenemos :
)1a estructura A
ma
a ABm 1172
234
2
0
;
)2a estructura B
maa
a BC ABm 5,204
2
175235
2
)3a estructura C
maa
a CD BC m 5,3252
476175
2
)4a estructura D
maa
a DE CDm 0,3142
152476
2
)b vanos gravantes; de acuerdo con la definición de vano gravante
)1b estructura A,
mna aG 31
)2b estructura B,
mnma bbG 10895203
)3b estructura C
mnma C C G 473197276
-
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CAPITULO 3
)4b estructura D
;442152290 mnma d d G
)5b estructura E
mna eG 21421400
)c Cargas verticales sobre las estructuras, por conductor
)1c estructura A
;22,2431*7816,0 kgf paV G A
)2c estructurasB
kgf paV G B 41,84108*7816,0
)3c estructura C
;70,369473*7816,0 kgf paV GC
)4c estructura D
kgf paV G D 47,345442*7816,0
d) Tracciones en los cables, cerca de los soportes- debemos emplear las Ecs. (3.32) para
los soportes superiores y (3.33) para los soportes inferiores, haciendo los cálculos,
primeramente de los vanos equivalentes (3.29) y las flechas que corresponden a los
vanos equivalentes:
)1d estructura A- vano equivalente:
7816,0*234
1020*45,15*2234
2 0
pa
T ha A
ab
ababeAB
m AeAB 00,406
flecha del vano equivalente (3.18b)
;79,15
1020*8
4067816,0
8
2
0
2
mT
pA f
e
eAB
luego por la Ec. (3.33)
;3,10207816,0*45,1579,1510200 kgf ph f T T ABeAB AB
)2d estructura B: traccion en el cable del vano B-A (3.32);34,10327816,0*79,1510200 kgf p f T T e BA
traccion en el vano B-C
;34,5527816,0*175
1020*30,25*2175
2 0 m pa
T ha A
bc
bcabeBC
-
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CAPITULO 3
;22,29
1020*8
34,5527816,0
8
2
0
2
mT
pA f
eBC
eBC
luego
;07,10237816,0*253022,2910200 Kgf ph f T T BC eBC BC
)3d estructuras C traccion en el cable del vano C-B
TBC = To + f eBC*p = 100 + 29.22 * 0.7816 = 1042.82 kgfTraccion en el cable en el vano C-D
;88,5567816,0*476
1020*75,14*2476
2 0 m pa
T ha A
cd
cd cd eCD
;70,29
1020*8
88,5567816,0
8
2
0
2
mT
pA f
eCD
eCD
luego,
kgf; 68,10317816,0)75,1470,29(1020)(0 ph f T T cd eCDCD d4) Estructura D: tracción en el vano D – C,
kgf;21,10437816,070,2910200 p f T T eCD DC
tracción en el vano D – E,
m;21,810208
)8,292(7816,0
8
m;80,2927816152
102030,82152
2
2
0
2
0
T
pA f
pa
T ha A
edeeDE
de
dedeeDE
luego
.kgf 4,102621,87816,01020
kgf;1020)20820,8(1020)(
0
0
p f T T
p ph f T T
ede DE
deede ED
Ejemplo 3.11
Tres soportes de una línea, A, B y C, presentan una condición de arranque como
se muestra en la Fig. 3.8. La condición de flecha máxima, a tracción en los cables es de
1020 kgf. y la condición de flecha mínima a tracción es de 2120 kgf. Calcular las formasde arrancamiento y las tracciones axiales de los cables en las condiciones dadas. El
cable es el mismo de los ejemplos anteriores. Son datos (obtenidos gráficamente).
;6,19;154
;8,22;197
mh ma
mh ma
bcbc
abab
Solución:
1. Fuerzas verticales
La fuerza axial vertical transmitida individualmente por los cables a la estructura
B esta dada por BC BA B V V V , siendo V BA y V BC calculables por medio de la Ec.
(3.31a):
-
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CAPITULO 3
.0
22
0
bc
bcbc BC
ab
abab BA
a
T h paV y
a
T h paV
a) Condición de flecha máxima:
kgf;30,41197
10206,19
2
7816,0154
kgf;06,41197
10208,222
7816,0197
BA
BA
V
V
luego
.V B kgf 36,82min O sea, la estructura deberá absorber, en cada punto de fijación de los cables, unafuerza vertical, dirigida de abajo para arriba, de 83.36 kgf.
b)
Condición de flecha mínima:
kgf;63,209154
21206,29
2
7816,0154
;kgf 37,168197
21208,22
2
7816,0197
BC
BA
V
V
luego
kp.V B 378min La condición de flecha mínima es como veremos mas adelante, aquella que ocurre
bajo temperaturas ambientales mínimas de la región atravesada por las líneas. Enesas condiciones el arranque es máximo.
