Clculo II (Clculo Integral) MSc. Wilfredo Caldern CarmonaObjetivo General: Saber Calcular y Aplicar IntegralesPrograma AnalticoN. UnidadTema

IIntegral Indefinida

IIMtodos de Integracin

IIIIntegral Definida

IVAplicaciones de la Integral Definida

VIntegrales Impropias

1.Resea HistricaLaintegracines unconcepto fundamentalde lasmatemticasavanzadas, Bsicamente, unaintegrales una sumadeinfinitossumandos, infinitamente pequeos.Elclculo integral, encuadrado en elclculo infinitesimal, es una rama de las matemticas el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la matemtica en general; se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.Los principios de la integracin fueron formulados porNewtonyLeibniza finales delsiglo XVII. A travs delteorema fundamental del clculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integracin se conecta con laderivacin, y la integral definida de una funcin se puede calcular fcilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas bsicas delclculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera.Bernhard Riemanndio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en unlmiteque aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos verticales. A comienzos delsiglo XIX, empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de funciones y dominios sobre los cuales se hace la integracin.

2.Problema fundamental del Clculo Integral

Calcular el rea de la regin R, bajo la grfica de una funcin y=f(x) de a a b.

DESARROLLO: Unidad I: Integral Indefinida.

1.Objetivo

Conocer y aplicar el concepto de antiderivada o primitiva de una funcin y calcularla.

Temas:Integrales indefinidas Primitiva de una funcin. Integral indefinida. Propiedades de la integral. Mtodo de integracin: Integracin mediante tabla. Cambio de variable. Integral Exponencial. Integral de funciones que producen logartmicas.

La antiderivada es la funcin que resulta del proceso inverso de la derivacin, es decir, consiste en encontrar una funcin que, al ser derivada produce la funcin dada.

Definicin: Funcin primitiva o antiderivada de una funcin dada f(x), es otra funcin F(x) cuya derivada es la funcin dada es decir F(x)=f(x) (1)

Ejemplo1:Una antiderivada de f(x)=2x es F(x)=x2 ya que F(x)=2x.

El problema es que la antiderivada o primitiva de una funcin no es nica.Del Ejemplo1 se puede observar que F(x)=x2+1F(x)=x2-5F(x)=x2+12F(x)=x2-1/3 etc en general:F(x)=x2+C donde C es una constante y donde esta es una antiderivada ms general.

En general si una funcin F es antiderivada de f, en un intervalo I y G est definida por G(x)=F(x)+C (2) donde C es una constante arbitraria, entonces G(x)=F(x)=f(x) y G tambin es una antiderivada de f.

2.NOTACION INTEGRAL

Si y=F(x) es una antiderivada de f entonces F(x) es una solucin de la ecuacin: (3) (Ecuacin Diferencial) que escrito en forma diferencial es dy=f(x)dx (4) La operacin para encontrar todas las soluciones(antiderivada general de f)se denomina integracin y se denota por el smbolo .

Es decir La solucin de la ecuacin diferencial (3): dy=f(x)dxdy=f(x)dxy=F(x)+C (5)

En forma simple una integral se escribe: f(x)dx=F(x)+C (5) donde:smbolo de integralf(x):funcin integrandodx:diferencial indica la variable de integracin.F(x): antiderivada de fC:constante de integracin.Obs:Recordar que se cumple que F(x)=f(x).

3.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1) f(x)dx=f(x)+C2) 3) dx=x+c4) kf(x)dx=kf(x)dx5) f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx6) Regla de la Potencia

Ejemplos2:Evaluar las siguientes Integrales

i) x2(x-3)dx=(x3-3x2)dx=x3dx-3x2dx=ii) =-4-iii)= = = =

iv)= = = =2

El esquema general de integracin:

Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar

4.INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.- Adicionando el uso correcto de las identidades trigonomtricas.

Interrogante: ? O ? Las cuales se resolvern ms adelante usando ciertas tcnicas de integracin.

Ejemplos3:Evaluar las siguientes Integrales

i) =3secx-5cotx+C

ii)

5.CONDICIONES INICIALES Y SOLUCIONES PARTICULARESLa ecuacin: y=f(x)dx tiene muchas soluciones por ejemplo y=F(x)+C donde para cada C existe una solucin particular que se obtiene para ciertos valores de x y y particulares a estos valores se les llama condiciones iniciales, se escribe y(x0)=y0 que determinan un valor particular de C.

