Calculo multivariable

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Joaquin Retamosa Granado [email protected] http://nuc3.fis.ucm.esPablo M. Garca Corzo [email protected] http://alqua.org

Clculo multivariable

versin 0.120/10/2007

alqua,madeincommunity

2007 Joaquin Retamosa Granado y Pablo M. Garca Corzo

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CDU 531.5

Area Clculo

EditoresPablo M. Garca Corzo [email protected]

Notas de produccin

alfeizar, v. 0.3 del diseo lvaro Tejero Cantero.compuesto con software libre

DedicadoA nuestros amigos y familia

ndice generalCopyleft II

ndice general V1 Geometra y topologa de Rq 1

1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 El espacio eucldeo Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Producto escalar y distancia eucldea . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2. Bases ortogonales en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3. Volumen de un sistema de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Clasificacin de los subconjuntos de Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1. Bolas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2. Intervalos en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3. Conjuntos abiertos, cerrados y compactos . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Primera toma de contacto con las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Curvas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.2. Ecuaciones vectoriales y paramtricas de una curva . . . . . . . . . . 32

1.6 Superficies en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.1. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.2. Ecuaciones escalares de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7.2. Coordenadas polares generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.3. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.7.4. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.A Caracterizacin de regiones en el plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 441.A.a. Caracterizacin de regiones en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 451.A.b. Caracterizacin de regiones slidas en el espacio . . . . . . . . . 47

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Funciones reales escalares 512.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Representacin grfica de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1. Grfica de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.2. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.3. Secciones de una grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3 Lmites y continuidad de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4 Derivabilidad de una funcin escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1. Interpretacin geomtrica de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . 782.5 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.A Representacin de superficies cudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.A.a Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V

VI

BORR

ADOR

NDICE GENERAL

2.A.b Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.A.c Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.A.d El Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.A.e El paraboloide elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.A.f El paraboloide hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.B Caracterizacin de regiones delimitadas por superficies cudricas . . . . . . . . 962.C Algunos trucos para el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.C.a Lmites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.C.b Clculo de lmites en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3 Diferenciabilidad de las funciones escalares 1073.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Definicin de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.3 Propiedades de las funciones escalares diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 1133.4 Propiedades del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.5 Plano tangente y recta normal a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.6 Algunos teoremas de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.6.1. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.6.2. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.6.3. Diferenciacin implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.6.4. Funciones continuamente diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 1353.6.5. Desarrollo finito de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 Funciones vectoriales 1454.1 Definicin de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2 Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.1. Lmites y continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . 1474.2.2. Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 151

4.3 Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3.2. Representacin grfica de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 1604.3.3. Gradiente, divergencia y rotacional de un campo . . . . . . . . . . . 1614.3.4. Interpretacin de la divergencia y el rotacional . . . . . . . . . . . . 1624.3.5. Algunas relaciones bsicas del operador . . . . . . . . . . . . . . 1654.3.6. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.4.1. Derivadas de una trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.4.2. Curvas suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.5 Integrales sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.5.1. Particin y medida de un arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.5.2. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.5.3. Integrales de lnea y arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.5.4. Influencia de la orientacin de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.5.5. Integrales de lnea de campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . 185

4.A Curvatura y sistema intrnseco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.A.a Definicin de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.A.b Triedro intrnseco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Curso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E

BORR

ADOR

NDICE GENERAL VII

5 Extremos de las funciones escalares 1975.1 Definicin de extremo local o relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.2 Condicin necesaria de extremo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.3 Condicin suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.3.1. Desarrollo de Taylor alrededor de un punto crtico . . . . . . . . . . 2035.3.2. La diferencial segunda como forma cuadrtica . . . . . . . . . . . . 2045.3.3. Criterio de suficiencia de la diferencial segunda . . . . . . . . . . . . 2055.3.4. Criterio de la diferencial segunda en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.4 Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.5 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

El proyecto libros abiertos de Alqua 221

Otros documentos libres 226

Clculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

Tema 1Nociones sobre la geometra y topologa de Rq

1.1 IntroduccinUno de los conceptos fundamentales de las matemticas es el nmero. Introducido en la an-

tigedad, el concepto se ha ido generalizando y profundizando con el tiempo. El nmero esesencial en el desarrollo de diversas disciplinas como la Fsica, la Qumica, la Economa o laInformtica. Las magnitudes fsicas1 estn definidas por un valor numrico, un error (tambinnumrico) asociado a las limitaciones del proceso de medida y una unidad adecuada a su dimen-sin. Las matemticas estudian las magnitudes haciendo abstraccin de su naturaleza y de comohan sido medidas, es decir, no tienen en consideracin unidades o posibles errores. De forma ge-nrica consideraremos que los valores numricos carecen de dimensiones y en los pocos casosen que les asociemos una dimensin no utilizaremos un sistema de unidades concreto.

El cero, los nmeros naturales N y sus opuestos constituyen el conjunto de los nmeros en-teros Z. Todas las razones de dos nmeros enteros p/q (con q 6= 0) dan lugar a los nmerosracionales que se denotan por Q. Los nmeros enteros son un subconjunto de los racionales,Z Q, ya que cualquier entero p se puede escribir como la razn p/1 de dos nmeros en-teros. Los nmeros fraccionarios se pueden representar por fracciones finitas o por fraccionesperidicas infinitas; por ejemplo

5

2= 2.5,

10

3= 3.333 . . .

Existen adems nmeros en forma de fracciones indefinidas aperidicas que se denominanirracionales. Ejemplos de estos nmeros son

2, lm

n

(1 +

1

n

)n.

La unin de mbos tipos de nmeros, racionales e irracionales, da lugar al conjunto de losnmeros reales R. Los nmeros reales estn ordenados: para cualquier par x e y se cumple unay slo una de las siguientes relaciones x < y, x = y, x > y.

Otro hecho importante es que R puede representarse geomtricamente como una recta. Sellama recta real o eje nmerico a una recta infinita en la que se han establecido: i) un origen quese denota habitualmente como O, ii) un sentido positivo (sealizado mediante una flecha) y iii)una escala para medir longitudes. Normalmente la recta real se representa en posicin horizontaly se considera positivo el sentido izquierda-derecha. Cuando x es positivo se representa medianteun punto P situado a la derecha de O y a una distancia d(O,P ) = x. Si es negativo se lerepresenta por un punto Q situado a la izquierda de O y a una distancia d(O,P ) = x. El cerocorresponde al propio origen O.

Por este mtodo cada nmero real x est representado por un punto P de la recta real. Diremosque el valor numrico x (incluyendo el signo) es la distancia orientada del punto P al origen.

1Elegimos este ejemplo ya que el curso est orientado a los alumnos de la Licenciatura en Fsica.

1

2BORR

ADOR

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ

P X

X0

Figura 1.1: La recta real

La relacin es biunvoca: dos puntos distintos caracterizan nmeros reales distintos. Y por ellolos trminos nmero real y punto del eje real son sinnimos y as los utilizaremos.

En lo que sigue utilzaremos las siguientes propiedades de los nmeros reales, que aceptaremossin demostracin:

1. Dados dos nmeros reales arbitrarios x < y, existen nmeros reales z, tanto racionalescomo irracionales, que verifican que x < z < y.

2. Todo nmero irracional se puede expresar con grado de precisin arbitrario mediantenmeros racionales.

1.2 El espacio eucldeo Rq

1.2.1 Producto escalar y distancia eucldea

De forma anloga existe una correspondencia biunvoca entre los puntos de un plano y paresordenados de nmeros reales, que reciben el nombre de coordenadas del punto. Consideremosdos rectas perpendiculares situadas sobre el plano a las que llamaremos ejes coordenados X eY ; elegiremos su interseccin O como origen de coordenadas, definiremos sobre mbos ejesuna escala adecuada y asociaremos el origen de coordenadas con el par (0, 0). Dado un puntoP trazamos dos segmentos que pasan por l y son perpendiculares a los ejes. Sus interseccionescon los ejes definen dos puntos a los que corresponden valores numricos x0 e y0, tal como semuestra en la figura 1.2. Los dos nmeros del par ordenado (x0, y0) se denominan coordenadascartesianas del punto P .

y

x

x0

y0 P

Figura 1.2: Coordenadas cartesianas en el plano

Los puntos en el espacio se caracterizan de forma similar mediante ternas de nmeros realesordenados. Elijamos tres rectas perpendiculares entre s, que se cortan en un punto del espacio.


BORR

ADOR

1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ 3

Las tres rectas reciben el nombre de ejes coordenados X, Y y Z y su interseccin O el nombrede origen de coordenadas. Definimos una escala adecuada sobre los tres ejes coordenados yasociamos la terna (0, 0, 0) al origen de coordenadas. Dado un punto P procedemos como antes:trazamos segmentos que pasan por dicho punto y son perpendiculares a los ejes coordenados;sus intersecciones con dichos ejes definen tres puntos caracterizados por los nmeros x0, y0 yz0, que reciben el nombre de coordenadas cartesianas del punto P .

La eleccin de los ejes X, Y y Z es arbitraria a excepcin de las dos reglas siguientes:

1. Los tres ejes son perpendiculares entre s.

2. Su sentido positivo queda establecido por los dedos pulgar, ndice y corazn de la manoderecha situada sobre la terna de ejes.

$x$$x_0$

$y_0$

\bf P

$z$

$z_0$

$y$

Figura 1.3: Coordenadas cartesianas en el espacio

Cuando se introduce el concepto de distancia eucldea entre dos puntos, la recta, el plano y el


4BORR

ADOR


espacio son ejemplos particulares de lo que se llaman espacios eucldeos

Definicin 1.1 (Espacio Eucldeo)El espacio eucldeo (q dimensional) Rq, con q N, es el conjunto formado portodas la sucesiones x = (x1, x2, , xq) de q nmeros reales.Un elemento de Rq se denomina frecuentemente un punto en Rq; R1, R2 yR3 se denominan la recta, el plano y el espacio respectivamente. Los nmerosx1, x2, , xq son las coordenadas cartesianas de x .Los elementos de Rq se denominan tambin vectores en Rq, ya que este espacio esun espacio vectorial con las operaciones usuales:

x +y = (x1 + y1, x2 + y2, , xq + yq),

x = (x1, x2, , xq),y por tanto tambin ser correcto denominar a los nmeros x1, x2, , xq compo-nentes del vector x .En este espacio se introducen los conceptos de producto escalar de dos vectores

x ,y , qi=1

xiyi,

y se definen la norma eucldea de un vector x Rq

x , x ,x =i

x2i ,

y la distancia entre dos elementos de Rq

d(x ,y ) , y x =

i

(xi yi)2

En el caso particular de R la norma coincide con el valor absoluto, es decir, x =|x| y por tanto d (x, y) = |x y|.

