Cap 1 Conjuntos y Funciones

Moisés Villena Muñoz

Capítulo I CONJUNTOS

1. NOTACIONES { }1,2,3, ∗= = O { }0 0,1,2,3,= Naturales

{ }, 3, 2, 1,0,1,2,3,= − − − Enteros

{ }0∗ = −

{ }; , ; 0p p q qq= ∈ ≠ Racionales

∅ Conjunto vacio

2. RELACIÓN DE CONTENENCIA Subconjunto: A B⊂ Subconjunto Propio: A B o lo que es lo mismo A B⊂ y A B≠ Notación: { }x X x X∈ ⇔ ⊂

Propiedades: A A⊂ ; para todo A Relación Reflexiva ( ) ( ) ( )A B B A A B⎡ ⊂ ∧ ⊂ ⎤ ⇒ =⎣ ⎦ Relación antisimétrica

( ) ( ) ( )A B B C A C⎡ ⊂ ∧ ⊂ ⎤ ⇒ ⊂⎣ ⎦ Relación Tranasitiva

3. CONJUNTO DE PARTES DE X , CONJUNTO DE

SUBCONJUNTOS DE X . Lo denotaremos como ( )P X

Está incluido el ∅ y el propio X ; es decir ( )P X ≠ ∅

4. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIÓN: { };A B x x A x B∪ = ∈ ∨ ∈

INTERSECCIÓN: { };A B x x A x B∩ = ∈ ∧ ∈ Si A B∩ = Φ entonces A y B son disjuntos DIFERENCIA: { };A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉ Si B A⊂ entonces A B− se llama complemento de B en relación a A

cA AA B C B B− = =

B

A

Cap.I Moisés Villena

2

4.1 Propiedades. Tomando los complementos en relación al conjunto fundamental E Sean ,A B E⊂ , entonces:

• ( )ccA A=

• c cA B B A⊂ ⇒ ⊂ • cA A E= Φ⇒ = • ( )c c cA B A B∪ = ∩

• ( )c c cA B A B∩ = ∪ 5. PAR ORDENADO

Se escribe como ( ),a b ; donde " "a se la llama primera coordenada y a " "b segunda coordenada

5.1 Igualdad ( ) ( ), ,a b a b a a b b′ ′ ′ ′= ⇔ = ∧ =

5.2 Producto cartesiano ( ){ }, : ,A B a b a A b B× = ∈ ∈

2A B A B A A A= ⇒ × = = × Observación. La diagonal de 2A es un subconjunto de A A× A AΔ ⊂ × donde ( ){ }, :a a a AΔ = ∈ Comentario.

( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, : ,A A a a a A a A× = ∈ ∈

( ){ }1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , : , ,A A A a a a a A a A a A× × = ∈ ∈ ∈

( ){ }( ){ }

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2

, , , : , , ,

, , , : , 1,2, ,n n n n

n i i

A A A a a a a A a A a A

a a a a A i n

× × × = ∈ ∈ ∈

= ∈ =

( ){ }1 2 1

1

: , ; 1,2,

n n nn

n n nn

A A A A A

a a A n n

+∞

+=

∈

× × × × × =

= ∈ ∈ =

∏

Pregunta: ¿ Defina ( ){ }: ,i i i iii

A a a A i∈

∈

= ∈ ∈∏ ?


3

6. FUNCIONES

Se la denota de la siguiente manera: :f A B ; donde A se llama DOMINIO y B CONTRADOMINIO

Tenemos una Regla de correspondencia que asocia a cada elemento de A un único elemento de B .

Si decimos que ( )x A f x B∈ ∈ , entonces una función se caracteriza por:

( ), !x A f x B∀ ∈ ∃ ∈ 6.1 Gráfico (Grafo)

El gráfico de :f A B , se define como:

( ) ( ) ( ){ }, :G f x y A B y f x= ∈ × =

Se dice que: ( ) ( )f g G f G g= ⇔ =

6.2 FUNCIÓN INYECTIVA Una función :f A B es Inyectiva si y sólo si ( ) ( )( ) ( ),x y A f x f y x y⎡ ⎤∀ ∈ = ⇒ =⎣ ⎦

o lo que es lo mismo ( ) ( ) ( )( ),x y A x y f x f y⎡ ⎤∀ ∈ ≠ ⇒ ≠⎣ ⎦

Ejemplo. La función inmersión

( ):

i A B B

x i x x⊂

=

6.3 FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Una función :f A B es Sobreyectiva si y sólo si ( ); ;y B x A y f x∀ ∈ ∃ ∈ = Ejemplo. La función proyección subinmersión

