Programa de Cálculo Diferencial (Semestre 02/2012)

Objetivos:

Estudiar los conceptos de límite y derivada para funciones de una variable real y utilizar estas ideas en la solución de problemas de optimización, trazado de curvas y razones de cambio.

Programa detallado:

La columna de las secciones que se detallan a continuación corresponden al texto guía: J. Stewart, CÁLCULO, Conceptos y Contextos, Editorial Thomson, ediciones 3ª y 4ª. Cuando la celda de la sección aparece dividida significa que la sub-celda de la izquierda corresponde a la tercera edición, en tanto que la de la derecha corresponde a la cuarta. Si la celda no está dividida quiere decir que el número correspondiente es el mismo en ambas ediciones.

Clase SecciónSección TemaCapítulo 1 – Funciones y Modelos.Capítulo 1 – Funciones y Modelos.Capítulo 1 – Funciones y Modelos.Capítulo 1 – Funciones y Modelos.

1 (1.1)(1.1)Cuatro maneras de representar una función, definición de función, dominio, rango, gráfica de una función, prueba de la recta vertical.

2(1.1)(1.2)(1.1)(1.2)

Funciones definidas a tramos, valor absoluto, simetría, función par, impar, funciones crecientes, decrecientes. Catálogo de funciones básicas: función lineal.

3(1.2)(1.2)

Catálogo de funciones básicas: polinomios (grado, raíces, función cuadrática, función cúbica), funciones de potencia, funciones racionales, funciones algebraicas y funciones trigonométricas.

4 (1,3)(1,3)Transformaciones de funciones: desplazamientos verticales y horizontales, alargamientos verticales y horizontales.

5 (1.3)(1.3) Álgebra de funciones, composición de funciones.

6(1.5)(1.5) Funciones exponenciales: gráficas, leyes de los exponentes,

modelación con funciones exponenciales, el número e.

7 (1.6)(1.6)Función inversa: función uno a uno, prueba de la recta horizontal, definición de función inversa, gráfica de la función inversa.

8(1.6)(1.6)

Funciones logarítmicas: definición, gráficas, leyes de los logaritmos, logaritmo natural, fórmula para el cambio de base, gráfica de la función logaritmo natural.

9 Apéndice CApéndice CFunciones trigonométricas inversas: función seno inverso, función tangente inversa, función coseno inverso.

Capítulo 2 – Límites y DerivadasCapítulo 2 – Límites y DerivadasCapítulo 2 – Límites y DerivadasCapítulo 2 – Límites y Derivadas

10 (2.2)(2.2)Límite de una función: definición intuitiva, ejemplos gráficos, ejemplos con tablas de valores, límites laterales, ejemplos gráficos.

11 (2.3)(2.3)Reglas básicas para el cálculo de límites, límites de funciones definidas por tramos, teorema de compresión.

12 (2.4)(2.4)

Continuidad: definición, continuidad por la derecha y por la izquierda, teoremas básicos sobre funciones continuas, teorema de sustitución para el cálculo de límites de funciones compuestas, teorema de continuidad de funciones compuestas, teorema del valor intermedio.

13 (2.5)(2.5)Límites que comprenden el infinito: límites infinitos y asíntotas verticales, límites en el infinito y asíntotas horizontales, límites infinitos en el infinito.

14 (2.6), (2.7)(2.6), (2.7)Tangentes, velocidades y otras razones de cambio. Definición de derivada, interpretación de la derivada como la pendiente de una tangente, interpretación de la derivada

15 (2.8) 2.7La derivada como una función, notaciones de la derivada, relación entre diferenciabilidad y continuidad, ¿Cómo deja de ser diferenciable una función? Derivadas superiores.

16 QUIZ17 (2.9) (2.8) ¿Qué dice f’ acerca de f? ¿Qué dice f’’ acerca de f?

Capítulo 3 – Reglas de Derivación.Capítulo 3 – Reglas de Derivación.Capítulo 3 – Reglas de Derivación.Capítulo 3 – Reglas de Derivación.

