1Concreto Armado 1

Captulo 9

Ejemplo Introductorio

Viga simplemente apoyada de 5 m de luz.

Seccin transversal 0.30 x 0.60 m,

Concreto fc = 210 kg/cm2.

Acero fy = 4,200

Viga sin armadura de refuerzo

Ejercicio terico. Es muy raro encontrar vigas

esbeltas como esta (esbeltez geomtrica 5.0/0.6 8.3) construidas de concreto simple.

La idea es la de demostrar la escasa, por no decir

casi nula, resistencia que tendra una viga de estas

proporciones si fuera construida sin refuerzo de

acero.

El concreto simple se utiliza en algunos elementos de poca esbeltez en los cuales las dimensiones de la seccin transversal son comparables con las luces del elemento y en los que los esfuerzos de traccin por flexin son bajos.

Algunos elementos estructurales de concreto simple suelen ser: zapatas, muros de gravedad, calzaduras, losas completamente apoyadas sobre el piso (pavimentos).

Calzadura convencional

2Hiptesis para el anlisis:Secciones planas permanecen planas.

El comportamiento del concreto en traccin y compresin es lineal hasta la falla de la seccin por traccin ( = E ) .

No hay posibilidad de una falla por cortante, ni de pandeo lateral.

El mdulo de rotura en traccin por flexin del concreto se puede estimar mediante fr = 2 fc 29 kg/cm2

t

ft

rotura

fr I

Mfr =

fc

fr

h/2

h/2

rotura = 0.00014 a 0.0002 (traccin por flexin)

La falla en traccin del concreto simple es frgil. La viga colapsar cuando la seccin central, la ms solicitada, alcance el esfuerzo fr.

t

ft

rotura

frI

Mfr =

fc

fr

h/2

h/2

Para la seccin central de la viga, la resistencia nominal ser:

Mn = Mcr 5,220 kg-m (resistencia nominal de la seccin)

322

cm 18,0006

30x606

=== bhSSfr Igfr Mn ==v

maxkg/m67012582205 5,220

8x2 ,,uu lMu =====

max .. . ,pp 250m/kg4146030kg/m3002 xx3 ==

El peso propio de la viga es:

3En el anlisis no se ha considerado ningn coeficiente de seguridad. Si la falla es frgil, sin previo aviso, el coeficiente de seguridad debe ser alto.

Para concreto simple el factor de reduccin de resistencia () que seala el ACI es de 0.65 y si suponemos que la carga que acta sobre la viga est asociada casi toda con carga muerta, tendremos:

Mn Mu 0.65 Mn = 1.4 MservicioLa carga mxima, en condiciones de servicio, que podremos

aplicar a esta viga de manera segura ser 1,670 (0.65/1.4) 775 kg/m es decir, prcticamente el peso propio de la viga.

VIGA DE CONCRETO SIMPLE VIDEO INTEMAC

- Seccin 0.20 x 0.40

- Concreto H-30. Probetas curadas en obra 300 a 320

kg/cm2

- Acero B500SD fy (real) 5,600 kg/cm2

- Armadura infracrtica As traccin 2 barras de 6 mm- Luz entre apoyos 4.90 m , cargas a 1.20 m del apoyo, 2.50 m al centro en flexin pura

VIGA DE CONCRETO ARMADO VIDEO INTEMAC

- Seccin 0.20 x 0.40

- Concreto H-30. Probetas curadas en obra 300 a 320

kg/cm2

- Acero B500SD fy (real) 5,600 kg/cm2

- Armadura As traccin 4 barras de 16 mm- Luz entre apoyos 4.90 m , cargas a 1.20 m del apoyo, 2.50 m al centro en flexin pura

Seccin reforzada con acero en traccin

As = 10 cm2= 10/(30x55) 0.6 %

Seccin reforzada con 10 cm2 de acero

Hiptesis:

Las secciones planas permanecen planas.

No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral.

La resistencia en traccin por flexin del concreto (fr) se puede estimar en 29 kg/cm2.

Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero.

4Seccin sin fisurar

Seccin transformada no agrietada

00022000015 ,cf,Ec

9000220

6102x =,

n

(n 1) As = (9-1)x10= 80 cm2

Atr = 30x60 + 80 = 1,880 cm2

EcEsn = (relacin modular)

Centro de gravedad de la seccin transformada ( Momentos estticos respecto al borde superior), equivale a calcular la posicin del eje neutro c:

1,880 c = 30x60x30 + 80x55 => c31.1 cm

Momento de inercia de la seccin transformada no agrietada:

Itr = (1/12)x30x603 + 30x60x(1.1)2 + 80x(55 - 31.1)2 588,000 cm4

Itr representa un 9% de incremento respecto al momento de inercia de la seccin bruta sin acero de refuerzo ((1/12) 30x603).