( ) ( )

1

1

: , ,

A B Aa b a b a

ππ

×

=

( ) ( )

2

2

: , ,

A B Aa b a b b

ππ

×

=

6.4 FUNCIÓN BIYECTIVA

La función :f A B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo La función identidad

( )

:

X

X

id X Xx id x x=


4

6.5 IMAGEN. Sea :f A B y se X A⊂ . La Imagen de X por la función f se denota como ( )f X y se define de la siguiente manera:

( ) ( ){ } ( ){ }: : ,f X f x x X y B y f x x X= ∈ = ∈ = ∈ Observación. :f A B es sobreyectiva si y sólo si ( )f A B=

6.5.1 Propiedades.

1. ( ) ( ) ( )f X Y f X f Y∪ = ∪ Prueba

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

tal que

y f X Y x X Y y f xx X x Yy f X y f Y

y f X f Y

∈ ∪ ⇒ ∃ ∈ ∪ =

⇒ ∈ ∨ ∈

⇒ ∈ ∨ ∈

⇒ ∈ ∪

Por otro lado ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

tal que

y f X f Y y f X y f Y

x X x Y y f x

x X Y

y f X Y

∈⎡ ∪ ⎤ ⇒ ∈ ∨ ∈⎣ ⎦⇒ ∃ ∈ ∨ ∃ ∈ =

⇒ ∃ ∈ ∪

⇒ ∈ ∪

2. ( ) ( ) ( )f X Y f X f Y∩ ⊂ ∩ Prueba

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

tal que

y f X Y x X Y f x yx X x Yy f X y f Y

y f X f Y

∈ ∩ ⇒ ∃ ∈ ∩ =

⇒ ∈ ∧ ∈

⇒ ∈ ∧ ∈

⇒ ∈ ∩

Por otro lado ( ) ( ) ( ) ( )y f X f Y y f X y f Y∈⎡ ∩ ⎤ ⇒ ∈ ∧ ∈⎣ ⎦

Esto no quiere decir que exista algún [ ]x X Y∈ ∩ ; por ejemplo, sea

{ }: 0X x x= ∈ ≥ , { }: 0Y x x= ∈ ≤ y sea :f tal que ( ) 2f x x= .


5

Entonces ( )f X X= , ( )f Y X= y ( ) ( )f X f Y X∩ = . Sin embargo,

{ }0X Y∩ = y por tanto ( ) { }( ) { }0 0f X Y f X∩ = = ≠

3. ( ) ( )X Y f X f Y⊂ ⇒ ⊂ Prueba. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

X Y x X x Y

f x f X f x f Y

f X f Y

⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈

⇒ ∈ ⇒ ∈

⇒ ⊂

4. ( )f ∅ =∅ Prueba. Consideremos un y tal que ( )y f x∈ ∅ ⇒ ∃ ∈∅ . El consecuente de esta aplicación es falso, por tanto su antecedente debe ser falso también para que la implicación sea verdadera, entonces ( ) ( )y f f∉ ∅ ⇒ ∅ =∅ .

6.6 IMAGEN INVERSA Dada una función :f A B , sea Y B⊂ , la Imagen Inversa de Y por f , denotada como

( )1f Y− , es:

( ) ( ){ }1 :f Y x A f x Y− = ∈ ∈ 6.6.1 Propiedades. Sea :f A B , con Y B⊂ y Z B⊂ , entonces:

1. ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∪ = ∪ Prueba.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

1 1

1 1

x f Y Z f x Y Z

f x Y f x Z

x f Y x f Z

x f Y f Z

−

− −

− −

∈ ∪ ⇒ ∈ ∪

⇒ ∈ ∨ ∈

⇒ ∈ ∨ ∈

⎡ ⎤⇒ ∈ ∪⎣ ⎦

En el otro sentido

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

1 1 1 1

1

x f Y f Z x f Y x f Z

f x Y f x Z

f x Y Z

x f Y Z

− − − −

−

⎡ ⎤∈ ∪ ⇒ ∈ ∨ ∈⎣ ⎦⇒ ∈ ∨ ∈

⇒ ∈ ∪

⇒ ∈ ∪

Lo cual demuestra que ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∪ = ∪


6

2. ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∩ = ∩ Prueba.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