18(3.1),

(3.2), (3.4)

(3.1), (3.2), (3.3)

Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales. Las reglas del producto y del cociente. Derivación de funciones trigonométricas.

19 (3.5), (3.6)(3.4), (3.5)

La regla de la cadena. Derivación implícita.

20 (3.6), (3.7)(3.6), (3.7)Derivadas de las funciones inversas. Derivadas de funciones logarítmicas. Derivación logarítmica.

21 (3.8), (3.9)(3.8), (3.9)Rapidez de cambio en las ciencias humanas y naturales. Aproximaciones lineales.

Capítulo 4 – Aplicaciones de la derivación.Capítulo 4 – Aplicaciones de la derivación.Capítulo 4 – Aplicaciones de la derivación.Capítulo 4 – Aplicaciones de la derivación.

22 (4.5), (4.4)(4.5), (4.4)Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital. Ejemplos de trazado de gráficas.

23 (4.1)(4.1) Razones de cambio de variables relacionadas.

24 (4.2), (4.3)(4.2), (4.3)Valores máximo y mínimo absolutos de una función. Extremos relativos de una función. Teorema del valor extremo. Teorema de Fermat. Valores críticos, teorema del valor medio.

25 (4.3), (4.4)(4.3), (4.4)

Derivadas y las formas de las curvas. Prueba de la primera derivada para extremos relativos. Definición de concavidad y puntos de inflexión. Prueba de la segunda derivada para extremos relativos. Ejemplos de trazado de gráficas.

26 (4.6)(4.6) Problemas de optimización.

En la página Web de la Escuela de Matemáticas encontrarán, además del programa detallado de la asignatura y del calendario de evaluación del curso, y talleres. La dirección es:

http://www.unalmed.edu.co/~curmat/matematicas1/index.htmEsta página debe visitarse con regularidad porque utilizaremos la red para comunicar oportunamente a los estudiantes sobre asuntos relevantes al desarrollo del curso. Además de la información encontrada en esta página, los talleres estarán disponibles en las fotocopiadoras de los bloques 21 y 14.

Metodología y recomendaciones:

El curso de Cálculo Diferencial tendrá una intensidad de 4 horas teóricas semanales. Además, a partir de la segunda semana los monitores dictarán talleres para reforzar lo aprendido en la semana inmediatamente anterior. Aunque no es obligatoria la asistencia a los talleres, recomendamos a los estudiantes que resuelvan el taller individualmente o en grupos, y asistan por lo menos a una de las sesiones con los monitores.

Es importante saber planear su tiempo de estudio. Cada semana se deben dedicar al menos 12 horas de trabajo independiente para este curso, así como acudir a las asesorías que brindan los profesores y monitores de la materia. El horario de asesoría de profesores y monitores se publicará oportunamente en las carteleras y en la página web de la escuela. Los estudiantes pueden solicitar la ayuda de cualquier profesor o monitor de la asignatura dentro de los horarios fijados.

También recomendamos a los estudiantes leer el material de clase anticipadamente, con el fin de obtener mayor provecho de cada clase, hacer, como mínimo, los ejercicios propuestos, y consultar ejercicios de otros textos.

Recordamos que las Matemáticas se construyen como un edificio y que para comprender bien un tema, se deben entender los temas anteriores o prerrequisitos. Así, para presentar, por ejemplo, el segundo parcial será necesario saber todo el tema del primer parcial y por eso recomendamos repasar constantemente los temas anteriores.

Recomendamos muy especialmente visitar la página web del texto guía: http://www.stewartcalculus.com

En esta página podrán encontrar material muy valioso para el desarrollo del curso.