Momento que ocasiona el agrietamiento por traccin

El momento de agrietamiento de la seccin es Mcr = 5,900 kg-m, por encima de este valor se espera que el concreto en traccin se agriete.

El momento de agrietamiento se ha incrementado en un 13% de (5,900 vs. 5,220 kg-m).

cfItrMft == 2

mkgMcrM = 900,5000,588

)1.3160(29 x

Esfuerzos en el concreto y acero un instante antes de alcanzar el momento de agrietamiento Mcr:

x 2 2590,000 31.1 31 kg/cm 0.15 210 kg/cm (concreto)588,000

f cfc = =

5Esfuerzos en el concreto y acero un instante antes de alcanzar el momento de agrietamiento Mcr:

(concreto) kg/cm210kg/cm31000,588

1.31000,590 22x

6La inercia se ha reducido, al agrietarse la seccin, de 588,000 a 178,000 cm4.

En este caso, la inercia fisurada o completamente agrietada es aproximadamente el 33% de la inercia bruta.

2x5x kg/cm56000,178

41.15105.6 ==Icr

Mconcreto

2x5xx kg/cm300,1

000,178)41.1555(105.69 ==

IcrMn

acero

0

50

100

150

200

250

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004

La curvatura de agrietamiento (cr) de la seccin es:cr 0.453 x 103 1/m Mcr = 5,900 kg-m

La curvatura luego del agrietamiento () de la seccin es:

= c / c = (fc /Ec) /c = (56 /220,000) /c 0.000255 /0.154 1.65 x 103 1/m M = 6,500 kg-m

EI = M / (Relacin Momento Curvatura)

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

Curvatura * 1000 (1/m)

Mom

ento

(ton

-m)

La curvatura luego del agrietamiento:

1.65 x 103 1/m

Sin fisurar

fc= 31 kg/cm2

31.1

fs= 215 kg/cm2

Mcr=5,900 kgm

2kg/cm29 tfItr 588,000 cm4

fs= 1,300 kg/cm2

M= 6,500

Fisurada

fc= 56 kg/cm2

15.41

Icr 178,000 cm4

Capacidad mxima de la seccin por Esfuerzos Admisibles

Las Normas fijaban, para el diseo en flexin, los siguientes esfuerzos admisibles para la compresin en el concreto y la traccin en el acero:

Concreto: fc admisible = 0.45 fc = 0.45x210 95 kg/cm2Acero: fs admisible = 0.5 fy = 0.5x4,200 = 2,100 kg/cm2

Cuando el acero alcance su esfuerzo admisible, la seccin se encontrar agrietada por flexin.

Los clculos se harn utilizando las propiedades de la seccin transformada agrietada.

Para que esto sea vlido, tendremos que suponer que el concreto se comporta linealmente hasta alcanzar su esfuerzo admisible.

7fc

As fs

30 cm

15.41

39.59n As= 90 cm2

Icr 178,000 cm4

21 kg/cm95=Icr

Mconcreto

22 kg/cm100,2=Icr

Mnacero

m-kg000,1141.15

000,17895x =Mad

m-kg500,1059.399

000,178100,2x

x =Mad

La capacidad de la seccin est controlada por el esfuerzo admisible en el acero.

Para un momento flector de 10,500 kg-m, el esfuerzo mximo en el concreto ser fc 90 kg/cm2 con una deformacin correspondiente de (90/220,000) 0.41x10-3. El acero estar trabajando a 2,100 kg/cm2 con una deformacin correspondiente de (2,100/2x106) 1.05x10-3.

0

50

100

150

200

250

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004

La curvatura de la seccin en servicio es:

M = 10,500 kg-m

= c / c 0.00041 /0.154 2.66 x 103 1/m

EI = M / (Relacin Momento Curvatura) 05

10

15

20

25

0 5 10 15 20

Curvatura * 1000 (1/m)

Mom

ento

(ton

-m)

En condiciones de servicio (esfuerzos admisibles) :

M = 10,500 kg-m 2.66 x 103 1/m

Capacidad ltima o mxima de la seccinEl momento flector de 10,500 kg-m que produce el mximo esfuerzo admisible en el acero, no es la capacidad mxima o ltima de la seccin, es decir el valor para el cual se agota la capacidad de la seccin.

