Cap. 4: TEOR IA DE AUTOMATAS · 2019-04-03 · Entrada: cadena de s mbolos de algun alfabeto nito....
265
AUT ´ O– MATAS Aut´omatas Lenguajes AFD Lenguajes regulares AFND Caracterizaci´on de Kleene K(Σ) K(Σ) y los conjuntos regulares M´ aquinas Secuenciales M´ aquinas de Turing Configuraciones Computaciones Lenguajes computables Ejemplos Codificaci´ on de m´ aquinas Un lenguaje no computable Curso de posgrado MATEM ´ ATICA DISCRETA T. N. Hibbard - J. F. Yazlle Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de Salta Cap. 4: TEOR ´ IA DE AUT ´ OMATAS
Transcript of Cap. 4: TEOR IA DE AUTOMATAS · 2019-04-03 · Entrada: cadena de s mbolos de algun alfabeto nito....
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Curso de posgrado MATEMATICA DISCRETA
T. N. Hibbard - J. F. Yazlle
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Salta
Cap. 4: TEORIA DE AUTOMATAS
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.
|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.
ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0
Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :
La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .
Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.
u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.
U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}
Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:
Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.
Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.
Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K
se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}
L = {0n1n : n ∈ N}= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}
Σ = {0, 1}L = {0n : n es numero primo}
= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}
Σ = {0, 1}L = {0n : n es numero primo}
= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
L = {0n : n es numero primo}
= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion
hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk ,
unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u
es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K )
se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε
⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ),
construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K )
IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I}
FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F
{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}
∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:
√cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.
√la union de dos conjuntos regulares es regular.
√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.
√la union de dos conjuntos regulares es regular.
√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.
√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.√
la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.√
la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√
U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.√
la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√
U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.√
la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√
U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito)
y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K ,
para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ)
y ε /∈ Aqp.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J)
, el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI).
Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}
tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ)
y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T
. Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Ejemplo
Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0
δ, λ 0 1
0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Ejemplo
Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0
δ, λ 0 1
0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Ejemplo
Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0
δ, λ 0 1
0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.
λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I),
definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.
Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))
IB = (I, IA)FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta)
conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆,
tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗,
la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u
(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u))
es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1)
tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j),
escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando
δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde
• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b
• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk
• d = I =⇒ j = i − 1d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M
es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que
ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.
En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes computables
Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗
si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes computables
Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes computables
Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗
si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes computables
Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes computables
Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗
si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes computables
Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes computables
Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio
. si (leo β) aceptar
. si (leo 0)
. . escribir β
. . buscar β a derecha
. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar
. si (leo 0)
. . escribir β
. . buscar β a derecha
. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0)
. . escribir β
. . buscar β a derecha
. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β
. . buscar β a derecha
. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha
. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1). . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1). . . escribir β. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1). . . escribir β. . . buscar β a izquierda. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1). . . escribir β. . . buscar β a izquierda. . . avanzar una posicion. . . repetir desde inicio
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}
si (leo 0 o 1)
. volver cabezala primera posicion
. entregar controla M del ejemplo anterior
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}
si (leo 0 o 1). volver cabezal
a primera posicion
. entregar controla M del ejemplo anterior
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}
si (leo 0 o 1). volver cabezal
a primera posicion. entregar control
a M del ejemplo anterior
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Con ∆ = {0, 1, β} se puede simular cualquier M
∆ = {a, b, c , d , β}
a↔ 00b ↔ 01c ↔ 10d ↔ 11
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Con ∆ = {0, 1, β} se puede simular cualquier M
∆ = {a, b, c , d , β}
a↔ 00b ↔ 01c ↔ 10d ↔ 11
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ.
Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N.
Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆,
si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)
Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1
de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing
(y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.
M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.
Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L,
es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
¿Que pasa con U?
Dada una maquina de Turing M cualquiera:
U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F
⇐⇒ M(c(M)) no para
¿Y si M = U?
U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para
Contradiccion que proviene de suponer L computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
¿Que pasa con U?
Dada una maquina de Turing M cualquiera:
U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F⇐⇒ M(c(M)) no para
¿Y si M = U?
U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para
Contradiccion que proviene de suponer L computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
¿Que pasa con U?
Dada una maquina de Turing M cualquiera:
U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F⇐⇒ M(c(M)) no para
¿Y si M = U?
U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para
Contradiccion que proviene de suponer L computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
¿Que pasa con U?
Dada una maquina de Turing M cualquiera:
U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F⇐⇒ M(c(M)) no para
¿Y si M = U?
U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para
Contradiccion que proviene de suponer L computable.