Este semestre el método de evaluación será el siguiente:

Los exámenes parciales tendrán una duración de una hora y cincuenta minutos. Cada examen parcial consistirá de preguntas similares a las propuestas en los talleres y en el texto guía en su listado de ejercicios, incluyendo:

• Preguntas de revisión de conceptos, de falso y verdadero, o selección múltiple.• Ejercicios operativos.• Problemas en palabras sobre aplicaciones de los conceptos matemáticos a situaciones de la vida

real.

Los temas correspondientes a cada examen se muestran a continuación y están sujetos a cambios:

EVALUACION TEMA FECHA

Primer parcial (25%) Clases 1 a 9 Por definir

Quiz (15%) Clases 10, 11, 12,13 Por definir

Segundo parcial (30%) Clases 14 a 20 Por definir

Tercer parcial (30%) Clases 21 a 26 Por definir

Para la presentación de los exámenes el estudiante debe traer como identificación el Carné de la Universidad, o en su defecto debe presentar el documento oficial de identificación que exige el Estado Colombiano, ya sea la Tarjeta de Identidad para menores de edad o la Cédula de Ciudadanía para mayores de edad. Si no presenta ninguno de estos, el estudiante debe presentar la denuncia de pérdida del (los) documento(s) extraviado(s). En este último caso solicitaremos a las autoridades de la Universidad mecanismos legales que permitan la correcta identificación del estudiante.

Exámenes supletorios.

Los exámenes parciales supletorios se realizarán la semana siguiente a los exámenes parciales regulares. El día, la hora y el salón se darán a conocer oportunamente. Tenga en cuenta que sólo se aplazarán exámenes parciales por motivos de fuerza mayor que incluyen: calamidad doméstica, problemas de salud y motivos laborales o religiosos. Si el estudiante ha tenido problemas de salud que le impidieron la presentación del examen, debe presentar a su profesor la excusa médica del Servicio Médico Estudiantil de la Universidad. Si el motivo de la no presentación del examen es laboral o religioso, el estudiante debe presentar con debida anticipación la carta de la empresa o de la iglesia respectiva que explique el por qué no puede presentar el examen en la fecha señalada. Recomendamos de todas maneras a los estudiantes que laboran el día sábado, solicitar el permiso de su empresa para que puedan acudir a la presentación de los exámenes en las fechas estipuladas por la Escuela de Matemáticas.

Bibliografía complementaria

1. Edwards and Penney, “Cálculo con trascendentes tempranas”, séptima edición, Pearson-Prentice Hall, 2008.

2. Finney, R. L. “Cálculo”, Prentice Hall, 2000.3. Anton, H. “Cálculo de una variable” Limusa Wiley, segunda edición, 2009.4. Thomas, “Cálculo en una variable”, Pearson-Addison Wesley, undécima edición, 2006.5. Smith, R.T., Minton, R.B., “Cálculo, Tomo I ”, Mc Graw Hill, 2000.6. Stein, Sh.K., Barcellos, A., “Cálculo con Geometría Analítica, Prentice Hall Hispanoamericana,

1996.7. Villegas, Celia, “Cálculo Diferencial, Teoría y Aplicaciones”, Centro de Publicaciones,

Universidad Nacional, 2001.

Prerrequisitos para Cálculo Diferencial.

Productos notables; División de polinomios; Factorización; Fracciones; Exponentes; Radicales; Racionalización; Ecuaciones de primer grado; Ecuaciones cuadráticas y con radicales; Concepto de función. Funciones exponenciales y logarítmicas; Funciones trigonométricas; Identidades trigonométricas; Ecuaciones trigonométricas; Resolución de triángulos (ley de senos y de cosenos); Paralelismo y perpendicularidad de rectas; Congruencia y semejanza de triángulos; Teorema de Pitágoras; Áreas de figuras planas y regulares; Áreas de superficies y volúmenes de figuras en el espacio; Plano Cartesiano, Fórmulas de punto medio y distancia entre dos puntos; Rectas; Parábolas.