Campo Eléctrico PAU - IES EUROPA · Campo Eléctrico PAU Fco Javier Corral 2017-2018 a) 9 91 2 2 2...

Campo Eléctrico PAU

Fco Javier Corral 2017-2018

01. Dos partículas de masa 10 g se encuentran suspendidas desde un mismo punto por dos hilos de 30 cm

de longitud. Se suministra a ambas partículas la misma carga, separándose de modo que los hilos

forman entre sí un ángulo de 60º.

a) Represente en un diagrama las fuerzas que actúan sobre las partículas y calcule el valor de la

carga suministrada a cada una.

b) Calcular la tensión en la cuerda.

a) Si nos fijamos en las fuerzas 3

REP

3

3F mg·tg30 10·10 ·10· 0,0577N

y como

2 27REP

REP 2 9

F ·dq·q 0,0577·0,30F k q 7,596·10 C

kd 9·10

b) la tensión es igual a la suma del peso y la fuerza de repulsión

REPF 0,0577N P 0,1N T 0,577 i 0,1j

02. En un relámpago, la diferencia de potencial entre la nube y la tierra es 109 V y la cantidad de carga

transferida es 30 C.

a) ¿Cuánta energía se libera?

b) Suponiendo el campo eléctrico entre la nube y la tierra uniforme y perpendicular a la tierra,

calcule la intensidad del campo eléctrico si la nube se encuentra a 300 m sobre el suelo.

La energía que se libera es el trabajo realizado por la carga cuando se mueve 10

A BW q(V V ) 3·10 J y si

recordamos la relación entre campo y potencial 6 1V E·d E 3,33·10 N·C

03. Tres cargas iguales, de 2 C cada una, están situadas en los vértices de un triángulo rectángulo cuyos

catetos miden 6 cm y 8 cm.

a) Calcule el módulo de la fuerza que, sobre la carga situada en el vértice del ángulo recto,

ejercen las otras dos cargas. Realice un diagrama ilustrativo.

b) Determine el trabajo para transportar la carga situada en el vértice del ángulo recto

desde su posición hasta el punto medio del segmento que une las otras dos.

a)

6 69

6 22 2

TOT6 69

8 2

2·10 ·2·10F 9·10 10N

0,06F 10 5,625 11,47N

2·10 ·2·10F 9·10 5,625N

0,08

b) los potenciales de los dos puntos son

6 6

9 9

A

2·10 2·10V 9·10 9·10 525000 v

0,06 0,08

6 69 9

B

2·10 2·10V 9·10 9·10 720000 v

0,05 0,05

y el trabajo es 6

FIN INIW q(V V ) 2·10 (720000 525000) 0,39J

04. En los vértices de un cuadrado de 1 m de lado hay cargas puntuales de 1 nC. Calcule la intensidad del

campo eléctrico en el centro del cuadrado,

a) si dos cargas consecutivas son positivas y las otras negativas.

b) si las cargas positivas y negativas están dispuestas alternativamente.

q q

60º 30 cm

P

FREP T

2C

8 cm

6 cm

2C

2C

A

B



a) 9

9 1

22

2

10E E 9·10 18N·C

tomando como ejes las diagonales, el campo total es

1 1

X YE 36N·C , E 36N·C E 36i 36j

b) en el segundo caso el resultado es cero, los campos se anulan por parejas.

05. Una pequeña esfera de masa m y carga q cuelga de un hilo de masa despreciable.

a) Se aplica inicialmente un campo eléctrico vertical. Cuando dicho campo va dirigido hacia arriba

la tensión soportada por el hilo es 0,03 N, mientras que cuando se dirige hacia abajo, la tensión

es nula. Determine el signo de la carga q y calcule la masa m de la esfera.

b) A continuación se aplica solamente un campo horizontal de valor E = 100 V/m y se observa

que el hilo se desvía un ángulo = 30º respecto a la vertical. Calcule el valor de la carga q.

a) Si el campo va hacia arriba las cargas positivas se

mueven hacia arriba y las negativas hacia abajo. Como

hay tensión en el hilo la carga es negativa. Cuando el

campo va hacia abajo no hay tensión, luego la fuerza del

campo y el peso son iguales:

3F 0 m·g E·q T 2m·g 0,03 m 1,5·10 kg

b) cuando el campo es horizontal

5E·q m·g·tg30tg30 q 8,66·10 C

m·g E

06. Millikan introdujo una gota de aceite, de densidad 0,85 g/cm3

cargada positivamente, en una cámara de 5 cm de altura donde existía

un campo eléctrico E, que se ajustaba hasta que la fuerza eléctrica sobre

la gota se equilibraba con su peso. Si el diámetro de la gota era 3,28 μm

y la intensidad del campo que equilibraba al peso era 1,92⋅105 N/C:

a) Determine la carga eléctrica de la gota.

b) Calcule la diferencia de potencial a la que habría que someter

a los electrodos en el caso de medir la carga del electrón.

a) la masa de la gota es: 3

3 6 54 4

3 3m ·V r 850· 1,64·10 1,57·10 kg

y cuando la gota está en equilibrio, el peso y la fuerza del campo eléctrico son iguales:

5 5E·q mg 1,92·10 ·q 1,57·10 ·10 q 0,818C

b) primero hay que invertir el sentido del campo poniendo el electrodo positivo arriba y el negativo abajo.