2. Fuerzas axiales en los conductoresPara su cálculo, emplearemos la Ec. (3.33). Para aplicarla debemos calcular los
vanos y flechas equivalentes, empleando las ecuaciones (3.29) y (3.18):
pa
T ha A y
pa
T ha E
bc
bcbceBC
ab
ababeAB
00 22
a) Condición de flecha máxima:
.m19,4867816,0154
102060,192154
m;07,4997816,019710208,222197
eBC
eAB
A
A
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CAPITULO 3
b) Condición de flecha mínima:
. A
A
eAB
eAB
m43,8447816,0154
212060,192
154
m;84,8247816,0197
21208,222197
3. Flechas en los vanos equivalentes
a) Condición de flecha máxima:
.m64,22
10208
19,4867816,0
8
m;86,2310208
07,4997816,0
8
2
0
2
2
0
2
T
A p f
T
A p f
eBC eBC
eABeAB
b) Condición de flecha mínima:
m.86,32
21208
43,8447816,0
8
m;35,3121208
84,8247816,0
8
2
0
2
2
0
2
T
A p f
T
A p f
eBC eBC
eABeAB
4) Fuerzas axiales en los cables
Despues de los valores anteriores podemos calcular las fuerzas axiales que actúan enlos cables junto a la estructura B. Por la Ec. (3.33), tenemos:
a) Condición de flecha máxima:
kgf. 10207816,0)8,2286,23(10200 ph f T T BAeBA BA y
kgf. 38,10227816,0)6,1964,22(10200 ph f T T BC eBC BC b) Condición de flecha mínima:
kgf. 68,21267816,0)8,2235,31(21200 ph f T T BAeBA BA y
kgf. 36,21307816,0)6,1986,32(21200 ph f T T BC eBC BC Observamos que, en este caso, a pesar de que las fuerzas de arranque son
considerables, las fuerzas axiales de tracción aumentaran relativamente poco.
3.4
EFECTO DE LOS CAMBIOS DE DIRECCION
Las líneas de transmisión son siempre proyectadas para transportar la energíaeléctrica entre dos puntos bien definidos de un sistema. Lo mas conveniente es que su
longitud sea el mas corto posible, siendo el ideal aquel que sigue el curso de una línea
recta. En la práctica, sin embargo, esto es raramente posible, debido a muchos factores,
tales como obstáculos naturales o los provocados por el hombre cuyo desalojo no es
-
8/17/2019 Cap03-ComportamientoMecánicoDeConductores (UMSS)
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CAPITULO 3
posible o resulta demasiado costoso. Las dificultades de transporte de material y
equipamiento durante el trabajo así como la facilidad de acceso de los equipos de
mantenimiento pueden igualmente cambiar el trazado de la dirección ideal de una líneade transmisión. En esas condiciones nosotros debemos aproximar a un polígono mas
corto posible. Los vértices de ese polígono constituyen puntos obligatorios de la línea yexistirá obligatoriamente una estructura. Esta estructura soportara adicionalmente en los
puntos de suspensión de los conductores, una fuerza horizontal cuya dirección es la
Fig. 3.9 Fuerzas Transmitidas por los Conductores a las Estructuras por Cambio de
Dirección.
bisectriz del ángulo α definido por las dos alineaciones, siendo dirigida hacia el interior
como muestra la Fig. 3.9. Su valor se puede calcular por la ecuación:
,2
sin2 0 Kg T F A
(3.57)
Donde es el ángulo de deflexcion que existe entre las dos alineaciones del ejede la línea en el vértice considerado.
Alineamiento Atrás
Alineamiento
Adelante
Esfuerzo debido al
cambio de dirección
de la línea
-
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CAPITULO 3
Ejemplo 3.12
Supongamos que la estructura B de la Fig. 3.8, cuyo alineamiento de la línea sufreuna deflexión de 22° a la derecha. Cual es el valor de la fuerza horizontal que cada
conductor transmite a la estructura en la condición de flecha máxima y en la condiciónde flecha mínima? – Use los valores del ejemplo del Ej. 3.11
Solución
Las componentes horizontales de tracción en los cables son, para las condiciones
de flecha máxima y mínima respectivamente,
Y
a) Condición de flecha
máxima [por la Ec. (3.57)]:
conductor. porkgf 25,38911sin102022
sin2 0min
T F A
b) Condición de flecha mínima:
conductor. porkgf 03,80911sin212022
sin2 max0max
T F A
Para los valores anteriores, vemos que las fuerzas horizontales transmitidas por los
conductores a las estructuras de ángulo, que deben absorberlas, son considerables y
dependen de las tracciones 0T en los cables y del valor de la deflexión de la línea.
