Cálculo Numérico, 2a ed. - Aprendizagem com apoio de Software

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2ª EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA SELMA ARENALES ARTUR DAREZZO CÁLCULO NUMÉRICO APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE 1 6 8 2 4 4 8 3 3 9 0 7 8 5 5

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Esta nova edição revista e ampliada de Cálculo Numérico: aprendizagem com apoio de software foi projetada e escrita com o objetivo de fornecer aos estudantes de ciências extas um material didático, simples de fácil entendimento dos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemas lineares e não-lineares, equações, interpolação polinomial, ajuste de funções, integração numérica e equações diferenciais ordinárias, acompanhados de exemplos resolvidos em detalhes. Exercícios são propostos no final de cada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo. A 2ª edição mantém o CD com o Software Numérico, atualizado, desenvolvido pelos autores, que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico. Através dele, conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em exercícios feitos nos laboratór

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ISBN 13: 978-85-221-1287-6ISBN 10: 85-221-1287-8

Esta nova edição do livro Cálculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de Software, revista e ampliada, foi projetada e escrita com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento. Abrange os tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemas lineares e não lineares, equações, interpolação polinomial, ajuste de funções, integração numérica, equações diferenciais ordinárias, autovalores e otimização, acompanhados de exemplos resolvidos em detalhes. Exercícios são propostos no final de cada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo.

Esta 2ª edição mantém o CD com o Software Numérico atualizado, desenvolvido pelos autores, que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico. Neste software, conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em exercícios nos laboratórios computacionais.

A P L I C A Ç Õ E S : Livro-texto para as disciplinas de Cálculo Numérico nos cursos de graduação das áreas de Ciências Exatas e Tecnológicas.

2 ª E D I Ç Ã O R E V I STA E A M P L I A DA

S E L M A A R E N A L E S A R T U R D A R E Z Z O

CÁLCULONUMÉRICO

APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE

SELMA HELENA DE VASCONCELOS ARENALES

Professora do Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). Graduada em Matemática pela Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho (Unesp) e mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Possui experiência na área de matemática, com ênfase em matemática aplicada, atuando em projetos de pesquisa e orientação de alunos nas áreas de Otimização e Análise Numérica, com enfoques na modelagem de problemas e métodos numéricos de resolução. Tem publicado trabalhos em congressos, em ensino de Matemática, principalmente no ensino de Cálculo Numérico com Ferramentas Computacionais. Possui experiência no ensino a distância, lecionou na Universidade Aberta do Brasil (UAB-UFSCar) e publicou livros para esta finalidade.

ARTUR DAREZZO FILHO

Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro (SP, 1971), mestre em Ciência da Computação e Estatística –opção Computação – pela UFSCar (1978), doutor em Engenharia Civil pela mesma universidade (1996). Desde 1972, é professor vinculado ao Departamento de Matemática da UFSCar, onde exerceu as funções de docente, pesquisador na área de modelagem matemática e métodos numéricos e de coordenador do curso de Matemática. A partir do ano de 2001, como professor aposentado, passou a ser professor convidado voluntário no mesmo Departamento de Matemática até o ano de 2010. Foi também, no período de 2002 a 2005, professor e coordenador do curso de Matemática Aplicada e Computacional do Centro Universitário Central Paulista (Unicep) – São Carlos, SP. Desde o anode 2006, exerce as funções de Diretor Acadêmico da Escola Superior de Tecnologia e Educação de Rio Claro (SP).

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2 ª E D I Ç Ã O R E V I STA E A M P L I A DA

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CÁLCULONUMÉRICO

APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE

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Cálculo NuméricoAprendizagem com Apoio de Software

Selma Arenales

Artur Darezzo

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Prefácio

Desde a publicação da 1ª edição deste livro em 2008, Cálculo Numérico – Aprendizagemcom Apoio de Software, recebemos sugestões de correções no texto e solicitação paraque novos temas fossem inseridos numa 2ª edição para um curso básico de CálculoNumérico.