Una vez que se superan los esfuerzos admisibles, la seccin no falla, esta tiene an una reserva de resistencia que es justamente la que aprovecha el Diseo por Resistencia.

Capacidad ltima o mxima de la seccin

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

Curvatura * 1000 (1/m)

Mom

ento

(ton

-m)

8Falla en la zona de compresin Falla en la zona de compresin

Agrietamiento por flexin cerca a la carga mxima

Viga III 01 - 0.20x0.40 - 2-5/8"- lon=4.8m - cargas a los tercios

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Deflexin al centro (mm)

Car

ga T

otal

(kg)

L/240 L/120 L/60 L/40 L/30

Momento = P/2 x 1.6 Ductil. Desplaz. 160/23 7

Viga V2 Falla sbita por cortante

Para calcular la resistencia nominal de la seccin, utilizaremos las siguientes hiptesis:

Las secciones planas permanecen planas.

No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral.

Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero.

Se desprecia el aporte del concreto en traccin a la resistencia de la seccin.

9El acero de refuerzo tiene un diagrama de comportamiento elastoplstico perfecto, con fy = 4,200 kg/cm2, deformacin de fluencia y = 0.0021. El mdulo de elasticidad del acero se considera Es = 2x106 kg/cm2

Traccin (Local) Barra 1/2" (V-2C)

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070

Def. Unitaria (mm/mm)

Esf

uerz

o (k

g/cm

)

terica

Es necesario conocer el diagrama esfuerzo deformacin del concreto en compresin.

0

50

100

150

200

250

0.000 0.001 0.002 0.003

c

fc

Esfuerzos y deformaciones en la seccin en la falla

Asumiremos, con cargo a verificacin, que la falla de la seccin se producir por agotamiento del concreto comprimido y que al acero de refuerzo est en fluencia, esto conducir a una falla dctil de la seccin.

Simplificacin: El concreto sen compresin se puede modelar mediante un diagrama esfuerzo deformacin parablico.

fc = a1 c2 + a2 c a1 = fc / (o)2 a2 = 2 fc / o o = cu = 0.002

0

105

210

0.000 0.001 0.002

fc

c

0

50

100

150

200

250

0.000 0.001 0.002 0.003

c

fc

Cuando el concreto agote su capacidad de deformacin:

Volumen de compresiones: Cc 2/3 c b fcT = As fy = 10 x 4,200 = 42,000 kg.

Cc = T 2/3 c b fc = As fy c = 10 cmResistencia Nominal de la seccin ( Momentos respecto a Cc):

Mn = 42,000 x (55 0.375 x 10) 21,500 kg-m

Verificacin de las deformaciones en el acero, para comprobar su fluencia:

4510002.0 s=

s = 0.009 4.3 y

La curvatura de la seccin cuando se alcanza la resistencia mxima es:

max = c / c = 0.002 /0.10 = 20 x 103 1/m

10

Capacidad ltima o mxima de la seccin

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

Curvatura * 1000 (1/m)

Mom

ento

(ton

-m)

Resistencia Nominal de la seccin de acuerdo al ACI

cm84.73021085.0

42001085.0 xx

x === bcffyAsa)

2( adfyAsMn =

cm22.985.084.7 ==cMn = 21,450 kg-m

Ig = 540,000 cm45,220 kg-m30

29

29

30

28.95,900

31.1

31

29

Itr = 588,000

Icr 178,000

fs = 1,300 0.3 fy6,500

5615.41

fs = 2,100 = 0.5 fy10,500

90 = 0.43 fc

15.41 Icr 178,000

fs= 215

f s = 4,200 = fy

fc = 210 = fc

c = 10 cm

Diagrama Momento Curvatura de la seccin

El comportamiento de la seccin, en todo el intervalo, puede representarse mediante su Diagrama Momento Curvatura.

Inicio de la Fluencia en el Acero

Un estado importante en el comportamiento de secciones de concreto armado, es el correspondiente al inicio de la fluencia del acero de refuerzo.

Este estado precede al de la falla de la seccin y se le asocia el momento de fluencia (My) de la seccin y la curvatura de fluencia (y). En secciones con falla en traccin (subreforzadas) marca el inicio del comportamiento inelstico de la seccin.

