DEDICATORIA

Este trabajo est dedicado con mucho cario y mucho amor para nuestros padres que pagan todos nuestros estudios universitarios y nos brindan todo su apoyo

Geodesia satelital

INTRODUCCION

En geodesia y cartografa, es frecuente tener que resolver el problema de intercambio de coordenadas procedentes de distintas referencias geodsicas y cartogrficas para emplearlas en un mismo trabajo, y presentar en alguna de esas referencias, o en otra nueva. Las referencias cartogrficas vienen determinadas por los sistemas de proyeccin y presentacin utilizados, po r lo que este es un problema que se estudia en cartografa. Sin embargo, el cambio de referencias geodsicas es un problema puramente geodsico, que se suele denominar como cambio de datum y que ser tratado en este tema. La necesidad de cambio de datum proviene del hecho de que el geodesia se encuentra, en ocasiones, con la necesidad de tener que trabajar con datos que toman como referencia datums geodsicos locales de distintas pocas, o incluso datums locales y coexistentes, de distinta definicin. Tambi n, la mencionada aparicin del datum global, obligo a toda la comunidad geodsica internacional a estudiar el procedimiento sistemtico de transformacin de coordenadas geodsicas del propio sistema local; al sistema global. La tcnica para la resolucin de ambos problemas es la misma, por lo tanto, se puede generalizar y asumir como un mismo problema el cambio de datum entre distintos sistemas locales, o bien entre sistemas locales y globales. En temas anteriores se estudiaran los sistemas de referencia utilizados en geodesia. Entre ellos. Se incluir el sistema de referencia geodsico geocntrico, en el se pueden expresar las coordenadas cartesianas de un sistema rectangular tridimensional, cuyo origen es el centro del elipsoide que define las coordenadas geodsicas. Estos sistemas geodsicos geocntricos pueden ser locales o globales. Pues bien, para plantear el problema del cambio de datum, se partir de sistema geodsico expresados en coordenadas geodsicas a cartesianas, y viceversa.

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Se comenzara el tema describiendo analtico ideado por Friedrich Robert Helmert para relacionar coordenadas referidas a distintos sistemas cartesianos, y este, ser el fundamento, que conforme avance el tema, permitir la descripcin de los diferentes mtodos que resuelven el problema del cambio de datum.

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INDICE

1.- TRANSFORMACION DE HELMERT 2.- TRANSFORMACION DE AFINIDAD O DE 7 PARAMETROS 3.- ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA LOCAL 4.- ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA GLOBAL 5.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 6.- MODELO DE 7 PARAMETROS DE BURSA-WOLF 7.- MODELO DE 3 PARAMETROS 8.- MODELO DE 7 PARAMETROS DE MOLONDESKY-BADEKA 8.1.- OBTENCION DE COORDENADAS CARTESIANAS 8.2.- DESARROLLO DEL METODO DE MOLONDESKY-BADEKA 9.- MODELO ESTANDAR Y ABREVIADO DE MOLONDESKY 9.1.- FORMULA ESTANDAR DE MOLODENSKY 9.2.- FORMULA ABREVIADA DE MOLODENSKY 10.- EJERCICIOS Y BIBLIOGRAFIAS

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MARCO TEORICO1.- TRANSFORMACION DE HELMERT

Helmert estudio y determino la relacin existente entre las coordenadas de dos sistemas cartesianos tridimensionales, cuyos orgenes no coinciden, sus ejes nos son paralelos, y que utilizan distintas escalas para la medida de sus coordenadas. Sean dos sistemas cartesianos W y E como lo indica la figura. Uno, es el W(Ow,Xw,Yw,Zw), y el otro, el E(Oe,Xe,Ye,Ze).El sistema E, se encuentra girado unos ngulos x, y y z con respecto al sistema W. Adems, el sistema E, no presenta la misma escala de medida que el W, la proporcin existente entre una medida de E y otra de W, es un factor de escala que se denominara por K.

PRIMERA FORMA DE REPRESENTAR UNA TRANSFORMACION DE COORDENADAS

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Sean (X ,Y ,Z ) las coordenadas las coordenadas del origen Oe, referidas al sistema W. Las coordenadas de ambos sistemas cartesianos pueden relacionarse a travs de la expresin:

El vector q expresado en el sistema W, puede sustituirse en esta suma por el vector Ve, definido en el sistema E. Para ello, este vector debe ser afectado del tensor de giro R, correspondiente y el factor de escala K, que relaciona las magnitudes de ambos sistemas:

La superposicin del triedro OeXeYeZe con el OwXwYwZw, que se corresponde con el caso mas general, se lograra mediante los siguientes giros:

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=

Este producto da como resultado:

Si las rotaciones ex,ey,ez, son pequeas, se puede simplificar esta matriz, R, eliminando trminos cuadrticos y superiores, aproximando el seno por el propio ngulo, expresado en radianes, y expresando el coseno del ngulo a la unidad:

Si se sustituye este valor de R en la ecuacin inicial, se obtendr como ecuacin de transformacin entre los dos sistemas W y E, la siguiente:

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2.- TRANSFORMACION DE AFINIDAD DE 7 PARAMETROS: Una vez planteada la ecuacin de transformacin de coordenadas entre los sistemas W y E su resolucin es inmediata sise conocerlos 7 valores , , ,K, , , , y , as , dadas las coordenadas

necesarios que son , , ,se obtienen las

, o bien dadas estas ltimas, se obtendrn

las primeras invirtiendo la misma ecuacin , si por cualquier motivo , no se conocieran estos valores o su conocimiento no fuera lo suficientemente exacto , existe otro mtodo de resolucin indirecto , que necesite del conocimiento previo de un conjunto de dobles coordenadas es posible el calculo de esos siete valores o parmetros , este mtodo de resolucin es el conocimiento como el mtodo de afinidad o mtodo de 7 parmetros. Por cada conjunto de dobles coordenadas conocido aplicado a la ecuacin vista aparecen 3 ecuaciones; luego para poder calcular los 7 parmetros sern necesarios al menos 3 vrtices de coordenadas conocidas en ambos sistemas , de forma que puede plantea 7 o ms ecuaciones en este caso 9. Una ves obtenidos estos parmetros, es posible resolver la ecuacin vista para transformar las coordenadas de un sistema a otro en un entorno prximo a la zona ala que pertenece los vrtices, cuyas dobles coordenadas se conocen. 3.- ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA LOCAL: Los sistemas de referencia locales proceden de la geodesia clsica y estn basados en observaciones con instrumentos pticos y gravimtricos. Estos sistemas se establecen determinando parea un mbito concreto, lo siguient e: UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIN: cuyforma se adapte lo mejor posible en ese mbito concreto, ala superficie equipotencial del geoide.

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UNAS COORDENADAS DE PARTIDA O DATUM: consiste en una pareja de valores de latitud y longitud. En este datum se apoya el elipsoide antes mencionado con el semieje menor paralel al eje de rotacin de la tierra, de manera que la latitud y longitud de cualquier punto en las proximidades de la superficie de la tierra , vienen dadas por las correspondientes latitud y l ongitud del pie de la normal al elipsoide que pasa por dicho punto. Cada datum esta compuesto por:

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a) Un elipsoide, definido por a, b, aplastamiento. b) Un punto llamado fundamentalen el que el elipsoide y el geoideson tangentes Este punto fundamentalse le define por sus coordenadas de longitud y latitud, Adems del acimut con origen en el punto fundamental

En el punto fundamental coincide el elipsoide con la superficie real de la tierra as como en este punto las coordenadas astronmicas (las delatierra) y las geodsicas (las del elipsoide).

