Cap 9 Sec 9.1 9 - MATE 3172 · PDF filesucesiones aritméticas y geométricas: la...
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Cap 9 Sec 9.1 – 9.3
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Una sucesión infinita es una función cuyo
dominio es el conjunto de los enteros
positivos.
Podemos denotar una sucesión como una
lista
a1 , a2 , a3 , … an , …
◦ Donde cada ak es un término de la sucesión y k
indica la posición del término en la sucesión.
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La sucesión también se puede denotar como
un todo, describiendo una fórmula para el
término enésimo usando {an} .
EJEMPLO
1) 2,4,6,8,10, …
2) 3 1na n
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EL DOMINIO SE COMPONE
DE LA POSICIÓN RELATIVA
DE CADA TÉRMINO.
1 2 3 4 5 … DOMIINIO:
3 6 9 12 15 … Alcance:
EL ALCANCE SE
COMPONE DE LOS
TÉRMINOS DE LA
SUCESIÓN.
La regla o ecuación de la sucesión anterior es
an = 3n,
donde an representa el enésimo término de la sucesión.
n
an
La forma enumerada de la sucesión se obtiene escribiendo los términos de la sucesión 3, 6, 9, 12, 15 …
Sucesiones Infinitas
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Escribe los primeros seis términos de la sucesión: an = 2n + 3.
a 1 = 2(1) + 3 = 5 Primer término
a 2 = 2(2) + 3 = 7
a 3 = 2(3) + 3 = 9
a 4 = 2(4) + 3 = 11
a 5 = 2(5) + 3 = 13
a 6 = 2(6) + 3 = 15
EJEMPLO
Solución
Segundo término
Tercer término
Cuarto término
Quinto término
Sexto término
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Escribe los primeros seis términos de la sucesión,
f (n) = (–2)
n – 1 .
f (1) = (–2) 1 – 1 = 1 1er término
2ndo término
3ro término
4to término
6to término
f (2) = (–2) 2 – 1 = –2
f (3) = (–2) 3 – 1 = 4
f (4) = (–2) 4 – 1 = – 8
f (5) = (–2) 5 – 1 = 16
f (6) = (–2) 6 – 1 = – 32
5to término
EJEMPLO
Solución
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Si los términos de una sucesión tienen un patrón
determinado entonces, podemos escribir el enésimo
término de la sucesión y su ecuación.
Describe el patrón de la sucesión, escribiendo la
ecuación del enésimo término de la sucesión
EJEMPLO
1 3
, 1 9
, 1 27
, 1 81
1 2 3 4 n
términos 1 243
5
1 3
4
1 3
1 , 1
3
2 , 1
3
3 , 1
3
5 términos
Solución
1 3
La ecuación del enésimo término es an =
n
−1
3,1
9, −1
27,1
81, …
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2 6 12 20
La ecuación del enésimo término es f (n) = n (n+1).
términos
5(5 +1)
Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del
enésimo término de la sucesión. 2, 6, 12 , 20,….
5
30
1 2 3 4
1(1 +1) 2(2 +1) 3(3 +1) 4(4 +1)
n
Solución
EJEMPLO
5(6) Rescribe términos 1(2) 2(3) 3(4) 4(5)
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Se puede graficar una sucesión representando • en el eje horizontal, los números enteros
positivos (el dominio) • los términos en el eje vertical (el alcance).
EJEMPLO
Traza los puntos (1, 1), (2, 4), (3, 9), . . . , (10, 100).
an = n2
Series 1
2 4 6 8 10
2468
101214161820222426283032343638404244464850525456586062646668707274767880828486889092949698
100102104106108
x
an
(1,1)(2,4)
(3,9)
(4,16)
(5,25)
(6,36)
(7,49)
(8,64)
(9,81)
(10,100)
Gráfica de una sucesión
Trazar la gráfica de:
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Grafiquemos la sucesión
Grafiquemos los pares
ordenados
para n = 1, 2, 3, …
,1
nnn
n n/(n+1)
1
2
3
4
10
1/2
2/3
3/4
4/5
10/11
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Podemos definir una sucesión recursivamente
si declaramos…
◦ el primer término de la sucesión, a1 , y
◦ una regla para obtener cualquier término ak+1
partiendo del término anterior, ak , siempre y
cuando k ≥ 1 .
Estudiando los patrones que surgen en los
términos sucesivos, muchas veces podemos
construir una fórmula general para la
sucesión partiendo de la definición recursiva.
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Ejemplo: Definimos
◦ a1 = 3 , y
◦ ak+1 = 2ak .
Los primeros términos de la sucesión an :
Una forma general sería,
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• La suma de todos los términos de una sucesión se conoce como una sumatoria o una serie.
• Una sumatoria puede ser finita o infinita. • Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma
parcial. • Si la sumatoria es infinita se conoce como la serie de
la sucesión.