Dado que la norma y la distancia se definen de forma subsidiaria al producto escalar de dos


BORR

ADOR


elementos de Rq, todas sus propiedades sern consecuencia directa de las propiedades de ste.

Teorema 1.1 (Propiedades del producto escalar)Si x , x 1, x 2 e y , y 1, y 2 son elementos del espacio Rq y R, entonces secumple que:

1. Simetra:x ,y = y ,x ,

2. Bilinealidad:

x ,y = x , y = x ,y ,x ,y 1 +y 2 = x ,y 1+ x ,y 2 ,x 1 +x 2,y = x 1,y + x 2,y .

3. Positividad:x ,x 0 y x ,x = 0 sys x = 0 .

Demostracin 1.1

1.x ,y = q

i=1

xiyi =

qi=1

yixi =y ,x ,

2. En virtud de la propiedad precedente bastar con demostrar quex ,y = x ,y ,x ,y 1 +y 2 = x ,y 1+ x ,y 2 ,

para completar la demostracin del punto 2. En efecto,

x ,y = q

i=1

xiyi =

qi=1

xiyi = x ,y

x ,y 1 +y 2 = qi=1

xi(y1i + y2i) =

qi=1

xiy1i +

qi=1

xiy2i =x ,y 1+ x ,y 2

3.x ,x = qi=1 x2i , y la suma de un nmero finito de sumandos positivos o cero es siemprepositiva o nula; para que la suma sea cero todos y cada uno de los sumandos deben ser nulos.

Las propiedades de la norma de un vector se deducen de forma trivial a partir de las ecuacionesenunciadas en el teorema 1.1

Teorema 1.2 (Propiedades de la norma)Si x , y son elementos del espacio Rq y R, entonces

1.x 0 y x = 0 sys x = 0 ,

2.x = ||x ,

3.x ,y x y .

4.x +y x+ y ,

Demostracin 1.2


6BORR

ADOR


Dejando como ejercicio la demostracin de las dos primeras propiedades, nos centraremos en lasdos ltimas.

3. Si x y son nulos la igualdad se satisface de forma trivial. Supongamos que x e y son nonulos y linealmente dependientes (y = x ); entonces

x ,y = qi=1

xi(xi) =

qi=1

x2i = x2 = /|| x y .

Por lo tanto {x ,y = x y , si > 0,x ,y = x y < x y , si < 0.Si, por el contrario, x e y son linealmente independientes, es decir, y x 6= 0 R,entonces

0 0, y > 0. x+ y = R y = R x.

2. x < 0, y > 0. x+ y = R y = R+ x.

3. x < 0, y < 0. x y = R y = R x.

4. x > 0, y < 0. x y = R y = R+ x.

As, en cada cuadrante la circunferencia coincide con un segmento de recta. Uniendo los cuatro seg-mentos concluimos que la circunferencia es un polgono de cuatro lados perpendiculares entre s y queforman ngulos de 45 grados con los ejes.

X

Y

R

Figura 1.4: Esto tambin es una circunferncia


8BORR

ADOR


1.2.2 Bases ortogonales en Rq

El siguiente teorema muestra que el ngulo interno que forman dos vectores del plano o delespacio est estrechamente ligado a su producto escalar

Teorema 1.4 (ngulo entre dos vectores del espacio)Sean u yv dos vectores del plano o del espacio y [0, ] el ngulo interno queforman dichos vectores, entonces se cumple que

u ,v = uv cos .Demostracin 1.4

z

x

y

b a b a

b

a

Figura 1.5: Ley de los cosenos

Acudimos a la trigonometra para demostrar este teo-rema. Aplicando la ley de los cosenos al tringulo quetiene un vrtice en el origen de coordenadas y dos desus lados adyacentes definidos por los vectoresu yv ,tal como se muestra en la figura, obtenemos

v u2 = u2 + v 2 2 uv cos .y por la definicin de norma

v u2 = v u ,v u , v 2 = v ,v , v 2 = u ,resultav u ,v u = v ,v + u ,u 2 uv cos .

Ahora bien v u ,v u = v ,v + u ,u 2 u ,v ,con lo cual v ,v + u ,u 2 u ,v = v ,v + u ,u 2 uv cos ,o lo que es lo mismo u ,v = uv cos .

Si los vectores u y v son no nulos podemos despejar

cos =

u ,v u v .Para generalizar este resultado utilizamos que cualquiera que sea la dimensin del espacio

euclideo se cumple que (vese la demostracin 1.2 )

x y < x ,y < x y ,y si los dos vectores son distintos del vector nulo tenemos


BORR

ADOR


1 x ,y x y 1.

Teniendo en cuenta que |cos()| 1 y el teorema 1.4 convenimos en definir el ngulo internoque forman dos vectores no nulos como

Definicin 1.2

Sean x y y dos vectores no nulos de Rq; se define el agulo interno (agudo) queforman estos dos vectores como

cos ,

x ,y x y .

Dos vectores no nulos x ,y Rq se dicen ortogonales si el ngulo interno que forman es = /2, lo cual, segn la definicin precedente, implica que

x ,y = 0.Definicin 1.3 (Base de Rq)

Todo conjunto formado por q vectores de Rq linealmente independientes,{b i, i = 1, 2, . . . , q

}, es una base de dicho espacio vectorial. Puede demostrar-

se que cualquier vector x Rq puede descomponerse de forma nica como unacombinacin lineal de los vectores de la base, es decir

x = 1b 1 + 2

b 2 + q

b q =

qi=1

ib i,

donde 1, 2, . . . , q son nmeros reales. La combinacin lineal anterior se lla-ma descomposicin del vector x segn la base y los nmeros i se denominancomponentes (o coordenadas) del vector x en la base dada.

El hecho de que el vector se defina mediante las componentes i (en la base dada) se denotahabitualmente como

x = (1, 2, , q) ,

y no ser necesario precisar a qu base nos referimos siempre que esto no conduzca a ningn


10

BORR

ADOR


tipo de ambigedad.

Definicin 1.4 (Bases ortogonales)Una base del espacio eucldeo Rq,

{b i, i = 1, 2, . . . , q

}, se dice que es ortogonal

si sus vectores son ortogonales entre s dos a dos, es decir

b i,

b j

= 0, si 1 i 6= j q.

Si adems se verifica que

b i,

b j

= i,j =

{1, si i = j,0, si i 6= j,

la base es ortonormal.

De forma ms fundamental puede demostrarse que todo conjunto de vectores ortogonales en-tre s dos a dos es siempre un sistema linealmente independiente y que en todo espacio vectorialexisten bases ortogonales.

A lo largo de este curso slo consideraremos bases de este tipo lo que nos permite aplicar unavariedad de corolarios tiles. Sabemos que todo vector x Rq admite una descomposicinnica

x =q

j=1

jb j.

Multiplicando escalarmente la igualdad anterior por el vectorb i resulta

x ,b i = qj=1

j

b j ,

b i

= i

b i2 ,por lo que podemos despejar la componente i

i =

x ,b ib i2 , i = 1, 2, . . . , q,y utilizando la relacin entre el producto escalar de dos vectores y el ngulo que forman

i =

x b i cos ib i2 =x cos ib i ,

donde i es el ngulo agudo que forman el vector x y el i-simo vector de la base. Si para otrovector y tiene lugar la descomposicin

y =q

j=1

jb j ,

entonces el producto escalar de mbos vectores puede escribirse como


BORR

ADOR


x ,y =

qi=1

ib i,

qj=1

jb j

=

qi,j=1

ij

b i,

b j

=

qi=1

ii

b i2 .En particular la norma del vector x se escribe

x = qi=1

2i

b i2 .Si la base es ortonormal las expresiones anteriores se simplifican bastante ya que todas las

normas se reducen a la unidad, es decir

i =x ,b i , x ,y = q

i=1

ii,x = q

i=1

2i .

Definicin 1.5 (Proyeccin ortogonal)El vector

P i = i

b i =

x ,b ib i2b i, i = 1, 2, . . . , q,

se denomina proyeccin ortogonal del vector x sobre el vector b i

i

x

bi

Pi

Figura 1.6: Proyeccion ortogonal

Para comprender el significado del vector P iconsideremos, tal como se muestra en la figura,los dos vectores x y b i. Trazamos un segmen-to de recta que pasa por el extremo del vector xy que corta perpendicularmente a la recta definidapor el vector

b i; el segmento dirigido que parte

del origen de coordenadas y termina en la inter-seccin es P i. No resulta muy difcil comprobar-lo: el segmento dirigido en cuestin es paralelo alvector unitario

b i/

b i y tiene como longitud(orientada)

x cos i, esto es(x cos i) b ib i = i

b i =

P i.

Trabajaremos habitualmente con la base estndar, cuyos elementos se denotan por {e i \. i =1, 2, , q}. Se trata de vectores unitarios definidos de tal forma que e i est dirigido segn elsentido positivo del i-simo eje de coordenadas. Los vectores de la base estndar forman pordefinicin un sistema ortonormal, esto es,

e i,e j = i,j . Cuando trabajemos en el plano oen el espacio, los tres vectores de la base estndar e 1,e 2 y e 3 se denotarn frecuentemente


12

BORR

ADOR


por los smbolos , y k respectivamente. Tambin es habitual en este caso denotar lascoordenadas cartesianas de un punto por x, y, z en lugar de x1, x2, x3.

Ejemplo 1.2 (ngulos directores de un vector)

Llamamos ngulos directores de un vector a los ngulos internos entre ste y los vectores b i de labase. Segn hemos visto en la seccin precedente la descomposicin de un vector en una base se puedeexpresar como


BORR

ADOR


x =x cos ib 1 ,

x cos 2b 2 , ,x cos qb q

,

es decir,

i =

x cos ib i ,y como por otra parte

i =

x ,b ib i2 ,resulta que

cos i =

x ,b ix b i .Obviamente, si la base es ortonormal

x = (x cos 1, x cos 2, , x cos q) ,y

cos i =

x ,b ix .Utilizando estas expresiones obtendremos los ngulos directores del vector x = (1, 2, 3), en la base

estndar , ,k . La norma del vector se calcula como x = 12 + 22 + 32 = 14. Prosiguiendocon el clculo tenemos

x , = 1 cos 1 = 114

1 = cos1(

114

) 1.30x , = 2 cos 1 = 2

14 1 = cos1

(214

) 1.00x ,k = 3 cos 1 = 3

14 1 = cos1

(314

) 0.64

1.2.3 Volumen de un sistema de vectoresComo paso previo a la definicin del (hiper)volumen subtendido por un cierto conjunto de

vectores de Rq debemos introducir el producto vectorial y el producto mixto.

Definicin 1.6 (Producto vectorial en R3)Dados dos vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3), definimos su productovectorial como el nuevo vector:

a b ,i

j

k

a1 a2 a3b1 b2 b3

=a2 a3b2 b3

i a1 a3

b1 b3

j +

a1 a2b1 b2

k


14

BORR

ADOR


Conviene notar aqu que la primera identidad tiene un marcado caracter formal y slo adquieresentido real cuando el determinante se desarrolla por la primera fila.

Teorema 1.5 (Propiedades del producto vectorial)El producto vectorial de dos vectores del plano o del espacio verifica las siguientespropiedades:

1. a b = b a ; en consecuencia a a = 0 .2.a b = a b sen , donde es el ngulo agudo que forman losdos vectores. Por lo tanto la norma del producto vectorial es igual al rea delparalelogramo subtendida por los vectores a y b .

3. (a )b = a (b ) = (a b ).4. a (b +c ) = a b +a c .5. (a +b )c = a c +b c .6. a (b c ) = a ,c b a ,b c .

Demostracin 1.5Las propiedades 1, 3, 4 y 5 se deducen de forma directa a partir de las propiedades de los determi-

nantes; aconsejamos al lector que utilice sus conocimientos de lgebra (y cierta fuerza de voluntad) parademostrarlas. La demostracin de la ltima propiedad se plantea como problema al final del captulo, conlo que nos contentaremos aqu con demostrar la propiedad nmero 2.

a b 2 = a2 a3b2 b3

2

+a1 a3b1 b3

2

+a1 a2b1 b2

2

= (a2b3 a3b2)2 +

= (a21 + a22 + a

23)(b

21 + b

22 + b

23) (a1b1 + a2b2 + a3b3)2

=a 2 b 2 a ,b 2 = a 2 b 2 sen2

(1.1)

Como es el ngulo agudo formado por los dos vectores y sen 0 si [0, ] podemos escribira b = a b sen .


BORR

ADOR


b

a

h

Figura 1.7: rea de un paralelogramo

No resulta muy arduo convencerse de que elmiembro de la derecha nos proporciona el readel paralelogramo definido por los dos vectores.Imaginemos tal como muestra la figura, los dosvectores reducidos al origen y completado el pa-ralelogramo mediante otros dos vectores paralelosa los originales. Si tomamos como base del pa-ralelogramo al vector a la altura del mismo vie-ne dada trivialmente por

b sen con lo cualA = base altura = a b sen .

Definicin 1.7 (Producto mixto en R3)Dados tres vectores a , b y c del espacio, el nmero real

a ,b c ,se llama producto mixto de a , b y c (en dicho orden).

Teorema 1.6 (Propiedades del producto mixto)Las propiedades bsicas del producto mixto de tres vectores del espacio a =(a1, a2, a3),

b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3) son:

1.a ,b c = a1 a2 a3b1 b2 b3

c1 c2 c3

.

2. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cclicasa ,b c = b ,c a = c ,a b .

3. El producto mixto de tres vectores linealmente dependientes o coplanares esnulo, es decir

a + b ,a b

= 0.

Demostracin 1.6

1. La primera propiedad se demuestra de forma directa a partir de la definicin

a ,b c = a1 + a2 + a3k , b2 b3c2 c3 b1 b3c1 c3 + b1 b2c1 c2 k

= a1b2 b3c2 c3

a2 b1 b3c1 c3 + a3b1 b2c1 c2

=

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3


16

BORR

ADOR


2,3 Estas propiedades se deducen subsidiariamente de la primera utilizando determinantologa ele-mental.

Ejemplo 1.3Utilizaremos el producto mixto para demostrar que los vectores a = (1, 4,7), b = (2,1, 4) yc = (0,9, 18), son coplanares. Utilizando la forma determinantal del producto mixto tenemos

a ,b c = 1 4 72 1 40 9 18

= 0,

y de acuerdo con la tercera propiedad del producto mixto deducimos la coplanariedad de los vectores.

Teorema 1.7 (Volumen de un paraleleppedo)EL producto mixto

a ,b c es, salvo un signo, igual al volumen del para-leleppedo construido sobre los tres vectores a , b y c , reducidos a un origencomn.

Segn afirma el teorema precedente, el volumen del paraleleppedo construido a partir delos tres vectores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3) viene dado por

V () =a ,b c =

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

.


BORR

ADOR


Demostracin 1.7

b c

c

b

a

h

Figura 1.8: Volumen de un paraleleppedo

Considrese el sistema formado por los tres vectoresa ,b y c que parten de un mismo punto; dicho siste-ma permite construir, tal como se muestra en la figura,un paraleleppedo. Los vectores

b y c forman la ba-

se del paraleleppedo cuyo rea es A =b c . Si

es el ngulo que forman los vectores a y b c(ortogonal a la base), la altura del paraleleppedo vienedada por h =

a |cos |. As el volumen se escribe

V () = Ah =b c a |cos | ,

y aplicando la defincin del coseno del ngulo formado por dos vectores, resulta

V () =

b c a cos

=a ,b c

.

Las definiciones de los productos vectorial y mixto en el espacio, se pueden generalizar singran dificultad al caso de un espacio de dimensin arbitraria

Definicin 1.8 (Producto vectorial en Rq)Dados q 1 vectores v 1,v 2, v q1 pertenecientes a Rq(q 3) se define suproducto vectorial como

v 1 v 2 v q1 ,

e 1 e 2 e qv11 v12 v1qv21 v22 v2q

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

v(q1)1 v(q1)2 v(q1)q

Se trata de una definicin formal cuyo significado es el siguiente: el vector quedenominamos producto vectorial tiene por componentes los nmeros que resultande desarrollar el determinante anterior por su primera fila.

Tambin es este caso las propiedades ms importantes del producto vectorial general sonconsecuencia directa de las propiedades de los determinantes; en entre ellas destacaremos las


18

BORR

ADOR


que se enuncian en el siguiente teorema

Teorema 1.8 (Propiedades del producto vectorial en Rq)1. v 1 v i v j = v 1 v j v i ;

en particular, el producto vectorial se anula cuando el mismo vector se repitedos o ms veces

2. v 1 (v i) v q1 = v 1 v i v q1.

3. v 1 (u i +v i) =v 1 u i +v 1 v i

Las dos ltimas propiedades se puden resumir en una sola que establece la linealidad delproducto vectorial en cualquiera de sus argumentos

Definicin 1.9 (Producto mixto en Rq)Dados q vectores v 1,v 2, v q pertenecientes aRq(q 3) se define su productomixto como el nmero

v 1,v 2 v q ,

v11 v12 v1qv21 v22 v2q

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

v(q1)1 v(q1)2 v(q1)qvq1 vq2 vqq

Como en los casos anteriores, las propiedades del producto mixto se obtienen de forma directa

a partir de su definicin como un determinante

Teorema 1.9 (Propiedades del producto mixto en Rq)1. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cclicas de sus argumen-

tos

v 1,v 2 v q = v q,v 1 v q1 .2. El producto mixto es lineal en todos y cada uno de sus argumentos, es decir

v 1, (u i + v i) = v 1, u i +

v 1, v i .Cuando dos vectores del plano se reducen a un mismo punto definen un paralelogramo cuyo

rea A podemos obtener utilizando la propiedad 1.5 (2); anlogamente tres vectores del espaciosituados sobre el mismo origen definen un paraleleppedo cuyo volumen V viene dado por elteorema 1.7 . En Rq (q > 3), q vectores reducidos a un mismo punto definen un hiperparale-leppedo que contiene un cierto hipervolumen. De ahora en adelante para referirnos de formaindistinta al rea, al volumen o al hipervolumen de una regin utilizaremos la palabra medi-


BORR

ADOR

1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 19

da, que denotaremos por la letra griega . En su momento definiremos de forma ms precisael concepto de medida de ciertas regiones de Rq; de momento nos basta con saber que si q = 2,entonces = A, y si q = 3 entonces = V .

Definicin 1.10 (Volumen de un hiperparaleleppedo)La medida del (hiper)paraleleppedo formado por los q vectores{v i = (vi1, vi2, , viq)}i=1,2,...,q (con q 2) se define como

() ,

v11 v12 v1qv21 v22 v2q

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

v(q1)1 v(q1)2 v(q1)qvq1 vq2 vqq

Cuando q 3 el volumen puede reescribirse como un producto mixto

() =v 1,v 2 v q

Ejemplo 1.4Demostremos que el rea del paralelogramo construido sobre los dos vectores (a1, a2) y (b1, b2)

viene dada por

A () =

a1 a2b1 b2

Comenzaremos transformando los dos vectores en elementos de R3 aadiendo para ellol una terceracomponente nula, es decir

a (a1, a2, 0) ,b (b1, b2, 0) .

Sabemos que el rea del paralelogramo es igual a la norma del producto vectorial de los dos vectores,es decir

A () =a b =

ka1 a2 0b1 b2 0

,

y desarrollando el determinante por la primera fila

A () =

a1 a2b1 b2

k =

a1 a2b1 b2

k =

a1 a2b1 b2

.

1.3 Clasificacin de los subconjuntos de Rq


20

BORR

ADOR


1.3.1 Bolas en Rq

Los intervalos unidimensionales, abiertos (a, b) o cerrados [a, b], tienen una gran importanciaen el anlisis de la recta real R. En el espacio eucldeo Rq existen subconjuntos que jueganun papel similar al de los intervalos unidimensionales. Los ms importantes son las bolas y losintervalos generalizados en q dimensiones. A modo de ejemplo podemos decir que el conceptode bola nos permitir, en su momento, introducir de manera sencilla los lmites de funcionesreales definidas en Rq. Por su parte, los intervalos juegan en la mayor parte de los textos declculo un papel importante en la definicin de la integral de Riemann en ms de una dimensin.