Aqu tambin encontramos: Dv: desviacin de la vertical. Xi: desviacin del meridiano.

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Estas dos desviaciones definidas vienen dadas al no coincidir la vertical perpendicular al geoide, trazada por el punto fund amental. Con la vertical perpendicular al elipsoide. Definido el datum ya se puede elaborar la cartografa de cada lugar pues se tienen unos parmetros de referencia que relacionan el punto origen del geoide y del elipsoide con se localizacin geogrfica , as como la direccin del sistema. UNA TERCERA COORDENADA LLAMADA ALTURA ORTOMETRICA: ya que las elevaciones sobre el elipsoide as colocado no tiene significado tangible. Esta altura ortometrica es la separacin existente alo largo de la vertical fsica local entre el punto en cuestin y el geoide. Esta altura ortometrica se determina por medio de observaciones gravimtricas y nivelacin geomtrica.

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Efectos de usar datum diferentes:

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SISTEMA LOCAL UTILIZADO POR EL PERU la Red Geodsica Horizontal Nacional Clsica, implementada en Per hasta el ao de 1980, mediante mediciones astronmicas y estructurado en redes de triangulacin de primer, segundo, tercer y cuarto orden, sobre la base del sistema local geodsico, el Provisional Sudamericano1956 - PSAD56, con datum La Canoa -Venezuela, y como modelo matemtico utiliza el elipsoide de Hay Ford o Internacional de 1924, con semieje mayor a = 6378,388 metros y aplanamiento f = 1/297, materializada por el conjunto de puntos y/o vrtices, distribuidos en el territorio nacional, constituy el apoyo para los levantamientos cartogrficos y topogrficos de entidades pblicas y privadas

4.- ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA GLOBAL: Los sistemas de referencia global, hicieron su aparicin con la aparicin de los satlites artificiales. Estos permiten medir, con idnticos mtodos de

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observacin, y por tanto, niveles semejantes de exactitud, las tres coordenadas en el espacio(X,Y,Z), de cualquier vrtice. Como elipsoide global, se elige uno que se adapte lo mejor posible al geoid e, pero esta vez a escala planetario. Pero adems, este elipsoide puede ser colocado, de manera que su centro coincida con el centro de masas de la

tierra, y su semieje menor este orientado en la direccin del eje de rotacin de la tierra. As colocado, se hace que su meridiano 0 pase por Greenwich. La interseccin, de este plano meridiano, con el plano del ecuador ser el eje X, y el Y estar a 90en sentido dextrgiro y en el mismo plano del ecuador. De esta manera, se pueden obtener las coordenadas ge ocntricas geodsicas de todo vrtice cuyas coordenadas se hayan obtenido por observaciones a satlites. Estas se calculan como las correspondientes al pie de la normal a su elipsoide, que pasa por el punto en cuestin. Su tercera coordenada, la altura, viene ahora dada por la separacin entre el punto en cuestin y la superficie del elipsoide as colocado. Esta altura es la altura elipsoidal. El sistema WGS84 es un sistema global, aceptado convencionalmente tras la manipulacin y el ajuste de las observaci ones a satlites, que se hicieron hasta ese ao. Las coordenadas obtenidas por observaciones GPS, VLBI, SLR, LLR, ETC., son posteriormente ajustadas, segn el sistema y marco de referencia mundial ITRS e ITRF, a una poca determinada.