Ejemplo4:1.-Hallar la antiderivada Particular que satisfaga las condiciones: , y=6 cuando x=2

Solucin: dy=2xdx y=x2+C Solucin General, Luego Hallamos una solucin particular sustituyendo las condiciones iniciales y=6 cuando x=2 en la solucin general: 6=22+CC=2 Luego la solucin particular es y=x2+C.

En el caso del movimiento Vertical, denotamos la posicin o altura de un cuerpo o partcula como S(t), su velocidad V(t) y su aceleracin a(t), entonces:

v(t)= s(t)=, consideramos a(t)=gravedad que es g=-9.8 m/s2 o g=-32 p/s2 g=-980cm/s2 Ejemplo5: Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 49m/s.a) Cul es su velocidad a los t=2s?b) Cul es la mxima altura alcanzada por el proyectil?c) Cul es su velocidad de impacto?

Solucin: a) a(t)=-9.8 se sabe que v(0)=49 y s(0)=0v(t)=-9.8dt=-9.8t+C1v(t) =-9.8t+C1 Usamos v(0)=49 para hallar C1 49=-9.8(0)+C1C1=49 por lo tanto v(t)= =-9.8t+49 Ahora evaluamos la velocidad en t=2s v(2)=29.4m/s.

b) s(t)=v(t)dt s(t)=(-9.8t+49)dt s(t)=-4.9t2+49t+C2 usamos s(0)=0 para hallar C2 C2=0 Luego s(t)=4.9t2+49t y el proyectil alcanza su altura mxima cuando v(t)=0 de lo cual -9.8t+49=0 t=5seg. se sustituye en s(t) S(5)=122.5m

d)El proyectil choca contra el suelo cuando s(t)=0 -4.9t2+49t=0 -4.9t(t-10)=0t=0 t=10s Se saba? El proyectil dura en el aire 10s luego se sustituye en v(t) entonces la velocidad de impacto contra el suelo es v(10)=-49 m/s

Ejemplo6: En un punto una curva tiene una pendiente 4x-5, si la curva contiene al punto (3,7) halle la ecuacin.Solucin: m= es decir = 4x-5 dy=(4x-5)dx y= 2x2-5x+C usando que x=3 y y=7 tenemos C=4 luego: y= 2x2-5x+4

Ejemplo7: La funcin de Costo Marginal C rsta dada por C(x)=4x-8 donde C(x) es el costo de producir x unidades de cierto artculo. Si el costo de produccin de 5 artculos es de 20u.m. a)Obtenga el costo total. b)Calcule el costo de producir 10 artculos.

Solucin: a) C(x)=4x-8C(x)dx=(4x-8)dxC(x)=2x2-8x+K si usamos C=20 cuando x=5 obtenemos K=10 por tanto C(x)= 2x2-8x+10

b) Sustituyendo x=10 en C(x) tenemos C(10)=2(10)2-8(10)+10=130 u.m

6.INTEGRACION POR SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE

Interrogante: Cmo evaluar (x-4)10dx? Cmo calcular xx2+1 dx?

Esta interrogante se despejara con el uso de integracin por cambio de variable, la cual persigue convertir una integral compleja en una integral simple ya conocida.

Integral de una funcin compuesta

Esta tcnica es equivalente a la regla de la cadena para derivacin.Sean f y g funciones que satisfacen la regla de la cadena para la funcin compuesta y=f(g(x)). Si F es la primitiva de f entonces f(g(x)).g(x)dx=F(g(x))+C Reducimos esta integral haciendo u=g(x) du=g(x)dx Para obtener f(u)du=F(u)+C la cual es mucho ms simple, y finalmente se sustituye u=g(x).Ejemplos8: Evaluar las siguientes Integrales

i)u=x-4du=dx

ii)u=x2+2du=2xdx

iii)

u=du=8xdxdu/8=xdx

iv)

u=1+4xdu=4dxdu/4=dx

v)

u=cosxdu=-senxdx-du=senxdx

Integrales de funciones Exponeciales e Integrales de funciones que producen Logartmicas

Ejemplos9: Evaluar las siguientes Integrales: