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caos
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CIENCIA
CIENCIA EFECTO
Predicción de:eclipsesperíodos de cometasmareasEtc.
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MAREAS(predecibles)
Tablas para varios años
Variables.
TemperaturaSalinidadPresión
Ondas superficialesSol y Luna
Forma costeraprofundidad
CLIMA(predecible?)
Horizonte de predectibilidad?
Variables.
TemperaturaHumedadPresiónViento
Nubosidad
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Para describir lo que no entendemos introducimos el azar
AZAR
Partida de dados Mov de un
globo que se desinfla
clima
Paradigma clásico
Más y mejor información
predectibilidad
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Teoría del Caos(Caos = impredectibilidad)
Sistemas simples con
reglas deterministas
impredictibilidad
Más información
Aleatoriedad es FundamentalEl caos puede
ser determinista?
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Visión clásica
incertezasminúsculas
pasado futuro
Caos
pasado
Futuro 1
Futuro 2
Futuro N
Futuro 3
Futuro M
Caos – Horizonte de predictabilidad
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Reducción histórica del universo del Caos al Cosmos
Más leyes físicas verificadas Menos caos
GalileoNewtonLeibniz
Maxwell… Futuro sin caos?
Demonio de Laplace
Una conciencia capaz de conocer las posiciones y velocidades
exactas de todos los objetos del universo en un instante dado, asícomo las fuerzas que los afectan, puede calcular cualquier evento
pasado o futuro
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Atentados al Determinismo
Cuando conocemos el presente Podemos calcular el futuro
Heisemberg
premisa falsa
No podemos conocer todos los detalles del presente (principio de incerteza)
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El Determinismo no se rinde
Lewis F. Richardson, 1922“Wheather Prediction by Numerical Process”
ENIAC, 1940
Centros meteorológicos
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Electronic Numerical Integrator And Computer
ENIAC
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ENIAC
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El Determinismo no se rinde
Admisión de las incertezas, pero…
Causas casi iguales
Efectos casi iguales
HumT
P
HumT
P
presente futuro
Incerteza del estado
∆eP ∆eF
Es un caso frecuente, ¿o no?
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Leyes físicas MegaCálculos en ordenadores
Misiones espaciales
Pero no es un principio universal
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La teoría del Caos es un campo de estudio en matemática, física y filosofía que estudia el comportamiento de sistemas dinámicos que son altamente sensibles a las condiciones iniciales. Esta sensibilidad es popularmente llamada efecto mariposa. Pequeñas diferencias en las condiciones iniciales (tales como aquellas debidas al redondeo de errores en el cálculo numérico) conducen a resultados ampliamente divergentes para sistemas caóticos, haciendo las predicciones de largo plazo imposibles en general. Ello ocurre aunque los sistemas sean deterministas, es decir que su comportamiento futuro esté determinado completamente por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. En otras palabras, la naturaleza determinista de estos sistemas no los hace predecibles. Este comportamiento se conoce como caos determinista, o simplemente caos.
Wikipedia
Teoría del Caos
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Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
•Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. •Posee detalle a cualquier escala de observación. •Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente). •Su dimensión (de Hausdorff-Besicovitch) es estrictamente mayor que su dimensión topológica. •Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Fractales
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Este enunciado NO tiene validez GENERAL
Un proceso simple puede ser responsable de un patrón muy complejo
Paradigma
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Procesos realimentados
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…
1:m<1 cámara – monitor sin rotar
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1:m>1 cámara – monitor sin rotar
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El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo suficiente como para que desde su visor sólo observemos parte de la pantalla tendremos un efecto contrario: la imagen se expandirá. Para conseguir imágenes que resultan hipnóticas atenuaremos el brillo del televisor y aumentaremos el contraste. Tras apagar la luz de la habitación, ajustaremos el zoom de la cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada sin que aparezca el marco del televisor. Es decir nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema se pueden modificar muchas variables como el zoom, el foco o el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor.
1. La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo.
2. Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico).3. Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin
orden ni concierto (caos determinista).4. Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de
reminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).
