Calculo_Diferencial_Selectividad_Resumido.pdf

I.E.S. A XUNQUEIRA II 2 BACH. B DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS CURSO 2015 - 2016

Autor: Jos Manuel Otero Prez - 1 -

CLCULO DIFERENCIAL. SELECTIVIDAD

1. (Junio 1995) a. Si una funcin es continua en un punto, es diferenciable en dicho punto? Razonar la respuesta.

b. Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la funcin )(xf en el punto 1x :

132

154)(

2 xsix

xsixxf

2. (Junio 1995) a. Enunciado de la Regla de LHpital

b. Calcular )(

lim20 xsen

senxx

x

3. (Septiembre 1996)

a. Determinar el valor de sabiendo que al funcin 3

4.)(

2

x

xxxf

tiene un mnimo en

1x b. Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de f. Tiene alguna asntota oblicua? En caso

afirmativo calcularla.

4. (Junio 1997) a. Enunciado de la regla de LHpital.

b. Calcular el siguiente lmite: )(

1).1(lim

20 xsen

ex x

x

5. (Septiembre 1998) De entre todos los rectngulos de rea la unidad, hallar las dimensiones de aquel que tiene mnimo el producto de sus dos diagonales.

6. (Junio 1999) La curva xxxy .. 23 corta al eje OX en 1x y tiene un punto de

inflexin en 2,3 . Calcular los puntos de la curva que tienen recta tangente paralela al eje OX.

7. (Septiembre 1999) En un tringulo issceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se ins-cribe un rectngulo de forma que uno de sus lados est sobre la base del tringulo y dos de sus vrtices

sobre los lados iguales. Qu dimensiones debe tener el rectngulo de rea mxima?

8. (Junio 2000) a. Puede tener una funcin polinmica de grado dos un punto de inflexin? Razonar la respuesta.

b. Estudiar la concavidad, convexidad y puntos de inflexin de la funcin x

xxf

)ln()(

9. (Septiembre 2000) Dada la funcin 4

41)(

x

xf

a. Determinar: cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, asntotas. b. Existe algn mximo?Existe algn mnimo? Justifquese la respuesta.

c. Representar la grfica de )(xf .



10. (Septiembre 2001) a. Puede haber dos funciones distintas que tengan igual funcin derivada? Si la respuesta es afirma-

tiva, poner un ejemplo. Si, por lo contrario, la respuesta es negativa, raznese.

b. Calcular la derivada de la funcin 2)( xxf en 2x , si es posible. Representa la grfica

de la funcin y, sobre ella, razonar la respuesta.

11. (Junio 2002) Dada 4

22)(

2

x

xxxF , escriba la ecuacin de la secante a F que une los puntos

)2(,2 F y )2(,2 F . Existe un punto c en el intervalo 2,2 verificando que la tangente a la grfica de F en )(, cFc es paralela a la secante que ha hallado? En caso afirmativo razone su res-puesta y calcule c , en caso negativo razone porqu no existe.

12. (Septiembre 2002) Calcule la ecuacin de la recta que pasa por el punto 1,3 y tal que el rea del tringulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mnima.

13. (Junio 2003) a. Qu es un punto de inflexin de una funcin?

b. Halle la condicin que debe cumplir para que el polinomio 234 .xxx sea cncavo en algn intervalo. Determine el intervalo de concavidad en funcin de .

14. (Junio 2003) a. Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema de Bolzano.

b. Se puede asegurar, empleando el teorema de Bolzano, que la funcin )()( xtgxf tiene una

raz en el intervalo

4

3,

4

? Razone la respuesta. Esboce la grfica de f en ese intervalo.

15. (Septiembre 2003) Dada la parbola cbxaxxf 2)( , determine los valores de ba, y c

sabiendo que )(xf tiene un mximo en el punto de abscisa 2

1x y la recta tangente a )(xf en el

punto )3,1( es 63 xy

16. (Junio 2004) Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un tringulo rectngulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 Km y 5 Km, respectivamente. Un hombre situado en A

desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 Km/h y caminar a 5 Km/h, a qu distancia

de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible?

17. (Septiembre 2004) a. Interpretacin geomtrica de la derivada de una funcin en un punto.

b. Determine las abscisas de los puntos de la curva 133

23

xxx

y en los que la recta tan-

gente forma un ngulo de 135 con el sentido positivo del eje de abscisas.