11

Traccin (Local) Barra 1/2" (V-2C)

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070

Def. Unitaria (mm/mm)

Esf

uerz

o (k

g/cm

)

terica

Simplificacin: El concreto sen compresin se puede modelar mediante un diagrama esfuerzo deformacin parablico.

fc = a1 c2 + a2 c a1 = fc / (o)2 a2 = 2 fc / o o = cu = 0.002

0

105

210

0.000 0.001 0.002

fc

c

0

50

100

150

200

250

0.000 0.001 0.002 0.003

c

fc

Estado de deformaciones y fuerzas internas en el inicio de la fluencia del acero:

fc = a1 c2 + a2 c a1 = fc / (o)2 a2 = 2 fc / ofc = 210 o = 0.002

0

( )c

Cc fc y b dy= = b ( 0.5 x a2 x c x c a1/ 3 x c x c2) (1)

Estado de deformaciones y fuerzas internas en el inicio de la fluencia del acero:

0

( )c

Cc fc y b dy= = b ( 0.5 x a2 x c x c a1/ 3 x c x c2) (1) Equilibrio Cc = T = As fy = 42,000 kg (2)

Compatibilidad:

c / c = y / (55 c) c = 0.0021 c / (55 c) (3)De (1), (2) y (3)

c 16.92 cm c 0.000933 fc 150 kg/cm2

En el inicio de la fluencia:

0

50

100

150

200

250

0.000 0.001 0.002 0.003

c

fc

Traccin (Local) Barra 1/2" (V-2C)

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070

Def. Unitaria (mm/mm)

Esf

uerz

o (k

g/cm

)

terica

Estado de deformaciones y fuerzas internas en el inicio de la fluencia del acero:

La posicin de la resultante se ubica aproximadamente a 5.9 cm del borde superior.

y = c / c 5.51 x 103 1/m My 20.62 ton-m

12

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

Curvatura * 1000 (1/m)

Mom

ento

(ton

-m)

Inicio de la Fluencia en el acero

R e su lt an t e c o m p res io ne s e n e l c o n c re to = C c = K 1 * f 'c * b * cP o sic io n r esu lta n t e c o m p re s io n e s = K 2 * c

C ua lq u ie r v a lo r d e f 'c c fc / f 'c K 1 K 20 .0 0 0 1 0 .1 0 0 .0 4 9 1 7 0 .3 3 4 7 50 .0 0 0 2 0 .1 9 0 .0 9 6 6 7 0 .3 3 6 2 10 .0 0 0 3 0 .2 8 0 .1 4 2 5 0 0 .3 3 7 7 20 .0 0 0 4 0 .3 6 0 .1 8 6 6 7 0 .3 3 9 2 90 .0 0 0 5 0 .4 4 0 .2 2 9 1 7 0 .3 4 0 9 10 .0 0 0 6 0 .5 1 0 .2 7 0 0 0 0 .3 4 2 5 90 .0 0 0 7 0 .5 8 0 .3 0 9 1 7 0 .3 4 4 3 40 .0 0 0 8 0 .6 4 0 .3 4 6 6 7 0 .3 4 6 1 50 .0 0 0 9 0 .7 0 0 .3 8 2 5 0 0 .3 4 8 0 40 .0 0 1 0 0 .7 5 0 .4 1 6 6 7 0 .3 5 0 0 00 .0 0 1 1 0 .8 0 0 .4 4 9 1 7 0 .3 5 2 0 40 .0 0 1 2 0 .8 4 0 .4 8 0 0 0 0 .3 5 4 1 70 .0 0 1 3 0 .8 8 0 .5 0 9 1 7 0 .3 5 6 3 80 .0 0 1 4 0 .9 1 0 .5 3 6 6 7 0 .3 5 8 7 00 .0 0 1 5 0 .9 4 0 .5 6 2 5 0 0 .3 6 1 1 10 .0 0 1 6 0 .9 6 0 .5 8 6 6 7 0 .3 6 3 6 40 .0 0 1 7 0 .9 8 0 .6 0 9 1 7 0 .3 6 6 2 80 .0 0 1 8 0 .9 9 0 .6 3 0 0 0 0 .3 6 9 0 50 .0 0 1 9 1 .0 0 0 .6 4 9 1 7 0 .3 7 1 9 50 .0 0 2 0 1 .0 0 0 .6 6 6 6 7 0 .3 7 5 0 00 .0 0 2 1 0 .9 9 0 .6 8 2 3 6 0 .3 7 8 2 80 .0 0 2 2 0 .9 9 0 .6 9 6 2 9 0 .3 8 1 7 70 .0 0 2 3 0 .9 8 0 .7 0 8 6 8 0 .3 8 5 3 60 .0 0 2 4 0 .9 7 0 .7 1 9 7 2 0 .3 8 8 9 70 .0 0 2 5 0 .9 6 0 .7 2 9 5 8 0 .3 9 2 5 80 .0 0 2 6 0 .9 6 0 .7 3 8 4 0 0 .3 9 6 1 30 .0 0 2 7 0 .9 5 0 .7 4 6 2 8 0 .3 9 9 6 10 .0 0 2 8 0 .9 4 0 .7 5 3 3 3 0 .4 0 3 0 20 .0 0 2 9 0 .9 3 0 .7 5 9 6 4 0 .4 0 6 3 30 .0 0 3 0 0 .9 3 0 .7 6 5 2 8 0 .4 0 9 5 60 .0 0 3 1 0 .9 2 0 .7 7 0 3 1 0 .4 1 2 6 90 .0 0 3 2 0 .9 1 0 .7 7 4 7 9 0 .4 1 5 7 40 .0 0 3 3 0 .9 0 0 .7 7 8 7 8 0 .4 1 8 6 90 .0 0 3 4 0 .9 0 0 .7 8 2 3 0 0 .4 2 1 5 60 .0 0 3 5 0 .8 9 0 .7 8 5 4 2 0 .4 2 4 3 50 .0 0 3 6 0 .8 8 0 .7 8 8 1 5 0 .4 2 7 0 60 .0 0 3 7 0 .8 7 0 .7 9 0 5 3 0 .4 2 9 6 90 .0 0 3 8 0 .8 7 0 .7 9 2 5 9 0 .4 3 2 2 50 .0 0 3 9 0 .8 6 0 .7 9 4 3 5 0 .4 3 4 7 40 .0 0 4 0 0 .8 5 0 .7 9 5 8 3 0 .4 3 7 1 7