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1:1 cámara – monitor rotados
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1:1 cámara – monitor rotados
Space-time dynamics in video feedbackPages 229-245James P. Crutchfield
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1:1 cámara – monitor rotados
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Reducción realimentada
caso trivial
Gauss
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Un caso no trivial
Se lo aplicamos a la siguiente figura original
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Y conduce a un patrón interesante
Gasket de Sierpinski
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Gasket de Sierpinski
Independientemente de la figura inicial, el proceso iterativo lleva siempre al mismo patrón: Gasket de Sierpinski
⇒ estabilidad
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autosimilaridad
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Este es un proceso de realimentado lineal e isótropo
Otros procesos realimentados
ejemplo
+=+
nnn x
axx21
1
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Supongamos que a = 2Damos valor inicial de x0 = 3
833333.1323
21
1 =
+=x
46212121.1833333.12833333.1
21
2 =
+=x
41499843.146212121.1246212121.1
21
3 =
+=x
41421378.141499843.1241499843.1
21
4 =
+=x
⇒= 41421356.12Se aproxima a estabilidad
+=+
nnn x
axx21
1
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Realimentación en dos etapas
Corresponde a la expresión
( )11 , −+ = nnn xxgx
Por ejemplo,
( ) 11, +− += nnnn xxxxg (F)
Esta serie tiene propiedades y aplicaciones interesantes Por ejemplo, comenzando con
1;0 10 == xx
Da lugar a la secuencia
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...,377,233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1,0
De la cual se sigue que las razones
nn xx /1+Se aproximan cuando n →∞ al número
251...61803398,1 +
=
Conocido como número de oro o proporción divina.
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Esta realimentación en dos etapas en verdad no difiere demasiado de laIteración en una etapa. En realidad es la iteración en una etapa de un vector
de dos componentes
( )nn
nnnnn
xyyxyxgx
=+==
+
+
1
1 ,
Llamando:
Obtenemos el siguiente proceso de una etapa y dos variables:
Que produce los mismos resultados
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Otro ejemplo
( )
+=
imparxsixparxsix
xfnn
nnn 13
2/
Secuencias para diferentes x0
0x
...,1,2,4,1,2,4STOP =
Aparentemente la secuencia se alarga para mayor x0 …
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270 =x
!oops
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negativoxpara 0
00 =xpara
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La Máquina de la Rueda de la Fortuna…
(aún no bien comprendida)
sorteo
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…y el juego del Caos
Marcar tres puntos en una hoja
Usar un dado para seleccionar 1, 2 ó 3
Marcar un punto inicial x
1
32
x
Trazar un nuevo punto en el medio del segmento entre el punto inicialy el seleccionado
Reiterar los últimos dos pasos usando el último punto en lugar del puntoinicial
¿qué sale?
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Chaos game
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al gasket de Sierpinski!
juego del Caos
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Iteradores cuadráticos
ejemplo5.0;2 0 =−= xc
16 decimalesImporta?
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Heinz-Otto Peitgen
Cada vez más decisiones en el desarrollo de la ciencia y la tecnologíay también en economía y política se basan en cálculos y simulaciones agran escala
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Problemas con poblaciones
Suponemos un medio ambiente constanteN es la máxima población que admite el medio ambientePn es la población al tiempo npn= Pn/N
Tasa de crecimiento
n
nn
n
nn
ppp
PPP −
=− ++ 11
( )nn
nn prp
pp−=
−+ 11
postulamos
Tasa de crecimientoProporcional a la Diferencia entre N y Pn
( )nnnn prppp −+=+ 11 Proceso realimentado
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Medidas de pn a lo largo del tiempo
Proceso realimentado
pn
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01.0;3 0 == pr
( )nnnn prppp −+=+ 11
más de 12 decimales
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Interludio: el experimento de Lorenz
Sin parar
Parando y reiniciando
diferencia
1956
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el experimento de Lorenz aplicado a poblaciones
01.0;3 0 == pr
( )nnnn prppp −+=+ 11
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Poblaciones con dos calculadoras
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Más confusión?
( )( ) 21 1
1
nn
nnnn rppr
prppp
−+−+
=+ Es lo mismo!
Casio
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Mediante cálculos de precisión finita no hay cura para los efectos dañinos del caos
Tarde o temprano la predictibilidad se pierde
Nota:Es simple demostrar la equivalencia entre las expresiones:
( )nnnn prppp −+=+ 11
Cxx nn +=+2
1
Mediante la transformación lineal
nn rprx −+
=21
41 2rC −
=
Estos dos procesos muestran el mismo comportamiento caótico
Cambio de escala
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F C
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La culpa la tiene el cuadrado?
5.0;2 0
21
=−=+=+
xccxx nn caótico
1;2 0
21
=−=+=+
xccxx nn no caótico
2;2 0
21
=−=+=+
xccxx nn no caótico
999999,1;2 0
21
=−=+=+
xccxx nn caótico!
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La culpa la tiene el cuadrado?
5.0;1 0
21
=−=+=+
xccxx nn Caótico?
Predecible!(estable)
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CausalPredecible!
(estable)
Pequeños errores decaen en el proceso
Pueden despreciarse
Cáótico Impredecible!
(inestable)
Pequeños errores se
amplifican en el proceso
No pueden despreciarseError ∼ Señal
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Realimentación gráfica
( )nnn xaxx −=+ 11
( )xaxyparábola
−= 1
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a = 4
estable
inestable
Caos lab
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Chau y Gracias