18. (Septiembre 2004) a. Definicin de funcin continua en un punto. Explique brevemente los tipos de discontinuida-

des que existen.

b. Estudie la continuidad en toda la recta real de la funcin

01

0)(

)(

xsix

xsix

xsen

xf

19. (Junio 2005) a. Enunciado de la Regla de LHopital.

b. Calcule la relacin entre a y b para que sea continua en toda la recta real la funcin

RRf : definida por

0

02

1)(

xsib

xsix

exf

ax

20. (Septiembre 2005) a. Continuidad lateral de una funcin en un punto.

b. Analice la continuidad, en el punto x = 0, de la funcin dada por

01

)cos(

012

)(

2xsi

x

x

xsixxf

x

21. (Junio 2006)

a. Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grfica de xexxf ).1()( en el punto de corte

de )(xf con el eje OX.

b. Calcula, para xexxf ).1()( : intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,

puntos de inflexin, concavidad y convexidad.

c. Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema del valor medio del clculo integral.

22. (Junio 2006) a. De entre todos los tringulos rectngulos con hipotenusa 10 cm., calcula las longitudes de los cate-

tos que corresponden al de rea mxima.

b. Calcula el valor de m, para que el rea del recinto limitado por la recta mxy y la curva 3xy , sea 2 unidades cuadradas.


a. Calcula los valores de a y b para que la grfica de x

baxxf )( tenga un mnimo relativo

en el punto

4,

2

1. Para esos valores de a y b , calcula: asntotas e intervalos de crecimiento y

decrecimiento de ).(xf

b. Calcula 1cos

.lim

2

2

0 x

ex x

x

c. Definicin de primitiva e integral indefinida de una funcin. Enunciado de la regla de Ba-rrow.




a. Definicin de funcin continua en un punto. Qu tipo de discontinuidad tiene en 0x la

funcin x

xxf

2

)( ?

b. Un alambre de 170 cm de longitud se divide en dos partes. Con una de las partes se quiere formar un cuadrado y con la otra un rectngulo de modo que la base mida el doble de la altura. Calcula las

longitudes de las partes en que se ha de dividir el alambre para que la suma de las reas del cua-

drado y del rectngulo sea mnima.

c. Calcula el rea del recinto limitado por la recta xy 2 ; y la curva 2xy .

25. (Junio 2007)

a. Dada la funcin

22

21.)(

2

2

xsie

xsixaxf

x calcula a para que )(xf sea continua en

2x . Para el valor obtenido de a, es )(xf derivable en 2x ?

b. Dada cbxaxxg 4)( , calcula los valores de cba ,, para que )(xg tenga en el punto

1,1 un mnimo relativo y la recta tangente a la grfica de )(xg , en 0x , sea paralela a la recta xy 4

c. Enunciado del teorema fundamental del clculo integral. Dada la funcin

xt dtexF

0

2

)( ,

tiene )(xF puntos de inflexin? Justifica la respuesta.

26. (Junio 2007) a. Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema de Rolle.

b. Dada xxxf 9)( 3 , calcula para )(xf : puntos de corte con los ejes, intervalos de creci-miento y decrecimiento, mximos y mnimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y

puntos de inflexin.

c. Calcula el rea de la regin del plano limitada por el eje OX y la curva xxy 93


a. Calcula 420 2

.lim

xx

xsenxe x

x

b. Calcula los vrtices y el rea del rectngulo de rea mxima que se puede construir de modo que su base est sobre el eje OX y los vrtices del lado opuesto estn sobre la parbola

122 xy . c. Enunciado del teorema fundamental del clculo integral. Calcula la ecuacin de la recta tan-

gente a la grfica de dttxF x cos2)(0

2

, en el punto de abscisa 0x

28. (Septiembre 2007) a. Enunciado del teorema de Bolzano. Podemos asegurar que la grfica de

42)( 45 xxxf corta al eje OX en algn punto del intervalo 2,1 ?

b. Dada la funcin

22

20)(

2 xsix

xsixg , es )(xg continua en 2x ? Es

derivable en 2x ?



c. Calcula el rea de la regin del plano limitada por las grficas de )(xg y xxh )(

29. (Junio 2008) a. Definicin e interpretacin geomtrica de la derivada de una funcin en un punto.

b. Calcula los valores de a y b para que la funcin

14

1)(

2 xsixx

xsibaxxf sea conti-

nua y derivable en 1x .

c. Calcula el rea del recinto limitado por las parbolas xxy 42 ; xxy 22

1 2

30. (Junio 2008)

a. Enunciado del teorema de Weierstrass. Si una funcin )(xf es continua en ba, y es estric-tamente decreciente en dicho intervalo, dnde alcanza la funcin el mximo y el mnimo absolu-

to?

b. Calcula el valor de m para que:

0cos1.

lim2

2

0

xsen

xxm

x

c. Calcula dx 34

52

xx

x


a. Calcula ba, y c para que

01ln

0)(

2

2

xsixx

xsicbxaxxf sea continua y derivable en R

y tenga un extremo relativo en 2x b. Sea 2x0 ),1.()( xxxg . Razona si )(xg tiene mximo y mnimo absolutos en el in-

tervalo 2,0 . En caso afirmativo, calclalos. c. Definicin de primitiva de una funcin. Enunciado de la regla de Barrow.

32. (Septiembre 2008) a. Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema de Rolle.

b. Sea )12.()( xexf x . Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la ecuacin de

la recta tangente a la grfica de )(xf en el punto de abscisa 0x .

c. Calcula: 1

0dx 12. xe x

33. (Junio 2009) a. Define funcin continua en un punto. Qu tipo de discontinuidad presenta la funcin

x

xxf

)1ln()(

2 en 0x ?

b. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los puntos de in-

flexin de la funcin 23 32)( xxxg .

c. Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de 23 32)( xxxg y la recta xy 2



34. (Junio 2009) a. Enuncia e interpreta geomtricamente el teorema del valor medio del clculo diferencial.

b. Calcula un punto de la grfica de la funcin

21)(

x

x

e

exg

en el que la recta tangente sea pa-

ralela al eje OX; escribe la ecuacin de esa recta tangente. Calcula las asntotas, si las tiene, de

)(xg .

c. Calcula:

5ln

0 2x

x

e1

edx

35. (Septiembre 2009) a. Enuncia e interpreta geomtricamente el teorema de Bolzano. Dada la funcin

21ln.3)( xxexf x , justifica si podemos asegurar que su grfica corta al eje OX en al-gn punto del intervalo 0 , 1 .

b. Calcula los valores de a y b para que la funcin

01)2(

0)(

xsixsen

xsibaxxf sea conti-

nua y derivable en 0x .

c. Calcula el rea del recinto limitado por el eje OX y la parbola xx

y 4

2

.


a. Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grfica de xexxf .1)( 2 en el punto de absci-sa 0x .

b. Calcula el dominio, las asntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos re-

lativos de la funcin 1

)(2

2

x

xxf

c. Enuncia e interpreta geomtricamente el teorema del valor medio del clculo integral.

37. (Junio 2010) Dibuja la grfica de 1

3)(

2

x

xxxf , estudiando: dominio, puntos de corte con los

ejes, asntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos relativos, puntos de in-

flexin e intervalos de concavidad y convexidad.

38. (Junio 2010) a. Define funcin continua en un punto. Cundo se dice que una discontinuidad es evitable? Pa-

ra qu valores de k, la funcin kx

exf

x

2)( es continua en todos los puntos de la recta real?

b. Determina los valores de dcba ,,, para que la funcin dcxbxaxxg 23)( tenga un

mximo relativo en el punto )4,0( y un mnimo relativo en el punto )0,2(

39. (Septiembre 2010) a. Definicin e interpretacin geomtrica de la derivada de una funcin en un punto.

b. Calcula: 2

cos2lim

xsen

xee xx

x



40. (Septiembre 2010) Dibuja la grfica de la funcin 2

)(2

x

xxf , estudiando: dominio, puntos de

corte con los ejes, asntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos relativos,

puntos de inflexin e intervalos de concavidad y convexidad.

41. (Junio 2011)

a. Enuncia el teorema de Rolle. Calcula el valor de k para que la funcin 10)( 3 kxxxf

cumpla las hiptesis del teorema de Rolle en el intervalo 0,2 y para ese valor determina un punto del intervalo en el que se anule la derivada de )(xf .

b. Calcula el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin:

1

1ln)(

2

2

x

xxg

42. (Junio 2011) En una circunferencia de radio 10 cm., se divide uno de sus dime-tros en dos partes que se toman como dimetros de dos circunferencias tangentes

interiores a ella. Qu longitud debe tener cada uno de estos dos dimetros para que

sea mxima el rea delimitada por las tres circunferencias (regin sombreada)

43. (Septiembre 2011) a. Enuncia el teorema de Bolzano. Podemos asegurar que la grfica de la funcin:

2cos2

3)( xx

senxf

corta al eje OX en algn punto del intervalo ,0 ? Razona la res-

puesta.

b. Descompn el nmero 40 en dos sumandos tales que el producto del cubo de uno de ellos por el cuadrado del otro sea mximo.Cunto vale ese producto?


a. Calcula los extremos relativos de la funcin 18)( 24 xxxf . Calcula tambin el mximo

absoluto y el mnimo absoluto de esta funcin en el intervalo 3,3 . b. Calcula los valores de a y b para que la funcin xbxaxxf ln)( 2 tenga un punto de in-

flexin en el punto 2,1 . Para estos valores de a y b , calcula el dominio y los intervalos de concavidad y convexidad de )(xf .