Cuando el electrón alcanza el equilibrio: 19 31 11 1E·q mg E·1,6·10 9,1·10 ·10 E 5,69·10 N·C

y como 11 2 12V E·d V 5,69·10 ·5·10 2,85·10 v

07. Una carga puntual positiva de 9 nC está situada en el origen de coordenadas. Otra carga puntual de

−50 nC está situada sobre el punto P de coordenadas (0, 4). Determine:

a) El valor del campo eléctrico en el punto A de coordenadas (3, 0). Represente gráficamente el

campo eléctrico debido a cada carga y el campo total en dicho punto.

T

P F=E·q

P

F=E·q

E E F=E·q

P 30º

P

E·q



0,09j

-0,09j

0,09i

-0,09i

0,09k

-0,09k

b) El trabajo necesario para trasladar una carga puntual de 3 μC desde el punto A hasta el punto B

de coordenadas (0, −1). Interprete el signo del resultado.

a) 9 9

9 1 9 1

9 502 2

9·10 50·10E 9·10 9N·C E 9·10 18N·C

3 5

y el campo total es:

1

X 9 50

1

Y 50

E E E cos53,13 1,80N·CE 1,80 i 14,10 j

E E sen53,13 14,40N·C

b) calculamos los potenciales

9 9 9 99 9 9 9

A B

9·10 50·10 9·10 50·10V 9·10 9·10 63v V 9·10 9·10 9v

3 5 1 5

y el trabajo que hay que realizar es 6 4

MOV FIN INIW q (V V ) 3·10 ( 9 63) 1,62·10 J y como es positivo es

espontaneo.

08. Un cubo de lado 0,3 m está colocado con un vértice en el origen de

coordenadas, como se muestra la figura. Se encuentra en el seno de un campo

eléctrico no uniforme, que viene dado por 1E ( 5x i 3zk)N·C

a) Halle el flujo eléctrico a través de las seis caras del cubo.

b) Determine la carga eléctrica total en el interior del cubo.

El flujo es el producto escalar E·S . El cubo tiene seis caras y el área de cada una es un vector 0,09 m2

el flujo que atraviesa cada cara es:

1

2

( 5x i 3zk)( 0,09 j) 0

( 5x i 3zk)(0,09 j) 0

Hacemos lo mismo que en el caso anterior pero una vez calculado hay que tener en

cuenta el valor de x para cada cara

3 3

4 4

( 5x i 3zk)( 0,09i) 0,45x x 0 0

( 5x i 3zk)(0,09i) 0,45x x 0,3 0,135

de la misma forma para las dos caras finales

5 5

2

6 6

( 5x i 3zk)( 0,09k) 0,27z z 0 0

( 5x i 3zk)(0,09k) 0,27z z 0,3 8,1·10

El flujo total que atraviesa el cubo es 28,1·10 0,135 0,054

y aplicando el teorema de Gauss

12 13

TOT

qq 8,85·10 ( 0,054) 4,779·10 C

09. Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en cm,

son: A(0,2), B(−3,−1), C(3,−1). Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son iguales y de valor

2μC y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es nulo.

a) Dibuje el diagrama correspondiente y determine el valor de la carga situada sobre el vértice A.

b) Calcule el potencial en el origen de coordenadas

9nC

-50nC

53,13º

x

y

z



a) El campo total creado por las cargas B y C va dirigido hacia arriba. Si el

campo en el origen es cero el campo creado por A es igual a la suma de los

campos creados por B y C (que además son iguales)

69 6 1

B C2 2 2

6 1

TOT C

2·10E E 9·10 18·10 N·C

( 0,03 0,01 )

E 2·E ·sen18,43 11,38·10 jN·C

El campo creado por la carga A es 6 9 7

A TOT 2

qE E 11,38·10 9·10 q 5,06·10 C

0,02

b) el potencial en el origen es 7 6

9 9 6

0 A B C2 2

5,06·10 2·10V V V V 9·10 2·9·10 1,366·10 v

0,02 0,03 0,01

10. Defina la magnitud flujo del vector campo eléctrico. Enuncie el

teorema de Gauss. Considere las dos situaciones de la figura. ¿El flujo

que atraviesa la esfera es el mismo en ambas situaciones?. ¿El campo

eléctrico en el mismo punto P es igual en ambas situaciones? Razone en

todo caso su respuesta.

El flujo que atraviesa las esferas en el mismo. Si aplicamos el teorema de Gauss:

INTq

la carga interior es la misma en los dos casos.