3.5 INFLUENCIA DE AGENTES EXTERNOS
Además de los esfuerzos que acabamos de analizar y que son de naturaleza
permanente, los conductores de las líneas aéreas de transmisión están expuestos a otros
esfuerzos, de carácter transitorio y que también transmiten a sus soportes, que deben serabsorbidos. Podemos clasificarlos en tres tipos: a) Aquellos que ocurren frecuentemente
durante toda la vida de la línea, b) aquellas que ocurren durante el trabajo de montaje y
mantenimiento y c) aquellas que se espera que nunca ocurran, pero por remota que esta
sea, el proyectista deberá considerar para fines de calculo.
En el primer grupo podemos clasificar las cargas debidas a factoresmeteorológicos, como la fuerza resultante de la presión del viento sobre los conductoresy aquella que ocurre por la reducción de la temperatura de los conductores durante su
tensión. En los países donde el invierno es elevado, se debe incluir, además la capa de
hielo que se forma en torno a los conductores en consecuencia de la caída de la nieve.
Son condiciones que podemos clasificar como normales debido a su frecuencia.
kgf; 2120
kgf 1020
max0
min0
T
T
-
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CAPITULO 3
Durante la fase de montaje y durante los servicios de mantenimiento, los cables
pueden ser expuestos a fuerzas adicionales, como aquellas que ocurren durante su pre –
tensión y por cargas verticales concentradas, como aquellas debidos a los carritos de lalínea, usados de los operarios, y deslizados por los conductores. Estas son posibles
sobrecargas que pueden ocurrir y sus efectos deben ser previstos.
Finalmente, en el ultimo grupo, encontramos las sobrecargas excepcionales, oaccidentales. Están constituidas por esfuerzos de tracción unilaterales de gran intensidad,
pudiendo someter a las estructuras a grandes esfuerzos de tracción. Ocasionalmente
producidos por la ruptura de uno o más cables. Si bien son muy raras las veces queocurren, estos deben ser previstos en los proyectos.
Las normas de los diversos países son bastante precisas en la forma como se deben
calcular estos esfuerzos y también en cuanto los esfuerzos admisibles de los conductoresy piezas estructurales y en cuanto a su ocurrencia.
3.5.1
Efecto del Viento sobre los Conductores
El viento, soplando sobre los conductores, encuentra una resistencia, que se
manifiesta en forma de presión. Esta es proporcional a la velocidad del viento y su
resultante es una fuerza perpendicular el eje longitudinal de los cables y que estransferida por los mismos hacia la estructura.
Las normas técnicas de los diversos países establecen la manera de calcular esafuerza y las formulas que deben se empleadas para ese fin, en función de la velocidad
del viento que debe ser usado en el calculo del proyecto. Establecen igualmente la forma
de determinar esta última.
El viento actuante perpendicularmente en dirección de los cables de las líneas y
ejerciendo una presión, se puede calcular por:
22 /0045,0 mkmV pv (3.58)
Donde:
V es la velocidad del viento del proyecto, en Km/h;
es un coeficiente de efectividad del viento. Representa un factor de corrección para adecuar la ecuación a las condiciones reales en la que operan las líneas, diferentes
de aquellas existentes en los túneles de viento donde se originan. Pretende tambiéncompensar por el hecho de que los frentes de viento son, en general, menores que los
vanos de las líneas. El valor mínimo admisible, es 0.80.Si d es el diámetro de los cables, la fuerza resultante de la presión del viento, será
d p f vv . (3.59)
-
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CAPITULO 3
O
mkgf d V f v /0045.02
(3.60)
Esa fuerza se distribuye uniformemente a lo largo del conductor y se ejerce en la
horizontal en el sentido transversal al eje longitudinal de los cables. Si consideramossolamente el efecto de la fuerza del viento actuando, el cable pasará a describir unacatenaria en el plano horizontal, en el caso de los soportes ubicados a la misma altura. El
efecto del peso de los conductores, actuando vertical y simultáneamente, hará que la
catenaria se estabilice, en un plano inclinado con un ángulo , en relación al plano
vertical que pasa por los soportes, como muestra la Fig. 3.10(b).