Sumatorias y series
. . .
Sucesión
Suma parcial
3, 6, 9, 12, 15
3 + 6 + 9 + 12 + 15
Sucesión infinita
Serie infinita
3, 6, 9, 12, 15, . . .
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + . . .
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Representamos la suma de los primeros m
términos de la sucesión con el símbolo de
sumatoria.
Leemos: la suma desde k igual a 1 hasta m de a sub k.
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Escribe la serie usando la notación sigma.
5 + 10 + 15 + + 100 . . .
Note que el primer término es 5 (1), el segundo es 5 (2),
el tercero es 5 (3), y el último es 5 (20). Por lo tanto los
términos se generan con la fórmula
de la serie se pueden escribir como: an = 5n donde n = 1, 2, 3, . . . , 20
La sumatoria es 5n. 20
n = 1
EJEMPLO
Solución
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Sea ak = k2(k – 3), determinar
𝑘2 𝑘 − 3
4
𝑖=1
𝑘2 𝑘 − 34𝑖=1 =
= 12 1 − 3 + 22 2 − 3 + 32 3 − 3 + 42 4 − 3
= −2 − 4 + 0 + 16
=10
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Note que para cada término, el denominador de la
fracción es 1 más que el numerador. Por lo tanto, los
términos de la serie se pueden escribir como:
ak = donde k = 1, 2, 3, 4 . . . k
k + 1
Escribe la serie en notación de sumatoria (sigma).
La serie se escribe como k = 1
k k + 1
.
EJEMPLO
Solución
1
2+2
3+3
4+4
5+⋯
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FÓRMULAS DE SUMATORIAS
n
i = 1 1 = n
i = n (n + 1)
2
n
i = 1
1
2
3
suma de los números naturales desde 1 hasta n .
suma de los cuadrados de los números naturales desde 1 hasta n .
i 2 = n (n + 1)(2 n + 1)
6
n
i = 1
Suma de n veces 1 .
4 suma de los cubos de los números naturales desde 1 hasta n .
i 3 = n2
(n + 1)2 4
n
i = 1
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Uso de Fórmulas de Sumatorias
¿Cuántas chinas habrá en una pirámide cuadrada de diez capas de altura?
EJEMPLO
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El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas
de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n.
n 1 2 3
an 1 = 1 2 4 = 2 2 9 = 3 2
Podemos observar que en cada etapa la
cantidad de chinas se puede determinar con
la fórmula an = n 2
Solución
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Entonces, sabemos que el enésimo término de la sucesión es an = n
2, donde n = 1, 2, 3, …10
10
n= 1 n
2 = 12+ 22 + + 102 . . .
10(11)(21) =
6
= 385
Habrán 385 chinas en la piramide.
=
6 10(10 + 1)(2 • 10 + 1)
Solución -continuación
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Determinar el siguiente término.
1) 𝑎𝑛 = {6, 12,20, 30,42,… }
EJEMPLOS
2) 𝑎𝑛 = {3, 6, 10, 15, 21,… }
3) 𝑎𝑛 = {0, 1, 1, 2, 3, 5, … }
El siguiente término es 56.
El siguiente término es 28.
El siguiente término es 8.
4) 𝑎𝑛 = {4, 11, 30, 85,… }
El siguiente término es 248.
𝑎𝑛= {6, (6 + 6), (6 + 6 + 8), (6 + 6 + 8 + 10), (6 + 6 + 8 + 10 + 12), … }
𝑎𝑛 = {3, 3 + 3 , 3 + 3 + 4 , 3 + 3 + 4 + 5 , (3 + 3 + 4 + 5 + 6),… }
𝑎𝑛= {0, 1, (0 + 1), (1 + 2), (3 + 2), , … }
𝑎𝑛 = {(1 + 3), (2 + 32), (3 + 33), (4 + 34), … }
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Una sucesión 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … es una sucesión aritmética si existe un número real d tal que para cada entero positivo k,
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑑 El número 𝑑 = 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 se conoce como la diferencia común de la sucesión.
EJEMPLO
diferencia común
diferencia común
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Muestre que la sucesión que se ofrece a continuación es una sucesión aritmética y determine su diferencia común.
Si 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2 , entonces para cada entero k,
Solución
Por lo tanto la sucesión es una sucesión aritmética y su diferencia común es 3.
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El término enésimo, an , de una sucesión
aritmética con una diferencia común d está
dado por
an = a1 + (n – 1)d .
Hallar el una fórmula para el término enésimo
EJEMPLO
diferencia común
an = a1 + (n – 1)d
an =-3 + (n – 1)5
an =-3 + 5n – 5
an =-8 + 5n o an =5n - 8
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diferencia común
an = a1 + (n – 1)d
an =17 + (n – 1)(-7)
an =17 - 7n + 7
an =24 - 7n
EJEMPLO Hallar el una fórmula para el término
enésimo
EJEMPLO Los primeros tres términos de una sucesión
aritmética son: 20, 16.5, y 13. Hallar 𝒂𝟏𝟓.
