Calculo Infinitesimal
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CALCULO DIFERENCIALCALCULO INTEGRAL
CALCULO INFINITESIMAL
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PRIMER SISTEMA DE NUMEROS
LOS NUMEROS NATURALES (para contar)
¿LOS NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS?
ORIGEN DEL CERO
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•SU DESCUBRIMIENTO FUE UN SALTO REVOLUCIONARIO PARA EL CALCULO MATEMATICO
•ESTE CALCULO INTRODUCE AL HOMBRE EN LA ACTIVIDAD DE PENSAR
•EL DESARROLLO DEL HOMBRE SE BASA EN LA ACCION DE PENSAR
ORIGEN DEL CERO
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ALGUNAS TEORIAS DE SU NACIMIENTO•ARABES (1000 AC)•INDIA (ARABES A EUROPA)•BABILONIA CUNA DEL CERO•CIVILIZACIONES PRECOLOMBINAS (MAYAS Y OLMACAS 40 AC)•ROMA EN 525 COMO PALABRA NO COMO SIMBOLO• CHINA• MUNDO ISLAMICO
ORIGEN DEL CERO SU DESCUBRIMIENTO
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LOS GRIEGOS Y ROMANOS CON SU SORPRENDENTE RAZONMIENTO MATEMATICO AUN NO CONOCIAN EL CERO
ORIGEN DEL CERO SU DESCUBRIMIENTO
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SEGÚN FUENTES HISTORICAS EL CERO TUVO SU COGNOTACION TAL COMO SE CONOCE HOY EN DIA EN EL MEDIEVO (AÑO 500 Y 1500 HISTORIA EUROPEA)
ORIGEN DEL CERO SU DESCUBRIMIENTO
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500 AÑOS DESPUES DE CONOCERSE EL CERO SURGE UN NUEVO CONCEPTO: NUMERO INFINITAMENTE PEQUEÑO ¡¡CASI CERO¡¡.SI EL CERO REVOLUCIONO LAS MATEMATICAS, ESTA NUEVA IDEA ABRIO NUEVAS POSIBILIDADES A LA CIENCIA MODERNASUS PRECURSORES: NEWTON Y LEBNITZ (SIMBOLOGIA)
UN NUEVO CONCEPTO
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¿QUE ES UN NUMERO INFINITAMENTE PEQUEÑO?
UN NUMERO QUE CASI ES CERO PERO NO ES CERO. LOS MATEMATICOS LO LLAMAN DIFERENCIALES
CALCULO INFINITESIMAL
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ALGUNAS CANTIDADES PEQUEÑAS
CALCULO INFINITESIMAL
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UN MILIMETRO SIN DUDA ES UNA CANTIDAD PEQUEÑA
CALCULO INFINITESIMAL
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UNA MICRA LO ES AUN MAS YA QUE RESULTA DE DIVIDIR EL MM EN MIL PARTES.
1 MICRA = 0.001 MM
CALCULO INFINITESIMAL
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¿TE PARECE UNA CANTIDAD PEQUEÑA?. OBSERVA ESTO
UN NANOMETRO SE OBTIENE AL DIVIDIR UNA MICRA EN MIL PARTES IGUALES, ES DECIR
1 NANOMETRO = 0.001 MICRAS
CALCULO INFINITESIMAL
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CONCLUSION
UN NANOMETRO ¡¡ES UNA MILLONESIMA PARTE DE UN MILIMETRO, DICHO DE OTRA MANERA
1 MM = 1,000,000 DE NANOMETROS
CALCULO INFINITESIMAL
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PUESDE OBSERVAR QUE UN NANOMETRO ES ALGO REALMENTE PEQUEÑO.
NO, NO CREO QUE NO LO PUEDE VER ¡¡PERO SI ENTENDER¡¡.
CALCULO INFINITESIMAL
PERO SEGÚN LOS MATEMATICOS ESTA MUY LEJOS DE SER UNA CANTIDAD INFINITAMENTE PEQUEÑA
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¿ENTONCES CUANDO ES UNA CANTIDAD INFINITAMENTE PEQUEÑA?