Fig. 3.10 Efecto de la Presión del Viento sobre los Conductores
Bajo la acción simultánea del peso propio y de la fuerza del viento, el cable sufre
un aumento virtual en su peso, que pasa a actuar en el plano de la catenaria modificada.De acuerdo con la Fig. 3.10(a), el peso virtual sera:
mkgf f p p vr /22 (3.61)
Ese aumento virtual de peso provoca un aumento en las tracciones T y T 0 en los
cables y la aparición de una fuerza horizontal transversal, F VC , en los puntos de
suspensión, que la estructura deberá absorber, La flecha máxima de la catenaria en el
nuevo plano también aumenta, pasando a ser:
,8
´20
2
mT
A p f r (3.62)
En la cual20
T es el nuevo valor de la componente horizontal de la tracción en los
cables.
Pr
-
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CAPITULO 3
En los vanos aislados, la fuerza resultante horizontal ( F V ) transmitida a la
estructura es calculada por la expresión
Kgf f
A F
vv 2
(3.63)
y, en el caso de vanos continuos, si ai y a j son los vanos adyacentes en una estructura
intermedia, la fuerza transmitida la misma será:
,.2
v
ji
v f aa
F
(3.64)
o sea:
.vmv f a F (3.65)
Ejemplo 3.13
Cual es el valor de la presión del viento y de la fuerza resultante debido a la acción
del viento sobre los conductores de línea del Ej. 3.1? Admitiendo una estructura de final
de la línea, con un vano adyacente de 300 m y una estructura intermedia con vanosadyacentes de 280 y 420 m. Calcular los esfuerzos transversales que los conductores
transmiten a las estructuras debido a la fuerza del viento. Calcular, también, la flecha de
la catenaria en reposo y bajo la acción del viento, sabiendo que la tracción kgf 15450 T
sin viento y kgf 5,2029'0 T con viento a 110 ,hkm a una misma temperatura, en el vano
de 420 m.
Solución
a) De acuerdo con la Ec. (3.59):
.mkgf 56,438.0)110(0045,00045,0 222 V P V b) Siendo d = 0.01883 m (de catálogos de conductores):
.mkgf 8202,001883,056,43 d P f V v c) Una estructura de fin de línea se comporta como una estructura de vano aislado:
luego, por la Ec. (3.63),
,kgf 123,030,82022300
2 vV f
A F
que es el valor de la fuerza horizontal transversal que cada conductor transmite a la
estructura.d) Para la estructura intermedia, la fuerza transmitida será:
-
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CAPITULO 3
kgf. 07,2878202,02
420280
2
v
ji
V f aa
F
e)
Las flechas serán:e1) Sin viento,
m; 1549,11
15458
4207816,0
8
2
0
2
T
pa f
e2) Con viento de 110 hkm [Ec. (3.62)],
;'8
'0
2
T
a p f r
como
m. 3095,125,20298
)420(133,1'
,mkgf 133,1
,8202,07816,0
2
2222
f
p
f p p
r
vr
Nota. La tracción 5,2029'0 T kgf. bajo la acción del viento fue calculada de la forma
que será expuesta en el ítem 3.5.3.
Examinemos ahora el caso de vanos desnivelados. Ya vimos que, bajo la acción
del peso, la curva descrita por el cable puede ser representada por un segmento de lacatenaria de un vano nivelado mas largo, que designaremos vano equivalente Ae. Esa
catenaria se sitúa en el plano vertical, y su posición de su vértice es variable de cuerdo a
la relación desnivel vano . Si consideramos ahora el conductor sometido apenas a la
acción del viento, la catenaria resultante será simétrica con relaciona los soportes, y sesituara en un plano inclinado a un ángulo Ψ con relación al plano horizontal (Fig. 3.3).
En esas condiciones, el cable transmite a cada uno de los soportes, la mitad de la fuerza
total resultante de la acción del viento; por tanto como en el caso de los vanos nivelados.Cuando el desnivel es demasiado, la mayor longitud del vano inclinado deberá ser
considerado. Tenemos entonces, para vanos aislados,
kgf f A
F vv cos2
(3.66)
y para vanos continuos,
.cos2cos2
kgf f aa
F v j
j
i
iv
(3.67)
-
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CAPITULO 3
La catenaria resultante por la acción simultánea del peso del conductor y de la
fuerza debido a la acción del viento se fijara en un nuevo plano, haciendo un ángulo
con la horizontal y un ángulo con la vertical. Su vértice se ubicara en un punto entre
los vértices de las catenarias actuales de las acciones individuales de las fuerzas
actuantes.
Conocidos los nuevos valores T 0 bajo la acción del viento, podemos calcular los
valores de la tracción axial T en esas condiciones, de la forma ya conocida.
Los esfuerzos verticales actuantes en los puntos de suspensión de los conductores
se mantienes inalterados, es decir son los mismos calculados en ausencia del viento
Ejemplo 3.14
Supongamos que el trecho de línea ilustrados en la Fig. 3.7 esté sometido a la
acción de un viento de hkm 110 , permaneciendo las demás condiciones inalterados.La componente horizontal de la tracción en esas condiciones es de 2029.5 kgf.
Determinar, para las estructuras A y B, las fuerzas horizontales transversales en los puntos de suspensión.
Solución
Del Ej. 3.10, obtenemos
m; 75,25 m, 45,15 m, 175 m,234 BC AB BC AB hhaa del Ej. 3.11,.mkgf 8202,0v f
Las fuerzas horizontales transversales serán:
Estructura A (terminal)
De acuerdo con la Ec. (3.63), tenemos
kgf; 96,958202,02
234
2 V AV f
A F
por la Ec. (3.66), considerando el desnivel
kgf, 96,1730,82022cos3,78
234
cos2
v
AB
V f A
F
siendo
.78,3234
15,45arctg AB
Estructura B (intermedia)Por la Ec. (3.64),
kgf; 73,1678202,02
175234
2
v
BC AB
V f aa
F B
por la Ec. (3.66),
-
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8202,037,8cos2
175
78,3cos2
234
cos2cos2
v
BC
BC
AB
ABV f
aa F
B
Donde
kgf. 71,168
;37,8175
75,25arctg
BV
BC
F
Observación. Comparando los resultados obtenidos por las expresiones (3.64) y
(3.66), verificamos que las diferencias en los valores son insignificantes, de forma queestas fuerzas pueden ser calculadas normalmente a través de la Ec. (3.64), reserv2ando
la Ec. (13.66) para relaciones ah bastante elevadas, que en la práctica no ocurren a
menudo.
3.5.2 Efecto de la Variación de la Temperatura
Los conductores de las líneas de transmisión están sujetos a variaciones de
temperatura bastante elevadas. Su temperatura depende, a cada instante, del equilibrio
entre el calor ganado y el calor cedido al medio ambiente. La ganancia de calor que
experimenta se debe principalmente al efecto Joule de la corriente y también alcalentamiento por el calor solar. Ellos pierden calor hacia el medio ambiente por
radiación y por convección. Las pérdidas por radiación dependen de la diferencia de
temperatura del conductor y del medio ambiente, y las pérdidas por convección, de esamisma diferencia y tambien de la velocidad del viento que los envuelve. La
determinación exacta de su temperatura para las diversas situaciones de combinaciones
de los valores de esos elementos es muy trabajoso y debido a su complejidad solo puede
ser resuelto en términos estadísticos, con base a modelos meteorológicos, de las cargaseléctricas, de los sistemas y de la probabilidad de ocurrir simultáneamente.
En los cálculos mecánicos de los conductores, es usual atribuir a los mismos latemperatura del medio ambiente, con incrementos en el caso de las temperaturas
externas superiores, pues de estos dependen los valores de las flechas máximas, que, en
la fase de proyecto, sirven para escoger opciones de la posición de las estructuras,
verificando que la altura de seguridad mínima este asegurada en las condiciones masdesfavorables: sol intenso y cargas eléctricas elevadas, con ausencia de viento..
Los coeficientes de dilatación térmica lineal de los materiales con que los cables
son fabricados tienen valores significativos, provocando contracciones y dilatacionesconsiderables bajo la acción de la variación de temperatura. Un aumento de temperatura
provoca su dilatación y una reducción de temperatura provoca su contracción. Esas
variaciones de longitud de los conductores son directamente proporcionales a suscoeficientes de dilatación térmica y la variación de temperatura. Sabiendo que la flecha
del conductor depende de su longitud, esta variara de acuerdo con la variación de la
temperatura. Por otro lado, la tracción T 0 es inversamente proporcional al valor de la
-
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CAPITULO 3
flecha; por lo tanto el valor de T 0 variara también con la variación de temperatura del
conductor. Es decir aumentara con la reducción de la temperatura y viceversa.
