Calculo vectorial_Integrales

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  • 8/3/2019 Calculo vectorial_Integrales

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    Profesor: Irving Cardiel Alcocer | Alumna: Itzel Vzquez Pavn

    UNIVERSIDAD

    TECNOLGICA

    DEMXICO

    CALCULOVECTORIAL

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    Integrales de lnea

    En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya funcin es evaluada

    sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se

    llama tambin integral de contorno.Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser:

    el clculo de la longitud de una curva en el espacio, el clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una

    funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,

    o tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo deuna trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales)

    que acten sobre el mismo.

    La integral de lnea esa muy semejante a la integral de Riemann, es decir, la integral que se ve en

    el curso de calculo ordinario, pero la integral de lnea se integra sobre una curva C ya sea en el

    plano o en el espacio, y es por ello que se acostumbra llamar a la integral de lnea como integral

    curvilnea Considerando la ecuacin del trabajo , la componente tangencial de lafuerza puede estar en el plano o en el espacio, y su notacin cambiaria a f(x,y) o f(x,y,z)

    respectivamente, y se deben proponer intervalos de arcos sobre los que se calculara el producto

    de las fuerzas tangenciales y el intervalo de arco, luego sumando todos los productos desde

    principio a fin de la curva obtendremos una integral de Riemann sobre la curva, a la que

    formalmente se le llama integral de lnea.

    Definicin

    Sea f una funcin definida en una regin que contiene a una curva suave C de longitud finita,

    entonces la integral de lnea defsobre C esta dada por:

    Considerando que el limite existe

    Por lo general las funciones que se abordan en la integral de lnea son continuas y esto hace que

    los limites de las ecuaciones existan y para ser evaluados se hace lo siguiente

    Si fes una funcin continua en una regin que contiene una curva lisa C, y si C esta representada

    por r(t)=x(t)i+ y(t)j, donde , entonces

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    Ahora bien si esta representada por r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k donde

    , entonces

    Integral de lnea en forma diferencial

    La mayora de las integrales que contienen funciones obtenidas empricamente conducen a

    integrales definidas que son extremadamente complicadas y que para evaluarlas hay que recurrir

    a mtodos de integracin numrica.

    En otra gran parte de las aplicaciones fsicas de la integral de lnea, sus integrandos se

    obtienen en forma diferencial.

    La generalizacin de este resultado se obtiene en:

    O bien

    Integrales de lnea de campos vectoriales

    Las funciones vectoriales tales como:

    F(x,y)=P(x,y)i+ Q(x,y)jy F(x,y,z)=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)kson llamados campos vectoriales

    Ahora bien la representacin de una integral de lnea de un campo vectorial es:

    Donde F es un campo vectorial y dr=[x(t)i+ y(t)j]dt o bien dr=[x(t)i+ y(t)j+ z(t)k]dten el plano y

    en el espacio respectivamente.

    Reconoce que si F=F1i+F2j+f3k. Entonces la ecuacin se puede modificar a:

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    Donde la ecuacin es una integral de lnea en forma diferencial, as que la manera de abordar las

    integrales de campos vectoriales ser la misma que la de integrales en forma diferencial

    Integrales de lnea independientes de la trayectoria

    Existen casos en los que el resultado no depende de la trayectoria, ya que para cualquier

    trayectoria el resultado es el mismo. Lo que nos lleva a tener dos propiedades importantes.

    Si tenemos Pdx+Qdy, entonces es una diferencial exacta si

    Si Pdx+Qdy es una diferencial exacta entonces:

    a) es independiente de la trayectoria que se considereb) para cualquier trayectoria

    Lo anterior nos servir para simplificar futuros clculos cada vez que nos topemos con la integral

    de una diferencial exacta. Existe otra forma de presentar en el contexto de lafsica-matematica y se muestra a continuacin:

    Sea una integral de lnea independiente de la trayectoria C que se considere,entonces sabemos que existe una funcinfque cumple con la diferencial exacta:

    Donde

    y , o bien df=Pdx+QdyNota que lo anterior lo pudimos obtener a partir de utilizar el siguiente producto punto:

    En donde F=Pi+Qjen un campo vectorial. Nota que si entonces el campo vectorialF es un gradiente de la funcinf, es decir, En lenguaje fsico, a F se le conoce como campo de gradiente y afcomofuncin potencial de F.