5.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: En este repaso efectuado a lo largo de los dos aparatos anteriores, sobre del establecimiento de los sistemas locales y globales, se ha insistido en la existencia de los errores y ajustes de que adolecen cada uno de los sistemas por separado, sobre todo en el caso de los locales. Si a esto de aade el no exacto y directo conocimiento de los 7 parmetros, que relacionan los dos sistemas cartesianos tridimensionales, local y global,

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obligadamente se ha de descartar la solucin analtica directa, g eneral y nica, para la transformacin de coordenadas entre los dos sistemas propuesta por la ecuacin (12.2). a pesar de estos errores y ajustes, las redes de un sistema local, si guardan coherencia entre si, aunque no con las de otro sistema exterior a l. La solucin al problema, pasa por aplicar el mtodo de afinidad o de los 7 parmetros para la resolucin de la ecuacin (12 -2). Como se ha visto, este mtodo utiliza un juego de dobles coordenadas en cada uno de los sistemas de referencia. Con estas coordenadas es posible establecer una relacin de afinidad entre estos sistemas. As, se podr calcular el valor de los 7 parmetros para efectuar una transformacin de coordenadas entre sistemas geodsicos locales, o entre locales y globales, para una zo na determinada de la regin. Dependiendo de la cantidad de dobles coordenadas disponibles, y de la extensin de la regin en que se encuentren distribuidas, se obtendrn parmetros de trasformacin de mayor o menor calidad. Para resolver el problema de clculo de parmetros, aplicando el mtodo de afinidad, se pueden mencionar tres mtodos. Estos son: y y y Modelo de los 7 parmetros de Bursa - Wolf Modelo de 3 parmetros Modelo de 7 parmetros de Molodensky-Badekas

Adems de ellos, existen un mtodo para la transformacin de coordenadas por cambio de datum que se sirve de formulas dadas por Molodensky: y Modelo Abreviado y Estndar de Molodensky

6.- MODELO DE LOS 7 PARAMETROS DE BURSA WOLF: Este modelo, se basa en una transformacin de afinidad de 7 parmetros, a partir de la siguiente ecuacin:

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1 Xw Xo Y ! Y (1 K ) e z w o ey Z w Zo En la que se va sustituir la notacin

ez 1 ex

ey X e ex * Ye 1 Ze

X o , Yo , Z o por (X , (Y , (Z ; adems de K,

ex , ey , ez . Este modelo presenta el inconveniente de que la inversin de la matriz

en el ajuste por mnimos cuadrados, presenta inestabilidad, ya que si bien todos los elementos de4 la matriz son de orden prximos, los de la matriz de rotacin pueden diferir en va lores de entre 5 y 8 ordenes de magnitud por lo cual se obtiene la siguiente ecuacin. 1 Xw X Y ! Y (1 K ) e z w ey Zw Z

7.- MODELO DE 3 PARAMETROS: Este modelo es una simplificaron del modelo de 7 parmetros Bursa Wolf. Con el, se obtienen buenos resultados a la hora de obtener parmetros para extrapolar o interpolar entre varias zonas. Su ecuacin es:

8.- MODELO DE 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS: Para resolver el problema inestabilidad del modulo de 7 parmetros de Bursa Wolf, es necesario manipular la ecuacin (12-2). As, para el clculo de los parmetros, se utilizan las coordenadas del centro de gravedad o centro de masas del conjunto de coordenadas utilizadas en cada sistema para el clculo

ez 1 ex

ey X e ex * Ye 1 Ze

X w (X X e Y ! (Y Y w e Z w (Z Ze

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de los parmetros. Este centro de masas, no es otra cosa que la media aritmtica de las coordenadas utilizadas. Si las coordenadas del centro de masas en el sistema E, son Me, ( , , , ), y las coordenadas del centro , ), y se aplican a la

de masas en el sistema W, son Mw (

ecuacin (12-2) como si se tratara de una pareja mas del conjunto de dobles coordenadas, se obtendr:

Si ahora se resta esta ecuacin (12-3), a la ecuacin (12-2), se obtendr la expresin:

Si ahora se lama:

Sustituyendo este valor de las coordenadas del centro de masas, del sistema W, en la ecuacin (12-4), y despejando las coordenadas en el sistema W, se obtiene el modelo habitu almente utilizado para realizar la transformacin de coordenadas entre los sistemas E y W: Para calcular unas coordenadas siete parmetros x, y, z, K, , ,

, y ,

en un nuevo datum, adems de los , ser necesario conocer tambin las , , por lo que a este mtodo se le

coodenadas del centro de masas

conoce tambin como modelo de 10 o (7+3) parmetros de Molodensky Badekas. Sin embargo, para el calculo de los parmetros restantes x, y, z,

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K,

coordenadas, lo que da lugar a 15 ecuaciones, y por tanto, 15 -7=8 grados de libertad en un ajuste por mnimos cuadrados.

,

y

. Es aconsejable que intervengan al menos, 5 parejas de

8.1.- OBTENCION DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS: Al formar el conjunto de dobles coordenadas en los sistemas a transformar, se debe tener en cuenta que el tipo de coordenadas a utilizar, son las coordenadas geocntricas cartesianas. De esta forma, son aplicables, directamente, en las ecuaciones de transformacin para los modelos de 7 parmetros de Bursa-Wolf, 3 parmetros y 7parametros de MolodenskyBadekas. Para transformaciones entre los sistemas ED50 y WGS84, y concretamente en el caso del sistema WGS84, las coordenadas se obtienen por observaciones con GPS y vienen expresadas en el sistemas geocntrico cartesiano, por lo que se pueden emplear directamente en cualquier de los modelos mencionados. Sin embargo, para el caso de las coordenadas del sistema ED50, se disponen de coordenadas geodsicas, expresadas por medio de la latitud y longitud. Adems, la altura proporcionada, cuando las coordenadas se expresan en relacin a ese DATUM, la altura es ortometrica. Por ello, para expresar en coordenadas geocntricas cartesianas, las coordenadas

correspondientes al sistema ED50, es necesario aplicar la ecuacin que se muestra a continuacin: En esta ecuacin N es la gran normal en ese punto, e es la excentricidad del elipsoide y h la altura episdica. Pero como se ha mencionado, en principio, se dispone de la altura ortocntrica H, por lo cual ser necesario conocer la ondulacin del geoide para poder calcular esta altura elipsoidal h, segn la siguiente expresin:

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En la que

es la ondulacion del geoide y H es la altura ortocntrica. El valor del geoide en ese punto se puede obtener de la siguiente

de la ondulacin formula:

Donde:

8.2.- CALCULO DE LOS 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS: Mediante la ecuacin (12 -5), quedo planteada la ecuacin segn el modelo de 7 parmetros de Molodensky-Badekas. En este apartado, se exponen el desarrollo que permite calcular el valor numrico de estos 7 parmetros. Para ello, se seguirn los siguientes pasos: El tensor de giro R de la ecuacin (12 -5), se puede expresar como una suma de dos matrices del siguiente modo:

Por tanto, se puede escribir la misma ecuacin (12 -5), de la siguiente manera:

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por ser los valores contenidos en las matrices K y Q muy pequeos, se puede despreciar el ultimo termino de la ecuacin, quedando:

la segunda y tercera matriz del segundo miembro, se simplifican eliminando los valores de las coordenadas del centro de masas del sistema E. Se puede, tambin, sacar factor comn a los dos ltimos trminos: pero la suma de las matrices Q y K, tiene por valor:

sustituyendo este valor en (12-9), y pasando al primer miembro la matriz de coordenadas en el sistema E, se obtiene: si ahora se desarrolla esta ecuacin:

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agrupando todas las incgnitas, que se corresponden con los 7 parmetros, en una sola matriz se podr obtener una ecuacin matricial equivalente a la anterior, de la forma:

si se disponen de n parejas de vrtices, de los cuales se conocen sus coordenadas en ambos sistemas E y W, la ecuacin anterior se puede ampliar, de la forma que la matriz del primer miembro, y la primera del segundo miembro, llegan a tener 3*n filas; mientras que la matriz de los parmetros se mantiene:

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Llamemos D a la matriz, que es la compuesta por el conjunto de dobles coordenadas. Sean A, la matriz de los coeficientes, y X, la matriz de las incgnitas. As, la ecuacin (12-10) queda de la forma:

para despejar la matriz de las incgnitas, se debe convertir la matriz a en cuadrada. Para ello ha de multiplicar por su transpuesta, por lo que se ver afectado el primer miembro:

Una vez cuadrada la matriz A, se multiplica este producto por la matriz inversa del mismo producto:

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Entonces la matriz de las incgnitas queda como sigue:

Con esta expresin se podrn calcular los parmetros buscados con una mayor precisin.

9.- MODELOS ESTANDAR Y ABREVIADO DE MOLODENSKY: Estos dos modelos, proporcionan las ecuaciones de transformacin de un

sistema E a otro W, y viceversa, a partir del conocimiento de 3 parmetros y diversos datos de los elipsoides de referencia de ambos sistemas. Con estos modelos, se obtiene la correccin que es necesario aplicar, en latitud, longitud y altura, a uno de los sistemas, para obtener las correspondientes coordenadas en el otro. Sin embargo, el modelo se puede utilizar para calcular los 3 parmetros , basta calcular las diferencias a partir del juego de dobles

coordenadas. Para ello, expresadas cada pareja de coordenadas por latitud y longitud tener en cuenta los

datos de los elipsoides de ambos sistemas, e introduccin todos ellos, como datos, en las formulas de cualquieras de los modelos que se detallan continuacin. 9.1.- FORMULA ESTNDAR DE MOLODENSKY: Las formulas que se incluyen a continuacin, dan las diferencias que han de sumarse sistema global, es decir: a las del sistema local, para obtener las del a

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En estas frmulas, las siguientes magnitudes se refiere al elipsoide local: la latitud geodsica, semieje mayor, excentricidad, es la longitud geodsica, es la altura elipsoidal,

es es el

es el semieje menor,

es el aplanamiento,

es la primera es la gran

es el radio de curvatura de la elipse meridiana, y

normal. La diferencia

es la diferencia entre el valor del semieje mayor del del elipsoide local. La

elipsoide global menos el valor del semieje mayor diferencia

es la diferencia entre el valor del aplastamiento del elipsoide

global menos el valor de aplastamiento del elipsoide local. Las diferencias definen el desplazamiento entre los centros del elipsoide global y el local; son las correcciones que habra geocntricas cartesianas del sistema global. Para las coordenadas locales, se dispone normalmente de la altura ort omtrica , en vez de la elipsoidal , que es la que hay que introducir en este modelo. . que aplicar a las coordenadas

geocntricas cartesianas del sistema local, para convertirlas en coordenadas

Para obtenerla, se emplear el valor de la ondulacin 9.2.- FORMULA ABREVIADA DE MOLODENSKY:

El modelo dado por la formula abreviada de molodensky, es un a simplificacin del anterior, y es el que se suele utilizar para efectuar transformaciones de ficheros geogrficos digitales por este motivo, la seccin de geodesia de ha calculado parmetros de transformacin , segn este modelo. A continuacin se incluyen las formulas de este modelo. La nomenclatura utilizada para ellas, es la misma que la utilizada en el apartado anterior. Se deben tener en cuenta las mismas consideracion es, en relacin a la utilizacin ,

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de la ondulacin

del geoide sobre ED50, para obtener la altura elipsoidal .