Definicin 1.11 (Bolas en Rq)Se llama bola abierta de centro x 0 Rq y radio > 0 al conjunto:

B(x 0, ) = {x Rq \. d (x 0,x ) < } .

Anlogamente se denomina bola cerrada de centro x 0 Rq y radio > 0 alconjunto:

B(x 0, ) = {x Rq \. d (x 0,x ) } .

Por ltimo se llama bola reducida de centro x 0 Rq y radio > 0 a:

B(x 0, ) = B {x 0} = {x Rq \. 0 < d (x 0,x ) < } .

De ahora en adelate, cuando se afirme que una funcin posee determinada propiedad cercadel punto x 0 o en la vecindad del punto x 0 el lector deber interpretar que existe un radiopositivo > 0 de tal suerte que en todos los puntos de la bola B

(x 0, ) se cumple la propiedadmencionada.

La figura 1.9 representa tres ejemplos de bolas en el plano. En R2 es habitual denominar dis-cos (abiertos, cerrados y reducidos) a las bolas. En la recta real las bolas se reducen a simplesintervalos unidimensionales. Introducimos en este ejemplo un convenio que emplearemos habi-tualmente en el futuro: los discos abiertos se representan mediante lneas discontinuas mientrasque los cerrados vienen delimitados por lneas continuas.

x 0x B

x / B

x / B

x 0x B

x B

x / B

B

B

x 0 / Bx B

x / B

x / B

B

Figura 1.9: Bolas en el plano


BORR

ADOR


Propiedades de las bolas

A continuacin enumeraremos sin demostracin algunas de las propiedades ms importantesde este tipo de conjuntos; en lugar de una demostracin nos bastar con mostrar un grficojustificativo.

1. Dados x 0,y 0 Rq, (x 0 6= y 0), , > 0 \. B(x 0, ) B (y 0, ) =

x 0

y 0

Figura 1.10: Propiedades de las bolas 1

2. Si x 0 Rq y x B(x 0, ) , > 0 \. B (x , ) B (x 0, )

x 0

x

Figura 1.11: Propiedades de las bolas 2

1.3.2 Intervalos en Rq

a

b

Figura 1.12: Intervalo en el plano

El concepto de intervalo se puede generalizarsin esfuerzo a un nmero cualquiera de dimen-siones de tal suerte que estos subconjuntos guar-den una fuerte similitud con los intervalos de la


22

BORR

ADOR


recta real. Utilizaremos la siguiente definicin

Definicin 1.12 (Intervalos en Rq)1. Dados a = (a1, a2, , aq) ,b = (b1, b2, , bq), ambos pertenecientes aRq, se llama intervalo abierto al subconjunto:

I(a ,b ) = {x Rq \. ai < xi < bii} .

Un intervalo abierto en q dimensiones se puede expresar como el productocartesiano de q intervalos unidimensionales abiertos de la recta real, es decir

I(a ,b ) = (a1, b1) (a2, b2) (aq, bq).

2. Anlogamente se denomina intervalo cerrado al subconjunto:

I(a ,b ) = {x Rq \. ai xi bii} ,

o

I(a ,b ) = [a1, b1] [a2, b2] [aq, bq].

Ejemplo 1.5 (Primeros ejemplos de intervalos)Veamos algunos ejemplos sencillos de intervalos en dos dimensiones:

I ((2, 3), (4, 5)) = (2, 3) (4, 5) = {(x, y) R2 \. 2 < x < 4, 3 < y < 5}.I ((2, 3), (4, 5)) = [2, 3] [4, 5] = {(x, y) R2 \. 2 x 4, 3 y 5}.

1.3.3 Conjuntos abiertos, cerrados y compactos

Despus de un cuatrimestre de Clculo los conceptos de intervalo abierto y cerrado sernfamiliares al lector. Es fundamental que generalicemos estos conceptos al caso de subconjuntosgenricos de Rq. Nos limitaremos, no obstante, a las cuestiones ms bsicas que utilizaremos alo largo del curso: d por hecho el lector que los conceptos que vamos a introducir ahora no sonms que la parte visible de un iceberg de conocimiento denominado topologa. Tendremos laoportunidad de comprobar que muchas propiedades de las funciones multivariable, enunciadascomo teoremas, slo son vlidas en dominios abiertos; otras por el contrario requieren que eldominio sea cerrado.


BORR

ADOR


Definicin 1.13 (Puntos interiores, exteriores y frontera)Sean un conjunto Rq y su complementario Rq . Dado x 0 Rq se diceque:

1. x 0 es un punto interior de si > 0 \. B(x 0, ) .

2. x 0 es un punto exterior de si > 0 \. B(x 0, ) Rq .

3. x 0 es un punto frontera de si > 0 se cumple simultneamente que{

B(x 0, ) 6= ,

B(x 0, ) (Rq ) 6= .

Exterior

Frontera

Interior

C

Figura 1.13: Puntos interiores, exteriores y frontera

De la definicin anterior se deduce que todo punto exterior de es un punto interior de sucomplementario Rq . Es importante destacar que en la definicin de punto interior (exterior)de un conjunto basta con que exista una (sola) bola de radio > 0 que satisfaga la condicincorrespondiente para que el punto sea interior (exterior). Por el contrario la definicin de puntofrontera es mucho ms restrictiva; debe cumplirse que, cualquiera que sea el radio, la bola cen-trada en el punto x 0 contenga de forma simultnea puntos pertecientes a y puntos que nopertenecen a dicho conjunto.

Definicin 1.14 (Puntos adherentes y de acumulacin)Sea un conjunto Rq y un punto x 0 Rq, se dice que:

1. x 0 es un punto adherente de si > 0, B(x 0, ) 6= .

2. x 0 es un punto de acumulacin de si > 0, B(x 0, ) 6= .

Las definiciones de punto frontera, adherente y de acumulacin pueden confundirse ya quesus diferencias son sutiles. Un punto x 0 es adherente al conjunto si toda bola centrada enx 0contiene puntos pertenecientes al conjunto; para que sea frontera debe contener adems puntosque no pertencen a . La distincin entre puntos adherentes y de acumulacin es an ms sutil.Todo punto x 0 aislado es un punto adherente (y frontera), pero no lo es de acumulacin yaque existen bolas centradas en l que slo contienen un punto de : el propio x 0


24

BORR

ADOR


Una vez clasificados los puntos de Rq en los tipos interior, exterior y frontera con respecto aun determinado conjunto, conviene definir los conceptos de interior, exterior y frontera de dichoconjunto.

Definicin 1.15 (Interior, frontera y exterior de un conjunto)Dado un conjunto cualquiera Rq, se definen los siguientes conjuntos relacio-nados:

1. El interior de es el conjunto formado por todos los puntos interiores de, es decir

= {x Rq \. x es punto interior de }.

2. El exterior de es el conjunto Ex(C) formado por todos los puntos exterioresde , es decir

Ex() = {x Rq \. x es punto exterior de }.

3. La frontera de es el conjunto formado por todos los puntos frontera de, es decir

C = {x Rq \. x es punto frontera de }.

Una definicin alternativa de Exterior de un conjunto es Ex() =

Rq . Los conjuntos ,Ex() y son una particin de Rq porque todo punto de Rq es necesariamente una y slouna de las siguientes cosas: o punto interior de o punto exterior de o punto frontera de ;es imposible que sea simultneamente dos de ellas. De manera ms formal podemos enumeraralgunas de las propiedades ms importantes de estos conjuntos como sigue

Teorema 1.10 (Propiedades de los conjuntos , Ex() y )1. Los conjuntos , Ex() y son disjuntos.2. Rq = Ex() .

C C C

C = C + C

(frontera incluida)

Figura 1.14: Interior, frontera y adherencia


BORR

ADOR


La demostracin de las propiedades anteriores se deja para los problemas del tema. Ahoradefiniremos la adherencia de un conjunto y su conjunto derivado

Definicin 1.16 (Adherencia y derivado de un conjunto)Dado un conjunto cualquiera Rq, definimos tambin los siguientes conjuntos:

1. La adherencia de es el conjunto formado por todos los puntos de adhe-rencia de .

2. Se denomina conjunto derivado de al conjunto formado por todos lospuntos de acumulacin de .

Todos punto interior o frontera de un conjunto pertenece a la adherencia del mismo. Asimismolos puntos interiores son puntos de acumulacin del conjunto. Todo punto de acumulacin es unpunto adherente; sin embargo existen puntos de adherencia que no son de acumulacin: stos sedenominan puntos aislados del conjunto.

Teorema 1.11 (Propiedades de y )La adherencia, frontera y derivado de un conjunto Rq verifican que:

1. = .2. = .3. = Conjunto de puntos aislados de .4. .

Ejemplo 1.6Dado el siguiente conjunto de puntos del plano

={(x1, x2) R2 \. x1 6= n, n N

},

obtenga el interior, la frontera y la adherencia del mismo.Tal como se observa en la definicin est formado por todos los puntos del plano excepto aquellos

cuya primera coordenada es un nmero natural (x1 = 1, 2, ). No es dficil darse cuenta que sonprecisamente estos puntos los que constituyen la frontera de : en cualquier entorno de los mismoshay simultneamente puntos que pertencen y que no pertenecen a . El resto de los puntos de R2, queconstituyen , forman el interior del conjunto ya que siempre podemos encontrar un entorno de losmismos que slo contiene puntos de . Por tanto conjunto e interior del conjunto coinciden en este caso.Adems, el conjunto no contiene puntos aislados por lo que adherencia y conjunto derivados coinciden.As

= , ={(x1, x2) R2 \. x1 = n N

}, = = R2.

Ejercicio:Dado el conjunto de puntos

={(x1, x2) R2 \. x1 = 1/n, x2 = 1/m, n,m = 1, 2, . . .

},


26

BORR

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se propone como ejercicio que el lector encuentre sus puntos interiores, frontera, adherentes yde acumulacin.

Finalmente, los conceptos de punto interior, exterior y frontera dan lugar a los de conjuntoabierto y de conjunto cerrado, que son se exponen en la definicin 1.18

Definicin 1.17 (Conjuntos abiertos y cerrados)Un conjunto Rq es abierto si todos sus puntos son interiores y ningunode sus puntos frontera le pertenece, es decir, si = .Por el contrario, un conjunto Rq se dice que es cerrado si tanto suspuntos interiores como sus puntos frontera le pertenecen, es decir, si = .