El campo eléctrico en el punto P no es el mismo, cada carga está a una distancia distinta. En la esfera B el

campo es radial, mientras que en la esfera A tendríamos que sumar los cuatro campos y la dirección no es

radial.

11. Sobre la circunferencia máxima de una esfera de radio R=10m están colocadas

equidistantes entre sí seis cargas positivas iguales y de valor q=2C. Calcule:

a) a) El campo y el potencial en uno cualquiera de los polos (puntos N y S).

b) El campo y el potencial en el centro O de la esfera.

a) Si cortamos la esfera por un plano que pase por dos cargas y por el punto N

vemos la figura de la derecha.

La componente horizontal del campo se anula por simetría (son seis), el valor de la

vertical es 6

9 1

VER

2·10E 9·10 90N·C

200

y el campo en N es 1

N VERE 6E 540N·C

El potencial creado por cada carga es

69 2·10

V 9·10 1272,8v200

y el potencial en N es N

V 6 V 7636,8v

b) El campo eléctrico en el centro O es nulo por simetría. Para cada carga hay otra diametralmente

opuesta con lo que los vectores campo se anulan dos a dos.

El potencial en O es: 6

9

O

2·10V 6 V 6·9·10 10800 v

10

A

B C

EB EC

P P

1C 1C

1C 1C

4C

N

S

45º

E EVER

EHOR

N

O q



12. Tres pequeñas esferas conductoras A, B y C todas ellas de igual radio y con cargas QA=1 C, QB=4 C y

QC=7 C se disponen horizontalmente. Las bolitas A y B están fijas a una distancia de 60 cm entre sí,

mientras que la C puede desplazarse libremente a lo largo de la línea que une A y B.

a) Calcule la posición de equilibrio de la bolita C.

b) Si con unas pinzas aislantes se coge la esfera C y se le pone en contacto con la A dejándola

posteriormente libre ¿cuál será ahora la posición de equilibrio de esta esfera C?.

Nota: es imprescindible incluir en la resolución los diagramas de fuerzas oportunos.

La bola C estará en equilibrio cuando las dos fuerzas que actúan

sobre ella se igualen

6 6 6 6

BC AC 2 2

4·10 ·7·10 1·10 ·7·10F F k k x 0,2m

(0,6 x) x

Si se juntan las esferas A y C, cada una queda con una carga de 4C por lo que ahora la posición de

equilibrio estará en el punto medio del segmento por ser las tres cargas iguales.

13. Dos partículas puntuales de cargas q1=3 μC y q2=-2 μC están situadas respectivamente en los puntos de

coordenadas (-a, 0) y (a, 0) con a=10 cm.

a) Determina el campo electrostático E (módulo, dirección y sentido) en el punto (0, 0)

b) ¿Qué trabajo tendremos que realizar para, en presencia de las cargas citadas, trasladar una

carga puntual q=2 μC desde el punto (0, 0) al punto (a, a)?

El campo en el origen es la suma de los dos:

6 69 9 6 1

2 2

3·10 2·10E E E 9·10 9·10 4,5·10 iNC

0,1 0,1

Para calcular el trabajo necesitamos calcular los potenciales en los puntos

inicial y final:

6 69 9

O

6

FIN INI6 69 9

P

3·10 2·10V 9·10 9·10 90000 v

0,1 0,1W q(V V ) 2·10 ( 59252 90000) 0,299J

3·10 2·10V 9·10 9·10 59252v

0,10,05

14. Una carga puntual de 2 μC se encuentra en el punto A(-1,2) y otra de -2 μC se encuentra en el punto

B(2,2). Calcula el vector campo eléctrico total E en el origen si los valores de todas las coordenadas están

expresadas en metros.

69 1

2

2·10E 9·10 3600NC

5

y forma un ángulo de 63,43º con el eje X

69 1

2

2·10E 9·10 2250NC

8

que forma 45º con el eje horizontal

Las componentes del campo total son:

1

X

T1

Y

E E cos63,43º E cos45º 3201,2NCE 3201,2i 1628,8j

E E sen63,43º E sen45º 1628,8NC

o bien

2 2 1

TE 3201,2 1628,8 3591,75N·C que forma un ángulo

1628,8arctg 26,96º

3201,2 con el eje OX

A B

0,6 m

x

C FAC

FBC

3C -2C O

P

2C -2C

O

E+

E-

ET



15. Una carga puntual de 10 μC está situada en el origen O de un sistema de coordenadas cartesianas.

Otra carga de -5 μC está situada en el punto A(2,0). Si las distancias están expresadas en metros, calcula:

a) El vector campo eléctrico E en el punto B(1,0).

b) El potencial electrostático en el punto C(2,1).

El campo en B es la suma de los campos creados por cada carga

6 69 9 1

B 2 2

10·10 5·10E 9·10 9·10 135000NC

1 1

Y el potencial 6 6

9 9

B

10·10 5·10V 9·10 9·10 4750v

15

16. Se tienen tres cargas eléctricas iguales de valor +2,0 nC dispuestas en tres de los cuatro vértices de un

cuadrado de lado 1,4 m [pongamos en los puntos (0; 1,4), (1,4; 0) y (1,4; 1,4)]. Determine:

a) las componentes del campo eléctrico en el cuarto vértice

b) el módulo de la fuerza que ejerce el campo sobre una carga de -0,3 nC situada en el cuarto

vértice.

a) El campo creado por cada carga es: 9 9

9 1 9 1

1 2 32 2

2·10 2·10E E 9·10 9,18NC E 9·10 4,59NC

1,4 1,98

el campo total tiene dos componentes:

1

X

T

1

Y

2E 9,18 4,52 12,38NC

2 E 12,38i 12,38j2

E 9,18 4,52 12,38NC2

b) el vector fuerza es T

F E ·q 3,71i 3,71j y su módulo F 5,25N

17. Una carga de 2C está situada en el punto P1(0, 0) y otra de 3C está situada en P2(4, 4).

a) ¿Hay algún punto del espacio donde el campo eléctrico se anule? Si es así determínelo, y en

caso contrario explique por qué no existe.

b) Suponiendo potencial nulo en el infinito, ¿hay algún punto donde el potencial eléctrico se

anule? Si es así determínelo, y en caso contrario explique por qué no existe.

Como las dos cargas son positivas el campo se anula en un punto intermedio: 6 6

2 3 22

2·10 3·10 32E E k k 2x 3( 32 x) x

x( 32 x) 2 3

El potencial en un punto cualquiera es 6 6

2 3

2·10 3·10V V V k k

x y

Y la única posibilidad de que se anule es con valores negativos de una de las dos distancias, lo que es

imposible. Solo se anula en el infinito.

18. Se tienen tres cargas eléctricas iguales de valor +2,0 nC dispuestas en tres de los cuatro vértices de un

cuadrado de lado 1,4 m. Determine:

a) el valor del potencial electrostático en el cuarto vértice

b) el trabajo necesario para llevar una carga de +1,0 nC desde el cuarto vértice hasta el infinito.

10C -5C B

C

2nC 2nC

2nC

E1

E2

E3

3C

2C



El potencial en el cuarto vértice es:

a) El potencial en el cuarto vértice es la suma:

9 9 99

1 2 3

2·10 2·10 2·10V V V V 9·10 34,81v

1,4 1,4 1,98

b) el potencial en el infinito es cero, luego:

9 8

FIN INIW q(V V ) 1·10 (0 34,81) 3,48·10 J

19.a) Describa qué forma tienen (y por qué) las superficies equipotenciales del campo electrostático

generado por una carga eléctrica situada en el origen de coordenadas.

b) Una carga eléctrica en el vacío genera a su alrededor un potencial electrostático. En cierto

punto el potencial vale 10 V (potencial nulo en el infinito). Si duplicamos la distancia y doblamos

también el valor de la carga, ¿cuánto vale ahora el potencial? Razone la respuesta.

Las superficies equipotenciales unen puntos que tienen el mismo potencial, como este depende de la

distancia, las superficies tienen la misma forma que el sitio en el que está alojada la carga. Se trata de

esferas del mismo radio.

Es una tontería. El potencial creado por una carga en ese punto es q

V k 10vd

no sabemos el valor de q

ni el de d, pero si d y q se duplican en potencial nuevo es 2q

V k 10v2d

20. a) Explique el concepto de potencial eléctrico. ¿Cuál es el potencial eléctrico

creado por una carga Q a una distancia r de la misma?. ¿Y el creado por un

conjunto de cargas?

L=2m, como muestra la figura. Determine el trabajo necesario para trasladar una

el vértice libre.

a) El potencial creado por una carga es q

V kd

y es una magnitud escalar. Si son varias las cargas el

potencial es la suma de los potenciales creados por cada una de ellas (principio de superposición)

i

i

i

qV V k

d y en cada sumando se pone la carga con el signo correspondiente.

b) calculamos el potencial en los dos puntos

9 10 9 9 10

C P

2 2 2V 3·9·10 1,91·10 v V 2·9·10 9·10 2,44·10 v

22 2 2 2

10 10 9

FIN INIW q(V V ) 1(2,44·10 1,91·10 ) 5,3·10 J

un triángulo equilátero de lado L=2 m. Calcule el campo eléctrico en el punto

medio

desde dicho punto A hasta el punto B, vértice libre del triángulo.