,

en funcin de la ortomtria

Las zonas, para las cuales se han calculado parmetros de este tipo, son muy similares a las zonas de cobertura empleadas para el modelo de 7 parmetros de de Molodensky Badekas. Lgicamente, la exactitud de una

transformacin, efectuada con la Formula abreviada de Molodensky, es menor que aquella que se realice con el modelo de 7 parmetros de Molod ensky Badekas. Para el proceso de produccin cartogrfica del Instituto Hidrogrfico de la

marina, se ah asignado cada carta del proyecto cartogrfico, a una zona para la que se han calculado parmetros, siguiendo este modelo. Estas zonas, son muy similares a las mostradas en la fig.12-2 para el modelo de 7 parmetros de Molodensky Badekas, y el esquema seguido para definirlas, se explica en el apartado 9, de este forma, si el Datum original del fichero digital, correspondiente a una de esas cartas, es el datum ED50, se transformara a datum ETRS89, utilizando los parmetros calculados para ala zona asignada a esa carta. Si el fichero correspondiente a la carta a trasformar, es de pequea escala, y por tanto, abarca varias zonas como la de fig -12, se utilizaran parmetros mas generales, para otras zonas ms amplias, uniendo varias provincias. El error que se comete, en una trasformacin de datum, empleando ficheros geogrficos, mediante los parmetros calculados por el IHM, atreves de la formula abreviada de Molodensky, es de 2 metros, en el peor de los casos. Como 2 metros sobre el terreno, se corresponde con el graficismo de una presentacin cartogrfica a escala 1:10,000, se deduce que estos parmetros,

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son tiles para transformar ficheros gener ados a partir de esta escala, y menores, lo cual incluye la casi totalidad de la cartografa nutica comprendida en el proyecto cartogrfico del IHM. La NGA de los EEUU, ha realizado, a nivel de toda europea occidental, un clculo de parmetros para utilizarlos en estos modelos. Se ha llevado a cada mediante la eleccin de una serie de vrtices de primer orden, repartidos regularmente, y cuyas coordenadas en ED50, son conocidas. En ellos, se han obtenido coordenadas X, Y, Z realizando observaciones GPS. Posteriormente, se han resuelto las ecuaciones por el mtodo de mnimos cuadrados utilizando el conjunto de dobles coordenadas obtenidas. Como ya se ha mencionado, estos resultados se encuentran publicados en el informe tcnico TR 8350.2 de la NGA. Asimismo, este informe incluye parmetros de trasformacin, para conversin de coordenadas, entre cualquier sistema local existente en la tierra, y el sistema WGS84.

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EJERCICIOS

1.- calcular parmetros de transformacin entre los sistemas ED50 y WGS84 para una zona en la que se tiene el siguiente conjunto de dobles coordenadas:

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CONCLUSIONES

Espero que le guste este presente trabajo a todas las personas que ante nido la oportunidad de poderlo a ver visto porque este grupo se a encargado de dar lo mejor para poder as poder entregar un buen trabajo que responda todas las suspicacias de la personas pues este trabajo es muy conciso. Al desarrollar este trabajo ayuda a darnos cuenta que la geometra de la tierra es algo laboriosa motivo por el cual se la estudia en comparacin con la geometra de la elipsoide de revolucin pues en este caso ser ms fcil de poder estudiar las pues se conocen todos los clculos matemticos de una elipsoide. Este trabajo nos a dejado mucha informacin en mente pues fue interesante desarrollarlo porque se conoci las ventajas de asumir la tierra como una elipsoide de revolucin.

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RECOMENDACIONES

y

Cuando se desarrollen proyectos de ingeniera civil en el futuro se debe considerar como dato importante la longitud o rea de extensin del trabajo para as aplicar la geometra del planeta pues al desarrollar este trabajo, la forma geomtrica de la tierra es mu y importante porque tiene que ver mucho con los clculos que se van a emplear durante el desarrollo de cada uno de de os proyectos de ingeniera civil.

y

Para enterarse mejor de la geometra de la tierra debe de

buscar

informacin en libros de geodesia pue s en ah se ver bien detallado el estudio de la tierra.

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BIBLIOGRAFIA

y y y y y

Jose Manuel Villan Gamboa. geodesia y topografa TR 8350.2-B(1984, actualizado diciembre 1987), DMA TR 8350.2 (1984, actualizado enero 1987), NIMA Internet Vicente Gandarias. geodesia

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