Caminos 2 - Calculo Geométrico de Una Curva Espiralizada

CAMINOS II

Calculo Geométrico de una curva espiralizada

Datos: Acimut de la tangente de entrada = 35º Acimut de la tangente de salida = 145º Coordenadas del PI = N: 8179342.11 – E: 273204.18 Abscisa del PI = K 2+492.370 Radio de la curva circular central (R¿¿c )¿ = 80m Cuerda unidad = 10m Longitud de la espiral (Le¿ = 110m

Solución:

a) Elementos de las curvas.

Parámetro de la espiral: K

K=√R c Le=√80(110)=93.808m

Angulo de deflexión de la espiral: ❑e

❑e=90π ( Le

Rc)=90π (11080 )=39 º 23'27.05 ' '

❑e=0.6875 Radianes

Angulo central de la curva circular: ∆c

∆c=∆−2❑e

Dónde:

∆=¿Acimut tangente salida – Acimut tangente entrada = 145º - 35º= 110º

∆c=110−2(39 º23 '5' ')

∆ c=31º 13 ' 50 ' '

Coordenadas cartesianas del: EC (xc , yc ¿

xc=Le (1− θe2

10+

θe4

216−

θe6

9360 )xc=110 (1−(0.6875)2

10+(0.6875)4

216−

(0.6875)6

9360 )=104.921m

yc=Le ( θe

3−

θe3

42+

θe5

1320−

θe7

75600 )yc=110( 0.68753 −(0.6875)3

42+(0.6875)5

1320−(0.6875)7

75600 )=24.370m

CAMINOS II

Coordenadas cartesianas del PC desplazado: (k , ρ)ρ=disloque= yc−Rc (1−cos❑e)

ρ=24.370−80 (1−cos39 º23 '27.05' ')=6.197m

k=xc−Rc sen❑e

k=104.921−80 sen39º 23' 27.05' '=54.152m

Tangente de la curva espiral-circular-espiral: T e

T e=k+(Rc+ ρ) tan ∆2

T e=54.152+ (80+6.197 ) tan 1102

=177.254m

Externa de la curva espiral-circular-espiral: Ee

Ee=(R c+ ρ )( 1

cos ∆2 )−Rc

Ee= (80+6.197 )( 1

cos 1102 )−80=70.233m

Tangentes larga y corta de la espiral: T L , T C

T L=xc−yc

tan❑e

T L=104.921−24.370

tan 39 º 23'27.05' '=75.243m

T C=yc

sen❑e

T C=24.370

sen39 º 23'27.05' ' =38.402m

Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular con transiciones: (xo , yo )xo=k=54.152m

yo= yc+R ccosθe=24.370+80cos39 º 23'27.05' '=86.197m

Cuerda larga de la espiral: CLe

CLe=√xc2+ yc

2=√104.9212+24.3702=107.714m

Deflexión del EC o ángulo de la cuerda larga: φc

φc=arctanyc

xc≫φc=arctan

24.370104.921

=13 º0 4' 4.43 ' '

CAMINOS II

Longitud de la curva circular: Lc

Gc=2arcsen c2Rc

=2arcsen 102(80)

=7 º 9'59.92’’

Lc=c ∆c

Gc=10 (31º 13'50 ' ' )7 º 9'59.92 ’

=43.578m

Abscisas de los puntos: TE, EC, CE y ETAbscisaTE=Abscisa PI−Te=K 2+492.370−177.254=K 2+315.116

AbscisaEC=Abscisa TE+Le=K 2+315.116+110=K 2+425.116

AbscisaCE=Abscisa EC+Lc=K 2+425.116+43.578=K 2+468.694

Absci sa ET=AbscisaCE+Le=K 2+468.694−110=K 2+578.694

b) Cálculos de localización por deflexiones, por coordenadas cartesianas y por coordenadas topográficas planas.

Espiral de entrada, desde el TE al EC: K2+320:

Calculo de deflexiones.

θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 4.884110 )2

39 º23 '27.05' '=0 º 4' 39.55' '=0.0013553rad

L ( DistanciadesdeTEa la abscisaconsiderada ) , L=320−315.116=4.884m

X K 2+ 320=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫4.884 (1−0.0013553210+ 0.0013553

4

216− 0.0013553

6

9360 )=4.884m

Y K 2+320=4.884( 0.00135533−0.0013553

3

42+ 0.0013553

5

1320−0.0013553

7

75600 )=0.0022064m

φK 2+320=arctanY K 2+320

XK 2+320≫φc=ar ctan 0.0022064

4.884=0 º1' 33.18 ' '

CK 2+320' =√X K 2+320

2 +Y K 2+3202 =√(4.884)2(0.0022064)2=4.884m

Coordenadas topográficas planas:

NTE=N PI+T e cosAzPI TE=8179342.11+177.254cos215 º=8179196.912

T e=177.254 , AzPI TE=AzTE PI+180º=35+180=215º

ETE=EPI+T esen AzPI TE=273204.18+177.254 sen215 º=273102.511

CAMINOS II

N K 2+320=NTE+TE . ( K 2+320 ) cos AzTE ( K 2+320 )

TE . ( K 2+320 )=CK 2+330' =4.884m

AzTE ( K 2+320 )=AzTE. PI+φK 2+320=35 º+0 º 1'33.18' '=35º 1'33.18 ' '

N K 2+320=8179196.912+4.884cos (35 º1' 33.18' ' )=8179200 .911

EK 2+320=ETE+TE . ( K2+320 ) sen AzTE . ( K 2+320 )

EK 2+320=273102.511+4.884 sen (35º 1'33.18 ' ' )=273105 .314

K2+330:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 14.884110 )2

39 º 23'27.05' '=0 º 43 '16.28' '=0.0125871ra d

L=14.884m

X K 2+330=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫14.884(1− 0.0125871210+ 0.0125871

4

216− 0.0125871

6

9360 )=14.884m

Y K 2+330=14.884 ( 0.01258713−0.0125871

3

42+ 0.0125871

5

1320−0.0125871

7

75600 )=0.0624481m


X K 2+330≫φc=arctan

0.062448114.884

=0º 14 '25.41 ' '

CK 2+330' =√XK 2+320

2 +Y K 2+3202 =√(14.884)2(0.0624481)2=14.884m


N K 2+33 0=NTE+TE . (K 2+330 )cos AzTE ( K 2+330 )

N K 2+330=8179196.912+14.884 cos (35º 14 ' 25.41' ' )=8179209 .068m

EK 2+33 0=ETE+TE . ( K 2+330 ) sen AzTE . ( K 2+330 )

EK 2+330=273102.511+14.884 sen (35 º 14' 25.41' ' )=273111.099m

CAMINOS II

K2+340:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 24.884110 )2

39 º 23'27.05 ' '=2 º 0'56.93' '=0.0125871 rad

L=24.884m

X K 2+34 0=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫24.884 (1−0.0351826210+ 0.0351826

4

216−0.0351826

6

9360 )=24.881m

Y K 2+34 0=24.884 ( 0.03518263−0.0351826

3

42+ 0.0351826

5

1320−0.0351826

7

75600 )=0.2918021m

φK 2+34 0=arctanY K 2+340

X K 2+ 340≫φc=arctan

0.062448114.884

=0 º 40 ' 18.94 ' '

CK 2+34 0' =√X K 2+3 40

2 +Y K 2+3402 =√(24.881)2(0.2918021)2=24.883m


N K 2+34 0=NTE+TE. ( K 2+340 )cos AzTE ( K 2+340 )

N K 2+34 0=8179196.912+24.883cos (35 º 40 ' 18.94 ' ' )=8179217.127m

EK 2+3 40=ETE+TE . (K 2+34 0 ) sen AzTE. ( K 2+340 )

EK 2+3 40=273102.511+24.883 sen (35º 40' 18.94 ' ' )=273117.021m

K2+350:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 34.884110 )2

39 º 23'27.05' '=3 º 57 ' 41.49 ' '=0.0691417 rad

L=34.884m

X K 2+ 350=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫34.884 (1−0.0691417210+ 0.0691417

4

216−0.0691417

6

9360 )=34.867m

CAMINOS II

Y K 2+340=34.884 ( 0.06914173−0.0691417

3

42+ 0.0691417

5

1320−0.0691417

7

75600 )=0.8037052m



0.803705234.867

=1 º 19 ' 13.69 ' '

CK 2+350' =√X K 2+350

2 +Y K 2+3502 =√(34.867)2(0.8037052)2=34.877m


N K 2+350=N TE+TE . ( K 2+350 ) cos AzTE ( K 2+350 )

N K 2+350=8179196.912+34.877 cos (36º 19 ' 13.69 ' ' )=8179225.013m

EK 2+350=ETE+TE . ( K 2+350 ) sen AzTE . ( K 2+ 350 )