Diante da necessidade de uma renovação e atualização do texto atual, juntamentecom a reestruturação e modernização do Software Numérico que acompanha o livro,tentamos nesta nova edição contemplar esses pedidos, devido ao fato da aceitação eadoção em várias universidades, com a inclusão de dois novos capítulos sobre os temasde Autovalores e Otimização.

Nesta 2ª edição, temos por objetivo oferecer aos estudantes de ciências exatas emgeral, um material didático, simples e de fácil entendimento dos tópicos de um cursobásico de Cálculo Numérico, desenvolvido nas instituições de ensino superior.

Destacamos a importância e a necessidade do estudante adquirir o conhecimentodos conceitos e métodos básicos do Cálculo Numérico, para que posteriormente possa,com segurança, ser capaz de entender e formular problemas do cotidiano e, ainda,resolvê-los usando softwares especializados.

Este livro reflete a experiência dos autores, de muitos anos, no ensino de CálculoNumérico para diferentes cursos do Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia daUniversidade Federal de São Carlos–UFSCar.

O livro nesta 2ª edição é composto de oito capítulos, com os principais tópicosabordados numa disciplina básica de Cálculo Numérico em universidades: Erros,Sistemas Lineares, Equações, Interpolação e Aproximação de Funções, IntegraçãoNumérica, Equações Diferenciais Ordinárias, Autovalores-Autovetores e Otimização. Odesenvolvimento teórico de métodos numéricos e os respectivos algoritmos são apre-sentados de forma simples e didática, com exemplos ilustrativos e listas de exercíciospara fixação do conteúdo, com as respostas dos exercícios propostos.

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viii Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral, Álgebra Linear e GeometriaAnalítica, foram utilizados no decorrer dos capítulos, considerando que os alunostenham estes requisitos básicos.

O Software Numérico, parte integrante deste livro, é um software de apoio aoensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos eresultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórioscomputacionais.

O Software Numérico nesta 2ª edição contém oito módulos, com os tópicosde Sistemas Lineares, Inversa de Matriz, Equações, Interpolação e Aproximaçãode Funções, Integração Numérica, Equações Diferenciais Ordinárias, Autovalores-Autovetores e Otimização, abordados neste livro texto. Este software passou por umareformulação geral e, a pedido de usuários, projetado para ser compatível com ossistemas operacionais Windows, Linux e Mac OS X.

As interfaces do Software Numérico estão atualizadas, voltadas sempre para osobjetivos de ensino/aprendizagem dos tópicos, além de um “Arquivo de Correção”,o qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios resolvidos pelo aluno.Posteriormente, o professor poderá acessá-lo, analisá-lo e realizar comentários so-bre os erros e acertos, permitindo uma interação muito interessante para o en-sino/aprendizagem.

O Manual do Software Numérico encontra-se disponível no CD que acompanha olivro. Nesse manual, o usuário possui de forma simples e clara, um resumo sobre osmétodos numéricos desenvolvidos nos capítulos deste livro com exemplos ilustrativos,além de informações sobre o uso, sintaxe, entrada de dados e todos os esclarecimentos.

Este livro pode também ser adotado em cursos na modalidade “Ensino a Distância”,em que o professor reforça e melhora a aprendizagem dos tópicos com listas deexercícios bem elaboradas. Com a aplicação do Software Numérico e acesso ao Arquivode Correção, posteriormente o professor poderá realizar comentários sobre os erros eacertos dos alunos e estabelecer uma interação frutífera, a distância, professor/alunoobjetivando a melhoria do processo ensino/aprendizagem.

O usuário pode instalar o software de maneira simples utilizando a Senha 18012015.

Agradecimentos

Aos professores e estudantes da UFSCar e das unidades da ASSER, a todas as pessoasque de alguma forma colaboraram com um retorno positivo e sugestões motivando-nosa publicar esta 2ª edição.

Em especial, ao Professor Dr. Marcos Nereu Arenales, docente do Departamento deMatemática Aplicada e Estatística ICMC-USP- São Carlos, pela elaboração e escrita doCapítulo 7 – Autovalores e Autovetores deste livro.

Selma Arenales

Artur Darezzo Filho

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Sumário

Capítulo 1 – Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 – Erros na fase da modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 – Erros na fase de resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Capítulo 2 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Linearese Matrizes Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 – Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 – Métodos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 – Matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5 – Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 – Condicionamento de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.7 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Capítulo 3 – Solução Numérica de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2 – Solução de uma equação e métodos gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3 – Métodos numéricos para resolução de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4 – Sistemas de equações não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5 – Equações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.6 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

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Capítulo 4 – Aproximação de Funções: Interpolação e Método dos MínimosQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.2 – Interpolação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.3 – Fórmula interpolatória de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.4 – Interpolação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.5 – Fórmula interpolatória de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.6 – Interpolação inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7 – Fórmula interpolatória de Newton-Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.8 – Aproximação de funções – Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . 1774.9 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Capítulo 5 – Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.2 – Integração numérica usando interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.3 – Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.4 – Erro cometido na integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.5 – Regra dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.6 – Regra 1/3 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.7 – Regra 3/8 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.8 – Fórmula de quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.9 – Integração dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2435.10 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Capítulo 6 – Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . 2576.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.2 – Equações diferenciais ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.3 – Problema de Valor Inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.4 – Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.5 – Métodos de série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.6 – Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.7 – Métodos de previsão-correção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2886.8 – Sistema de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2986.9 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Capítulo 7 – Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.1 – Definições e Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.2 – Métodos numéricos para o cálculo de autovalores e autovetores . . . . . . . . 3267.3 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

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Sumário xi

Capítulo 8 – Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.2 – Forma geral de um problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3668.3 – Otimização linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3678.4 – Otimização não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4068.5 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Apêndice A – Decomposição QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445A.1 – Método de decomposição QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445A.2 – Construindo a decomposição QR com matrizes de rotação . . . . . . . . . . . . . . . 449Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

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1Erros

1.1 Introdução

De uma maneira geral, a resolução de um problema em qualquer área do conheci-mento científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento dofenômeno físico envolvido. Com conhecimentos já estabelecidos, buscamos, usandosimplificações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático querepresente o problema que desejamos tratar com a maior fidelidade possível. Esta etapaé caracterizada como fase de modelagem do problema real.

Com o problema representado por um modelo matemático, buscamos, para a suaresolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numéricoaproximado.

Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um método exato,isto é, um método que apresenta a solução exata, pelo fato de este envolver um númeromuito grande de operações elementares como adição, multiplicação, subtração edivisão e sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada paraarmazenar dados, podemos cometer erros.

Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo matemá-tico, pela resolução usando um método numérico, além dos erros no processamentoanteriormente mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fatode utilizarmos um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como fase deresolução do modelo matemático.

Podemos entender as duas fases descritas anteriormente utilizando o esquemarepresentado na Figura 1.1.

Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase daresolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança da base de represen-tação de números devido ao sistema utilizado pelos computadores para armazenardados numéricos; ainda os erros de arredondamento e truncamento, erros absolutos erelativos e, finalmente, a propagação dos erros.

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Cálculo Numérico — Prova X-8 — 25/6/2015 — Maluhy&Co. — página (local 2, global #14)

2 Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Problema realModelo

matemáticoSolução do

modelo matemático

Fase de modelagemErros de simplificação

Fase de resolução

Erros numéricos

Problema real

Figura 1.1

1.2 Erros na fase da modelagem

São os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenô-meno da natureza que estivermos observando possa ser representado por um modelomatemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticasdisponíveis.

1.3 Erros na fase de resolução

São erros provenientes da utilização de um computador, para processarmos os cálculosnecessários na obtenção de uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorremdevido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar dadosnuméricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração edivisão.

Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança debase e erros de representação de números, apresentados a seguir:

1.3.1 Erros de mudança da base

A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numéricos no sis-tema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticossão lidos, estes são transformados em uma outra base de representação.

Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de erros, emrazão da limitação da representação do equipamento computacional que estamosutilizando para o processamento dos dados numéricos.

Dado um número real, N , é sempre possível representá-lo em qualquer base b, daseguinte forma:

Nb =m∑

i=n

ai ×bi

em que ai ∈ {0,1,2,3, . . . , (b −1)}, com n e m inteiros.

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#1 Erros 3

Base binária

N2 =m∑

i=n

ai ×2i , ai ∈ {0,1}

Exemplo 1.1a) (1011)2 = 1×20 +1×21 +0×22 +1×23

Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i = 0,1,2,3 e temos:

a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1

b) (111.01)2 = 1×2−2 +0×2−1 +1×20 +1×21 +1×2

Neste caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, n =−2 em = 2 e, portanto:

a−2 = 1, a−1 = 0, a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1

Base decimal

N10 =m∑

i=n

ai ×10i , ai ∈ {0,1, . . . ,9}, com n e m inteiros.

Exemplo 1.2a) (231)10 = 1×100 +3×101 +2×102

Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = 0, 1, 2 e temos:

a0 = 1, a1 = 3, a2 = 2

b) (231.35)10 = 5×10−2 +3×10−1 +1×100 +3×101 +2×102

Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária,n =−2 e m = 2 e temos:

a−2 = 5, a−1 = 3, a0 = 1, a1 = 3, a2 = 2

Assim, dado um número real qualquer numa base b, podemos escrevê-lo em umaoutra base b′, a partir de adequação conveniente de seus coeficientes,

ai = 0,1,2,3, . . . , (b −1)

e de uma potência adequada na nova base b′.

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4 Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Mudança da base binária para a base decimal

Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de 2.

Exemplo 1.3a) (1101)2 = 1×20 +0×21 +1×22 +1×23 = (13)10

b) (111.011)2 = 1×2−3 +1×2−2 +0×2−1 +1×20 +1×2−1 +1×22 = (7.375)10

Mudança da base decimal para a base binária

(número na base decimal tem somente a parte inteira)

Procedimento: divisões sucessivas.O procedimento consiste na divisão do número N na base decimal sucessivamente

por 2, armazenando, a cada passo, os restos, ri i = n −1, n −2, . . . ,1 até que o quocienteda divisão seja igual a 1. O número binário é constituído do quociente 1 e pelos restosdas divisões rn−1 , rn−2 , . . . , r1 nesta ordem como segue:

Assim, temos:N10 = (1rn−1rn−2 . . .r2r1)2

Exemplo 1.4a) O número 25 na base 10 para a base 2,

Assim,

(25)10 = (11001)2 = 1×20 +0×21 +0×22 +1×23 +1×24

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#1 Erros 5

b) O número 11 na base 10 para a base 2,

(11)10 = (1011)2 = 1×20 +1×21 +0×22 +1×23

pois

Mudança da base decimal para a base binária

(número na base decimal tem somente a parte fracionária)

Procedimento: multiplicações sucessivas.O procedimento é constituído dos seguintes passos:

a) Multiplicamos o número fracionário por 2.

b) Do resultado do passo a), a parte inteira é o primeiro dígito binário.

c) Do resultado do passo b), a parte fracionária é novamente multiplicada por 2.

d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula.

Exemplo 1.5a) (0.1875)10 = (0.0011)2 = 0×2−1 +0×2−2 +1×2−3 +1×2−4 = (3/16)10 , isto é:

(0.1875)× (2) = 0.375 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.375

(0.375)× (2) = 0.75 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.75

(0.75)× (2) = 1.5 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0.5

(0.5)× (2) = 1.0 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0

b) (13.25)10 = (13)10 + (0.25)10 = (1101)2 + (0.01)2 = (1101.01)2

c) (0.2)10 = (0.001100110011...)2

Observe que (0.2)10 é uma dízima periódica de período (0.0011). Assim, o decimal(0.2)10 não tem uma representação binária exata, isto é, a representação é aproximadae, portanto, apresenta erro.