El campo eléctrico en el punto A es cero, dos cargas iguales del mismo signo y a la misma distancia. Para

calcular el trabajo hay que calcular el potencial en los dos puntos

2nC 2nC

2nC

P Q

Q Q

L

L

L L

Q Q A

B



9 9 9

A9 9 9

FIN INI9 9 9

B

2 2V 9·10 9·10 36·10 v

1 1 W q(V V ) 1(18·10 36·10 ) 18·10 J2 2

V 9·10 9·10 18·10 v2 2

a lo largo de una circunferencia de radio r=1 m, tal como muestra la figura.

a) Calcule el potencial y el campo eléctrico en el centro.

el centro de la circunferencia?

a) si las cargas son iguales el campo en centro es cero por simetría. Todas las cargas están a la misma

distancia del centro luego el potencial en el centro es: 9 115V 10·9·10 4,5·10 v

1

b) y el trabajo es 11 11

FIN INIW q(V V ) 1(4,5·10 0) 4,5·10 J

23. Una placa horizontal cargada negativamente crea en sus proximidades

un campo eléctrico uniforme orientado tal y como se indica en la figura,

con intensidad E=103 V/m. Un protón, p, penetra en esta región, con

velocidad vo=105 m/s perpendicular a las líneas del campo y a una distancia

d=0,2m de la placa, de forma que describe una trayectoria como la

indicada en la figura.

a) Durante esta trayectoria, ¿se conserva la energía mecánica de p? Calcula la energía cinética de p

cuando choca con la placa. Supón que la única fuerza que actúa sobre p es la eléctrica.

b) Calcula la distancia L al punto de impacto.

c) Comprueba que, si el movimiento se realiza en las proximidades de la superficie terrestre, el peso del

protón es despreciable frente a la fuerza eléctrica que actúa sobre él.

Datos: mp=1,7·10-27 kg qp=1,6·10-19C

c) en las proximidades de la superficie terrestre la gravedad es constante y vale 10 m·s-2

el peso del protón es 27 26P mg 1,7·10 ·10 1,7·10 N y la fuerza del campo eléctrico en ese campo es

3 19 16

EF E·q 10 ·1,6·10 1,6·10 N que es 1010 veces más grande que el peso.

b) el movimiento es un tiro parabólico

acelerado en vertical 3 19

10 2

27

E·q 10 ·1,6·10F E·q m·a a 9,41·10 m·s

m 1,7·10

con esa aceleración recorre 0,2 m 2 6

10

1

2

2·h 2·0,2h a·t t 2,06·10 s

a 9,41·10

uniforme en horizontal y en ese tiempo recorre 5 6

HORL v ·t 10 ·2,06·10 0,206m

a) cuando choca las velocidades son: 5 1 10 6 5 1

HOR VERTv 10 m·s v a·t 9,41·10 ·2,06·10 1,938·10 m·s

y la velocidad total es 2 2 5 1

TOTAL HOR VERTv v v 2,18·10 m·s



La energía al final es 2 27 5 2 17

F C F

1 1

2 2E E mv 1,7·10 (2,18·10 ) 4,04·10 J

la energía al principio es 2 27 5 2 19 3 17

0 C P 0

1 1

2 2E E E mv q·E·d 1,7·10 (10 ) 1,6·10 ·10 ·0,2 4,05·10 J

vemos que los resultados son iguales luego la energía se conserva.

24. Dos cargas eléctricas puntuales de valor 80 C y 40C, están situadas respectivamente en los

puntos (-1,0) y (1,0) del plano XY. Determine:

a) El vector campo electrostático E en los puntos A (0,0) y B (0,1). ¿En qué punto o puntos del

plano se anula el campo E?

b) El trabajo que debemos realizar para trasladar una carga puntual de 0,2C desde el punto A

hasta el punto B. Las coordenadas están expresadas en metros.

Campo en A: 6 6

9 9 5 1

2 2

80·10 40·10E 9·10 9·10 3,6·10 i N·C

1 1

Campo en B:

6 69 5 1

X

6 69 5 1

Y

80·10 40·10E 9·10 cos45 1,27·10 iN·C

2 2

80·10 40·10E 9·10 sen45 3,82·10 jN·C

2 2

b) los potenciales son

6 69 9 6

A

6 69 9 5

B

6 5 6 2

FIN INI

80·10 40·10V 9·10 9·10 1,08·10 v

1 1

80·10 40·10V 9·10 9·10 7,64·10 v

2 2

W q(V V ) 0,2·10 (7,64·10 1,08·10 ) 6,32·10 J

25. Una partícula de masa m=1 mg y con carga q=0,1 μC es acelerada mediante un campo eléctrico entre

dos electrodos, partiendo del reposo, hasta que alcanza una velocidad de 30 m/s. Calcula la diferencia de

potencial entre los electrodos. Con la velocidad indicada, la partícula se dirige en línea recta hacia otra

partícula con la misma carga q, fija en el espacio e inicialmente muy alejada. Calcula la distancia de

máxima aproximación entre ambas partículas.