EK 2+350=273102.511+34.877 sen (36 º 19 ' 13.69 ' ' )=273123.169m

K2+360:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 44.884110 )2

39º 23' 27.05' '=6 º 33 ' 29.98 ' '=0.1144644ra d

L=44.884m

X K 2+36 0=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫4 4.884 (1−0.1144644210+ 0.1144644

4

216−0.1144644

6

9360 )=44.825m

Y K 2+360=4 4.884( 0.11446443−0.1144644

3

42+ 0.1144644

5

1320− 0.1144644

7

75600 )=1.7109380m



1.710938044.825

=2º 11 ' 09.16 ' '

CK 2+36 0' =√X K 2+360

2 +Y K 2+3602 =√(44.825)2(1.7109380)2=44.858m


CAMINOS II

N K 2+360=N TE+TE . ( K2+360 )cos AzTE ( K 2+360)

N K 2+360=8179196.912+44.858cos (37 º11 ' 09.16 ' ' )=8179232.649m

EK 2+360=ETE+TE. ( K 2+360 ) sen AzTE. ( K 2+360)

EK 2+360=273102.511+44.858 sen (37 º11 ' 09.16 ' ' )=273129.623m

K2+380:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 6 4.884110 )2

39 º23 '27.05' '=13º 42 ' 18.70 ' '=0.2392008 rad

L=6 4.884m

X K 2+ 380=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫64.884 (1− 0.2392008210+0.2392008

4

216−0.2392008

6

9360 )=64.514m

Y K 2+380=64.884 ( 0.23920083−0.2392008

3

42+ 0.2392008

5

1320−0.2392008

7

75600 )=5.1523299m



5.152329964.514

=4 º 33 ' 58.19 ' '

CK 2+380' =√X K 2+380

2 +Y K 2+3802 =√(64.514)2(5.1523299)2=64.719m


N K 2+380=N TE+TE . ( K 2+380 )cos AzTE ( K 2+380)

N K 2+380=8179196.912+64.719cos (39º 33 ' 58.19 ' ' )=8179246.803m

EK 2+380=ETE+TE. ( K 2+380 ) sen AzTE . ( K 2+380)

EK 2+380=273102.511+64.719 sen (39 º 33 ' 58.19 ' ' )=273143.735m

K2+400:


CAMINOS II

θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 84.884110 )2

39º 23' 27.05' '=23 º 27 ' 23.09 ' '=0.4093917 rad

L=84.884m

X K 2+ 400=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫84.884 (1−0.4093917210+ 0.4093917

4

216−0.4093917

6

9360 )=83.472m

Y K 2+ 400=84.884 ( 0.40939173−0.4093917

3

42+ 0.4093917

5

1320−0.4093917

7

75600 )=11.4456655m



11.445665583.472

=7 º 48 ' 27.71 ' '

CK 2+40 0' =√X K 2+ 400

2 +Y K 2+4002 =√(83.472)2(11.4456655)2=84.253m


N K 2+ 400=NTE+TE . ( K 2+400 ) cos AzTE ( K 2+ 400 )

N K 2+ 400=8179196.912+84.253cos (42 º 48 ' 27.71 ' ' )=8179258.723m

EK 2+ 40 0=ETE+TE . ( K 2+400 ) sen AzTE . ( K 2+ 400 )

EK 2+ 40 0=273102.511+84.253 sen (42 º 48' 27.71 ' ' )=273159.764m

K2+410:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 94.884110 )2

39º 23' 27.05' '=29 º 18 ' 31.17 ' '=0.5115326rad

L=94.884m

X K 2+410=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫94.884 (1− 0.5115326210+ 0.5115326

4

216−0.5115326

6

9360 )=92.431m

Y K 2+ 410=94.884( 0.51153263−0.5115326

3

42+ 0.5115326

5

1320−0.5115326

7

75600 )=15.8788718m

CAMINOS II


X K 2+ 410≫φc=arctan

15.878871892.431

=9 º 44 ' 52.03 ' '

CK 2+410' =√X K 2+410

2 +Y K 2+4102 =√(92.431)2(15.8788718)2=93.785m


N K 2+ 410=N TE+TE . ( K 2+410 ) cosAzTE ( K 2+41 0)

N K 2+ 410=8179196.912+93.785cos (44 º 44 ' 52.03 ' ' )=8179263.519m

EK 2+ 410=ETE+TE . ( K 2+410 ) sen AzTE. (K 2+41 0)

EK 2+ 410=273102.511+93.785 sen (44 º 44 ' 52.03 ' ' )=273168.534m

K2+420:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 10 4.884110 )2

39º 23' 27.05' '=35 º 48 ' 43.16 ' '=0.6250371rad

L=10 4.884m

X K 2+420=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫104.884 (1−0.6250371210+ 0.6250371

4

216−0.6250371

6

9360 )=100.860m

Y K 2+ 420=10 4.884( 0.62503713−0.6250371

3

42+ 0.6250371

5

1320−0.6250371

7

75600 )=21.2498728m


X K 2+ 420≫φ c=arctan

21.2498728100.860

=11º53 ' 50.87 ' '

CK 2+420' =√X K 2+ 410

2 +Y K 2+ 4102 =√(100.860)2(21.2498728)2=103.074m


N K 2+ 420=N TE+TE . ( K2+420 ) cosAzTE ( K 2+410 )

N K 2+ 420=8179196.912+103.074 cos (46 º 53 ' 50.87 ' ' )=8179267.343m

EK 2+ 420=ETE+TE . ( K 2+420 ) sen AzTE. (K 2+410 )

CAMINOS II

EK 2+ 420=273102.511+103.074 sen (46 º 53 ' 50.87 ' ' )=273177.769m

Curva circular, desde el EC al CE:

Deflexión por cuerda unidad: Gc

2=7 º 9'59.92 ’ ’

2=3º 34 '59.96 ' '

Deflexión por metro: Gc

20=7 º 9'59.92 ’’

20=0 º21' 30' ' /m

Deflexión subcuerda lado del EC: ( (2+430 )−(2+425.116) )0 º 21'30' '=1º 45'0.36 ' '

Deflexión subcuerda lado del CE: ( (2+468.694 )− (2+460 ) )0 º 21'30' '=3 º6 '55.26 ' '

DEFLEXIONES PARA LA CURVA CIRCULAR:

Deflexion(EC :K 2+425.116 )=0 º 00 ’00 ’ ’

Deflexion ( K 2+4 30 )=1 º 45'0.36 ' '+Gc

2=5 º 20'0.32 ’’

Deflexion ( K 2+4 40 )=5º 20' 0.32’ ’+1 º 45'0.36 ' '=7 º 5'68 ' '

Deflexion ( K 2+450 )=7 º5' 68' '+1 º 45' 0.36' '=8 º50' 1.04 ' '

Deflexion ( K 2+460 )=8 º50 '1.04' '+1º 45 '0.36' '=10 º35 '1.4 ' '

Deflexion (C E :K 2+468.694 )=10 º35 '1.4' '+3º 6' 55.26' '=13º 41'56.66' '

Coordenadas topográfica planas de los puntos ubicados sobre la curva circular:

EC .O=Rc=80

AzPle . EC=AzPle . PI+θe=35 º+39º 23' 27.05' '=74 º 23' 27.05 ' '

AzEC .O=74 º23 '27.05' '+90 º=164 º23 '27.05 ' '

N o=8179267.343+80cos (164 º 23'27.05' ' )=8179190.293

Eo=273177.769+80 sen (164 º23' 27.05' ' )=273199.295

K2+430:

AzO (K 2+430)=(164 º23' 27.05' '+180 º )+2 (1º 45'0.36' ' )=357 º 53'27.77 ' '

N K 2+ 430=8179190.293+80cos (357 º 53'27.77 ' ' )=8179270.239

EK 2+ 430=273199.295+80 sen (357 º 53'27.77 ' ' )=273196.351

CAMINOS II

K2+440:

AzO (K 2+44 0)=(357 º53 '27.77 ' '+7 º 09 ' 59.92 ' ' )=365 º 03 ' 27.69 ' '

N K 2+ 440=8179270.239+80cos (365 º 03 ' 27.69 ' ' )=8179349.928

EK 2+ 440=273196.351+80 sen (365 º 03 ' 27.69 ' ' )=273203.404

K2+450:

AzO (K 2+45 0)= (365 º 03 ' 27.69 ' '+7 º 09 ' 59.92 ' ' )=12 º13 ' 27.61 ' '

N K 2+ 450=8179349.928+80cos (12º 13 ' 27.61 ' ' )=8179428.114

EK 2+ 450=273203.404+80 sen (12º 13 ' 27.61 ' ' )=273220.343

K2+460:

AzO (K 2+46 0)=(12º 13' 27.61 ' '+7 º09 ' 59.92 ' ' )=19 º 23 ' 27.53 ' '