La forma mas adecuada de calcular esa variación es a través de las llamadas
“ecuaciones de cambio de estado”
. Estas ecuaciones permiten igualmente incluir elefecto del viento sobre los conductores y la variación simultanea de la temperatura y de
las fuerzas del viento.
a) Ecuación de Cambio de Estado – Vano AisladoConsideremos inicialmente un vano aislado de una línea de transmisión, de
longitud A. Sea L1 la longitud del conductor a una temperatura conocida t i. Supongamos
que el conductor este apoyado entre dos estructuras niveladas.
Si la temperatura varia, pasando a un valor t 2, la longitud del conductor variara deigual forma, pasando a
(1.68) [m], 12112 t t L L L t
donde C1 t es el coeficiente de dilatación térmica lineal del conductor.
Estando el cable sujeto en los apoyos, la variación de la longitud que ira a sufrir
esta acompañada de una variación en el valor de la tracción, que pasara al valor .20
T Un
aumento de temperatura provoca un aumento de la longitud del cable y,
consecuentemente, una reducción en la tracción, y viceversa. Esta variación obedece laley de Hooke: “Las deformaciones elásticas son proporcionales a las tensiones
aplicadas”.
Siendo 2mmkgf E el modulo de elasticidad del conductor y 2mmS es el área
de su sección transversal, la deformación elástica en virtud de la variación de la fuerza
de tracción será
(1.69) 12001
ES
T T L
Por tanto la variación de la temperatura del conductor provoca una variación total en su
longitud igual a
(1.70) .12 00112112 ES
T T Lt t L L L
t
Antes de la variación de la temperatura, la longitud del conductor era, de
acuerdo con la Ec, (3.21),
1
112
senh2C
AC L
(3.68)
(3.69)
(3.70)
-
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CAPITULO 3
y, después de esa variación, la longitud será
,2
senh22
22C
AC L
donde respectivamente,
.y 210
2
0
1 p
T C
p
T C
La variación de la longitud será, entonces,
(1.71) .2
senh2
senh21
1
2
212
C
AC
C
AC L L
Para el sistema en equilibrio, obtenemos, igualando (3.70) y (3.71),
)72.1( .2
senh2
senh21
1
2
2
001
12112
C
AC
C
AC
ES
T T Lt t L t
Esta ecuación es trascendente y solo puede ser resuelto por proceso iterativo suponiendo
valores para .20
T Podemos simplificarlo, obteniendo, después de reordenarlo,
(1.73) ,11
2senh
2senh
112 00
1
1
2
2
12
T T ES
C
AC
C
AC
t t
t
la que no elimina las necesidades de procesos iterativos de solución.
Ejemplo 3.15
Un cable Oriole fue tendida entre dos soportes, distanciados entre si 350 m, a una
temperatura de 20 °C, con una tracción horizontal de 1545 kgf. Cual será el valor de la
tracción en ese cable cuando ocurre un descenso de la temperatura de 25 °C
Solución
Los siguientes son datos del cable:
(3.71)
(3.72)
(3.73)
-
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CAPITULO 3
;C11018
;mmkgf 8086
;mm3,210
m;kgf 7816,0
6
2
2
t
E
S
p
Para aplicar la Ec. (3.63), debemos calcular:
.22721,17508853,0senh7144,19762
senh2
;78,136
5588,2
350
2C
A ;27943,1
7816,0
;08853,07144,19762
350
2C
A ;7144,1976
7816,0
1545
1
11
002
0
00
2
1
0
1
22
2
22
1
C
AC
L
T T T
T
p
T C
p
T C
Luego
.122721,17518
10
;0,15453,2108086
11
;7829,136
senh27943,12
senhC
m; 454420,350
6
12
000
0
0
2
2
1
212
2
2
N M
t t t
N T T T ES
M T
T C
A
L
Para ,25 C t dando diversos valores a ,20T obtendremos valores para ,t como
muestra la tabla, hasta llegar a la convergencia con el grado de precisión deseado:
kp20
T M N Ct
1800 175,168467 0,00014996 -26,955
1790 175,170354 0,00014407 -26,030
1785 175,171310 0,00014114 -25,637
1780 175,172275 0,00013819 -25,0951779 175,172468 0,00013761 -25,001
Respuesta
kgf. 177920 T
-
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CAPITULO 3
Conforme se verifica el ejemplo anterior, ese proceso es bastante laborioso y lento
para cálculos manuales, incluso cuando se dispone de las modernas calculadoras de
bolsillo programables. Encontramos un lenguaje con un numero razonable de procesossemigráficos para la solución de ecuaciones de cambio de estado, como, los de Thomas
y Martín.