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6 Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

1.3.2 Erros de representação de números

Na construção de um equipamento computacional, uma questão importante a serconsiderada em sua arquitetura é a forma que será adotada para representar os dadosnuméricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada número é armazenadoem uma posição que consiste de um sinal, que identifica se é positivo ou negativo, eum número fixo e limitado de dígitos.

De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valoresnuméricos:

Sistema de ponto flutuante normalizado

Um número no sistema de ponto flutuante é caracterizado por uma base b, um númerode dígitos significativos n e um expoente exp.

Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto flutuante sefor possível escrevê-lo na forma:

nr =±0.d1d2 . . .dn ×bexp

em quem =±0.d1d2 . . .dn

é a mantissa, com n dígitos significativos d1,d2, . . . ,dn , satisfazendo

0 ≤ di ≤ (b −1), i = 1,2, . . . ,n e d1 6= 0.

O expoente exp da base b varia da seguinte maneira:

expmín ≤ exp ≤ expmáx

sendo expmín ≤ 0 e expmáx ≥ 1 com expmín e expmáx números inteiros.Todos os números em ponto flutuante, juntamente com a representação do

zero, constitui o sistema de ponto flutuante normalizado, que indicamos por:SPF (b, n, expmín, expmáx).

Neste sistema, o zero é representado da seguinte maneira:

zero: 0.0000. . .0︸ ︷︷ ︸

n vezes

bexpmín

Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma genéricapor SPF (b, n, expmín, expmáx), temos:

a) O menor positivo exatamente representável, não nulo, é o real formado pela menormantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, isto é:

menor = (0.1000. . .0︸ ︷︷ ︸

(n−1) vezes

) bexpmín

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#1 Erros 7

b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissamultiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é:

maior = (0 · [b −1][b −1] . . . [b −1])︸ ︷︷ ︸

n vezes

bexpmáx

c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por:

mantissas+ = (b −1)bn−1

d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por:

exppossíveis = expmáx−expmín+1

e) O número de reais positivos representáveis é dado pelo produto entre o númeromáximo de mantissas pelo máximo de expoentes, isto é:

NR+ = mantissas+×exppossíveis

Se considerarmos que dado um número real nr ∈ SPF temos que −nr ∈ SPF e arepresentação do zero, podemos concluir que o número total de elementos exatamenterepresentáveis NRt é dado por:

NRt = 2×NR++1

Exemplo 1.6Considere o sistema de ponto flutuante,

SPF (b, n, expmín , expmáx) = SPF (3, 2, -1, 2)

isto é, de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a −1 e maiorexpoente 2. Para este sistema temos:

a) O menor exatamente representável:

0.10×3−1 = (1×3−1 +0×3−2)×3−1 =1

9

b) O maior exatamente representável:

0.22×32 = (2×3−1 +2×3−2)×32 = 8

c) A quantidade de reais positivos exatamente representáveis:A quantidade de reais positivos exatamente representáveis é dada pelo

produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos, formadas com os dí-gitos da base 3, isto é, 0.10, 0.11, 0.12, 0.20, 0.21, 0.22, e todas as possibilidadesde expoentes, que no caso são −1, 0, 1, 2.

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8 Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Desta forma, os 24 positivos exatamente representáveis estão listadosa seguir:

0.10×

3−1

30

31

32

=

1/9

1/3

1

3

0.11×

3−1

30

31

32

=

4/27

4/9

4/3

4

0.12×

3−1

30

31

32

=

5/27

5/9

5/3

5

0.20×

3−1

30

31

32

=

2/9

2/3

2

6

0.21×

3−1

30

31

32

=

7/27

7/9

7/3

7

0.22×

3−1

30

31

32

=

8/27

8/9

8/3

8

Observe que o menor real positivo representável é 19

e o maior positivorepresentável é o real 8.

Por outro lado, sabemos que se um real x ∈ SPF então −x ∈ SPF e, como nosistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma representação, temosque os representáveis de SPF pertencem ao conjunto:

R ={

x; x ∈[

1

9,8

]

∪[

−8,−1

9

]

∪0

}

Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores nãosão representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalosanteriores constitui-se em uma mensagem de erro, isto é,

Erro de Underflow, se a tentativa de representação satisfizer:

Under ={

x; x ∈(−1

9,0

)

∪(

0,1

9

)}

Erro de Overflow, se a tentativa de representação satisfizer:

Over = {x; x ∈ (−∞,−8)∪ (8,+∞)}

Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real, verificare-mos, num primeiro momento, uma maior concentração de representáveisnas proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos

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#1 Erros 9

afastamos da origem e que, aparentemente, não existe uma uniformidade nasua distribuição.

No entanto, é possível observar que os representáveis definidos pelo pro-duto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmoexpoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta.

Assim, os reais

0.10×3−1,0.11×3−1,0.12×3−1,0.20×3−1,0.21×3−1,0.22×3−1

são igualmente espaçados por h3 =1

27.

Os reais

0.10×30,0.11×30,0.12×30,0.20×30,0.21×30,0.22×30

são igualmente espaçados por h2 =1

9.

Enquanto que os reais

0.10×31,0.11×31,0.12×31,0.20×31,0.21×31,0.22×31

são espaçados por h1 =1

3.

E os reais representados por

0.10×32,0.11×32,0.12×32,0.20×32,0.21×32,0.22×32

são igualmente espaçados por h0 = 1.De modo geral, podemos representar o espaçamento entre os representá-

veis exatamente da seguinte maneira:

hi =1

3i, i = 0,1,2,3

Exemplo 1.7Considere o sistema de ponto flutuante SPF (2, 3, −1, 2), isto é, de base 2, 3

dígitos na mantissa, menor expoente igual a −1 e maior expoente 2.Para este sistema temos 16 reais positivos exatamente representáveis além

do zero.A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema

SPF (2, 3, −1, 2)

pode ser visualizada na Figura 1.2:

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10 Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Figura 1.2

Neste caso, temos os números formados com 3 dígitos 0.100, 0.101, 0.110 e0.111 e os expoentes −1,0,1 e 2.

Assim:

0.100×2−1 = (1×2−1 +0×2−2 +0×2−3)2−1 = 1/4

0.101×2−1 = (1×2−1 +0×2−2 +1×2−3)2−1 = 5/16

0.110×2−1 = (1×2−1 +1×2−2 +0×2−3)2−1 = 3/8

0.111×2−1 = (1×2−1 +1×2−2 +1×2−3)2−1 = 7/16

Estes são os menores números representáveis, e o maior número representávelneste sistema é dado por:

0.111×22 = (1×2−1 +1×2−2 +1×2−3)22 = 7/2

Observe que o menor positivo exatamente representável é 1/4 e o maior é 7/2.Os demais números representáveis neste sistema ficam a cargo do leitor.

Exemplo 1.8Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2,−1, 2), de base

3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a −1 e maior expoente 2.Para este sistema, temos que

x =1

9= (0.10)3 ×3−1 e y = 5 = (0.12)3 ×32

são exatamente representáveis, no entanto,

(x + y) = (0.00010)3 ×32 + (0.12)3 ×32 = (0.1201)3 ×32

não é exatamente representável em SPF, uma vez que no sistema de pontoflutuante considerado a mantissa é de 2 dígitos. Neste sistema aproximamos(x + y) = (0.12)3 ×32.

ObservaçãoPode ocorrer de propriedades consagradas no conjunto dos números reais não seremverdadeiras, no sentido da exatidão da representação, no sistema de ponto flutuante

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#1 Erros 11

normalizado, como as propriedades comutativa e associativa na adição e as proprieda-des comutativa e distributiva na multiplicação.

Por exemplo, considere um sistema de ponto flutuante, base decimal, 3 dígitos earredondamento, conforme seção 1.3.3.

Se x = 5.26 y = 9.34 e z = 5.04

(x + y)+ z = (5.26+9.34)+5.04 = 14.6+5.04 = 19.6

x + (y + z) = 5.26+ (9.34+5.04) = 5.26+14.4 = 19.7

Podemos observar que,x + (y + z) 6= (x + y)+ z

ou seja, a propriedade associativa válida nos números reais não é, neste caso, válida nosistema de ponto flutuante.

Quando estamos utilizando um equipamento computacional para processar umadeterminada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões deUnderflow ou de Overflow e este não for representável exatamente no sistema deponto flutuante SPF, o mesmo será representado de forma aproximada por nra , o queacarreta erros.

Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do real nr, para quesua representação seja possível no SPF e que denominamos de erro de arredondamento.

1.3.3 Erro de arredondamento

Dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado na posição k se todos osdígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério:

O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + 1) for maior ouigual a metade da base. Caso contrário, o número nr é representado com os k dígitosiniciais.

Exemplo 1.9Consideremos um equipamento com o sistema de ponto flutuante normali-

zado SPF (b, n, expmín , expmáx) = SPF (10, 4, −5, 5).

a) Se a = 0.5324×103 e b = 0.4212×10−2, então a ×b = 0.22424688×101, que éarredondado e armazenado como (a ×b)a = 0.2242×101.

b) Se a = 0.5324 × 103 e b = 0.1237 × 102, então a + b = 0.54477 × 103, que éarredondado e armazenado como (a +b)a = 0.5448×103.

Os erros podem ser mensurados de duas formas básicas: erro absoluto e erro relativo,definidos a seguir.

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Esta nova edição do livro Cálculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de Software, revista e ampliada, foi projetada e escrita com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento. Abrange os tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemas lineares e não lineares, equações, interpolação polinomial, ajuste de funções, integração numérica, equações diferenciais ordinárias, autovalores e otimização, acompanhados de exemplos resolvidos em detalhes. Exercícios são propostos no final de cada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo.

Esta 2ª edição mantém o CD com o Software Numérico atualizado, desenvolvido pelos autores, que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico. Neste software, conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em exercícios nos laboratórios computacionais.

A P L I C A Ç Õ E S : Livro-texto para as disciplinas de Cálculo Numérico nos cursos de graduação das áreas de Ciências Exatas e Tecnológicas.

2 ª E D I Ç Ã O R E V I STA E A M P L I A DA

S E L M A A R E N A L E S A R T U R D A R E Z Z O

CÁLCULONUMÉRICO

APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE

SELMA HELENA DE VASCONCELOS ARENALES

Professora do Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). Graduada em Matemática pela Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho (Unesp) e mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Possui experiência na área de matemática, com ênfase em matemática aplicada, atuando em projetos de pesquisa e orientação de alunos nas áreas de Otimização e Análise Numérica, com enfoques na modelagem de problemas e métodos numéricos de resolução. Tem publicado trabalhos em congressos, em ensino de Matemática, principalmente no ensino de Cálculo Numérico com Ferramentas Computacionais. Possui experiência no ensino a distância, lecionou na Universidade Aberta do Brasil (UAB-UFSCar) e publicou livros para esta finalidade.

ARTUR DAREZZO FILHO

Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro (SP, 1971), mestre em Ciência da Computação e Estatística –opção Computação – pela UFSCar (1978), doutor em Engenharia Civil pela mesma universidade (1996). Desde 1972, é professor vinculado ao Departamento de Matemática da UFSCar, onde exerceu as funções de docente, pesquisador na área de modelagem matemática e métodos numéricos e de coordenador do curso de Matemática. A partir do ano de 2001, como professor aposentado, passou a ser professor convidado voluntário no mesmo Departamento de Matemática até o ano de 2010. Foi também, no período de 2002 a 2005, professor e coordenador do curso de Matemática Aplicada e Computacional do Centro Universitário Central Paulista (Unicep) – São Carlos, SP. Desde o anode 2006, exerce as funções de Diretor Acadêmico da Escola Superior de Tecnologia e Educação de Rio Claro (SP).

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CÁLCULONUMÉRICO

APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE

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OAPRENDIZAGEM

COM APOIO DE SOFTW

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