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004

Deformacin c

fc /

f 'c

Notas:c = posicin (profundidad) del eje

neutrob = ancho de la seccinCc = K1 * fc * b * cPosic. Resultante = K2 * c

Las tablas son aplicables a cualquier valor de fc con la condicin que el diagrama constitutivo en compresin sea como el mostrado en la figura (parbola recta descendente con cada de 0.15 fc)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004

Deformacin c

K1K2fc/f'c

Preesfuerzo en el centro de gravedad de la seccin

Antes de aplicar las cargas externas, colocamos a lo largo de la viga en el centroide de la seccin, un cable no adherido de alta resistencia.

Precompresin de 40 toneladas estables.

Ductos para cables de postensadoDuctos en vigas para cables postensados

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Sistema de postensado en losas.

La fuerza estable de 40 ton producir un esfuerzo de compresin en la seccin de 22 kg/cm2 aprox., al cual se sumarn posteriormente los esfuerzos producidos por las cargas externas.

Nuevamente asociaremos la falla de la viga al instante en el cual el esfuerzo de traccin (ft) ocasionado por las cargas externas supere la resistencia en traccin por flexin del concreto (fr).

La falla, al no haber acero de refuerzo adherido, ser frgil sin previo aviso.

Esfuerzos en la seccin central de la viga

2kg/cm29+==AgP

IgM

tf

2kg/cm512229 =+==SM

IgM3

2cm000,18

6== hbS

m-kg200,9000,1851x =M2x kg/cm226030000,401 ==fc

El momento de agrietamiento de la seccin, asociado a una falla frgil, ser 9,200 kg-m.

Los esfuerzos en la seccin en el instante del agrietamiento son:

-22+51

-51-73 kg/cm2 0.35 fc

+29 kg/cm2

42.94

17.06

La precompresin ha modificado el momento de agrietamiento y en consecuencia la resistencia de la seccin, de 5,220 (caso de la viga sin ningn refuerzo) a 9,200 kg-m. Incremento del 75% aproximadamente.

Ntese que en los clculos no se ha considerado ningn coeficiente de seguridad.

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Cable de preesfuerzo excntrico

Cable recto no adherido 0.20 m por debajo del centroide de la seccin.

Adems de la fuerza axial, se presenta un momento flector producido por la excentricidad del cable de 40x0.2 = 8 ton-m.

Seccin del apoyo.

Seccin central:Esfuerzos en la seccin central, Fibra Inferior:

-22 - 44 + ft = 29 ft = + 95 kg/cm2

Mmax = ft S = 95x18,000 = 17,100 kg-m.

Este momento causar el agrietamiento por flexin de la seccin y en consecuencia, para este caso particular, la falla de la viga.

+ 44

- 44

8 tm

40 t

17.1 tm

+ 95- 22

- 22 - 95 - 73 kg/cm2 0.35 fc

+ 29 kg/cm2

42.9

17.1

Verificacin de los esfuerzos en la seccin central