1 1

1 1

x f Y Z f x Y Z

f x Y f x Z

x f Y x f Z

x f Y f Z

−

− −

− −

∈ ∩ ⇒ ∈ ∩

⇒ ∈ ∧ ∈

⇒ ∈ ∧ ∈

⎡ ⎤⇒ ∈ ∩⎣ ⎦

En el otro sentido

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

1 1 1 1

1

x f Y f Z x f Y x f Z

f x Y f x Z

f x Y Z

x f Y Z

− − − −

−

⎡ ⎤∈ ∩ ⇒ ∈ ∧ ∈⎣ ⎦⇒ ∈ ∧ ∈

⇒ ∈ ∩

⇒ ∈ ∩

Lo cual demuestra que ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∩ = ∩

3. ( ) ( )( )1 1 ccf Y f Y− −=

Prueba. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1

1 1

1

c c

c

x f Y f x Y

f x B f x Y

x f B x f Y

x f Y

−

− −

−

∈ ⇔ ∈

⇔ ∈ ∧ ∉

⇔ ∈ ∧ ∉

⇔ ∈

En el otro sentido

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

1 1

1

c

c

c

x f Y x A x f Y

f x B f x Y

f x Y

x f Y

− −

−

∈ ⇒ ∈ ∧ ∉

⇒ ∈ ∧ ∉

⇒ ∈

⇒ ∈

Esto demuestra que ( ) ( )( )1 1 ccf Y f Y− −=

4. ( ) ( )1 1Y Z f Y f Z− −⊂ ⇒ ⊂ Prueba. Tomando Y Z⊂ , entonces se cumple que ( ) ( )f x Y f x Z∈ ⇒ ∈ entonces

también se cumple que ( ) ( )1 1x f Y x f Z− −∈ ⇒ ∈ , por tanto ( ) ( )1 1f Y f Z− −⊂


7

5. ( )1f B A− = Prueba. Suponga que ( ) ( )1x f B f x B−∈ ⇒ ∈ y por definición de función el dominio

debe ser A ; es decir ( )1f B A− = . En sentido inverso, se lo observa rápidamente.

6. ( )1f − Φ = Φ Prueba. Suponga que ( ) ( )1x f f x−∈ Φ ⇒ ∈Φ , el consecuente es falso, por tanto para que la proposición sea verdadera se requiere que el antecedente también sea falso; es decir ( )1f − Φ no tenga elementos, por tanto ( )1f − Φ = Φ . En sentido contrario es bastante obvia la demostración.

6.7 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean :f A B y :g B C donde B B⊂ . Entonces

( )( ) ( )( ):

x

g f A C

x g f g f x=

Observación: La composición es asociativa. Sean :f A B , :g B C y :h C D . Entonces ( ) ( ) :h g f h g f A D= Prueba.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )h g f x h g f x h g f x h g f x⎡ ⎤ = = = ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Proposición.

1. Si :f A B , :g B C son inyectivas entonces :g f A C es Inyectiva. Prueba. Si f es inyectiva se cumple que ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ ⎡ ≠ ⇒ ≠ ⎤⎣ ⎦ ,

pero ( ) ( )1 2,f x f x B∈ y si g es inyectiva se cumple que

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2f x f x g f x g f x≠ ⇒ ≠ , lo cual demuestra que g f es inyectiva.


8

2. Si :f A B , :g B C son sobreyectivas entonces :g f A C es sobre.

Prueba. Si :f A B es sobreyectiva entonces ( ), tal que =b B a A b f a∀ ∈ ∃ ∈ y si

:g B C es sobreyectiva entonces ( ), tal que =c C b B c f b∀ ∈ ∃ ∈ . Veamos ahora la composición :g f A C . Escojamos un c C∈ , entonces existirá ( )1 b f c B−= ∈ y si tomamos ( )1 b f c B−= ∈ exististirá también

( )( )1 1a g f c A− −= ∈ . Esto demuestra que :g f A C es sobreyectiva.