Si en lugar de calcular por la Ec. (3.21) las longitudes de los cables, empleamos laEc. (3.24) de la parábola,
,24
13
88
3
82
0
22
2
0
2
2
1
1
1
T
A p A
A
T
PA
A A
f A L
,24
12
0
22
2
2
T
A p A L
la variación de longitud será, entonces,
(1.74) ,11
24 20
2
0
32
12
12
T T
A p L L
que igualamos con la Ec. (3.70), para obtener
(1.75) .11
24 20
20
32001
121
12
12
T T
A p
ES
T T Lt t L t
Como la diferencia entre los valores de los vanos A y de las longitudes de los cables L1es muy pequeña, podemos efectuar la sustitución de L1 por A en la Ec. (3.75), que tomara
la forma
(1.76) 2424
22
01220
222
03
0 1
1
22
A ESpT t t ES
T
A ESpT T t
que, como vemos, es una ecuación incompleta de 3er grado, para cuya solución también
son necesarios procesos iterativos, esto hace posible realizarlo de manera más fácil y
rápida.
Ejemplo 3.16
Calcular, usando la Ec. (3.76), la tracción en el cable en las condiciones del
ejemplo anterior.
(3.74)
(3.75)
(3.76)
-
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CAPITULO 3
Solución:
92222
22
0122
0
222
0
3
0
10302,524
3507816,03,210808624
2424 11
22
A ESp
A ESpT t t ES
T
A ESpT T t
;2186,76520510183,2108086
,3142,2221)1545(24
6
12
2
22
t t ES
A ESp
t
Luego:
.10302,59044,88 9203
0 22 T T
Resolviendo por tanteo, obtenemos:
20T 2
02T 2029044,88 T
302
T
2000
18001780
1778
1775
1774
4 × 10
3,24 × 106
3,168 × 106
3,161 × 106
3,151 × 106
3,147 × 106
-0,35562 × 10
-0,28805 × 109
-0,28168 × 109
-0,28105 × 109
-0,28014 × 109
-0,27989 × 109
8,00 × 10
5,832 × 109
5,640 × 109
5,621 × 109
5,592 × 109
5,583 × 109
7,6444 ×10
5,5440 ×109
5,3583 ×109
5,3400 ×109
5,3119 ×109
5,3031 ×109
Respuesta
kgf. 177420 T
Comparando los resultados obtenidos por los dos métodos verificamos que el errores de orden de 0.28%, o sea, en valor absoluto, de 5 kgf. Ese error es insignificante en
términos prácticos, en cuanto el tiempo de cálculo es mucho menor por el método que
emplea la ecuación de la parábola. La diferencia en los valores de las flechas calculadas
con ambos métodos es de 0.018 m, inferior a 0,03% de la flecha total. Errores mayoresque estos ocurren durante el nivelado de los cables (acierto de la flecha para la
temperatura del momento) en el momento de montaje.
3.5.3 Influencia de la Variación Simultánea de la Temperatura y de la Carga de
Viento – Vano Aislado
Vimos en 3.5.1 que la presión del viento sobre los conductores es experimentado
por estos como un aumento virtual en su peso, reflejándose en un aumento de lastracciones en los cables. Por tanto es necesario que se puedan calcular los nuevos valores
de tracción cuando se considera el efecto de la presión del viento, a partir de una
condición o “estado” conocido, es decir, conociendo, por ejemplo, la tracción10
T de los
conductores de una línea, a una determinada temperatura, sin viento, y se desea conocer
la tracción20
T a esa misma temperatura, o a temperaturas diferentes, cuando la línea
-
8/17/2019 Cap03-ComportamientoMecánicoDeConductores (UMSS)
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CAPITULO 3
estuviera sometido a la acción de un viento cuya velocidad esté especificada. O
viceversa: si se conoce la tracción en los cables bajo la acción del viento10
T y se desea
conocer la tracción en un nuevo estado, es decir, sin viento o con una velocidad de
viento diferente y en cualquier temperatura.
Por lo tanto, podemos fácilmente adaptar las ecuaciones de “cambio de estado”,
que acabamos de plantear.