C C

AbiertoCerrado

Figura 1.15: Abierto y cerrado

La figura lateral muestra dos conjuntos en elplano, uno abierto cuya frontera se representa me-diante una lnea a trazos, y otro cerrado delimitadopor una lnea continua. Se trata del convenio queestablecimos para representar discos en el plano,y que de ahora en adelante utilizaremos para re-presentar conjuntos genricos del plano abiertos ycerrados.

La distincin entre conjuntos abiertos y cerra-dos es de gran importancia; por ejemplo las de-rivadas parciales (que estudiaremos ms adelan-te) slo pueden definirse en un punto interior deldominio de definicin de una funcin. En conse-

cuencia muchos teoremas y criterios, que se basan en el concepto o en las propiedades de lasderivadas parciales, slo son vlidos en conjuntos abiertos.

El teorema 1.12 , que damos sin demostrarcin, enumera las propiedades bsicas de los con-juntos abiertos y cerrados en espacios eucldeos

Teorema 1.12 (Propiedades bsicas de los abiertos y cerrados)1. Rq y son simultneamente conjuntos abiertos y cerrados.2. La unin de conjuntos abiertos (cerrados) es a su vez un conjunto abierto

(cerrado).3. La interseccin de un nmero finito de abiertos (cerrados) es un conjunto

abierto (cerrado).4. Para todo Rq, los conjuntos , Ec() son abiertos, y los conjuntos

y son cerrados.5. Para todo Rq, es el menor cerrado que contiene a . Es decir, si es

cerrado y , entonces .6. Un conjunto es cerrado si y slo si Rq es abierto.7. Un conjunto es cerrado si y slo si .


BORR

ADOR

1.4. PRIMERA TOMA DE CONTACTO CON LAS FUNCIONES REALES 27

Definicin* 1.18 (Conjuntos compactos y conexos)Un conjunto Rq se dice compacto si, adems de ser cerrado, cumple que

x , > 0 \. B (x , ) .Un conjunto Rq se dice conexo si x 1,x 2 C , existe (al menos) unacurva que une dichos puntos y que est completamente contenida en .

$C$

$\rho $

$B$

Figura 1.16: Conjunto compacto

Tal como se muestra en la figura adjunta al p-rrafo, un conjunto compacto es un conjunto cerra-do que puede delimitarse mediante una bola de ra-dio finito; en realidad, si el conjunto es compactoexisten infinitas bolas de radio finito que contienenal conjunto. Ejemplos de conjuntos compactos sonel intervalo [a, b] de la recta real, cualquier discode radio finito, etc. Por el contrario, la recta real,el plano o el espacio son ejemplos de conjuntos nocompactos.

x1

x2C

Conjunto Conexo

x2

x1

Conjunto Desconexo

Figura 1.17: Conjuntos conexo y discone-xo

En esta figura presentamos dos subconjuntos delplano: el de la izquierda es conexo ya que, dadosdos puntos cualesquiera del mismo, siempre pode-mos encontrar una curva dentro del conjunto queva de un punto a otro; no sucede lo mismo en elconjunto de la derecha puesto que existen puntosque no se pueden conectar mediante ninguna cur-va que pertenezca integramente al conjunto.

Ejercicio:En todos los casos obtenga el interior, la frontera y la adherencia de los conjuntos propuestos;adems determine si el conjunto es abierto o cerrado, compacto y conexo:

1. ={(x, y) R2 \. 0 < x 1, 0 y 1}.

2. ={(x, y, z) R3 \. z x2 + y2}.

1.4 Primera toma de contacto con las funciones realesEn esta breve seccin introducimos por primera vez las funciones reales definidas en espacios

eucldeos de dimesin superior a uno. Dados dos espacios eucldeos Rq y Rp, donde p y q sonnmeros naturales cualesquiera, podemos definir una funcin real como una regla que a todo


28

BORR

ADOR


punto (o vector) x Rq le asocia un punto (o vector) (x ) Rp. De manera msformal

: Rq Rp ; (x1, x2, , xq) (x1, x2, , xq ) ,donde el valor de la funcin se expresa en trminos de sus componentes como

(x ) = (1 (x1, x2, , xq )2 (x1, x2, , xq ) , p (x1, x2, , xq )) Rp.Algunas comentarios pertinentes son:

El subconjunto donde la funcin toma valores se denomina dominio de definicin dela funcin . El conjunto de valores (numricos o vectoriales) que toma la funcin recibeel nombre de imagen de la misma.

Si p = 1 la funcin se llama funcin escalar real de varias variables reales; es frecuentehablar simplemente de funciones reales de varias variables reales. En este caso la reglaasocia a cada punto de Rq un nmero real. Un caso particular de estas funciones son lasque se han estudiado en el primer cuatrimestre (donde q = 1).Si p 2 la funcin recibe el nombre de funcin vectorial (de varias variables reales).Las funciones i(x1, x2, , xq) se denominan componentes de la funcin.

Dadas dos funciones y podemos definir las siguientes funciones:

( + )(x ) = (x ) + (x ),( (x )) = (x ),( )(x ) = (x ) (x ) =qi=1 i(x ) i(x ).

En el caso de dos funciones escalares (p = 1) f (x ) y g (x ) se pueden definir adems(fg)(x ) = f(x )g(x ), (f/g)(x ) = f(x )/g(x ).

Ejemplo 1.7Consideremos los siguientes ejemplos:

Un alambre rectilneo se sita sobre el eje X del sistema de coordenadas del laboratorio y con suextremo izquierdo en x = 0. En este punto se coloca un mechero cuya llama calienta el alambre;transcurrido un tiempo prudencial se mide la temperatura del alambre a distintas distancias delorigen. Es razonable pensar en la temperatura del alambre como una funcin T de la coordenadax, esto es

T : R R ; x T (x) , x 0.Repetimos el experimento anterior con una placa muy fina. Elegimos un sistema de referenciacuyo origen coincida con el vrtice inferior izquierdo de la placa y tal que sus dos ejes X e Ycoincidan con dos de los lados de la placa. A continuacin se coloca el mismo mechero en elvrtice que hace las veces de origen de coordenadas y calentamos la placa durante un cierto tiempo.Midiendo la temperatura de la placa en distintos puntos (x, y) obtenemos una idea de como varasobre la placa. En este caso la temperatura es una funcin T de las coordenadas x e y, esto es

T : R2 R ; (x, y) T (x, y ) , x, y 0.


BORR

ADOR

1.5. CURVAS EN RQ 29

La posicin de una partcula (puntual) que se desplaza por el espacio nos proporciona un ejemplode funcin vectorial

r : R1 R2 ; t r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) ,que a cada valor del tiempo t le asocia el vector de posicin de la particula (con respecto a uncierto sistema de referencia).Otro ejemplo de funciones vectoriales lo proporcionan los campos electromagntico y gravitato-rio. Consideremos una carga elctrica Q que se encuentra situada en el origen de referencia queutilizamos en el laboratorio. El campo electrosttico generado por la misma es

E : R3 R3 ; (x, y, z) E (x, y, z ) = KQ x

+ y + zk(x2 + y2 + z2)3/2

,

donde K es una constante que depende del sistema de unidades que estemos utilizando (K = 1 enel sistema C.G.S. y K = 1/40 en el M.K.S., siendo 0 la constante dielctrica del vacio).

1.5 Curvas en Rq

El objeto de nuestro estudio inmediato son las curvas y superficies en el espacio eucldeo.Una vez elegido un sistema de referencia, las coordenadas de los puntos ubicados sobre unacurva o sobre una superficie no pueden ser arbitrarias, sino que deben obedecer correlacionesdeterminadas. Estas correlaciones se caracterizan mediante ecuaciones, escalares o vectoriales.Pasamos ahora a considerar de forma breve dichas ecuaciones

1.5.1 Rectas

La recta es el tipo de curva ms sencillo que podemos encontrar en un espacio eucldeo. Ob-tendremos de manera simple algunas de las ecuaciones que la definen. Deduciremos primero laecuacin vectorial de una recta en R3 para generalizarla posteriormente a un nmero cualquierade dimensiones (q 2).

L

y

x

(x0, y0, z0)a

x + y + zk

v

x 0

x

Figura 1.18: Definicin de recta

Consideremos la recta L que pasa por el puntor 0 = x0 + y0 + z0

k R3 y es paralela al

vector v = (v1, v2, v3). Tal como se muestra enla figura cualquier punto r L puede escribirsecomo

r = r 0 +a ,donde a es el vector con origen en r 0 y extremoen r . Ahora bien,

a v t R \. a = tv ,y por lo tanto se verifica la siguiente relacin

r = r 0 + tv , t R,


30

BORR

ADOR


que recibe el nombre de ecuacin vectorial de la recta.En realidad, esta ecuacin es vlida cualquiera que sea el nmero de dimensiones con que

trabajemos; la diferencia radica en que la descomposicin en coordenadas o componentes esdistinta. Sea x = (x1, x2, , xq) un punto genrico de la recta, x 0 = (x01, x02, , x0q) yv = (v1, v2, , vq) el punto y el vector que definen la recta; entonces

Definicin 1.19 (Ecuacin vectorial de la recta)La relacin

x = x 0 + tv , t R,se denomina ecuacin vectorial de la recta L Rq que pasa por el punto x 0 ytiene como vector director a v

Al descomponer la ecuacin vectorial en componentes obtenemos una representacin alterna-tiva de la recta. En efecto

Definicin 1.20

El sistema de ecuaciones

x1 = x01 + tv1; x2 = x02 + tv2; ; xq = x0q + tvq, t R,recibe el nombre de ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por x 0 =(x01, x02, , x0q) y tiene como vector director a v = (v1, v2, , vq).

Supongamos que vi 6= 0 cualquiera que sea el valor del subndice y que depejamos t en todasy cada una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones paramtricas; entonces

t =x1 x01

v1=x2 x02

v2= = xq x0q

vq.

Estas igualdades definen q 1 ecuaciones independientes llamadas ecuaciones simtricas dela recta. En tres dimensiones se escriben como

t =x x0a

=y y0b

=z z0c

,

donde a, b y c son en este caso las componentes del vector director de la recta.

Ejercicio:Dejamos como ejercicio para el lector la obtencin de las ecuaciones simtricas si a = 0 yb, c 6= 0.

Tomando como ejemplo el resultado de este ejercicio estamos en disposicin de dar el casogeneral, es decir, aquel en el que parte de las componentes del vector director son nulas


BORR

ADOR


Definicin 1.21

Sea L Rq la recta que pasa por x 0 = (x01, x02, , x0q) y tiene como vectordirector a v = (v1, v2, , vq), cuyas componentes cumplen que vi1 = vi2 =. . . vin = 0 y vj1, vj2 , . . . , vjm 6= 0, con n+m = q. Entonces, el sistema

xj1 x0j1vj1

=xj2 x0j2

vj2= . . . =

xjm x0jmvjm

,

xi1 = x0i1 ; xi2 = x0i2 ; . . . ; xin = x0in ,

recibe el nombre de ecuaciones simtricas de la recta.


32

BORR

ADOR


Ejemplo 1.8 (Recta que pasa por dos puntos distintos)Por supuesto, las ecuaciones anteriores no agotan las formas en las que podemos caracterizar una recta

en el espacio (ni en Rq en general). Una de ellas consiste en expresar la recta como la interseccin de dosplanos, otra en proporciar las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta; en este ltimo caso estrivial adaptar las ecuaciones simtricas.

v

(x0, y0, z0)

(x1, y1, z1)

Figura 1.19: Recta que pasa por dospuntos

Puesto que conocemos dos puntos x 0 y x 1 por los quepasa la recta, podemos utilizar como vector director el seg-mento dirigido que tiene origen en uno de los puntos y ex-tremo en el otro; las componentes de tal vector se obtienencomo sigue:v = x 1x 0 = (x1 x0, y1 y0, z1 z0).Substituyendo este resultado en las ecuaciones simtricas,es decir, tomando a = x1 x0, b = y1 y0 y c = z1 z0,resulta

x x0x1 x0 =

y y0y1 y0 =

z z0z1 z0 .

Para finalizar es conveniente realizar un par de comentarios, que el lector atento ya habrtenido en cuenta:

1. A diferencia de las ecuaciones simtricas, las ecuaciones paramtricas y la ecuacin vec-torial no slo definen la recta sino que la dotan de una orientacin, esto es, indican en quorden se recorren los puntos de la misma. A medida que damos valores al parmetro trecorremos la curva segn el sentido del vector director.

2. Independientemente de las dimensiones del espacio eucldeo, una recta viene caracteri-zada por un nico grado de libertad, es decir, basta un parmetro real para describir lascoordenadas de todos los puntos de la recta.

1.5.2 Ecuaciones vectoriales y paramtricas de una curva

Consideremos, para fijar ideas, una funcin vectorial continuar (t) = x (t) + y (t) + z (t)k \. t I R,

cuyos valores son vectores de posicin que fijan la posicin de distintos puntos P del espacio.Aunque no hemos definido la continuidad de una funcin vectorial, el lector con conocimientossobre las funciones de una variable podr admitir sin dificultad que si la funcin es continua dospuntos P1 y P2, correspondientes a valores t1 y t2, se encontrarn tan prximos como se quierasin ms que exigir que |t1 t2| 1. Por tanto, es razonable afirmar que la imagen

C ={x + y + zk R3 \. x = x(t), y = y(t), z = z(t), t I

},

de la funcin anterior define una curva en el espacio, que denotamos C y que no posee saltos niagujeros. En numerosas ocasiones se utiliza la notacin

C : r (t) = x (t) + y (t) + z (t)k , t I,para sealar de forma simplificada que la curva C viene parametrizada por dicha funcin vecto-rial. Las ecuaciones

x = x(t); y = y(t); z = z(t),


BORR

ADOR


reciben el nombre de ecuaciones paramtricas de la curva C .Para convencernos de que existe una relacin muy estrecha entre funciones vectoriales y cur-

vas en el espacio estudiaremos unos pocos ejemplos:Ejemplo 1.9 (Parametrizacin de la recta)

Una recta es un caso especial de curva, quiz el ms simple de todos. Hemos visto que las ecuacionesparamericas de la recta L que pasa por el punto x 0 = (x0, y0, z0) y tiene como vector director v =(a, b, c) son x = x0+at; y = y0+bt; z = z0+ct, y en forma vectorialL : r (t) = x 0+tv , t R.

Ejemplo 1.10 (Parametrizacin de la circunferencia de radio unidad)Sea la funcin vectorial

r (t) = cos(t) + sen(t) + 0k , t [0, 2) .De acuerdo con las ideas precedentes, la curva asociada tiene por ecuaciones paramtricas

x = cos(t); y = sen(t); z = 0.

Dado que z = 0 podemos restringirnos al plano XY . Para determinar de qu curva se trata vamos aefectuar una representacin grfica; elaboraremos una tabla con los valores de las coordenadas x e y delos puntos de la curva correspondientes a diversos valores seleccionados de t.

pi4

3pi4 1

2

12

5pi4

3pi2

7pi4

pi2

t = t = 0

Figura 1.20: Funcin vectorial: Circunferencia

t x y z0 1 0 0

4

12

12

0

20 1 0

3

4 1

2

12

0

1 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

La representacin en el plano de estos pocospuntos basta para darse cuenta de que es una cir-cunferencia de radio a = 1 (adems es una cir-cunferencia orientada porque recorremos la curva

en sentido contrario a las agujas del reloj, segn vamos dando valores a t).Aun podemos obtener una verificacin adicional de que se trata de una circunferencia de radio unidad;

en efecto

x2(t) + y2(t) = cos2(t) + sen2(t) = 1.

Ejemplo 1.11En este ejemplo deduciremos la forma de la funcin vectorial que caracterice la curva C interseccin

del cilindro de radio 1 centrado sobre el eje Z (x2 + y2 = 1) y el plano de ecuacin y + z = 2.La figura 4.6 muestra de forma esquemtica como se obtiene la curva C como interseccin de las dos

superficies. Resulta patente que la proyeccin de C sobre el plano XY coincide con la base del cilindro,que denominaremosCxySegn el ejemplo precedente una circunferencia en el plano se parametriza como

Cxy :r (t) = cos(t) + sen(t) \. t [0, 2)


34

BORR

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Figura 1.21: Interseccin plano-cilindro

La diferencia entre los puntos de C y de Cxy radica en el valor de la coordenada z; utilizando la ecuacindel plano podemos despejar z en funcin de y, con lo que obtenemos que z = 2 y. Ahora bien, sobreC se cumple que y = sen(t), y por tanto las ecuaciones paramtricas de la curva son

x = cos(t); y = sen(t); z = 2 sen(t),lo que da lugar a la siguiente funcin vectorial

C : r (t) = cos(t) + sen(t) + 2_ sen(t)k , \. t [0, 2).

Confiamos en que estos ejemplos hayan convencido al lector de que una curva en el espacio(o en el plano) puede caracterizarse mediante una funcin vectorial. Convenimos en dar unadefinicin general de la siguiente forma

Definicin 1.22 (Curva en el espacio eucldeo)Una curva C Rq es la imagen de una funcin vectorial, es decir

C ={x Rq \. x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) , t I} ,

donde I es un intervalo de la recta real. De forma equivalente diremos que C estparametrizada por la funcin vectorial r (t), y lo denotaremos como

C : r (t) = x1 (t)e 1 + x2 (t)e 2 + + xq (t)e q, t I,o que sus ecuaciones paramtricas son

C : x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) , t I.

Si las funciones xi (t) son continuas (si la funcin vectorial es continua) se dice quela curva C es continua.


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ADOR

1.6. SUPERFICIES EN RQ 35

Antes de dar por finalizado este apartado conviene realizar algunos comentarios sobre lo tra-tado aqu:

En sentido estricto la definicin precedente introduce el concepto de curva hodgrafaasociada a la funcin r (t). Es posible construir curvas ms generales a partir de la uninde varias curvas de este tipo.

La funcin vectorial no slo define la curva como un lugar geomtrico formado por puntosde Rq, sino que la dota de una orientacin.

Independientemente de cul sea la dimension del espacio eucldeo, las curvas estn defi-nidas por un slo grado de libertad.

1.6 Superficies en Rq

Una superficie S Rq puede definirse como el lugar geomtrico formado por los puntoscuyas coordenadas satisfacen determinada ecuacin de ligadura. Por lo tanto, dado que hacenfalta q coordenadas para caracterizar univocamente un punto en Rq, los puntos situados sobreuna superficie solo poseen q 1 coordenadas independientes. As, una superficie en Rq poseeq 1 grados de libertad, y en particular, en el espacio slo posee dos grados de libertad.

1.6.1 Planos

El ejemplo de superficie ms sencillo es el plano. Existen diversas formas de caracterizar unplano Rq. Una de ellas consiste en dar un punto x 0 perteneciente al plano y un vector nortogonal al mismo. Trabajaremos primero el caso de un plano en R3, para luego generalizar lasexpresiones obtenidas a un nmero

n

x 0

x

O

Figura 1.22: Definicin de plano

superior de dimensiones. Dados

r 0 = (x0, y0, z0) ,n = (nx, ny, nz),

y un punto genrico r = (x, y, z) secumple que

(r r 0)n ,

es decir

(r r 0),n

= 0,

expresin que se denomina ecuacin vecto-rial del plano. Para obtener una ecuacin es-

calar escribiremos explcitamente las componentes de los vectores, es decir

(x x0, y y0, z z0), (nx, ny, nz) = 0,


36

BORR

ADOR


con lo cual llegamos a

nx(x x0) + ny(y y0) + nz(z z0) = 0, bien

nxx+ nyy + nzz + d = 0,

con d = (nxx0 + nyy0 + nzz0).Cualquiera de estas ecuaciones representa la ligadura que deben satisfacer las coordenadas

de los puntos situados sobre el plano. Como los punto del espacio estn caracterizados por trescoordenadas, la ecuacin del plano introduce una correlacin que reduce el nmero de coorde-nadas independientes a slo dos: es decir, tal como hemos comentado al principio de la seccinun plano en el espacio est caracterizado por dos grados de libertad.