3. Si :f A B , :g B C son biyectivas entonces :g f A C es

biyectiva. Esto se demuestra como consecuencia de las dos proposiciones anteriores.

Observación.

Cualquier función :f A B siempre se puede escribir como la composición de una función inyectiva y otra sobre. Es decir 1f h f= donde h es inyectiva y 1f es sobre.

Prueba.

Sea ( )( ) ( )

1

1

:

f A f A

x f x f x= que es sobre.

Y sea ( ):

h f A B

y y donde ( )y f x= . La función Identidad que es Inyectiva.

Entonces ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 ;h f x h f x h f x f x x A= = = ∀ ∈ , por tanto 1h f f= Propiedad

Sean :f A B , :g B C y sean X A⊂ y Y C⊂ , entonces tenemos

( )( ) ( )( )g f X g f X= y se cumple que ( ) ( ) ( )( )1 1 1g f Y f g Y− − −= .

Prueba.

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )

1 1 1

1

x f g Y f x g Y

g f x Y

g f x Y

x g f Y

− − −

−

⎡ ⎤∈ ⇔ ∈⎣ ⎦⇔ ∈

⇔ ∈

⇔ ∈


9

7. RESTRICCIÓN Sean :f A B y sea X A⊂ . La Restricción denotada como xf , es una función

definida de la siguiente manera:

( ) ( )

:

x

x x x

f X B

x f f=

Observación. Tomemos la inclusión

( )

: x

i X A Ax i x⊂

=

Entonces :xf f i X B=

8. EXTENSIÓN

Sea X A⊂ y sea :g X A la restricción de una función :f A B al conjunto X ,

decimos que f es una extensión de g . Observación. Cuidado con las Extensiones Ejemplo 1

Sea { }: 0

1

f

xx

− de clase { }( )1 0C − como ( ) 2

1f xx

′ = − , entonces f no

tiene una extensión continua en Ejemplo 2

Sea ( )

0

: 0,1

1 1

n

n

g D

z zz

+∞

=

=−∑

no se puede extender analíticamente, ni siquiera

continuamente en una vecindad que contiene al uno.


10

9. INVERSA IZQUIERDA

Sean :f A B , :g B A . g es una Inversa Izquierda de f si y sólo si :Ag f id A A= . Es decir, ( )( ) ;g f a a a A= ∀ ∈ .

Teorema :f A B posee Inversa Izquierda si y sólo si f es inyectiva. Prueba. Primero suponga f posee inversa izquierda entonces existe :g B A tal que

( )( ) ( )( );g f a a a A g f a a= ∀ ∈ ⇔ = . Si ,x y A∈ entonces ( )( )g f x x= y

( )( )g f y y= . Entonces se concluye que si ( ) ( )f x f y x y= ⇒ = ( f es inyectiva).

Ahora suponga que f es inyectiva , entonces se cumple que ( ) ( )f x f y x y= ⇒ = . Sea

( )g y x= entonces ( )( )g f x x= como también ( )( )g f y y= , se concluye que existe

g ; es decir f posee inversa izquierda.

10. INVERSA DERECHA La función :g B A es una inversa derecha de :f A B si :Bf g id B B= donde ( )( )f g b b= . Teorema :f A B posee inversa derecha si y sólo si f es sobre. Prueba Supongamos que f es sobre, entonces ( ), ,y B x A f x y∀ ∈ ∃ ∈ = , esto implica que

( )1f y− ≠ ∅ . Por el teorema de elección, escogemos ( )1x f y−∈ ; definamos

( ),y g y x∀ = , entonces ( )( ) ( )( ) ( ) Bf g y f g y f x y id= = = = . Por lo tanto f posee inversa derecha. Ahora supongamos que f posee inversa derecha, entonces ( )( ) ,f g b b b B= ∀ ∈ entonces f es sobre.

11. FUNCIÓN INVERSA

A la función :g B A se la llama Inversa de :f A B si y sólo si :Ag f id A A= y :Bf g id B B= .


11

Conclusión. :f A B posee inversa si y sólo si f es una biyección.

