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1.- Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas
un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:
a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
Solución:
Círculo
Ac = (pi/4) D^2 = (pi/4) (Per/pi)^2 = (1/4pi) Per^2
Triángulo equilátero
Lt = Per/3
Altura = ( raíz(3)/2) * Lt = (raíz(3)/6)*Per
At = (1/2) L*H = (raíz(3)/36) * Per^2
A = (1/(4*pi)) x^2 + (raíz(3)/36) * (L - x)^2
A = 0.0796 x^2 + 0.0481 (100 - x)^2
dA/dx = 2 [(1/4pi) x - (raíz(3)/36) * (L - x)]
Mínimo
x = [(raíz(3)/36) * L] / ( (1/4pi) + (raíz(3)/36)]
x = 37.64 cm
Amín = 0.0796 (37.64)^2 + 0.0481 (62.36)^2 = 299.8 cm^2
Los máximos relativos los tenemos en los extremos del intervalo
El mayor coeficiente de área con respecto al perímetro es el del círculo (resultado clásico).
Entonces, máximo en x = 0 (todo el alambre para el círculo)
Amax = 0.0796 (100) ^2 = 796 cm^2
2) Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere hacer una caja sin
tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser
la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo?
cortando los cuadrados de lado a de las esquinas,
nos queda una base cuadrada de lado (50 - 2 a) = 2 (25-a)
y altura a
V = [2*(25 - a)]*(2 a)
V = 8 * a*(25 - a)^2
V = 8 ( 625 a - 50 a^2 + a^3)
dV/da = 8 ( 625 - 100 a + 3a^2) = 0
a^2 - 100/3 a = - 625/3
a^2 - 2*(50/3) a + 2500/9 = 2500/9 - 625/3 = (2500 - 1875)/9 = 625/9
a - 50/3 = +/- 25/3
a1 = 25/3(máximo) ; a2 = 75/3 = 25 (mínimo)
L =25cm/3 =8.33 cm
3) Calcular los máximos y mínimos de la función: F(x) = x 3- 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
F'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de
derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f (1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
4. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?
Solución:
Se debe maximizar el área A de un rectángulo:
Designemos con "x", "y" las
longitudes de los lados del
rectángulo.
A=xy
Luego
Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es
2x+2y =120
: de donde y=60 -x.
Luego A(x)=x (60-x) =60x-x2
Como A, (x) =60-2x y A
, (x) = 0 x =30
Entonces x=30 es un valor crítico.
Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada.
Como A”(x) = -2x y A” (30) = -2(30) =-60<0, entonces es un valor máximo.
Si entonces y =30 por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área
y perímetro 120m.
5. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible
Solución:
Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos.
Sean estos números: x, y
Luego P=xy
Como la suma de esos números es 10, entonces x+y =10 es la ecuación auxiliar, de
donde y=10-y.
Entonces: p(x)=x (10-x)=10x-x2
Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función P(x)
Derivando: P(x) =10-2x
Valores críticos; (x) =010-2x=0-5
En X=5 se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor
máximo.
Como P”(X)
=-2 entoces P”(x) -2<0 entonces por lo que en X=5 se tiene un valor
máximo.
Si X=5 entonces Y=10-5=5. Luego, los números positivos cuyo producto es
máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.