◦ Primeramente hallamos d:
d = a2 – a1 = 16.5 – 20 = –3.5 .
◦ Luego, usamos la fórmula dada con n = 15
a15 = 20 + (15 – 1)(–3.5) = 20 – 49 = –29 .
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Si el cuarto término de una sucesión aritmética es
5 y el noveno término es 20, determinar 𝑎1 𝑦 𝑎20
Solución
Como hay 4 términos entre 𝑎4 𝑦 𝑎9, la sucesión es
aritmética, podemos razonar que tenemos que
sumar la diferencia común 5 veces para llegar de
𝑎4 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑎9,
𝑎9 - 𝑎4 =5d
20 – 5 = 5d
15 = 5d
d = 3
a4 = a1 + (n– 1)d 5 = a1 + (4 – 1)3 5 = a1 + 9 5 - 9= a1 a1= - 4
a20 = a1 + (n– 1)d a20 = - 4 + (20– 1)3 a20 = - 4 + (19)3 a20 = - 4 + 57 a20= 53
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Una sucesión 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … es una sucesión geométrica si 𝑎1 ≠ 0, y si existe r ≠ 0 tal que para cada entero positivo k,
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘𝑟
El número r=𝑎𝑘+1
𝑎𝑘 se conoce como la razón común
de la sucesión. Ejemplo: Hallar la razón común.
r=−12
6=24
−12=−48
24= −4
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El término enésimo, an , de una sucesión
geométrica con una razón común r está dado
por
an = a1r(n–1) .
Ejemplo: El primer término de una sucesión
geométrica es 3 y la razón común es –½ ;
hallar
◦ los primeros 5 términos
◦ el término enésimo
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Solución ◦ Si multiplicamos a1 = 3 por r = –½ repetidamente,
entonces los primeros 5 términos son
◦ a2 = 3 −1
2= −
3
2
◦ a3 = 3 −1
2−1
2=3
4
◦ a4 = 3 −1
2−1
2−1
2= −
3
8…etc.
◦ La fórmula general la obtenemos usando
an = a1r (n–1)
3 3 3 33, , , , .
2 4 8 16
an = 3 −1
2(n–1)
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El tercer término de una sucesión geométrica
es 5 y el sexto término es -40. Hallar una
fórmula explícita para 𝑎𝑛.
𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒓:
𝑎1𝑟5
𝑎1𝑟2=−40
5
𝑟3 = −8
𝑟 = −83
𝑟 = −2
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐, 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝟏:
an = a1r (n–1) an =
5
4(−2) (n–1)
La fórmula explícita
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Los siguientes teoremas dan una fórmula
para 𝑆𝑛, la suma parcial enésima, de
sucesiones aritméticas y geométricas:
◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión aritmética
es
◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión
geométrica es
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Hallar la suma de los primeros 20 términos de:
𝑎𝑛 = 4, 6, 8, 10, ...
Solución
𝑎𝑛 es una sucesión aritmética con una diferencia común de 2. Para encontrar la suma, necesitamos saber el último término Ahora estamos listos para hallar la suma:
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Hallar la suma de los primeros 5 términos de:
𝑏𝑛 = 1 , 0.3 , 0.09 , …
Solución
Si b1 = 1, r = 0.3 , y n = 5
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Evaluar la serie representado por
1− 3𝑘
14
1
Solución
1 − 3𝑘 es una serie aritmética, la diferencia común es
1 − 3 𝑘 + 1 − 1 − 3𝑘 = 1 − 3𝑘 − 3 − 1 + 3𝑘 = = −3 Queremos sumar -2 + (-5)+ (-8) +…+ (-41)
𝑠𝑛 =14(−2 − 41)
2 =14(−43)
2 = −301
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Si 𝑟 < 1, entonces la serie geométrica
infinita 𝑎1 + 𝑎1𝑟 + 𝑎1𝑟2 +⋯+ 𝑎1𝑟
𝑛−1 +⋯
tiene una suma dada por
𝑆 =𝑎11 − 𝑟
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Expresar 5.427 como un número racional
Solución
El número 5.427 es equivalente en número decimal
a 5.4272727…
5.4272727… es equivalente a
Comenzando en el segundo término la serie
0.027+0.00027+0.0000027… es geométrica con
𝑎1 = 0.027 y r = 0.01
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Expresar 5.427 como un número racional
Solución
La suma de esta serie infinita es
5.427 como un número racional es
𝑆 =𝑎11 − 𝑟
=0.027
1 − .01 =0.027
0.99 =27
990 =3
110
5.4 +3
110= 594
110+3
110= 597
110