Prueba. Primero, si :f A B posee inversa entonces existe :g B A tal que g f f g= entonces g es inversa izquierda de f , por tanto f es inyectiva; y también g es inversa derecha de f , por tanto f es sobre. Esto indica que f es una biyección. Segundo, Si f es una biyección, entonces es inyectiva y sobreyectiva, entonces tiene una inversa izquierda y una inversa derecha, por tanto posee inversa. Proposición

Si una función :f A B posee inversa entonces ella es única. Prueba. Sean :g B A y :h B A inversas de f . Entonces: ( ) ( )B Ah h id h f g h f g id g g= = = = = NOTACIÓN Llamaremos 1 :f B A− la inversa de una biyección :f A B Observación. Si :f A B y :g B C son biyectivas, entonces ( ) 1 1 1g f f g− − −=

12. FAMILIAS

Sea L un Conjunto de Índices y sea X un conjunto. Una Familia de Elementos de X con índices en L es una función x tal que:

:

l

x L Xl x

Usaremos la notación ( )l l Lx

∈para la familia de elementos de un conjunto X .

Ejemplo. A la función { }: 1,2, , x L n X= se le llama n-uplas de elementos de X . Es decir:

( ) ( )1 2, , , nLx x x x xλ λ∈

==

Definiciones. Sea ( ) L

Aλ λ∈una familia de Conjuntos, se define:

La UNION DE FAMILIAS como { }00: ;L

A x L x Aλ λλ

λ∈

= ∃ ∈ ∈∪

La INTERSECCIÓN DE FAMILIAS como { }: ;L

A x x A Lλ λλ

λ∈

= ∈ ∀ ∈∩


12

Ejemplo.

Si { }1,2, ,L n= , entonces 1

n

iL i

A Aλλ∈ =

=∪ ∪ y 1

n

iL i

A Aλλ∈ =

=∩ ∩

Una Familia con Índices en el conjunto { }1,2,3,∗ = o { }0,1,2,3,= se llama una SUCESIÓN. Es decir:

:

n

x Xn x

Donde ( ) ( )1 2, ,n nx x x x

∈= =

• Una SUCESIÓN DE CONJUNTOS sería ( )n n

A∈

. Entonces:

1. 0 1 20

n nn n

A A A A A∞

∈ =

= = ∪ ∪ ∪∪ ∪

2. 0 1 20

n nn n

A A A A A∞

∈ =

= = ∩ ∩ ∩∩ ∩

Proposición.

Sea ( ) LAλ λ∈

una familia de Conjuntos de un conjunto fundamental X , entonces:

1. c

c

L L

A Aλ λλ λ∈ ∈

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ ∩ ; y

2. c

c

L L

A Aλ λλ λ∈ ∈

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∪

Prueba. 1.

( ),

,

,

c

L

c

c

L

x A L x A

L x A

L x A

x A

λ λλ

λ

λ

λλ

λ

λ

λ

∈

∈

⎛ ⎞∈ ⇔ ¬ ∃ ∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ ∀ ∈ ∉

⇔∀ ∈ ∈

⇔ ∈

∪

∩


13

2.

( ),

,

,

c

L

c

c

L

x A L x A

L x A

L x A

x A

λ λλ

λ

λ

λλ

λ

λ

λ

∈

∈

⎛ ⎞∈ ⇔ ¬ ∀ ∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ ∃ ∈ ∉

⇔ ∃ ∈ ∈

⇔ ∈

∩

∪

PROPIEDADES. Sea :f A B , consideremos una familia ( ) L

Aλ λ∈ de subconjuntos de A y una familia

( ) MBμ μ∈

de subconjuntos de B . Entonces:

1. ( )L L

f A f Aλ λλ λ∈ ∈

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ ∪

Prueba.

( ) ( )

( )( )

( )

tal que

, ,

,

L L

L

y f A x A y f x

L x A y f x

L y f A

y f A

λ λλ λ

λ

λ

λλ

λ

λ

∈ ∈

∈

⎛ ⎞∈ ⇔ ∃ ∈ =⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔ ∃ ∈ ∈ =

⇔ ∃ ∈ ∈

⇔ ∈

∪ ∪

∪

2. ( )L L


⎛ ⎞⊂⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∩

Prueba.