AQUELLA QUE ESTA MUY PERO MUY CERCA DE CERO ¡¡PERO QUE NO ES CERO¡¡ (Ejercicio recorrido)
CALCULO INFINITESIMAL
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LAS MAGNITUDES PEQUEÑAS NO TIENE LA MAYOR IMPORTANCIA EN LA VIDA COTIDIANA.P.E NADIE SE ATREVERIA A COMPRAR 10 MM O 2 NM DE TELA, ESTA CANTIDAD PARA FINES PRACTICOS ES NADA, ¡¡CERO¡¡. PERO TODAVIA NO ES UN DIFERENCIAL YA QUE UN DIFERENCIAL DE LONGITUD ES NUCHO MAS CHICO QUE UN NM dl < NM
CALCULO INFINITESIMAL
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ES IMPORTANTE CONSIDERAR QUE UN DIFERENCIAL NO ES UNA REALIDAD, ES DECIR NO ES TANGIBLE, ES MAS BIEN UNA ABSTRACCION DEL PESAMIENTO, UNA IDEA QUE PERMITE LLEGAR A CONCLUSIONES LOGICAS
CALCULO INFINITESIMAL
![Page 18: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/18.jpg)
LA SUMA DE 1,000,000 DE MICRAS = 1 METRO, ESTO IMPLICA QUELA SUMA DE TODOS LOS DIFERENCIALES ES LA LONGITUD:
CONCLUSIONLA SUMA DE MAGNITUDES INFINITAMENTE PEQUEÑAS DAN COMO RESULTADO ALGO QUE NO ES INFINITAMENTE PEQUEÑO
CARACTERISTICAS DE LOS INFINITESIMALES
(DIFERENCIALES)
∑ 𝑑𝑙=𝐿
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¿SE PUEDEN COMPARAR DOS CANTIDADES INFINITAMENTE PEQUEÑAS?SI COMPARAMOS = 50. LA PRIMERA CANTIDAD ES 50 VECES MAYOR QUE LA SEGUNDA, SIN EMBARGO 50 NO ES UN VALOR PEQUEÑO.USANDO DIFERENCIALES NO ES UN VALOR INFINITAMENTE PEQUEÑOCONCLUSION EL COCIENTE DE DOS DIFERENCIALES DAN COMO RESULTADO ALGO QUE NO ES INFINITAMENTE PEQUEÑO
CARACTERISTICAS DE LOS INFINITESIMALES
(DIFERENCIALES)
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¿EXISTEN INFINITESIMALES QUE SEAN MAS CHICOS QUE OTROS?1 Metro 1 Micra A = 1,000,000 2micras1 Micra A = 2
= 500,000CONCLUSION: el producto de dos cantidades pequeñas da como resultado algo mucho mas chico
CARACTERISTICAS DE LOS INFINITESIMALES
(DIFERENCIALES)
1 Micra
1 Micra
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EJEMPLO EQUIVALENTE: l dl A1 = ldl
dl dl A2 = dl.dl A2 < A1Conclusión: Nos encontramos con infinitesimales de distinto orden
CALCULO INFINITESIMAL
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DE FORMA ANALOGA
SUMATORIA E INTEGRALES
∑𝑖=1
𝑛
𝑑𝑙=𝐿
∑1=1
100
𝑣𝑎𝑠𝑜𝑠=𝐺𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓 ó𝑛
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• INTRODUCE AL HOMBRE EN EL CAMPO DE LA ABSTRACCION
• EL DESARROLLO INTELECTUAL DEL HOMBRE SE BASA EN LA ACTIVIDAD DE PENSAR
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
DOS RESPUESTAS DE ENTRADA
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SUPONGA USTED QUE UN AUTOMOVIL QUE ARRANCA DEL REPOSO ALCANZA UNA VELOCIDAD DE 100 KMH EN DIEZ SEGUNDOS
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
EJEM. DE APLICACIÓN DEL CALCULO INFINITESIMAL
¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?
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Comentario: Esta respuesta es tan apresurada como falsa ¿Por qué?
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
PRIMERA RESPUESTA POSIBLE
¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?
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ANALIZANDO EL PROBLEMA CON MAS DETALLE NOS DAMOS A LA TAREA DE TOMAR INTERVALOS DE TIEMPO DE UN SEGUNDO
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
SEGUNDA RESPUESTA POSIBLE
¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?
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¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
SEGUNDA RESPUESTA POSIBLEt(segundos
)V (kmh)
1 10
2 20
3 30
4 40
5 50
6 60
7 70
8 80
9 90
10 100
Cada segundo la velocidad aumenta 10kmh, es decir a = [10 kmh]/s
Como la aceleración es constante
V = a.t
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¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
SEGUNDA RESPUESTA POSIBLE
Aceleración constante
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¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
SEGUNDA RESPUESTA POSIBLE
t(segundos)
V (kmh)
d(mtrs)
Dacum (mtrs)
1 10 2.77 2.772 20 5.55 8.323 30 8.33 16.654 40 11.11 27.765 50 13.88 41.646 60 16.66 58.37 70 19.44 77.748 80 22.22 99.969 90 25 124.9610 100 27.77 152.73
El nuevo valor calculado para la distancia es de d = 152.73 Por razones Obvias este valor es menor al estimado inicialmente
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¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
SEGUNDA RESPUESTA POSIBLE
El área de cada rectángulo es el producto: v.t=dde la tabla. La suma de todos ellos es la distancia total recorrida
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Empleando la notación de sumatoria d=
Nota: este resultado no obstante ser más elaborado sigue siendo erróneo, ya que supone que la velocidad en cada intervalo de tiempo es constante ¡¡cosa que tampoco es cierta¡¡
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
SEGUNDA RESPUESTA POSIBLE
![Page 32: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/32.jpg)
Con el objeto de reducir el error de calculo, resulta conveniente disminuir sistemáticamente el intervalo de tiempo durante el cual se mueve el automóvil. si bien es cierto que cuando se toma un t igual a una milésima de segundo, se obtiene un resultado más cercano a la realidad en comparación al que se consigue con un t de una centésima de segundo, es igualmente cierto que en ambos casos el valor calculado no corresponde a la realidad del problema
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
TERCERA RESPUESTA POSIBLE
¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?
![Page 33: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/33.jpg)
¡¡¡PORQUE NO USAR MEJOR DIFERENCIALES¡¡¡, RECUERDA QUE UN DIFERENCIAL ES MUCHO MAS PEQUEÑO QUE UN NANOMETRO Y ¡¡¡VAYA QUE UN NANOMETRO ES UNA MAGNITUD MUY, PERO MUY PEQUEÑA¡¡¡
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
TERCERA RESPUESTA POSIBLE
¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?
![Page 34: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/34.jpg)
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?
En términos matemáticos
El área del triángulo es igual a la distancia recorrida
Como v=a.t
Ancho de cada rectángulo =dt
![Page 35: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/35.jpg)
Conclusión 138.88 < 152.73 < 277.77
Usando el concepto de calculo infinitesimal se llega a la fórmula: al ser esta una función cuadrática, es fácil
deducir que la representación de d no es una recta sino una curva
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
TERCERA RESPUESTA POSIBLE
¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?
![Page 36: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/36.jpg)
SUPONGA QUE POR UNA EXTRAÑA RAZON PERDIMOS TODA LA INFORMACION QUE SE TENIA DEL PROBLEMA, ES DECIR, SE DESCONOCE LA VELOCIDAD, ACELERACIÓN, TABLA DE DATOS, Y QUE SOLO SE CUENTA CON LA FORMULA DE LA DISTANCIA:
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
CAMBIEMOS AHORA LA LINEA DE RAZONAMIENTO
![Page 37: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/37.jpg)
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
CAMBIEMOS AHORA LA LINEA DE RAZONAMIENTO
Reformulando la pregunta con base a la información disponible en la grafica
¿Cuál es la velocidad del vehículo?
![Page 38: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/38.jpg)
Según el grafico
El vehículo recorre cerca de 140 metros en 10 segundos
¿Por qué?Observando la grafica se puede deducir que la velocidad no varia de forma proporcional con el tiempo, en t=1 la velocidad es mucho más lenta que en t =10
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?Respuesta incorrecta
![Page 39: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/39.jpg)
¿Cuál es la velocidad del vehículo?
Tomemos ahora pequeños intervalos de tiempop.e entre t= 3 y t= 4Δt= 1 segundo
¿Por qué?Esta aproximación es mejor, pero todavía no es la solución correcta ¡¡ ya que la velocidad no es constante¡¡ en ese intervalo
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?Respuesta incorrecta
t1 (s)
d1 (m)
t2 (s)
d2(m)
Δd v
3 12.50 4 22.22 9.72
9.72
![Page 40: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/40.jpg)
¿Cuál es la velocidad del vehículo?
Es hora de recurrir a los diferenciales.Si el Δt lo vamos disminuyendo hasta que se convierta en un diferencial, es decir, dt; este valor infinitesimal proporciona un dd.
t inicial y t final son muy pero muy casi iguales ¡¡pero no iguales¡¡. La diferencia es mucho menor a un nanómetro, lo mismo pasa con la distancia, por ello no hay mayor problema si la velocidad se «considera « constante en ese intervalo.
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
Respuesta correcta
![Page 41: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/41.jpg)
Se sabe que
Reemplazando v en la integral
La distancia es la suma de sus diferenciales
Derivada e integrales operaciones inversasComo calcular la
derivada
![Page 42: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/42.jpg)
Como
y esta en función de t. si aumentamos t se incrementa la distancia.(t+dt)
¿ como se calcula realmente una derivada?
=0
d
![Page 43: Calculo Infinitesimal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062303/5537486955034676718b4d42/html5/thumbnails/43.jpg)
REVISEMOS NUEVAMENTE ESTA PREGUNTA
¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?
• INTRODUCE AL HOMBRE EN EL CAMPO DE LA ABSTRACCION
• EL DESARROLLO INTELECTUAL DEL HOMBRE SE BASA EN LA ACTIVIDAD DE PENSAR
• MAS FORMALMENTE: DESARROLLO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
Hasta la vista bebe