Consideremos un conductor de peso virtual unitario ,mkgf 1 p donde p1 podrá ono considerar el efecto del viento, a una temperatura t 1 [°C], conocida, estando sometido
a una fuerza ,10
T también conocida. Ese es su “estado de referencia”.
Su longitud, por las ecuaciones. (3.21) y (3.24) será, respectivamente:
.24
1y2
senh22
0
221
1
0
1
1
0
1
11
1
T
A p A L
T
Ap
p
T L
Supongamos, ahora, que deseamos determinar el valor de20
T en un nuevo
“estado”, es decir, cuando el peso virtual del cable, bajo la acción de un viento o no,
fuera igual a ,mkgf 2 p a una temperatura prefijada t 2 [°C].En esas condiciones, la longitud respectiva pasara a ser
.24
1y2
senh2
22
2
0
22
22
0
2
2
0
2
T
A p A L
T
Ap
p
T L
Escribiendo las ecuaciones para la diferencia e igualando a la Ec. (3.70),obtenemos:
a)
Para la Ec. (3.73),
(1.77) ,11
2senh
2senh
112 00
1
1
2
2
12
T T ES
C
AC
C
AC
t t t t
en la cual debemos emplear
(1.78) .y2
0
2
1
0
121
p
T C
p
T C
b)
Para la Ec. (3.76), encontraremos
(1.79) 2424
222
01220
2212
03
0 1
1
22
A ESpT t t ES
T
A ESpT T t
En ambas ecuaciones, (3.77) y (3.79), tanto p1 como p2 pueden representar solo el
peso ,mkgf p del conductor como también pr de la Ec. (3.61).
(3.77)
(3.78)
(3.79)
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CAPITULO 3
Ejemplo 3.17
Cual es el valor de la tracción en el cable Oriole de una línea que fue tendida, a
20 °C, con una tracción de 1545 kgf., con vano de 350 m, sin viento, cuando ese mismocable estuviera sometido a la acción de un viento de 110 km/h y a la temperatura de 10
°C. Calcular por las ecuaciones (3.77) y (3.79) y comparar los resultados.
Solución
a) Datos de “estado de referencia”:
m. 350
;mkgf 7816,0
;mkgf 0
C;20
kgf; 1545
1
1
01
A
p p
f
t
T
v
b) Datos de “nuevo estado”:
m. 350
);1.11ejemplover( mkgf 133,1
);1.11ejemplover( mkgf ,82020
C;10
(?);
2
02
A
p
f
t
T
r
v
c)
Solución por la Ec. (3.77), tenemos:
;11,19767816.0
1545
1
0
11
p
T C
;8826,0133,1
2
22
0
0
2
0
2 T T
p
T C
.18
10
3,2108086
00,15451
22,3952
350senh1,1976
7652,1
350senh8826,0
600
0
22
2
T T
T
t
Resolviendo para C102010 t , obtenemos
kp. 212120 T
d) Solución por la Ec. (3.79):
3.11);
3.11);
-
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CAPITULO 3
.087,3061080863,2101018
,10142,1124
350133,13,2108086
24
1.15),Ej.(del 3142,222124
6
12
9
2222
2
2
0
22
1
t t ES
A ESp
T
A ESp
t
luego,
.10142,112272,370 9203
0 22 T T
Resolviendo, obtenemos
kgf. 211720 T
e) Comparando los resultados, vemos, una vez más, que el error cometido con el
empleo de la ecuación de la parábola es perfectamente despreciable, de forma que, para
la gran mayoría de los casos prácticos, la Ec. (3.79) es suficientemente precisa
Ejemplo 3.18
Supongamos ahora que tenemos escogido como “estado de referencia” lassiguientes condiciones:
1.11).Ej.(del kgf 133,1
;hkm110decon viento kgf, 2117
C;10
1
0
1
1
p
T
t
El “nuevo estado” par a el cual deseamos conocer la tracción es el siguiente:
(?)
;sin viento m,kgf 7816,0
C;60
10
2
2
T
p
t
Empleando la ecuación de cambio de estado (3.79), tenemos
,
24
3507816,080863,210
2117106080863,2101018211724
350133,180863,210
22
6
2
22
2
0
3
0 22
T T
o
3.15),
3.11),
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CAPITULO 3
.1030233,55,1899 9203
0 22 T T
Resolviendo, encontramos
kgf. 128920 T
3.5.4 Influencia de la Variación de la Temperatura y de la Carga de Viento sobre
Estructuras en Angulo
Vimos, en la secc