( )

( )( )

( )

tal que

, ,

,

L L

L

y f A x A y f x

x A L y f x

L y f A

y f A

λ λλ λ

λ

λ

λλ

λ

λ

∈ ∈

∈

⎛ ⎞∈ ⇔ ∃ ∈ =⎜ ⎟

⎝ ⎠⇒ ∈ ∀ ∈ =

⇒∀ ∈ ∈

⇒ ∈

∩ ∩

∩

O también

Es fácl observar que ( ) ,iL

f A f A iλλ∈

⎛ ⎞⊂ ∀⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ , entonces ( )

L L


⎛ ⎞⊂⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∩


14

3. ( )1 1

M M

f B f Bμ μμ μ

− −

∈ ∈

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ ∪

Prueba.

( )

( )( )

( )

1

1

1

,

,

M M

u M

x f B f x B

M f x B

M x f B

x f B

μ μμ μ

μ

μ

μ

μ

μ

−

∈ ∈

−

−

∈

⎛ ⎞∈ ⇔ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔ ∃ ∈ ∈

⇔ ∃ ∈ ∈

⇔ ∈

∪ ∪

∪

4. ( )1 1

M M

f B f Bμ μμ μ

− −

∈ ∈

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∩

Prueba.

( )

( )( )

( )

1

1

1

,

,

M M

M

x f B f x B

f x B M

x f B M

x f B

μ μμ μ

μ

μ

μμ

μ

μ

−

∈ ∈

−

−

∈

⎛ ⎞∈ ⇔ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔ ∈ ∀ ∈

⇔ ∈ ∀ ∈

⇔ ∈

∩ ∩

∩

13. PRODUCTO CARTESIANO

i. Sean 1 2, , , nA A A conjuntos, entonces:

( ){ }

{ }( )

1 2 1 2 1 11

1 2

, , , : , ,

: 1,2, ,

; 1,2, ,

n

n i n n ni

n

i i

A A A A A a a a a A a A

n A A A

i a i a A i n

=

= × × × = = = ∈ ∈

⎧ ⎫∪ ∪ ∪⎪ ⎪= ⎨ ⎬= ∈ =⎪ ⎪⎩ ⎭

∏ a

a

ii. Sea ( ) LAλ λ∈

una familia de Conjuntos, entonces:

( ){ }

( ) ( )

: ;

: ; ;

LL

L

A A a a A L

L A a a A L

λ λ λ λλλ

λ λ λλ

λ

λ λ

∈∈

∈

= = ∈ ∀ ∈

⎧ ⎫= = ∈ ∀ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

∏

∪a


15

14. PROYECCIÓN

( )

0 0

0

:

L

L

A A A

a a a

λ λ λλ

λ λλ

π∈

∈

=

=

∏

Es sobreyectiva para todo 0 Lλ ∈

EJERCICIO 4 a. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∪ × = × ∪ ×

Prueba. ( ) ( ) ( ) [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )

,

, ,

x y A B C x A B y C

x A x B y C

x A y C x B y C

x y A C x y B C

∈⎡ ∪ × ⎤ ⇔ ⎡ ∈ ∪ ⎤ ∧ ∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇔ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈

⇔ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈

⇔ ⎡ ∈ × ⎤ ∨ ⎡ ∈ × ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ,x y A C B C⇔ ∈⎡ × ∪ × ⎤⎣ ⎦

b. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∩ × = × ∩ × Prueba.

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

,

, ,

,

x y A B C x A B y C

x A x B y C

x A y C x B y C

x y A C x y B C

x y A C B C

∈ ∩ × ⇔ ∈ ∩ ∧ ∈

⇔ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈

⇔ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈

⇔ ∈ × ∧ ∈ ×

⇔ ∈ × ∩ ×

c. ( ) ( ) ( )A B C A C B C− × = × − ×

( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − × Prueba.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

,

,

,

x y A B C x A y B C

x A y B y Cx A y B x A y C

x y A B x A y C

x y A B

∈ × − = ∈ ∧ ∈ −

= ∈ ∧ ∈ ∧ ∉= ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∉

= ∈ × ∧ ¬ ∉ ∧ ∉

= ∈ × ( )( )x A y C∧¬ ∉ ∨ ∈


16

d. ,A A B B A B A B⊂ ⊂ ⇒ × ⊂ × Prueba. ( ) ( ) ( ) ( ), ,x y A B x A y B x A y B x y A B∈ × ⇔ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ×

EJERCICIO 5 Sea la función :f A B . Entonces: a. ( )( )1 ;f f X X X A− ⊃ ∀ ⊂

Prueba. ( )( ) ( ) ( )

