2.1.- Ecuacin Paramtrica De La Lnea RectaLa recta constituye una parte fundamental de las matemticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramtrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuacin vectorial que denote una lnea recta. El parmetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relacin particular con la ayuda de los parmetros. Por tanto, una ecuacin paramtrica es una ecuacin que est basada en una variable en particular. Una ecuacin paramtrica, en trminos generales, se conoce tambin como representacin paramtrica. Ejemplo: Considere la ecuacin x = 2 + 3t. En esta ecuacin, t denota el parmetro y la ecuacin se conoce como ecuacin paramtrica en trminos de t.Si as consta, por lo general, las ecuaciones de la forma x = x0 + ta; y = y0 + tb; z = z0 + tc representan las ecuaciones paramtricas de lnea recta. Para conseguir un punto particular en la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones e insertarlo en otra ecuacin. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto determinado en la recta.Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuacin paramtrica para una recta entre los puntos (1, 3) y (1, 1).Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (1, 3) como punto inicial.Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que 1 est a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = 1 + 2tPaso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 est a 2 unidades de distancia del1. Por tanto, y = 3 - 2t.Por consiguiente, las ecuaciones paramtricas para la recta entre los puntos (1, 3) y (1, 1) son x = 1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuacin paramtrica en el campo del clculo vectorial se denomina ecuacin vectorial. El clculo de la ecuacin vectorial se basa en el concepto del clculo de la ecuacin paramtrica.Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuacin vectorial para una lnea entre los puntos (1, 3) y (1, 1).Se procede de la siguiente manera:Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (1, 3) como punto inicial.Paso 2: Un vector de direccin es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y 2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de direccin viene a ser (2, 2).Paso 3: Por consiguiente, la ecuacin vectorial toma la forma de: (1, 3) + (2, 2) t.La principal diferencia entre la ecuacin paramtrica y la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuacin vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la forma paramtrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

2.2.- Curvas PlanasLas curvas son una parte esencial de las matemticas.Existe una gran variedad de curvas que sern tratadas en la vida matemtica.Una curva que se encuentra en un plano individual se dice que es una curva plana.Una curva plana puede ser clasificada en plana cerrada o plana abierta.La solucin de una ecuacin algebraica en un plano definido, por ejemplo, f(x, y) = 0 o la solucin de una ecuacin simple en el espacio, esto es, por ejemplo g(x, y, z) = 0, forma una curva plana.Algunas de las propiedades de los planos en los cuales se encuentran las curvas son las siguientes:1). Slo se puede obtener una curva plana a travs de tres puntos que no sean de origenco-linear.2). Slo puede existir un plano que contenga dos lneas concurrentes.3). Slo puede obtenerse1 plano perpendicular en una direccin dada y a una distancia dada desde el origen.4). Un solo plano puede ser obtenido desde un punto dado y en una direccin perpendicular dada.Por tanto, a partir de estas propiedades, puede decirse que tres puntos dados especifican un plano dado, que dos rectas concurrentes especifican un plano dado, una normal a un plano y la distancia del plano desde el origen especifican un plano particular y, por ltimo, que un punto en el plano y una normal al plano especifican un plano particular.La ecuacin que representa una curva plana se basa enteramente en el sistema de coordenadas. Algunas de las ecuaciones de las curvas planas con el sistema de coordenadas incluyen:Polar, f(r,) = 0Rectangular, f(x,y) = 0Paramtrica, x = f(t), y = g(t)La creacin de curvas planas puede efectuarse a travs de curvas de contorno o nivel para una funcin de 2 variables.Una funcin de dos variables generar un grfico triple ordenado en 3D (x, y, z). Aqu z = f (x, y).Una ecuacin algebraica tambin puede ayudar a generar una curva plana.Una ecuacin algebraica es aquella ecuacin en la cual slo algunas de las operaciones estn involucradas, lo que incluye la suma, resta, divisin, multiplicacin, hasta las potencias fraccionarias o integrales y la extraccin de la raz.Una curva Plana Algebraica forma tambin una categora importante en el concepto de curvas planas.En el caso que la ecuacin Cartesiana que est definiendo la curva sea algebraica, entonces se dice que la curva es una curva algebraica.Cuando el grado de la curva algebraica es mayor que dos, en ese caso, la curva algebraica se conoce como curva de niveles superiores.El grado est asociado con todas y cada una de las curvas algebraicas y, puede calcularse mediante la determinacin del nmero total de intersecciones de una recta genrica y en una curva.Junto con las curvas planas algebraicas, otro tipo de curva plana comnmente estudiada son las curvas suaves.Una curva suave puede definirse como una curva situada en el plano Euclidiano y tambin es una variedad diferenciable 1-D.Veamos algunos ejemplos de curvas planas:

Aqu la figura (a) representa una estrofoide derecha. La figura (b) es un tridente de Newton. La figura es un cardioide. La figura (d) es undeltoide. La figura (e) es un Palo Chino en dos. La figura (f) es un lemnisco de Bernoulli.

2.3.- Ecuaciones paramtricas de algunas curvas y su representacin grficaEn general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuacin se llama ecuacin Cartesiana.Las ecuaciones paramtricas son aquellas definidas en trminos de un solo parmetro, generalmente, este parmetro es t.Una curva que represente tal ecuacin es llamada curva paramtrica. Para ello, las variables de la ecuacin Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parmetro t como,x = f(t) y = g(t)Por ejemplo, una ecuacin que represente la cada de una partcula desde una altura x en un tiempo t, se representa generalmente a travs de una ecuacin Cartesiana, sin embargo esta puede ser presentada a travs de una ecuacin paramtrica que sea funcin del tiempo t.La curva paramtrica es el conjunto de todos los puntos de t que a su vez representan un par (x, y) o (f (t), g (t)).Trazar una curva paramtrica es ligeramente diferente a trazar una curva plana.Una curva paramtrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la ms conveniente entre ellas es la seleccin de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son despus trazados en coordenadas Cartesianas.Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este mtodo, siendo uno que no conocemos los lmites del parmetro. Y en ausencia de lmite la grfica se extendera en ambas direcciones hasta el infinito.En efecto, no existe una solucin adecuada a este problema, ya que todo depende completamente del problema dado y la nica solucin es limitarla uno mismo hasta un valor especfico y asumir que esta es la extensin del grfico.Otro mtodo para graficar una curva paramtrica es eliminar el parmetro de la ecuacin y reducir la ecuacin en trminos de una ecuacin Cartesiana, la cual puede ser graficada con mayor facilidad. De hecho existen varios mtodos para hacer esto.Uno de estos mtodos consiste en resolver una de las ecuaciones paramtricas para la variable paramtrica t.Reemplace este valor de t en la otra ecuacin paramtrica y djela as, esta es una ecuacin Cartesiana en trminos de x e y.Sin embargo la tcnica anterior no es siempre fructfera, especialmente cuando se trata de funciones trigonomtricas, ya que puede convertirla ecuacin a una forma ms crptica que definitivamente no pueda ser resuelta.Hacer uso de las identidades trigonomtricas definitivamente sera una mejor opcin en este escenario.Asimismo existe una amplia gama de tcnicas disponibles, todo depender de la funcin dada, esto se entender con ms prctica.Ahora tratemos de resolver un ejemplo que involucre las tcnicas descritas anteriormente para arrojar algo de luz sobre los conceptos tratados.p = 4cos (t) q = 3 sin (t) 0