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    Integrales DoblesAs como es posible derivar funciones de varias variables con respecto a una variable

    manteniendo las otras variables constantes, un proceso llamado derivacin parcial, tambin es

    posible hacer un proceso similar al utilizar las integrales de funciones de varia variables. Por

    ejemplo, si consideramos la derivada parcial podemos integrar esta expresin con respecto a x

    contemplando queyes constante. As:

    Integrales iteradas

    Las integrales de la forma:

    Y

    Donde f(x,y) es continua, son llamadas integrales iteradas ya que la integracin se repite dosveces

    rea de una regin en el plano

    i) Si se define R por y donde g1 y g2 son continuas en[a,b], entonces el rea de R es:

    ii) Si se define R por y donde h1 y h2 son continuas en [c,d],

    entonces el rea de R es:

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    La integral doble

    Partiendo de la definicin de la integral definida de una funcin de una sola variable que esta dada

    por el lmite de una suma, tal como:

    Podemos extender sin ningn obstculo la definicin a funciones bidimensionales, z=f(x,y), en

    dondefesta definida en una regin cerrada y acotada. As, obtenemos la siguiente definicin:

    Sifesta definida en una regin acotada y cerrada R en el planoxy, entonces la integral doble de

    fsobre R esta dada por:

    Calculo de volmenes mediante integrales dobles

    Considera una parte de un cilindro elptico cortado por una superficie z=f(x,y)

    El eje del cilindro esta a lo largo del eje z y su base sobre el plano xy. Si quisiramos hallar el

    volumen de esta parte del cilindro, bastara con considerar un pequeo elemento del rea en labase del cilindro y una columna del solido que desacansa sobre esta area coimo base. De ah que

    el volumen de la columna esta dado por z. Ahora, si sumamos sobre todos los elementos ytomando el limite cuando , obtenemos el volumen total. O bien Pero como z=f(x,y) y dS=dxdy entonces el volumen total puede obtenerse mediante

    , la cual es una integral doble

    Cambio de variable para integrales dobles

    Supn que ahora se requiere calcular sobre el crculo , donde a esel radio del crculo. Pues bien, habra que hacer la grafica de ese crculo para establecer el orden

    de integracin, dicha evaluacin es bastante tediosa y complicada, aun si se cambiara el orden de

    integracin no seria ms simple esa evaluacin. Un mtodo ms sencillo seria utilizar un cambio

    de coordenadas y en este caso las convenientes son las coordenadas polares por el tipo de grafica

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    circular, pero debemos expresar el elemento de rea dydx en un elemento de rea en

    coordenadas polares y esto genera el uso del llamado jacobiano de transformacin cuya

    ecuacin es:

    Para ello abordaremos el siguiente teorema:

    Sean R y S regiones del plano xy y uv, que estn relacionadas por medio de las ecuaciones

    x=g(u,v) y y=h(u,v) de manera tal que cada punto de R es imagen de un nico punto de S. Si fes

    continua en R y g y h tienen derivadas parciales continuas en S y no es nulo en S,entonces:

    Aplicaciones de la integral doble

    Momentos y centros de masaSiendo una densidad superficial (masa por unidad de rea) constante de una lamina, entonces

    la masa de esa lmina se calcula mediante:

    Donde A representa el rea o superficie de la lamina. Si consideramos para una lamina dada por

    una regin R cuya densidad variable es (x,y) en donde es no negativa y continua con R,

    entonces se transforma en la integral doble.

    Por otra parte, las coordenadas del centro de masa de la lmina se calculan mediante:

    Y los momentos de la lmina respecto de los ejesyyxrespectivamente son:

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    Si (x,y)=constante, entonces el centro de masa corresponde al centroide de la lamina

    Momento de inercia

    El momento de inercia llamado tambin segundo momento de una partcula de masa M con

    respecto a un eje, se define como:

    En donde r es la distancia de la partcula al eje en estudio; extendiendo esta definicin al caso de

    una lmina con densidad (x,y), el momento de inerciacon respecto al eje x ser:

    Similarmente, el momento de inercia con respecto al eje y es:

    Por ultimo, el momento de inercia con respecto al origen es:

    Este momento tambin llamado como momento polar de inercia. Nota que:

    I0=Ix+Iy

    reas de superficie

    Recordando que la manera de calcular la longitud de arco de la grafica de y=f(x) desde x=a hasta

    x=b la cual esta dada por:

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    Ahora bien, esta formula se puede extender de manera natural a dos variables, tal y como se

    muestra a continuacin

    Donde y

    Esta ecuacin es el rea de la superficie S determinada por la funcin diferenciable z=f(x,y) en una

    regin R del planoxy

    Integrales TriplesEn el tema anterior se defini la integral doble mediante la ecuacin

    Pues bien esta ecuacin se puede extender a una funcin continua de tres variables dada porf(x,y,z), definida en una regin solida acotada Q pero ahora considerando que esta regin Q se

    puede denotar por una red de cajas donde el volumen de la caja i-sima es

    Ahora bien, definiendo la norma || de la particin como la longitud de la diagonal mas larga de

    las n cajas y eligiendo un punto (x1,y1,z1) para cada caja, construimos la suma de Riemann dada

    por,

    Continuando con el lmite cuando || tiende a cero de la ecuacin para tener ms exactitud,

    generamos la definicin de integral triple.

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    Definicin

    Seafuna funcin de tres variables continua en una regin solida Q, entonces la integral triple de f

    sobre Q se define como:

    Obviamente, al igual que la integral simple y la integral doble, la integral triple goza de las mismas

    propiedades de lineabilidad tales como:

    i) ii) iii) para Q=Q1Q2 y Q1Q2=

    Se deja ver que la igualdad se trata de una integral iterada en tres dimensiones y el desarrollo de

    la misma es similar al desarrollo trabajando en las integrales dobles, solo que a diferencia de la

    integral iterada en dos dimensiones aqu en tres dimensiones no hay que perder de vista la

    existencia de los seis posibles rdenes de integracin:

    Ahora veamos el modo de evaluar la integral triple remitindonos al teorema

    Sea funa funcin continua en una regin solida Q definida por

    Donde y1,y2,z1,z2 son funciones continuas. Entonces:

    Aplicacin de las integrales triples

    VolmenesMaticemos el hecho de que si f(x,y,z)=1 en la ecuacin, entonces la integral triple

    Representa el volumen de Q

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    Centros de masa y momentos de inerciaSi consideramos una regin solida Q cuya densidad en (x,y,z) esta dada por lafuncin densidad

    y adems el centro de masa m viene dado por las coordenadas (x,y,z), donde:

    Con

    Siendo Myz, Mxz, y Mxy primeros momentos de la regin Q con respecto a los planos yz,xz,xy,

    respectivamente

    Existen otros momentos los cuales se calculan con respecto a los ejes coordenados. A esos

    momentos se les conoce como segundos momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,z y

    estn determinados por:

    Momento de inercia con respecto al eje x

    Momento de inercia con respecto al eje y

    Momento de inercia con respecto al eje z

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    Ahora, si se requiere calcular los tres momentos de inercia es conveniente utilizar las ecuaciones:

    Donde

    Ix=Ixz+Ixy

    Iy=Iyz+Ixy

    Iz=Ixz+Iyx

    Teoremas Integrales

    Teorema de Green

    Da la relacin entre una integral de lnea alrededor de una curva cerrada simple Cy una integral

    doble sobre la regin plana D limitada por C. El teorema de Green se llama as por el cientfico

    britnico George Green y es un caso especial del ms general teorema de Stokes. El teorema

    afirma:

    Sea Cuna curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el

    plano y sea D la regin limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una

    regin abierta que contiene D,

    A veces la notacin

    Se utiliza para establecer que la integral de lnea est calculada usando la orientacin positiva de

    la curva cerrada C.

    http://es.wikipedia.org/wiki/George_Greenhttp://es.wikipedia.org/wiki/George_Green
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    Integrales de superficie

    La integral de superficie es una extensin del concepto de integral doble, de igual modo en que la

    integral de lnea es una extensin del concepto de integral de Riemann clsica. Como el nombre lodice, es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una superficie.

    Integral de superficie de un campo escalarSe define la integral de superficie de una funcin escalar (real) F(x,y,z) en el espacio tridimensional

    R3 respecto a una superficie S representada por la funcin vectorial continua

    . Si la superficie S es la imagen de la regin

    Ten el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

    En que son las derivadas parciales de la funcin vectorial que define a S, respecto a las

    variables u y v.