N K 2+ 460=8179428.114+80cos (19 º23 ' 27.53 ' ' )=8179503.576

EK 2+ 46 0=273220.343+80 sen (19º 23 ' 27.53 ' ' )=273246.904

K2+468.694 (CE):

AzO. CE=¿

N K 2+ 460=8179503.576+80cos (25 º37 ' 18.05 ' ' )=8179575.710

EK 2+ 460=273246.904+80 sen (25º 37 ' 18.05 ' ' )=273281.498

Espiral de SALIDA, desde el ET al CE: K2+570:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 8.694110 )2

39º 23' 27.05' '=0º 14 ' 45.83 ' '=0.0042946 ra d

L=578.694−570=8.694m

X=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫8.694 (1−0.0042946210+ 0.0042946

4

216−0.0042946

6

9360 )=8.694m

Y=8.694( 0.00429463−0.0042946

3

42+0.0042946

5

1320−0.0042946

7

75600 )=0.0124458m

CAMINOS II

φ=arctan YX

≫φ=arctan 0.01244588.694

=0 º 04 ' 55.28 ' '

CK' =√X❑

2 +Y ❑2=√(8.694)2(0.0124458)2=8.694m


NTE=N PI+T e cosAzPI TE=8179342.11+177.254cos145 º=8179196.912

ETE=EPI+T esen AzPI TE=273204.18+177.254 sen145 º=273305.849

N K=NTE+TE .C K' cosAzTE (K )

N K=8179196.912+8.694 cos (324 º 55 ' 04.72 ' ' )=8179204.027m

EK=ETE+TE .CK' sen AzTE. ( K ) AzTE . ( K )=(145+180 )−0 º 04'55.28' '=324 º 55 ' 04.72 ' '

EK=273305.849+8.694 sen (324 º55 ' 04.72 ' ' )=273300.852m

K2+560:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 18.694110 )2

39 º 23'27.05' '=1 º 08' 15.59 ' '=0.019856 rad

X=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫18.694(1−0.019856210+ 0.019856

4

216−0.019856

6

9360 )=18.693m

Y=18.694 ( 0.0198563− 0.019856

3

42+ 0.019856

5

1320−0.019856

7

75600 )=0.1237259m

φ=arctan YX

≫φ=arctan 0.123725918.693

=0 º 22 ' 45.21 ' '

CK' =√X2+Y 2=√(18.693)2(0.0124458)2=18.694m


N K=8179196.912+18.694cos (324 º37 ' 14.79 ' ' )=8179212.154m

EK=273305.849+8.694 sen (324 º37 ' 14.79 ' ' )=273295.025m

K2+550:

CAMINOS II


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 28.694110 )2

39 º 23'27.05' '=2 º 40 ' 49.27 ' '=0.046781 rad

X=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫28.694(1−0.046781210+ 0.046781

4

216− 0.046781

6

9360 )=28.688m

Y=28.694 ( 0.0467813−0.046781

3

42+ 0.046781

5

1320− 0.046781

7

75600 )=0.4473747m

φ=arctan YX

≫φ=arctan 0.447374728.688

=0 º 53 ' 36.33 ' '

CK' =√X2+Y 2=√(28.688)2(0.4473747)2=28.691m


N K=8179196.912+28.691 cos (324 º 06 ' 23.67 ' ' )=8179220.155

EK=273305.849+28.69 1 sen (324 º 06 ' 23.67 ' ' )=273289.028

K2+550:


θ=( LLe )

2

θe≫θ=( 28.694110 )2

39 º 23'27.05 ' '=2 º 40 ' 49.27 ' '=0.046781 rad

X=L(1− θ2

10+ θ4

216− θ6

9360 )≫28.694(1−0.046781210+ 0.046781

4

216−0.046781

6

9360 )=28.688m

Y=28.694 ( 0.0467813−0.046781

3

42+ 0.046781

5

1320−0.046781

7

75600 )=0.4473747m

φ=arctan YX

≫φ=arctan 0.447374728.688

=0 º 53 ' 36.33 ' '

CK' =√X2+Y 2=√(28.688)2(0.4473747)2=28.691m


N K=8179196.912+28.691cos (324 º 06 ' 23.67 ' ' )=8179220.155

EK=273305.849+28.691 sen (324 º 06 ' 23.67 ' ' )=273289.028

Caminos 2 - Calculo Geométrico de Una Curva Espiralizada

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