La energía cinética adquirida por la carga es 2 6 2 4

C

1 1E mv 1·10 ·30 4,5·10 J

2 2

y esa energía se

la proporciona el campo eléctrico 4

C

C A B A B 7

E 4,5·10E W q(V V ) (V V ) 4500v

q 1·10

Si ahora se dirige hacia una carga del mismo signo, se detendrá en aquel punto en el que el

potencial ejercido por la carga fija sea de 4500 v (la misma diferencia de potencial para acelerarlo

que para detenerlo). Dice que está muy alejado para que supongamos cero el potencial creado por

la carga. 7

19

2

1·10V 4500 9·10 d 4,47·10 m

d

26. Dos cargas eléctricas puntuales Q1 =-9 μC y Q2 =+16 μC están fijas en el

espacio ocupando dos vértices de un triángulo rectángulo.

Calcula el potencial eléctrico en los puntos A y B. ¿qué trabajo realizará el

campo eléctrico para llevar una carga puntual de 2 μC desde el punto B al

punto A?

A

B

q1

q2

d

d B

A 40 cm

30 cm



Calculamos los potenciales en A y en B:

6 69 9

A A1 A2

6 69 9

B B1 B2

9·10 16·10V V V 9·10 9·10 90 v

0,3 0,4

9·10 16·10V V V 9·10 9·10 252v

0,25 0,25

El trabajo pedido es 6 4

FIN INI A BW q(V V ) q(V V ) 2·10 (90 252) 3,24·10 J

27. Tres partículas con cargas q1=q2=3 μC y q3=-3 μC están situadas, respectivamente, en los puntos de

coordenadas (a, 0), (-a, 0) y (0, a), con a = 0,1 m. Calcula las energías potenciales eléctricas de

cada una de las tres partículas.

Calculamos el potencial en cada uno de los tres puntos:

6 6 6 69 9 4 9 9 4

A B

3·10 3·10 3·10 3·10V 9·10 9·10 5,79·10 v V 9·10 9·10 5,79·10 v

0,14 0,2 0,14 0,2

6 69 9 5

C

3·10 3·10V 9·10 9·10 3,86·10 v

0,14 0,14

Como la energía potencial eléctrica es P

E qV , la de cada carga será:

6 4 6 5

A B CE E 3·10 ·5,79·10 0,174J E 3·10 ·3,86·10 1,158J

28. Dos cargas eléctricas puntuales iguales y de valor q=4 nC, están

situadas en los puntos (-2,0) y (0,0) del plano XY como indica la figura.

Determine:

a) El vector campo electrostático E en los puntos A (2,0) y B (0,2).

b) El punto o puntos del plano en los que se anula el campo E.

Las coordenadas están expresadas en metros

a) el campo en (0,2) tiene dos componentes

99 1

11 2X 1

19

Y 2 19 1

2 2

4·10E 9·10 4,5NC

E E cos45 3,182 NC8 E 3,182i 12,182j

E E E sen45 12,182 NC4·10E 9·10 9NC

2

En el punto (2,0) es más sencillo; los dos campos están en línea

9 99 9 1

1 2 2 2

2·10 2·10E E E 9·10 9·10 5,625NC E 5,625i

4 2

29. Dos pequeñas esferas, de masa m=5 g y con carga q, cada una, se

suspenden del mismo punto mediante hilos iguales, de masa despreciable y

longitud 0,5 m, en presencia del campo gravitatorio terrestre. ¿Cuál debe

ser el valor de la carga q para que, en equilibrio, los hilos formen un ángulo

de 60o?

En la figura, la distancia entre las cargas es 0,5 m (equilátero)

9 3REP

REP 2

7

F q·qtg30 F mgtg30 9·10 5·10 ·10·0,577

P 0,5

q 8,95·10 C

3C 3C

-3C

A B

C

q

y

x q

(2,0)

A

(-2,0) (0,0)

(0,2) B

q m q

m

L



30.

a) Explica el concepto de energía potencial eléctrica. ¿Qué energía potencial eléctrica

tiene una partícula con carga q1 situada a una distancia r de otra partícula con carga q2?

b) La esfera de la figura, de radio 5 cm, está fija en el espacio y tiene una carga

uniformemente distribuida de 10 μC. Se libera con velocidad inicial nula una partícula

con carga q=−1 μC y masa m=10 g a una distancia d=3R del centro de la esfera. Calcula la

velocidad de la partícula cuando choca con la superficie de la esfera.