    La razn de esta definicin proviene del hecho de que una integral doble "clsica" de una funcin

    f(x,y)puede definirse subdividiendo la regin de integracin T en pequeos rectngulos cuyos

    lados fueran de medidas dxy dyy efectuando la sumatoria de los productosf(x,y)dxdyen que el

    punto (x,y) se halla en el interior del rectngulo correspondiente. Como puede observarse, dxdy

    es el rea de cada uno de esos rectngulos, por lo que habitualmente este producto se denota por

    dA.

    Al extender este proceso a una superficie tridimensional, sta se divide en pequeos sectores de

    rea dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evala la sumatoria de los productos

    f(x,y,z)dS. El rea de estos sectores es aproximadamente igual al rea del paralelgramo

    formado por sus vectores tangentes de longitud infinitesimal, y, por la definicin

    de producto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos vectores cuya rea es la

    de dicho paralelgramo, por lo tanto, . Al valor dS lo llamamos

    elemento escalar de rea.

    Integral de superficie de un campo vectorial

    Definimos la integral de superficie de un campo o funcin vectorial bajo condiciones

    similares al caso anterior, de la siguiente forma:

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    Las componentes del vector pueden escribirse como determinantes jacobianos de la

    siguiente forma:

    Por lo tanto, si , la integral de superficie puede escribirse como:

    Esta notacin es fcilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales

    dobles. Sin embargo, ntese que en dicha notacin el orden de los smbolos dx, dy o dz es

    importante, ya que , por lo que, por ejemplo:

    La integral de superficie de un campo escalar y la integral de superficie de un campo vectorial

    estn conectadas mediante la identidad:

    En la cual, es un vector unitario normal a la superficie S.

    Teorema de la divergencia de Gauss

    El teorema de la divergencia, tambin llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a travs de una superficiecerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.

    Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los

    sumideros da el flujo de salida neto de una regin. Es un resultado importante en fsica, sobre todo

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    en electrosttica y en dinmica de fluidos. Desde el punto de vista matemtico es un caso

    particular del teorema de Stokes.

    Sean y dos subconjuntos abiertos en donde es simplemente conexo y el

    borde de , es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

    Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales

    de primer orden continuas.

    Entonces:

    Donde el vector normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen .

    Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema

    fundamental del clculo. El teorema fue enunciado por el matemtico alemn Carl Friedrich

    Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemtica que tiene el

    campo elctrico con otras leyes fsicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes

    problemas de fsica gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la

    distancia, como la gravitacin o la intensidad de la radiacin. Este teorema recibe el nombre de

    ley de Gauss y constituye tambin la primera de las ecuaciones de Maxwell.

    Teorema del Rotacional de Stokes

    Otra consecuencia del Teorema de Green es el Teorema de Stokes, llamado as en honor al fsico

    y matemtico ingles George Gabriel Stokes. El teorema del rotacional de Stokes ofrece la

    vinculacin entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y una integral de lnea a

    lo largo de una curva especial cerrada C que forma la frontera de S.

    Si S es una superficie orientada con un vector normal unitario n y limitada por una curva C cerrada

    simple y sueva por intervalos. Adems F es un campo vectorial en donde sus funciones

    componentes tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una regin abierta que

    contiene a S y a C entonces:

    En otras palabras el teorema establece que el flujo de rotF a travs de cualquier superficie abierta

    S limitada por un circuito C es igual a la circulacin alrededor del mismo circuito C.

    Ahora, se poder evaluar la ecuacin debemos apoyarnos en la siguiente ecuacin

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    Evaluacin de una integral de flujo

    Si S es una superficie dada por z=g(x,y) y R es una proyeccin en el planoxy, entonces

    Aplicaciones fsicas del Calculo Vectorial

    Aplicaciones a la mecnica clsicaContraeremos nuestro estudio en dos parejas de temas:

    o Fuerzas y momentoso Trabajo y energa

    Fuerzas y momentos

    Cuando se habla de fuerzas nuestra primera idea es pensar en las leyes de Newton. Ese es justo elobjetivo de este tema y se citan a continuacin.