( )( )

1

1

x f f X f x f X

X f f X

−

−

∈ ⇔ ∈

⇔ ⊂

b. ( )( )1 es inyectiva ;f f f X X X A−⇔ = ∀ ⊂

Prueba. Suponga que f sea inyectiva, entonces:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

11 1

12 2

x f f X f x f X

x f f X f x f X

−

−

∈ ⇔ ∈

∈ ⇔ ∈

Si ( ) ( )1 2f x f x= entonces ( )( )1f f X X− =

Ahora suponga que ( )( )1f f X X− = . Entonces ( )( )11 1f f x x− = y

( )( )12 2f f x x− = , se observa que ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇒ = , f es inyectiva.

c. ( )( )1 ;f f Y Y Y B− ⊂ ∀ ⊂

Prueba. ( )( ) ( ) ( )1 1y f f Y x f Y f x Y− −∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ . Así ( )( )1f f Y Y− ⊂ .

d. ( )( )1 es sobreyectiva ;f f f Y Y Y B−⇔ = ∀ ⊂

Suponga que f sea sobreyectiva y Y B⊂ . Si y Y∈ entonces ( )1f y− ≠ ∅ ,

es decir existe ( ) tal que x A f x y∈ = , entonces ( )1x f Y−∈ y

( ) ( )( )1f x f f Y−∈ . Esto quiere decir que ( )( )1Y f f Y Y−⊂ ⊂ . Por lo tanto

( )( )1f f Y Y− = .


17

Ahora suponga que ( )( )1f f Y Y− = , esto quiere decir que ( )( )1f f y y− = ,

entonces ( )1 ,f y y− ≠ ∅ ∀ . Por lo tanto f es sobreyectiva.

EJERCICIO 6 Dadas las familias ( ) L

Aλ λ∈ y ( ) M

Bμ μ∈. Sean ( )( ), L M

A Bλ μ λ μ ∈ ×∪ y

( )( ) L MA Bλ μ λμ ∈ ×∩ . Pruebe que:

i. ( )( ),L u M L M

A B A Bλ μ λ μλ λ μ∈ ∈ ∈ ×

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∩ ∩∪ ∪ ∪

( ) ( )( )

, ,

, ,

L u M L u M

x A B x A x B

L x A M x B

L M x A x B

λ μ λ μλ λ

λ μ

λ μ

λ μ

λ μ

∈ ∈ ∈ ∈

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ⇔ ∈ ∧ ∈⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⇔ ∃ ∈ ∈ ∧ ∃ ∈ ∈

⇔ ∃ ∈ ∃ ∈ ∈ ∧ ∈

∩∪ ∪ ∪ ∪

( )( ),

L M

x A Bλ μλ μ ∈ ×

⎡ ⎤⇔ ∈⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∩∪

ii. ( )( ),L u M L M

A B A Bλ μ λ μλ λ μ∈ ∈ ∈ ×

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∪∩ ∩ ∩

( ) ( )( )

, ,

, ,

L u M L u M

x A B x A x B

L x A M x B

L M x A x B

λ μ λ μλ λ

λ μ

λ μ

λ μ

λ μ

∈ ∈ ∈ ∈

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ⇔ ∈ ∨ ∈⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⇔ ∀ ∈ ∈ ∨ ∀ ∈ ∈

⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∨ ∈

∪∩ ∩ ∩ ∩

( )( ),

L M

x A Bλ μλ μ ∈ ×

⎡ ⎤⇔ ∈ ∪⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∩

EJERCICIO 7

Dados los conjuntos A,B,C establezca una biyección entre ( );A B Cℑ × y ( )( ), ,A B Cℑ ℑ SOLUCIÓN. CON FUNCIONES DISCRETAS. Sea :f A B C× tal que ( ), ; 1, , ; 1, , ; 1, ,i j kf a b c i m j n k p= ∀ = ∀ = ∀ =

Sea ( ) 2:

i i

H f h A fa g

= donde :ig B C tal que ( )i j kg b c=

CON FUNCIONES CONTINUAS


18

Sea :f A B C× tal que ( ),f x y z= .

Sea ( ) ;xh x g x A= ∀ ∈ tal que :xg B C y ( )xg y z=

Cap 1 Conjuntos y Funciones

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