El potencial al principio es 6

9 5

0

10·10V 9·10 6·10 v

3·0,05

y al final 6

9 6

F

10·10V 9·10 1,8·10 v

0,05

el trabajo realizado por el campo eléctrico es 6 6 5

FIN INIW q(V V ) 1·10 (1,8·10 6·10 ) 1,2J y ese trabajo

se ha convertido en energía cinética: 2 1

C 3

1 2,4E mv 1,2J v 15,49m·s

2 10·10

31. En un punto P exterior a una esfera fija y uniformemente cargada, el potencial eléctrico

(con referencia en ∞) es V = 900 V y el campo eléctrico tiene una intensidad E = 90 N/C.

a) Determina la carga Q de la esfera y la distancia d entre su centro y el punto P.

b) Se abandona una partícula de carga q=-1 μC en el punto P. Calcula su energía cinética

cuando choca con la superficie de la esfera, de radio R = 10 cm.

a) En el punto P P 2

6P P

P P 9

PP

qE k

V V d 900·10d E d V d 10m q 1·10 CE kq 9·10

V kd

b) el potencial en la superficie de la esfera es 6

9

SUP

1·10V 9·10 90000 v

0,1

el trabajo que hace el campo para llevarla a la superficie es:

6

FIN INIW q(V V ) 1·10 (90000 900) 0,0891J

que coincide con el valor de la energía cinética en el momento del impacto.

32.

a) Escribe y comenta la Ley de Coulomb.

b) Las cuatro partículas de la figura están fijas en los vértices de un cuadrado

de lado 30 cm. Sus cargas son q1=q3=+1 μC y q2=q4 =-1 μC. Determina la fuerza

eléctrica total (módulo, dirección y sentido) que actúa sobre q1.

La fuerza ejercida por cada carga es:

6 6 6 69 9

2 4 32 2

1·10 ·1·10 1·10 ·1·10F F 9·10 0,1N; F 9·10 0,05N

0,3 0,424

Ahora, las sumamos:

X 2 3

Y 3 4

F F F cos45 0,065NF 0,065i 0,065j F 0,092N

F F sen45 F 0,065N

La dirección de la fuerza va en la diagonal q1-q3 dirigida hacia q3

m q

d

R

P q

d

R

q1 q2

q4 q3

L

F2

F4

F

3

q1



33. Dos partículas con cargas q1=1 μC y q2=2 μC están separadas por una

distancia de 0,6 m. Determina el campo eléctrico (módulo, dirección y

sentido) en el punto medio entre las dos cargas, P. ¿Cuál es el potencial

eléctrico en este punto?

El campo es 6 6

9 9 1

2 1 2 2

2·10 1·10E E E 9·10 9·10 100NC

0,3 0,3

en el sentido negativo del eje OX

y el potencial 6 6

9 9 4

1 2

1·10 2·10V V V 9·10 9·10 9·10 v

0,3 0,3

34. Cuatro partículas de igual carga, q=2 μC, están situadas en los vértices de un

cuadrado de lado L=20 cm. Indica mediante una figura la dirección y sentido de la

fuerza eléctrica total que actúa sobre cada una de ellas. Calcula el módulo de

estas fuerzas.

Vamos a fijarnos en la carga de arriba a la izquierda 1. 6 6 6 6

9 9

2 4 32 2

2·10 ·2·10 2·10 ·2·10F F 9·10 0,9N; F 9·10 0,45N

0,2 0,283

X 4 3

Y 3 2

F F F cos45 1,22NF 1,22i 1,22j F 1,73N

F F sen45 F 1,22N

35.

a) Dos partículas con carga q=0,8 mC, cada una, están fijas en el vacío y

separadas una distancia d=5m. Determina el vector campo eléctrico que

producen estas cargas en el punto A, que forma un triángulo equilátero con

ambas.

b) Calcula el campo y el potencial eléctricos en el punto medio entre las dos

cargas, B.

En el punto A

Los dos campos son iguales: 3

9 5 1

1 2 2

0,8·10E E 9·10 2,88·10 NC

5

y el campo total es

1

X 5

5 1

Y 1

E 0NCE 4,99·10 j

E 2·E sen60 4,99·10 NC

b) el campo en el punto B es nulo por simetría (dos cargas iguales, a la misma distancia y en línea)

el potencial es 3 3

9 9 60,8·10 0,8·10V 9·10 9·10 5,76·10 v

2,5 2,5

36. Tres cargas eléctricas iguales de 3C se colocan en los puntos (1,0), (-1,0) y (0,-1)

a) dibuja los vectores campo eléctrico generado por cada carga en el punto (0,0) y calcula el

vector campo eléctrico resultante en dicho punto.

b) calcula el trabajo realizado en el desplazamiento de una carga eléctrica puntual de 1 C entre

(0,0) y (0,1). Razona si la carga se puede mover espontáneamente a dicho punto.