Ejemplo 1.12 (Otras ecuaciones del plano en R3)Seanu yv son dos vectores paralelos al plano de forma que su producto vectorial nos proporciona

un vector normal al mismo, esto es

n = u v .En consecuencia la ecuacin vectorial del plano se podr escribir comor r 0,u v = 0,donde reconocemos en el miembro de la izquierda el producto mixto de los tres vectores r r 0, u yv . Utilizando la descomposicin en componentes de los vectoresu y v

u = (u1, u2, u3) ,v = (v1, v2, v3) ,

la ecuacin anterior puede reescribirse comox x0 y y0 z z0u1 u2 u3v1 v2 v3

= 0.Esta expresin refleja el hecho de que los tres vectores r r 0, u y v son coplanares y que por tantoel volumen del paraleleppedo que definen es nulo.

Otra forma de caracterizar un plano consiste en identificar tres puntos no colineales pertenecientes almismo; supongamos, por fijar ideas, que esos puntos son

r 0 = (x0, y0, z0) ,r 1 = (x1, y1, z1) ,r 2 = (x2, y2, z2) .

Partiendo de ellos es posible construir dos vectores no colineales y paralelos el plano, es deciru = r 1 r 0 = (x1 x0, y1 y0, z1 z0) ,v = r 2 r 0 = (x2 x0, y2 y0, z2 z0) ,

lo cual da lugar a la siguiente forma de la ecuacin del planox x0 y y0 z z0x1 x0 y1 y0 z1 z0x2 x0 y2 y0 z2 z0

= 0,


BORR

ADOR

1.6. SUPERFICIES EN RQ 37

La generalizacin a una dimensin arbitraria q (con q > 2) no presenta ninguna dificultadespecial; la diferencia slo afecta a la descomposicin en componentes (coordenadas) de losvectores (puntos) involucrados

Definicin 1.23

Sea Rq un plano contenido en el espacio eucldeo de dimensin q; si x 0 =(x01, x02, , x0q) es un punto perteneciente al plano y n = (n1, n2, , nq) unvector normal al mismo, la ecuacin vectorial del plano es

(x x 0),n

= 0,

que desarrollada en componentes da lugar a la siguiente ecuacin escalar

n1(x1 x01) + n2(x2 x02) + + nq(xq x0q) = 0,

n1x1 + n2x2 + + nqxq + d = 0,con d = qi=1 nix0i .

Ejercicio:Conteste a las siguientes preguntas: (a) Cuntos vectores linealmente independientes definenun plano en Rq? (b) Cuntos puntos son necesarios para definir un plano en Rq? (c) Escribala ecuacin del plano en trminos de las coordenadas de dichos puntos.

1.6.2 Ecuaciones escalares de una superficie

Definicin* 1.24 (Superficie en Rq)Una superficie S Rq es el lugar geomtrico de todos los puntos x Rq quesatisfacen una ecuacin de la forma

f (x1, x2, , xq ) = 0,donde f es una funcin escalar de q variables. Si la funcin es continua diremosque S es una superficie continuaa

aAunque el lector con conocimientos previos sobre funciones de una variable no debe tener problemas en este punto,solicitamos su indulgencia ya que no hemos definido an la continuidad de una funcin escalar. El lector impacientepuede saltar momentneamente al siguiente tema.

La debilidad de la definicin 1.24 radica en que cualquier superficie embebida en Rq puedecaracterizarse mediante una ecuacin escalar, pero no toda ecuacin escalar define una superfi-cie. Vemoslo en el siguiente ejemploEjemplo 1.13 (La esfera)

En el prximo tema veremos la ecuacin general que caracteriza una cudrica en Rq . De momento


38

BORR

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nos centraremos en la esfera. La esfera de radio a centrada en el origen de coordenadas de un sistema dereferencia de R3 es el lugar geomtrico de todos los puntos (x, y, z) qua satisfacen la ligadura

x2 + y2 + z2 = a2.

De forma anloga, en Rq la ecuacin de la esfera centrada en el origen viene dada por

x21 + x22 + + x2q = a2.

Sin embargo la ecuacin

x21 + x22 + + x2q = a2,

no admite soluciones en el campo de los nmeros reales y, por tanto, define el conjunto vaco. Y laecuacin

x21 + x22 + + x2q = 0,

admite como solucin nica x1 = x2 = = xq = 0, es decir, el origen de coordenadas. En ningncaso aceptaramos como superficie el vaco o un punto aislado.

Bajo ciertas condiciones la ecuacin f (x1, x2, , xq ) = 0 define implcitamente cualquierade las coordenadas en funcin de las q 1 restantes; supongamos que es posible despejar laltima coordenada xq, de manera que

f (x1, x2, , xq ) = 0 xq = g (x1, x2, , xq1 ) .Entonces podemos definir la superficie S como el lugar geomtrico de todos los puntos x Rqque satisfacen la ecuacin

xq = g (x1, x2, , xq1 ) .

Ejemplo 1.14 (La semiesfera en q dimensiones)Partiendo de la ecuacin de la esfera centrada en el origen y radio a

x2 + y2 + z2 = a2,

y despejando la tercera coordenada como funcin de x e y, resulta

x2 + y2 + z2 = a2 z = a2 x2 y2.

El signo positivo (negativo) delante del signo de la raiz define la semiesfera de radio a superior (inferior).Cuando consideramos el espacio eucldeo general Rq tambin podemos despejar la ltima coordenada

xq = a2 x21 x22 x2q1,

de manera que los dos signos estn asociados a cada una de las semiesferas con xq 0 y xq 0.

1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3

Cualquier punto de Rq est definido por una sucesin ordenada de q nmeros reales quellamamos sus coordenadas. Adems de las coordenadas que hemos dado en llamar cartesianas,


BORR

ADOR

1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 39

existen otros sistemas de coordenadas que permiten caracterizar los puntos del espacio Rq. Noslimitaremos aqu a dar los sistemas ms habituales en el plano y en el espacio, que se muestranen la siguiente tabla

Espacio Sistema de coordenadasR2 cartesianas (x, y) polares (r, )

R3 cartesianas (x, y, z) cilndricas (r, , z) esfricas (r, , )

Estos sistemas de coordenadas pueden ser muy tiles para resolver ciertos problemas en elplano y en el espacio, en particular para el clculo de integrales mltiples mediante un cambiode variables.

1.7.1 Coordenadas polares

y

x

x0

y0P (x0, y0)

x

y

x0

y0

r

P (x0, y0)

Figura 1.23: Coordenadas cartesianas y polares

Tal como se muestra en la figura 1.23 las coordenadas polares de un punto, que denotaremospor (r, ), son la distancia del mismo al origen y el ngulo que forma su vector de posicincon el semieje X positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Para poder cubrirtodos los puntos del plano es necesario que r 0 y que [0, 2). La siguiente tabla muestralos intervalos genricos donde las coordenadas cartesianas y polares toman respectivamente susvalores

Coordenadas Cartesianas Coordenadas polaresx (,) r [0,)y (,) [0, 2)

Existe una correspondencia entre los dos tipos de coordenadas, es decir, podemos escribirlas coordenadas cartesianas de un punto en funcin de sus coordenadas polares y viceversa.Llamaremos relacin directa a la que proporciona los valores de x e y en funcin de los de r y. Esta relacin se obtiene por trigonometra elemental como


40

BORR

ADOR


x(r, ) = r cos , y(r, ) = r sen .

El clculo de la relacin inversa, que da los valores de r y en funcin de los de x e y, esbastante ms delicado. De la relacin directa es evidente que r =

x2 + y2 y un razonamiento

rpido y poco cuidadoso nos lleva a que = arctan(y/x). Sin embargo esta expresin tienedos problemas: por un lado no est definida cuando x = 0, y por otro, la arcotangente es unafuncin multivaluada de modo que a un valor de su argumento le corresponden diversos valoresde la funcin . Eligiendo como rama de esta funcin la que asocia a su argumento un ngulo (/2, /2) encontramos que

r =x2 + y2, =

arctan

(yx

)si x > 0, y 0,

arctan

(yx

)+ 2 si x > 0, y < 0,

arctan

(yx

)+ si x < 0,

2si x = 0, y > 0,

3

2si x = 0, y < 0,

si x = y = 0.Este resultado muestra claramente que la relacin entre las ooordenadas cartesianas y las

correspondientes coordenadas polares de un punto no es una biyeccin: todos los puntos conr = 0 se aplican en (0, 0), independientemente del valor que tome . Dicho de otro modo, elngulo no est bien definido en el origen de coordenadas.

Se denomina cua polar2 a la regin del plano limitada por dos semirectas definidas por 1y 2 y por dos arcos de circunferencia con radios r1 y r2(r2 > r1), tal como muestra la figuraadjunta.

12

r1

r2

L1 = r1(2 1)

L2 = r2(2 1)

y

x

Figura 1.24: Elemento de rea en polares

Definamos

r =r1 + r2

2,

r = r2 r1, = 2 1.

Cuando r y se hacen suficientemen-te pequeos la cua se asemeja a un recintorectngular de lados r y r. Entonces, elrea de la cua puede aproximarse como

A rr.Este resultado deviene exacto cuando los incrementos de coordenadas son infinitesimales, de

manera que podemos escribir

A dA = rdrd, r dr, d.

2Tambin se encuentra en la literatura el nombre de segmento de corona circular


BORR

ADOR


1.7.2 Coordenadas polares generalizadas

La ecuacin de una circunferencia centrada en el origen y radio a se escribe de forma trivialen coordenadas polares como r = a ya que

x2 + y2 = a2 r2 = a2 r = a.No sucede lo mismo con las elipses con centro en el origen y ejes paralelos a los de coordenadas.En efecto, si dada la ecuacin de la elipse de semiejes a y b

x2

a2+y2

b2= 1,

efectuamos el cambio a coordenadas polares, obtenemos la expresin

r2 cos2

a2+r2 sen2

b2= 1,

que no es ms sencilla que la expresin original. Ahora bien, es posible definir coordenadaspolares generalizadas que simplifiquen realmente la ecuacin de la elipse. Sea

x(r, ) = ar cos , y(r, ) = br sen ,

donde a y b son factores positivos que denominamos factores de dilatacin de los ejes coor-denados. Efectuando el cambio de coordenadas tenemos

(xa

)2+

(yb

)2= 1

(x (r, )

a

)2+

(y (r, )

b

)2= r2 = 1,

es decir, en el nuevo sistema de coordenadas la ecuacin de la elipse con semiejes a y b essimplemente r = 1.