    1. Una partcula permanece en su estado de reposo o movimientos en una lnea recta amenos que sobre ella actu una fuerza.

    2. La tasa de cambio en momentum de una partcula en el tiempo es proporcional a la fuerzaneta que acta sobre la partcula y tiene la misma direccin que la fuerza

    3. A cada accin le corresponde una reaccin igual y opuestaEn particular la segunda ley de Newton se puede traducir al lenguaje matemtico, pero antes

    debemos aclarar que el producto de la masa m y la velocidad vse llama momento o momentum

    lineal y se representa por la letrap; entonces,

    De ah que la segunda Ley de Newton se establezca como:

    Puesto que la masa de la partcula es una constante, entonces la ecuacin se modifica a:

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    Y por supuesto la aceleracin es asi que la ecuacin se convierte en

    E incluso si , entonces es:

    Trabajo y energa

    La aplicacin ms importante de la integral de lnea se refleja en una entidad fsica llamada

    trabajo.

    Pero recordemos que Ft=Fcos, as que la ecuacin se transforma en

    Y basndose en la definicin del producto punto obtendremos que

    Aunque formalmente el trabajo se calcula como se propone en la siguiente definicin:

    Sea C una curva suave en un campo de fuerzas f y T el vector tangente unitario a C en (x,y,z),

    entonces el trabajo W realizado por F a lo largo de C es

    Aplicaciones a la mecnica de fluidos

    En esta seccin nos apoyaremos en las integrales de superficie, de volumen y los teoremas

    integrales, pero antes debemos conocer ciertos conceptos que se utilizan en el lenguaje cotidiano

    de la mecnica de fluidos y que a su vez intervienen directamente en las ecuaciones de

    continuidad y movimiento.

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    En la mecnica de fluidos juegan un papel importante la velocidad, la presin y la densidad de un

    fluido para la construccin de la teora que describe el fenmeno y en general estas cantidades

    estn en funcin de las coordenadas espaciales,x,y,z y del tiempo t, y se definen algunos de ellas

    como:

    Fluido: Sustancia incapaz de resistir fuerzas tangenciales o cortantes, se adapta a la forma de losrecipientes que lo contienen. Por lo general, los fluidos se clasifican en lquidos y gases.

    Presin (P): Intensidad de la fuerza de compresin normal distribuida sobre un rea especfica porla accin de fluidos, se mide en trminos de fuerza por unidad de rea es decir,

    Densidad (): Entidad fsica o propiedad de los fluidos que se obtiene dividiendo la masa entre elvolumen, es decir,

    En un fluido la razn de flujo de volumen por unidad de tiempo tiene el mismo valor en todos los

    puntos del tubo de flujo, lo que significa que la masa del fluido en movimiento no cambia al fluir,

    lo que da pie a una importante relacin cuantitativa llamada ecuacin de la continuidad. La cual

    construiremos a continuacin.

    La ecuacin para obtener la masa se representa mediante una integral triple dada por

    Ahora, si hacemos algunas modificaciones en la ecuacin anterior para encontrar la tasa de

    cambio de la masa con respecto al tiempo, se tiene que mide el volumen del fluido querecorre en elemento de superficie por unidad de tiempo y esto se puede comprobar realizando un

    anlisis dimensional, en consecuencia mide la masa por unidad de tiempo y como S es unasuperficie cerrada se tiene que,

    Es la tasa de cambio de la masa con respecto al tiempo. La ecuacin de conservacin de cualquierente fsico se traduce de manera burda como:

    Todo lo que entra en un sistema = Todo lo que sale del sistema

    As que, si en la ecuacin anterior es la masa por unidad de volumen que entra al sistema,

    entonces nos falta encontrar lo que sale del mismo sistema.

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    Ahora bien, la cantidad de masa por unidad de tiempo que sale del sistema se puede calcular

    derivando parcialmente con respecto al tiempo para obtener:

    Donde el signo negativo indica una tasa de decrecimiento.

    Aplicando la ecuacin de conservacin general tenemos que igualar, as que:

    Por la regla de Leibniz se modifica a:

    Por el teorema de la divergencia de Gauss el miembro izquierdo de la ecuacin se modifica a:

    O bien,

    Igualando a cero la ecuacin obtenemos

    Como debe ser valida para cualquier volumen, entonces el integrando debe ser igual a cero para

    que se cumpla. La ecuacin de continuidad de la dinmica de los fluidos esta establecida por:

    Donde es la densidad y ves la velocidad de un fluido en movimiento.

    Si un fluido es incompresible entonces la densidad es constante y se cumple que o ,

    y adems para que un fluido sea lo que llamamos flujo permanente se debe cumplir .