P q1 q

2

d

d/2

q q

q q

L

L

F2

F4

F3

q1

B

d q q

A

E2 E

1

60º



a) Los campos creados por las cargas 1 y 2 son iguales y de sentido contrario,

luego el campo total es 6

9 3 1

3 2

3·10E 9·10 27·10 N·C

1

dirigido hacia arriba.

b) calculamos los potenciales 6

9

00 1 2 3

3·10V V V V 3·9·10 81000v

1

6 69 9

01 1 2 3

3·10 3·10V V V V 2·9·10 9·10 51683,8v

22

y el trabajo para ir desde 00 hasta 01 es 6

MOVIL F 0W q (V V ) 1·10 (51683,8 81000) 0,029J

es espontáneo W 0

37. Dos cargas de +5nC están separadas una distancia de 4 cm como

se muestra en la figura. Calcular:

a) campo eléctrico creado por las cargas en los puntos A y B.

b) el potencial en los puntos A y B y el trabajo que hay que realizar

para llevar una carga de +3nC desde el punto A al B.

a) el campo en el punto B es cero. En el punto A el campo total sólo

tiene componente vertical. El triángulo es equilátero y los ángulos

son de 60º

99 1

TOT 2

5·10 3E 2·E·sen60 2·9·10 48713,93N·C

20,04

b) las cargas son iguales y están a la misma distancia

9 99 9

A B

5·10 5·10V 2·9·10 4500 v V 2·9·10 2250 v

0,02 0,04

y el trabajo es

9 6

MOVIL F 0W q (V V ) 3·10 (2250 4500) 6,75·10 J

38. Tres cargas puntuales de valores q1=+3 nC, q2=-5 nC y q3= +4 nC están situadas en los puntos (0,3),

(4,3) y (4,0) del plano XY. Si las coordenadas están expresadas en metros, determine:

a) La intensidad de campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas.

b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

c) La fuerza ejercida sobre una carga q=1 nC que se sitúa en el origen de coordenadas.

d) La energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas q1, q2 y q3.

a) calculamos el campo creado por cada carga y sumamos:

9 99 1 9 1

3 42 2

99 1

5 2

3·10 4·10E 9·10 3N·C E 9·10 2,25N·C

3 4

5·10E 9·10 1,8N·C

5

X

Y

E 2,25 1,8cos36,87 0,81E 0,81i 1,92 j

E 3 1,8sen36,87 1,92

o bien 2 2 1

X YE E E 2,08N·C que forma un ángulo Y

X

Earctg 67,13º

E con la horizontal.

b) 9 9 9

9 9 9

3 4 5

3·10 4·10 5·10V V V V 9·10 9·10 9·10 9v

3 4 5

1 2

3

E1 E2

E3

2 cm 2 cm

+5 nC +5 nC

A

B

3nC -5nC

4nC



c) a partir del campo en el origen 9 9F E·q 2,08·1·10 2,08·10 N

d) Tenemos que traer las tres cargas desde el infinito hasta la posición que ocupan. La primera viene sin

gasto de energía. La segunda tiene que vencer la fuerza que sobre ella ejerce la primera y la tercera tiene

que vencer la fuerza de las otras dos

9 83 4 3 5 4 5

P

34 3 5 4 5

q q q q q q 4·3 5·3 5·4E k k k 9·10 7,215·10 J

r r r 5 4 3

39. Una partícula cargada negativamente, con masa 8·10-20 kg y carga 2·10-18 C, describe órbitas circulares

alrededor de otra partícula mucho mayor de masa 4·10-12 kg y carga positiva 3·10-10 C, a la que suponemos

inmóvil. La partícula pequeña emplea 7,65·10-10 s en dar una vuelta completa. No tenemos en cuenta la

atracción gravitatoria entre ambas partículas.

a) Calcula el radio de la órbita que describe la partícula pequeña.

b) Al despreciar la fuerza gravitatoria, se puede pensar que estamos cometiendo cierto error.

¿Piensas que dicho error es despreciable? Razona numéricamente tu respuesta.

222 21 2 1 2 1 2

A CP 2 3 2

2 9 18 10 10 2181 2

3 32 20 2

q ·q q ·q q ·q 4vF F k m k m r k m

r rr r T

kq ·q T 9·10 ·2·10 ·3·10 (7,65·10 )r 1·10 m

m·4 8·10 ·4

b) vamos a comparar la fuerza de atracción entre cargas y entre masas

20 1211 51 2

MASAS 2 18 2

23CARGAS

18 10MASAS9 181 2

CARGAS 2 18 2

m m 8·10 ·4·10F G 6,67·10 2,13·10 N

r (1·10 ) F2,54 ·10

Fq q 2·10 ·3·10F k 9·10 5,4·10 N

r (1·10 )

40. Una carga puntual de 3 μC, se encuentra en el origen de

coordenadas. Otra carga 1 μC se encuentra en el punto P1(1,0) y,

recorriendo la espiral de la figura, llega al punto P2(0,2). Determine:

a) La diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2.

b) El trabajo realizado para llevar la carga q1 del punto P1 al P2.

Los potenciales en los dos puntos son:

6 69 9

P1 P2

3·10 3·10V 9·10 27000v V 9·10 13500v

1 2

El trabajo para trasladar una carga desde un punto a otro solo depende de la posición inicial y de la final

independientemente de la trayectoria seguida. El trabajo por cualquier trayectoria es el mismo:

6

MOVIL FIN INIW q (V V ) 1·10 (13500 27000) 0,0135J

FA

FCP

P1

P2

q1 q

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