45. (Junio 2012)

a. Enuncia el teorema de Bolzano. Probar que la funcin 42)( 3 xxxf corta al eje OX en

algn punto del intervalo 2,1 . Puede cortarlo en ms de un punto?

b. Calcula

21

20 2

2lim

x

x xx

x

46. (Junio 2012)

a. Determina los valores de a para que la funcin RRf :

12

1)(

2

xsiax

xsixaxf sea

continua. Es derivable en 1x para algn valor de a ? b. Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema del valor medio del clculo diferencial.




a. Calcula las asntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

1

1)(

2

2

x

xxf

b. Calcula

dxx

xe

1 2

2

1

1

48. (Septiembre 2012) a. Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema de Rolle.

b. Si 2c , calcula los valores de cba ,, para que la funcin:

21

2)(

2

xsix

xsibaxxxf cumpla las hiptesis del teorema de Rolle en el intervalo c,0

49. (Junio 2013)

a. Enuncia el teorema de Bolzano. Tiene la ecuacin 0223 xx alguna solucin en el in-

tervalo 1 , 0 ? Tiene esta ecuacin ms de una solucin real?

b. Calcula los valores de a y b para que

11

lim2

22

0

xsen

ebxax x

x

50. (Junio 2013) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y

convexidad de la funcin xxxxf 44)( 23

51. (Junio 2013) En una circunferencia de centro O y radio 10 cm se traza un dimetro AB y una cuerda CD perpendicular a ese dimetro. A qu distancia

del centro O de la circunferencia debe estar la cuerda CD, para que la diferencia

entre las reas de los tringulos ADC y BCD sea mxima?

52. (Junio 2013) Enuncia el teorema de Rolle. Determina el valor de a para que sea aplicable el teore-

ma de Rolle a la funcin 1)( 3 axxxf en el intervalo 1 , 0 . Para este valor de a , calcula un punto 1 , 0c en el que la recta tangente a la grfica de )(xf sea paralela al eje OX.

53. (Septiembre 2013) Calcula x

x

x ex

e

.

1lim

2

54. (Septiembre 2013) Calcula el dominio, las asntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y

los mximos y mnimos de 2

12)(

xe

xxf

55. (Junio 2014)

a. Define funcin continua en un punto. Qu tipo de discontinuidad tiene xx

xxf

2

4)(

2

2

en

los puntos 0x y 2x ?

b. Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grfica de 162)( 23 xxxf en su punto de inflexin.



56. (Junio 2014) Calcula

xx

x

x

21

12lnlim

57. (Junio 2014)

a. Dada la funcin 1

)(

cx

baxxf calcula los valores de cba ,, sabiendo que

2

1x es una

asntota vertical y que 65 xy es la recta tangente a su grfica en el punto correspondiente a

1x . Para los valores de cba ,, calculados, posee )(xf ms asntotas? b. Enuncia el teorema del valor medio del clculo diferencial. Se puede aplicar, en el intervalo

1 , 0 , este teorema a la funcin x

xf

2

1)( ? En caso afirmativo, calcula el punto al que ha-

ce referencia el teorema.


a. Calcula: xsen

xex x

x 2

2

0

2coslim

b. Queremos dividir un hilo metlico de 70 metros de longitud en tres partes de manera que una de ellas tenga doble longitud que otra y adems que al construir con cada parte un cuadrado, la suma

de las reas de los tres cuadrados sea mnima. Calcula la longitud de cada parte.

59. (Septiembre 2014) Dada la funcin

11

1)(

2 xsibxax

xsimxxf

a. Calcula los valores de b ,a y m para que )(xf sea derivable en 1x y tenga un extremo re-

lativo en 3x b. Enuncia el teorema del valor medio del clculo diferencial. Para los valores 6 ,1 ba y

4m , calcula, si existe, un punto 5,0c tal que la tangente a la grfica de )(xf en cx sea paralela al segmento que une los puntos )0,0( y )4,5( .

60. (Junio 2015) Dibuja la grfica de 1

2)(

2

x

xxf estudiando: dominio, simetras, puntos de corte

con los ejes, asntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos relativos, puntos

de inflexin e intervalos de concavidad y convexidad.

61. (Junio 2015) a. Definicin e interpretacin geomtrica de la derivada de una funcin en un punto.

b. Calcula los valores de b y c para que la funcin

0

0ln)(

2

2

xsicbxx

xsixexf sea deriva-

ble en 0x . 62. (Septiembre 2015)

a. Calcula los valores de a y b para que la funcin

12ln2

1)(

2

2

xsix

xxsibxax

xf sea derivable

en 1x . b. Para los valores 4a y 6b , determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

)(xf



63. (Septiembre 2015) a. Define derivada de una funcin en un punto. Interpretacin geomtrica .

b. Dada la funcin 12)( xexf x , calcula: intervalos de crecimiento y decrecimiento y m-ximos y mnimos de )(xf .


a. Calcula: 20

424

limx

xx

x

b. Calcula una primitiva de la funcin senxxxf .)( que pase por el punto 0,

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