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    Para un flujo de fluidos sin rozamiento, incompresible y con densidad constante, segn la

    ecuacin de continuidad, la rapidez de flujo de un fluido puede variar a lo largo de la trayectoria

    del fluido y, consecuentemente, la presin tambin puede variar. Variables que se relacin por

    medio de la ecuacin de movimiento.

    Generalmente la Segunda Ley de Newton establece que:

    As que debemos hallar todas las fuerzas que intervienen en el problema.

    Si f(r) es la fuerza exterior por unidad de masa que acta sobre el fluido, entonces la fuerza

    externa resultante que acta sobre una regin Q es:

    Ahora considerando la presin del fluido obtenemos la fuerza resultante debida a tal presin,

    Nota que dS hace que se eliminen las unidades de rea de la presin y estemos considerando una

    fuerza en la ecuacin. Si nos apoyamos en el teorema del Gradiente dado por:

    Donde Q es una funcin escalar continua en una regin Q limitada por una superficie cerrada S.

    La formula se modifica a:

    Regresando a la segunda ley de Newton

    Donde asi que,

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    Aplicando la Regla de Leibniz en el miembro izquierdo y considerando constante,

    Igualando a cero la ecuacin tenemos:

    Lo que nos lleva a la ecuacin de Euler,

    Despejando

    :

    Ecuacin de movimiento

    Un fluido sin rozamiento de densidad con esfuerzos normales dados por la presin P al recibir un

    impulso por un campo de fuerza externa f le proporciona un cambio en su velocidad v con respecto altiempo y se describe por la ecuacin de movimiento.

    Aplicaciones en la teora electromagntica

    En esta seccin se estudian dos identidades importantes en la teora electromagntica que son lasecuaciones de continuidady las ecuaciones de Maxwell.

    Antes de abordar los problemas debemos entender los siguientes conceptos tericos que nosayudaran a comprender las ecuaciones citadas.

    Densidad de carga ()=Es la carga por unidad de volumen (termino similar a la densidad) y suecuacin es:

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    Corriente (I): Es el movimiento de la carga, y se calcula mediante la ecuacin:

    Densidad de corriente (J): Es el producto de la densidad de carga y la velocidad v de la carga.

    Con los anteriores conceptos podemos ahora construir la ecuacin de continuidad de un flujo de

    cargas elctricas o simplemente flujo elctrico. Ahora bien, recordando la ecuacin de

    conservacin de una entidad fsica podemos adaptarla a esta teora de la siguiente manera:

    La razn por la cual decrece una carga en el sistema es igual a la razn por la cual la carga sale del

    sistema

    Empecemos por modelar la razn por la cual decrece la carga en el sistema. Pues bien, la carga

    esta dada por (despejando q):

    Pero modificando en lenguaje matemtico:

    La razn de cambio con respecto al tiempo es:

    Y por la regla de Leibniz se modifica a:

    Y como la razn de cambio decrece, tenemos que

    Por otra parte, recordemos que la intensidad de corriente I es:

  • 8/3/2019 Calculo vectorial_Integrales

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    Ya que cumple con las unidades de I y como tenemos una regin S cerrada, la ecuacin se

    transforma en una integral de superficie cerrada:

    Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss,

    Si J=v, entonces

    Igualando a cero la ecuacin obtenemos

    De donde la ecuacin de continuidad es:

    La ecuacin se puede modificar si recordamos que J=v as que generamos

    Que es la ecuacin de continuidad dada en funcin de la densidad de carga y velocidad de flujo de

    carga.

    En el siglo XIV las teoras del campo elctrico y magntico se estudiaban independientemente.

    Hasta que Faraday demostr que un campo magntico que varia con el tiempo genera un campo

    elctrico Faraday crey en la dualidad de que un campo elctrico variable con el tiempo debera

    generar tambin un campo magntico, pero no fue capaz de probar su hiptesis, dejando el

  • 8/3/2019 Calculo vectorial_Integrales

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    trabajo de la demostracin al ingenio de James Clerk Maxwell, consiguiendo este la unificacin de

    los campos elctrico y magntico en la teora electromagntica.

    Abordar la teora electromagntica se redice al empleo de las ecuaciones de Maxwell.

    Ecuaciones de MaxwellSea E la intensidad de campo elctrico, B la densidad de induccin magntica o de flujo

    magntico, D densidad de flujo elctrico y H intensidad de campo magntico, entonces las

    ecuaciones de Maxwell son: