Cálculo Series numéricas y de potencias
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CalculoSeries numericas y de potencias
24 de Noviembre de 2014
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Series numericas y de potencias
Series numericasSucesiones de numeros realesConcepto de serie de numeros reales. PropiedadesCriterios de convergencia para series de terminos positivosSeries alternadas. Criterio de LeibnizConvergencia absoluta
Series de potencias
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Series numericas
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Sucesiones de numeros reales
DefinicionUna sucesion de numeros reales es una aplicacion
a : N → Rn 7→ a(n)
Se suele escribir an en vez de a(n).
DefinicionSe dice que el lımite de la sucesion (an) cuando n tiende a infinito es l ∈ R, yse escribe l = lım
n→∞an, si para cada ε > 0, existe un numero natural N ∈ N
tal que |an− l|< ε para todo n > N.En este caso, se dice que la sucesion (an) es convergente.
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Series numericas
DefinicionDada una sucesion (an), sea sn = a1 + . . .+an ∀n ∈ N.La sucesion (sn) se llama sucesion de sumas parciales.
Se llama serie de termino general (an), y se denota∞
∑n=1
an, al lımite de la
sucesion de sumas parciales (sn), cuando este existe:
∞
∑n=1
an = lımn→∞
sn.
La serie se dice convergente cuando la sucesion de sumas parciales esconvergente.
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Series numericas
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Series numericas
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Series numericas. Propiedades
Sean∞
∑n=1
an,∞
∑n=1
bn dos series convergentes y c ∈ R. Entonces:
1) La serie suma∞
∑n=1
(an +bn) es convergente y
∞
∑n=1
(an +bn) =∞
∑n=1
an +∞
∑n=1
bn
2) La serie∞
∑n=1
(can) es convergente y∞
∑n=1
(can) = c∞
∑n=1
an
Teorema (Condicion necesaria de convergencia de series)Si la serie
∞
∑n=1
an es convergente, entonces lımn→∞
an = 0
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
Criterio del cociente (o de D’Alembert)
Si an > 0 ∀n, ylımn→∞
an+1
an= r
entonces:
1) si r < 1, la serie∞
∑n=1
an es convergente.
2) si r > 1 o r =+∞, la serie∞
∑n=1
an no es convergente.
3) Si r = 1, el criterio no decide.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
Criterio del cociente (o de D’Alembert). Ejemplos:
1.∞
∑n=1
n!nn : lım
n→∞
an+1
an= lım
n→∞
nn
(n+1)n = lımn→∞
1(1+ 1
n )n=
1e< 1
Luego la serie es convergente.
2.∞
∑n=1
3n
3+n!: lım
n→∞
an+1
an= 3 lım
n→∞
3+n!3+(n+1)!
= 3 lımn→∞
3n! +1
3n! +n+1
= 0
Luego la serie es convergente.
3.∞
∑n=1
1ns : lım
n→∞
an+1
an= lım
n→∞
ns
(n+1)s = 1
En este caso el criterio no decide.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Convergencia de las series armonicas y geometricas
I La serie armonica de grado s,
∞
∑n=1
1ns
esI convergente si s > 1I divergente si s≤ 1
I La serie geometrica de razon r,
∞
∑n=0
rn
es convergente si y solo si |r|< 1.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
Criterio de la raız (o de Cauchy)
Si an > 0 ∀n, y existelımn→∞
n√
an = r
entonces:
1) si r < 1, la serie∞
∑n=1
an es convergente.
2) si r > 1, la serie∞
∑n=1
an no es convergente.
3) si r = 1, el criterio no decide.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
Criterio de la raız. Ejemplos:
1.∞
∑n=2
1(logn)n : lım
n→∞
n√
an = lımn→∞
1logn
= 0 < 1
Luego la serie es convergente.
2.∞
∑n=1
(n
n+2
)n2
:
lımn→∞
n√
an = lımn→∞
(1− 2
n+2
)n
= lımn→∞
[(1− 2
n+2
)− n+22]− 2n
n+2
= e−2 < 1
Luego la serie es convergente.
3.∞
∑n=1
1ns : lım
n→∞
n√
an = lımn→∞
1(n1/n)s
= 1
En este caso el criterio no decide.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
Criterio de comparacion de Gauss
Sean∞
∑n=1
an y∞
∑n=1
bn dos series de terminos positivos tales que
an ≤ bn ∀n ∈ N
Entonces:
1) si la serie∞
∑n=1
bn es convergente, la serie∞
∑n=1
an tambien lo es.
2) si la serie∞
∑n=1
an es divergente, la serie∞
∑n=1
bn tambien lo es.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
Criterio de comparacion de Gauss. Ejemplos:
1.∞
∑n=1
sin2(2n)3n
Comosin2(2n)
3n ≤ 13n ∀n ∈ N, y la serie
∞
∑n=1
13n es convergente (criterio
de la raız), la serie∞
∑n=1
sin2(2n)3n es convergente.