Ejercicio:Obtenga las relaciones inversas en este sistema de coordenadas polares. Representa r ladistancia de un punto genrico al origen?

1.7.3 Coordenadas cilndricas

La relacin entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto del espacio y sus corres-pondientes coordenadas cilndricas (r, , z) est definida por las siguientes ecuaciones

x(r, , z) = r cos , y(r, , z) = r sen , z(r, , z) = z.


42

BORR

ADOR


P

Z

Y

X

r

O

r

Figura 1.25: Coordenadas cilndricas

Introducimos el significado geomtrico delas nuevas coordenadas con ayuda de la fi-gura adjunta. Tal como se muestra, un pun-to P R3 queda perfectamente determinadopor la terna de nmeros reales r, y z, don-de r es la distancia del punto al eje Z , esel ngulo que forma el vector de posicin dela proyeccin de P sobre el plano XY con elsemieje X positivo, medido en sentido anti-horario y z es la tercera coordenada cartesia-na o cota.

El lector ya habr apreciado la similitudentre las coordenadas cilndricas en el espa-cio y las coordenadas polares en el plano. Dehecho podramos definirlas del siguiente mo-do: dado un punto genrico (x, y, z) expre-samos x e y en trminos de las coordenadaspolares de (x, y) y completamos la caracteri-zacin del punto mediante la cota z.

Los intervalos genricos en los que las coor-denadas de uno y otro sistema de coordenadas pueden tomar valores son

Coordenadas Cartesianas Coordenadas cilndricasx (,) r [0,)y (,) [0, 2)z (,) z (,)

Con el fin de minimizar esfuerzos explotaremos la relacin entre coordenadas polares y ci-lndricas para la relacin inversa entre stas y las coordenadas cartesianas de un punto. Resultasencillo deducir que

r = r (x, y, z) =x2 + y2, = (x, y, z) = (x, y)

pol,

donde el subndice pol indica que se trata de la misma funcin que aparece en el sistema decoordenadas polares.

Las ecuaciones precedentes muestran que la relacin entre coordenadas cartesianas y cilndri-cas tampoco es una biyeccin, ya que todos los puntos de la forma (r, , z) = (0, , z) se aplicanen un slo punto (x, y, z) = (0, 0, z), cualquiera que sea . Esto implica que el ngulo no estbien definido para los puntos del eje Z .


BORR

ADOR


z1

z2

r2r1

2

1

Figura 1.26: Elemento de volumen en ci-lindricas

La figura muestra una cua cilndrica caracteri-zada por dos semiplanos radiales con 2 > 1, doscilindros con radios r2 > r1 y dos planos z2 > z1.Mediante un procedimiento similar al que segui-mos en coordenadas polares introducimos las can-tidades

r =r1 + r2

2,

r = r2 r1, = 2 1,z = z2 z1.

Cuando los incrementos de las variables son su-ficientemente pequeos la cua se asemeja a un pa-raleleppedo de lados r, r y z, de maneraque

V rrz.En el lmite en que los incrementos de r y se hacen infinitesimales el resultado anterior es

exacto y por lo tanto podemos escribir

V dV = rdrddz, r dr, d.

1.7.4 Coordenadas esfricas

Las coordenadas esfricas (r, , ) de un punto P R3 se denotan habitualmente con loscaracteres r, y . La coordenada r representa la distancia de P al origen de cordenadas, esel ngulo entre la proyeccin del vector de posicin de P sobre el plano XY y el semieje Xpositivo, medido en sentido antihorario3 , y finalmente es el ngulo que forma dicho vector deposicin con el semieje Z positivo, medido en el sentido de las agujas del reloj.

P (x, y, z)

d

r

X

Z

Y

Figura 1.27: Coordenadas esfricas

La figura muestra grficamente como se de-finen las tres coordenadas. Por razones prc-ticas introducimos la distancia d del punto aleje Z . Utilizando polares para representar losvalores de x e y tenemos

x = d cos ; y = d sen .

Por otro lado, utilizando trigonometra ele-mental resulta

z = r cos; d = r sen.

Entonces, la relacin directa que nos permite escribir (x, y, z) en trminos de (r, , ) vienedada por

x(r, , ) = r cos sen, y(r, , ) = r sen sen, z(r, , ) = r cos.

3Y por tanto tiene el mismo significado que en coordenadas cilndricas


44

BORR

ADOR


Para poder barrer todos el espacio debemos permitir que las coordenadas de los dos con-juntos tomen valores en los intervalos que se muestran a continuacin

Coordenadas Cartesianas Coordenadas esfricasx (,) r [0,)y (,) [0, 2)z (,) (0, )

El razonamiento que permite deducir la forma de la transformacin inversa es algo ms com-plicado. Teniendo en cuenta que r es la distancia entre un punto genrico y el origen de coor-denadas, que el significado de es el mismo que en coordenadas cilndricas y utilizando quez = r cos, no resulta complicado llegar a las siguientes ecuaciones

r = r (x, y, z) =x2 + y2 + x2,

= (x, y, z) = (x, y)pol,

= (x, y, z) =

arc cos

(z

x2 + y2 + z2

)si (x, y, z) 6= (0, 0, 0) ,

si (x, y, z) = (0, 0, 0) .

La transformacin inversa pone en evidencia que no estamos ante una biyeccin: los ngulos y no estn bien definidos en los puntos del eje Z y en particular en el origen de coordenadas;en efecto,

(r, , z) = (r, , 0) (x, y, z) = (0, 0, r),(r, , z) = (r, , ) (x, y, z) = (0, 0,r),(r, , z) = (0, , ) (x, y, z) = (0, 0, 0),

, .

Ejercicio:Se deja como ejercicio para el lector el clculo del volumen de una cua esfrica

S 1.A Caracterizacin de regiones en el plano y el espacio

En los siguientes ejemplos mostramos como caracterizar algunas regiones del plano y del es-pacio utilizando coordenadas cartesianas, polares, cilndricas o esfricas. Consideraremos con-juntos conexos cuya frontera es siempre una curva continua y cerrada o una superficie continuay cerrada. En el espacio, los conjuntos de este tipo y que adems son compactos se denominanregiones slidas. Nos interesan especialmente los llamados conjuntos simples o que puedendescomponerse fcilmente en subcojuntos que s lo son. Un conjunto R2 se demoninasimple si existe un sistema de coordenadas (c1, c2) tal que

,{(c1, c2) R2 \. c1 {1, 1} , c2 {2 (c1) , 2 (c1)}

},

donde 1 y 1 son constantes, 2 (c1) y 2 (c1) son funciones continuas de la primera variable,y {a, b} representa tanto un intervalo abierto, como cerrado o semicerrado. De forma anlogadiremos que R3 es simple si existe un sistema de coordenadas (c1, c2, c3) que permitendefinirlo como


BORR

ADOR

1.A. CARACTERIZACIN DE REGIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO 45

,

(c1, c2, c3) R3 \.

c1 {1, 1}c2 {2 (c1) , 2 (c1)}

c3 {3 (c1, c2) , 3 (c1, c2)}

,

con 1 y 1 constantes y 2(3) y 2(3) funciones continuas.En general cuando un conjunto simple se define estableciendo de forma explcita los inter-

valos en los que varan todas y cada unas de las coordenadas de sus puntos se dice que se hacaracterizado de forma simple4. Conviene comentar que la dificultad para obtener este tipo decaracterizacin es casi siempre muy notable; slo en algunos casos (en la mayor parte de ellosse trata de regiones delimitadas por planos y superficies cudricas) podremos obtener caracteri-zaciones simples en trminos de funciones elementales.

1.A.a Caracterizacin de regiones en el plano

Entre stas se encuentran los intervalos compactos, los discos abiertos y cerrados, y toda unacoleccin de regiones de R2 delimitadas por curvas cudricas. En este ejemplo nos centraremosen el disco, que por sencillez supondremos centrado en el origen de coordenadas.

Ejemplo 1.15 (Disco cerrado de radio a centrado en el origen)

yy =

a2 x2

y = a2 x2

x

Figura 1.28: Disco en cartesianas

La definicin en coordenadas cartesianas del discocerrado de radio a y centrado en el origen es tan senci-lla como

,{(x, y) R2 \. x2 + y2 a2} .

Utilizando esta definicin deduciremos los intervalosen los que pueden tomar valores las coordenadas x ey de los puntos pertenecientes al disco. De la figuraresulta evidente que x [a, a]; por otra parte, loslmites de variacin de la ordenada y se obtienen de ladesigualdad que define el disco

x2 + y2 a2 y2 a2 x2 |y| a2 x2

y por tanto a2 x2 y a2 x2.Como se coment al comienzo de la seccin, las definiciones de una regin (de Rq) que establecen de

forma explcita los intervalos en los que varan las coordenadas de sus puntos se denominan caracteriza-ciones simples. As la caracterizacin simple en coordenadas cartesianas de la regin problema es

xy =

{(x, y) R2 \. x [a, a], y

[a2 x2,

a2 x2

]},

donde el subndice xy se utiliza para enfatizar que es una caracterizacin en coordenadas cartesianas.

4No hace falta decir que slo un conjunto simple admite una definicin de este tipo, pero los conjuntos sim-ples se pueden definir mediante caracterizaciones diferentes, por ejemplo mediante una desigualdad de la formaf (c1, c2, c3) 0.


46

BORR

ADOR


y

x

r

Figura 1.29: Disco en polares

Pasamos a describir la misma regin utilizando coor-denadas polares. En este sistema de coordenadas el dis-co cerrado de radio a y centrado en el origen se definepor la relacin r a. En consecuencia el ngulo no est limitado por ninguna condicin y puede tomarcualquier valor dentro del intervalo genrico [0, 2).Por tanto, la caracterizacin simple del disco en estascoordenadas polares es

r ={(r, ) R2 \. r [0, a], [0, 2)}

Ejemplo 1.16 (El disco elptico de semiejes a y b)Como tal entendemos la regin del plano limitada por la elipse de semiejes a y b

,

{(x, y) R2 \.

(xa

)2+

(yb

)2 1

}.

Procediendo como en el ejemplo precedente encontramos sin dificultad las caracterizaciones simples deesta regin en coordenadas cartesianas y polares. En el primer caso tenemos

xy =

{(x, y) R2 ; x [a, a], y

[b1 (x/a)2, b

1 (x/b)2

]}

Calculo multivariable

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