2.∞
∑n=1
(3n
)1/3
Como(
3n
)1/3
>1
n1/3 ∀n ∈ N, y la serie armonica de grado 1/3 es
divergente, la serie∞
∑n=1
(3n
)1/3
es divergente.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
Criterio de comparacion en el lımite
Sean∞
∑n=1
an y∞
∑n=1
bn dos series de terminos positivos y sea l = lımn→∞
an
bn.
Entonces:
1) si l ∈ (0,+∞), las series∞
∑n=1
an y∞
∑n=1
bn tienen el mismo caracter.
2) si l = 0, entonces:
I si la serie∞
∑n=1
bn es convergente, la serie∞
∑n=1
an tambien lo es.
I si la serie∞
∑n=1
an es divergente, la serie∞
∑n=1
bn tambien lo es.
3) si l =+∞, entonces:
I si la serie∞
∑n=1
bn es divergente, la serie∞
∑n=1
an tambien lo es.
I si la serie∞
∑n=1
an es convergente, la serie∞
∑n=1
bn tambien lo es.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivosCriterio de comparacion en el lımite. Ejemplos:
1.∞
∑n=1
2n+33n3 +4n+5
:
lımn→∞
2n+33n3+4n+5
1n2
= lımn→∞
2n3 +3n2
3n3 +4n+5=
23∈ (0,+∞)
y la serie armonica de grado 2 es convergente. Por tanto, la serie dadaes convergente.
2.∞
∑n=1
1√n+1+
√n
:
lımn→∞
1√n+1+
√n
1√n
= lımn→∞
√n√
n+1+√
n=
12∈ (0,+∞)
y la serie armonica de grado 1/2 es divergente. Luego la serie dada esdivergente.
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Criterios de convergencia para series de terminos positivos
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Series numericas alternadas
DefinicionUna serie se dice alternada si sus terminos son alternativamente positivos ynegativos. Por tanto, una serie alternada es de la forma
∞
∑n=1
(−1)n an , o bien∞
∑n=1
(−1)n+1 an =−∞
∑n=1
(−1)n an ,
con an ≥ 0 ∀n ∈ N.
Teorema (Criterio de Leibniz)Una serie alternada de la forma
∞
∑n=1
(−1)n an, con an ≥ 0 ∀n ∈ N, es
convergente si la sucesion (an) es decreciente y tiende a cero, en cuyo caso:
s2n+1 <∞
∑n=1
(−1)n an < s2n y |∞
∑n=1
(−1)n an− sn|< an+1
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Series numericas absolutamente convergentes
DefinicionLa serie
∞
∑n=1
an se dice absolutamente convergente si la serie∞
∑n=1|an| es
convergente.
Teorema (Convergencia absoluta⇒ convergencia)
Si la serie∞
∑n=1|an| es convergente, entonces la serie
∞
∑n=1
an es convergente.
Observacion
I El recıproco no siempre es cierto. Si la serie∞
∑n=1
an es convergente pero
no absolutamente convergente, se dice condicionalmente convergente.
I La serie∞
∑n=1|an| es una serie de terminos positivos. Por tanto, su
convergencia se puede estudiar usando los criterios de convergenciapara series de terminos positivos.
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Series de potencias
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Series de potencias
DefinicionUna serie de potencias es una expresion de la forma
∞
∑n=0
an(x−a)n.
I an se llama coeficiente n-esimo de la serie de potencias.I a se llama centro de la serie de potencias.
TeoremaDada la serie de potencias
∞
∑n=0
an(x−a)n, hay tres posibilidades:
1. La serie solo converge para x = a.
2. La serie converge absolutamente para todo x ∈ R.
3. Existe un numero real R > 0 tal que la serie converge absolutamente si|x−a|< R y no converge si |x−a|> R. La convergencia en los puntosx = a−R y x = a+R se debe estudiar separadamente.
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Series de potencias. Radio de convergencia
DefinicionEl radio de convergencia de la serie de potencias
∞
∑n=0
an(x−a)n es
I R = 0 si la serie solo converge para x = a.
I R =+∞ si la serie es convergente para todo x ∈ R.
I R si la serie es convergente para x ∈ (a−R,a+R) y no es convergentepara x ∈ R\ [a−R,a+R].
El intervalo en que la serie de potencias es convergente se llamacampo de convergencia de la serie.
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Series de potencias. Radio de convergencia
El radio de convergencia de la serie de potencias∞
∑n=0
an(x−a)n se puede
calcular mediante el criterio del cociente o el criterio de la raız:
R = lımn→∞
|an||an+1|
=1
lımn→∞
n√|an|
Ejemplos:
1.∞
∑n=1
nn xn : R = lımn→∞
1n√
nn=
1n= 0
2.∞
∑n=0
(x−2)n
n!: R = lım
n→∞
1n!1
(n+1)!
= lımn→∞
(n+1) = +∞
3.∞
∑n=0
xn es la serie geometrica de razon x. Esta serie es convergente si y
solo si |x|< 1. Por tanto, R = 1 y el campo de convergencia es (−1,1).