Calculo II Primero

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 UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO F ACUL T AD DE INGENI ERÍA CIVIL CÁLCULO II APLICACIÓN DE LOS LÍMITES EN LA INGENIERÍA CIVIL Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua. Como por eemplo! "#$#%&S '& (%%&)*&)+! &nsayo para 'eterminar el "ímite "íquido.  &S(-!  ((S/% % 01230  (S%$ '456233 *7&%#8! "os obetivos para reali9ar este experimento son! 2'eterminar el límite líquido 22Conocer el grado de cohesión de las partículas de un suelo. 2:oder conocer la resistencia de un suelo a esfuer9os exteriores que tienden a deformar o destruir su estructura. 2:or consistencia se entiende el grado de cohesión de las partículas de un suelo y su resistencia aquellas fuer9as exteriores que tienden a deformar o destruir su estructura. "os 3 límites pr op uestos po r (. (tt er berg un cienfi co sueco dedicado a la agricultura son! ;.2"ímite de cohesión. &s la cantidad de humedad por el cual las boronas de un suelo son capaces de pegarse unas a otras. 5.2"ímite de pegaosidad. &s el contenido de humedad con el cual el suelo comien9a a pegarse en la superficie metálica tales como la cuchilla y la espátula. 6.2"ímite de contracción. &s el con unto de humedad por deba o del cual no se produce reducción adicional de volumen o contracción en el suelo. 4.2"ímite plástico. &s el contenido de humedad considerar el suelo como ma teria l no plástico. GRUPO DE INVESTIGACION 

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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERA CIVILCLCULO II

APLICACIN DE LOS LMITES EN LA INGENIERA CIVILClculo, rama de las matemticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores mximo y mnimo de funciones y de la determinacin de longitudes, reas y volmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniera, siempre que haya cantidades que varen de forma continua.Como por ejemplo: LIMITES DE ATTERBERG: Ensayo para Determinar el Lmite Lquido. ENSAYO:AASHTO T89-68ASTM D423-66OBJETIVO:Los objetivos para realizar este experimento son:-Determinar el lmite lquido--Conocer el grado de cohesin de las partculas de un suelo.-Poder conocer la resistencia de un suelo a esfuerzos exteriores que tienden a deformar o destruir su estructura.-Por consistencia se entiende el grado de cohesin de las partculas de un suelo y su resistencia aquellas fuerzas exteriores que tienden a deformar o destruir su estructura. Los 6 lmites propuestos por A. Atterberg un cientfico sueco dedicado a la agricultura son:1.-Lmite de cohesin. Es la cantidad de humedad por elcual las boronas de un suelo son capaces de pegarse unas a otras.2.-Lmite de pegajosidad. Es el contenido de humedad con el cual el suelo comienza a pegarse en la superficie metlica tales como la cuchilla y la esptula.3.-Lmite de contraccin. Es el conjunto de humedadpor debajo del cual no se produce reduccin adicional de volumen o contraccin en el suelo.4.-Lmite plstico. Es el contenido de humedad considerar el suelo como material no plstico.5.-Lmite lquido. Es el contenido de humedad por debajo del cual el suelo se comporta como un material plstico. A este nivel de contenido de humedad el suelo est en el vrtice de cambiar su comportamiento al de un fluido viscoso.6.-Lmite de saturacin. Es el contenido de humedad que el suelo tiene todo el volumen lleno de agregado. Sin embargo para nuestro estudio solo consideramos los cuatro ltimos porque son ampliamente utilizados.

LIMITES DATTERBERG:Tambin denominados lmites de consistencia de un suelo, estn representados por contenidos de humedad, y son los siguientes:Lmite lquido............. (Ll)Lmite plstico............ (Lp)Lmite de contraccin...... (Lc)Lmite de cohesin......... (Le)Lmite de pegajosidad...... (Lg)Lmite de saturacin....... (Ls)Para interpretar mejor estos lmites se tomara de ejemplo una masa de arcilla. Cuando est tiene mucha cantidad de agua podramos decir: lquida pues la arcilla se escurre con la facilidad de una masa lquida, pero a medida que se evapora el agua que contiene, va hacindose un tanto plstica. Existe un momento en que la masa de arcilla pasa de estado lquido al estado plstico. Este lmite entre los estados lquido y plstico se halla representado por el contenido de humedad del suelo y se llama lmite lquido.Si continua la evaporacin de agua, la arcilla perder plasticidad y llegar asecarse hasta adquirir una consistencia semislida. Este paso del estado plstico al semislido se le llama lmite plstico, su valor est dado por el contenido de humedad que tiene la arcilla en tal estado lmite.En la siguiente figura estarn representados grficamente estos lmites de consistencia que fue investigado por Atterberg en 1908.

LIMITE LQUIDO.La definicin dad para lmite lquido fue dada por la sociedad estadounidense de ingenieros civiles.Lmite lquido es el contenido de agua tal que para un material dado, fija la divisin entre el estado casi lquido y plstico de un sueloPara determinar el lmite lquido se emplea el aparato estandarizado de Casa grande. Para poder establecer valores definidos, reproducibles, de los lmites, se propuso que el lmite lquido se definiera arbitrariamente como el contenido de humedad al cul una masa de suelo hmeda colocada en un recipiente en forma de cpsula de bronce, separada en dos por la accin de una herramienta para hacer una ranura-patrn, y dejada caer desde una altura de un centmetro, sufra despus de dejarla caer 25 veces una falla o cierre de la ranura en una longitud de 12.7 mm. Algunas variables afectan el resultado de la prueba del lmite lquido o el nmero de golpes para cerrar la ranura-patrn en una longitud de 12.7 mm. Entre los cuales se cuentan:Tamao de la masa de suelo contenida en la cpsula de cobre (espesor y cantidad).Velocidad a la cual se le dan los golpes (debera ser 120 rpm.).Tiempo de reposo del suelo en la cazuela antes de comenzar la cuenta de golpes y estado de limpieza antes de colocar la pasta de suelo para el ensayo.Humedad del laboratorio y rapidez con la cual se hace el ensayo.Tipo de material utilizado como base del aparato, o sea, superficie contra la cual se debe golpear la cazuela (comnmente se utiliza caucho duro o mica).Ajuste o calibracin de la altura de cada de la cazuela (debe ser exactamente 1 cm).Tipo de herramienta utilizada para hacer la ranura (bien la recomendada por la ASTM o bien la llamada tipo Casa grande).Condicin general del aparato del lmite lquido (pasadores desgastados, conexiones que no estn firmemente apretadas)Las variables anteriores pueden ser todas controladas por el operador. El lmite lquido es tambin afectado marcadamente por el tipo de suelo y otros factores adicionales. Para intentar reducir stas variables en el ensayo, se han desarrollado y se utilizan aparatos patrn, as como herramientas patrn para hacer la ranura.

Para controlar la velocidad de golpeado del recipiente, se debe rotar la manivela a una velocidad aproximada de 120 rpm, sea a una tasa de 120 golpes por minuto.

La norma ASTM para sta prueba estipula el uso de agua destilada para lareparacin de la muestra. Sin embargo, la mayora de los laboratorios utilizan agua comn con unos resultados satisfactorios.El lmite lquido es una medida de la resistencia al corte del suelo a un determinado contenido de humedad. El lmite lquido es anlogo a un ensayo de resistencia, y Casa grande encontr que cada golpe necesario para cerrar el surco en la cazuela corresponde a un esfuerzo cortante cercano a un gr/cm.Otros han obtenido resultados similares de forma que se puede decir que el lmite lquido representa para todos los suelos un valor de resistencia al corte entre 20 y 25 gr/cm.Si un suelo tiene materia orgnica, miccea o diatomceo, en cantidad perjudicial su lmite lquido por lo general ser mayor de 1.6 Ip + 14 siendo Ip el ndice de plasticidad.Bibliografaapuntesingenierocivil.blogspot. (marzo de 2011). Obtenido de apuntesingenierocivil.blogspot.: http://apuntesingenierocivil.blogspot.com/2011/03/limites-de-atterberg-ensayo-limite.html

CARACTERSTICAS MECNICAS.Ductilidad, es la elongacin que sufre la barra cuando se carga sin llegar a la rotura. Las especificaciones estipulan que el estiramiento total hasta la falla, no sea menor que cierto porcentaje mnimo (tabla 5.3) que vara con el tamao y grado de la propia barra.

Dureza se define como la propiedad del acero a oponerse a la penetracin de otro material

Resistencia a la tensin, Es la mxima fuerza de traccin que soporta la barra, cuando se inicia la rotura, dividida por el rea de seccin inicial de la barra. Se denomina tambin, ms precisamente, carga unitaria mxima a traccin.

LMITE DE FLUENCIA, FY. Es la tensin a partir de la cual el material pasa a sufrir deformaciones permanentes, es decir, hasta este valor de tensin, si interrumpimos el fraccionamiento de la muestra, ella volver a su tamao inicial, sin presentar ningn tipo de deformacin permanente, esta se llama deformacin elstica. El ingeniero utiliza el lmite de fluencia de la barra para calcular la dimensin de la estructura, pues la barra soporta cargas y sobrecargas hasta este punto y vuelve a su condicin inicial sin deformacin. Pasado este punto, la estructura esta fragilizada y comprometida.En general, en el caso de los aceros de dureza natural, el lmite de fluencia coincide con el valor aparente de la tensin correspondiente al escaln de cadencia. En los casos en que no aparece este escaln o aparece poco definido, como suele ocurrir con los aceros estirados en fro, es necesario recurrir al valor convencional establecido en las prescripciones, como se explica ms abajo, para aceros de resistencia mayor a 4200 Kg/cm2

Las barras con resistencias hasta 2800 Kg/cm2 presentan una curva elasto-plstica,), entonces fy se identifica con claridad.Para aceros de resistencias mayores, hasta 4200 Kg/cm2, la curva esfuerzo-deformacin unitaria puede ser elasto-plstica o no, dependiendo de las propiedades del acero y del procesos de fabricacin.Para aceros de resistencias mayores a 4200 Kg/cm2, donde el grado de fluencia no est definido, el cdigo ACI especifica que el esfuerzo de fluencia, fy, debe determinarse como el esfuerzo que corresponde a una deformacin de 0.0035 cm/cm, tal como se muestra en laProbablemente, la resistencia en el punto de fluencia, es decir, el esfuerzo elstico mximo que puede soportar la barra, es la propiedad mecnica ms importante para el diseador.La resistencia a la tensin se controla por un lmite sobre la resistencia en el punto de fluencia y esta no puede ser menor que 1.25 veces la resistencia real en el punto de fluencia.Si bien la tendencia actual, en la construccin con hormign reforzado, es hacia el uso de barras de refuerzo con grado de resistencia ms elevado, dado que el uso de estas conduce a una reduccin significativa del tonelaje de acero y del tamao de los miembros estructurales de hormign, lo que da por resultado economa en la mano de obra y en otros materiales, se tiene un lmite practico sobre cun fuerte debe ser el acero de refuerzo utilizado en una construccin estndar de Hormign armado: Todas las resistencias del acero tienen aproximadamente la misma elongacin para el mismo esfuerzo de tensin aplicado (mismo mdulo de elasticidad Es=2.1*106 Kg/cm2). Si un acero tiene una resistencia en el punto de fluencia que es el doble de la de otro, puede aplicarse el doble de deformacin permanente, esta se llama deformacin elstica. El ingeniero utiliza el lmite de fluencia de la barra para calcular la dimensin de la estructura, pues la barra soporta cargas y sobrecargas hasta este punto y vuelve a su condicin inicial sin deformacin. Pasado este punto, la estructura esta fragilizada y comprometida.

En general, en el caso de los aceros de dureza natural, el lmite de fluencia coincide con el valor aparente de la tensin correspondiente al escaln de cadencia (figura 5.10 a). En los casos en que no aparece este escaln o aparece poco definido, como suele ocurrir con los aceros estirados en fro, es necesario recurrir al valor convencional establecido en las prescripciones, como se explica ms abajo, para aceros de resistencia mayor a 4200Kg/cm2.

Las barras con resistencias hasta 2800 Kg/cm2 presentan una curva elasto-plstica, como se ve en la figura 5.10 a), entonces fy se identifica con claridad.Para aceros de resistencias mayores, hasta 4200 Kg/cm2, la curva esfuerzo-deformacin unitaria puede ser elasto-plstica o no, dependiendo de las propiedades del acero y del procesos de fabricacin.Para aceros de resistencias mayores a 4200 Kg/cm2, donde el grado de fluencia no est definido, el cdigo ACI especifica que el esfuerzo de fluencia, fy, debe determinarse como el esfuerzo que corresponde a una deformacin de 0.0035 cm/cm, tal como se muestra en la figura 5.11.Probablemente, la resistencia en el punto de fluencia, es decir, el esfuerzo elstico mximo que puede soportar la barra, es la propiedad mecnica ms importante para el diseador.La resistencia a la tensin se controla por un lmite sobre la resistencia en el punto de fluencia y esta no puede ser menor que 1.25 veces la resistencia real en el punto de fluencia.Si bien la tendencia actual, en la construccin con hormign reforzado, es hacia el uso de barras de refuerzo con grado de resistencia ms elevado, dado que el uso de estas conduce a una reduccin significativa del tonelaje de acero y del tamao de los miembros estructurales de hormign, lo que da por resultado economa en la mano de obra y en otros materiales, se tiene un lmite practico sobre cun fuerte debe ser el acero de refuerzo utilizado en una construccin estndar de Hormign armado: Todas las resistencias del acero tienen aproximadamente la misma elongacin para el mismo esfuerzo de tensin aplicado (mismo mdulo de elasticidad Es=2.1*106 Kg/cm2). Si un acero tiene una resistencia en el punto de fluencia que es el doble de la de otro, puede aplicarse el doble de esfuerzo, pero se obtendr el doble de elongacin. Con cargas moderadas, el refuerzo de acero se estirar casi lo mismo que lo que puede estirarse el hormign que lo rodea sin agrietarse severamente; si se aplica ms carga, el acero puede soportar la carga con seguridad, pero el hormign que lo cubre se agrietar. Esto no slo da mal aspecto sinoque, en general, permitir la corrosin del refuerzo.

a) Diagrama Esfuerzo Deformacin para Aceros de Dureza Natural Laminados enCaliente

b) curvas tpicas esfuerzo-deformacin unitarias para barras de refuerzo Nota: Las curvas estn indicadas segn su lmite de fluencia

Diagrama, Esfuerzo, Deformacin para Aceros de resistencia mayor a 4200 kg/cm2

En general, no se puede usar la mayor resistencia de los aceros con resistencias en el punto de fluencia de 4200 Kg/cm2, como refuerzo estndar a la traccin, sin causar el agrietamiento del hormign, a menos que se tomen disposiciones especiales en el diseo del miembro.Maleabilidad, es la capacidad que presenta el acero de soportar la deformacin, sin romperse, al ser sometido a un esfuerzo de compresin.Tenacidad, viene siendo la conjugacin de dos propiedades: ductilidad y resistencia. Un material tenaz ser aquel que posee una buena ductilidad y una buena resistencia al mismo tiempo.Fatiga, cuando un elemento estructural se somete a cargas cclicas, este puede fallar debido a las grietas que se forman y propagan, en especial cuando se presentan inversiones de esfuerzos, esto es conocido como falla por fatiga, que puede ocurrir con esfuerzos menores a la carga de deformacin remanente.Lmite de fatiga. Se evala en un diagrama Esfuerzo mximo (resistencia a la fatiga) vs. el nmero de ciclos hasta la falla, estos diagramas indican que la resistencia a la fatiga, de un acero estructural, decrece con un aumento de nmero de ciclos, hasta que se alcanza un valor mnimo que es el Lmite de Fatiga. Con la traccin considerada como positiva y la compresin negativa, las pruebas tambin demuestran que a medida que disminuye la relacin entre el esfuerzo mximo y el mnimo, se reduce de modo considerable la resistencia al a fatiga. Las pruebas indican adems que los aceros con resistencia a la traccin semejante tienen casi la misma resistencia a la fatiga.Estas propiedades se determinan mediante la realizacin de diferentes pruebas o ensayos, para determinar qu material es el que emplearemos para el fin que le queramos dar. En la tabla 5.3 se dan algunas caractersticas mecnicas para diferentes grados y clases de aceros.

(1). AH = Acero para Hormign (DN = Dureza Natural; EF = Estirado en Fro).(2).Para el clculo de valores unitario se utilizar la seccin nominal.(3).Relacin mnima admisible entre los valores de la carga unitaria de rotura y del lmite elstico, obtenidos en cada ensayo.

Bibliografaingenierocivilinfo. (octubre de 2010). Obtenido de ingenierocivilinfo: http://www.ingenierocivilinfo.com/2010/10/propiedades-del-acero.html

APLICACION DEL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA INGENIERIA CIVIL Es comn en todas las ramas de la ingeniera el uso del clculo integral y diferencial, ya que su uso facilita la comprensin de fenmenos que necesitan una determinacin numrica, ya sea para el clculo de reas, velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas. La Ingeniera civil como rama de la ingeniera, tambin usa con frecuencia el clculo, sin lugar a dudas para obtener un anlisis estructural adecuado, que se considera una subdiciplina dentro de la ingeniera civil. Este proyecto pretende demostrar como esa disciplina usa los fundamentos del clculo que aprendimos durante el curso de Clculo integral y diferencial de una variable, adems de su aplicacin en el anlisis de estructuras.IV. Clculo integralEl clculo integral se basa en el proceso inverso de la derivacin, llamado integracin. Dada una funcin f, se busca otra funcin F tal que su derivada es F' = f; F es la integral, primitiva o anti derivada de f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx o simplemente F = f dx (esta notacin se explica ms adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integracin: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma ms general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integracin; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)' = F' + c' = f + 0 = f. Por ejemplo, 2xdx = x2 + c.Las reglas bsicas de integracin de funciones compuestas son similares a las de la diferenciacin. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicacin por una constante. As, la integral de x = 2x es x2, y de forma similar xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la divisin por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x 0). La integracin suele ser ms difcil que la diferenciacin, pero muchas de las funciones ms corrientes se pueden integrar utilizando stas y otras reglas (ver la tabla).

Una aplicacin bien conocida de la integracin es el clculo de reas. Sea A el rea de la regin delimitada por la curva de una funcin y = f(x) y por el eje x, para a x b. Para simplificar, se asume que f(x) 0 entre a y b. Para cada x a, sea L(x) el rea de la regin a la izquierda de la x, as es que hay que hallar A = L(b). Primero se deriva L(x). Si h es una pequea variacin en la x, la regin por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectngulo de altura f(x) y anchura h (vase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, as es que k/h f(x) y por tanto L'(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el rea a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x a. El rea buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe.

ste es el teorema fundamental del clculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el rea de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) f(x0) si x x0, de manera que f es una curva sin ninguna interrupcin).El rea es una integral definida de f que es un nmero, mientras que la integral indefinida f(x)dx es una funcin F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El smbolo (una S del siglo XVII) representa la suma de las reas f(x)dx de un nmero infinito de rectngulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el lmite de la suma de un nmero finito de rectngulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.

La derivada dy/dx = f'(x) de una funcin y = f(x) puede ser diferenciada a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d2y/dx2, f''(x) o D2f. Si por ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad v, y d2y/dx2 = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleracin. Segn la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la accin de una fuerza F adquiere una aceleracin a tal que F = ma. Por ejemplo, si el cuerpo est bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg (donde g es la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por lo que a = g, y por tanto dv/dx = g. Al integrar, se tiene que v = gx + c, en donde c es una constante; sustituyendo x = 0 se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx = v = gx + c, se tiene que y = gx2 + cx + b en donde b es otra constante; sustituyendo de nuevo x = 0 se tiene que b es el valor inicial de la y.

Las derivadas de orden superior f(n)(x) = dny/dxn = Dnf de f(x) se calculan diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de Taylor muestra que f(x) se puede aproximar como una serie de potencias f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ..., donde los coeficientes a0,a1, ... son constantes tales que an = f(n)(0)/n! (en donde 0!=1 y n!= 1 2 3 ... n para cualquier n 1). Las funciones utilizadas ms a menudo pueden aproximarse por series de Taylor; por ejemplo si f(x) = ex se tiene que f(n)(x) = ex para cualquier n, y que f(n)(0) = e0 = 1

Bibliografablogspot. (marzo de 2007). Obtenido de blogspot: http://ricardovazcalculo.blogspot.com/

Ejemplos de aplicacin:Temas: Conteo Materia: Matemticas BsicasAplicaciones:Gestin en Construccin

El ndice de construccin es un indicador que relaciona las reas totales construidas con las reas del terreno de dichas construcciones. Si el rea del terreno para un proyecto de apartamentos es de 1 Hectrea y se desean construir apartamentos en promedio de 100m2. Cuantos apartamentos se podrn construir si el ndice de construccin establecido es de 4.5

Temas: Ecuaciones de primer grado Materia: Matemticas BsicasAplicaciones: Geotecnia. Equilibrio de esfuerzos, sumatoria de momentos igual a cero. Demostrar que el esfuerzo cortante en un plano z en direccin x, es igual al esfuerzo cortante en la direccin x en el plano z.

Solucin Para garantizar el equilibrio se tiene como condicin que la sumatoria de momentos es 0.

Al plantear la sumatoria de momentos teniendo en cuenta la condicin de equilibrio que implica que esta debe ser igual a cero se obtiene, tras un breve desarrollo matemtico, que el esfuerzo cortante que acta sobre el plano z en la direccin x es el mismo que acta en el plano x en la direccin z, es decir:

Temas: Matriz inversa Materia: Algebra linealAplicaciones: Geotecnia. Obtencin de la matriz de rigidez tras invertir la matriz de Compresibilidad Esta matriz se conoce como la matriz de compresibilidad y se denota como [ce]. La inversa de la matriz de compresibilidad por supuesto es la matriz de rigidez, denotada [ke].Calcularla.

Para obtener la mencionada matriz inversa puede utilizarse el mtodo de Gauss Jordn, pero por practicidad, podemos dividir la matriz de compresibilidad en cuatro por los 0 que tiene. Entonces la primera parte (fila 1 a 3 y columna y a 3) y la segunda parte (4 a 6 fila y columna), podrn ser invertidas y puestas all. Tras dividir la matriz de compresibilidad [ce] e invertirla se obtiene la matriz mostrada a continuacin, que corresponde a la matriz de rigidez [ke].

Temas: Geometra. Materia: Algebra lineal. Matemticas bsicasAplicaciones: Geotecnia Para un talud de 15 infinito encuentre el estado de esfuerzos a una profundidad de 7 metros en el plano x,z.

Solucin Lo primero que hacemos es equilibrio de esfuerzos, para este caso usamos esta ecuacin:

Ecuaciones constitutivas

Ahora realizamos una rotacin de 15 grados aplicando las ecuaciones siguientes y as obtendremos los esfuerzos en los planos x y z.

Temas: Integrales Materia: Calculo IntegralAplicaciones: Mecnica de slidos. Solucin de modelos viscoelasticos. Encontrar el desplazamiento en un modelo visco elstico como el que se presenta a continuacin.

Solucin: Equilibrio.

Compatibilidad.

Constitutivas:

Reemplazando las ecuaciones constitutivas la de equilibrio.

Integrando a ambos lados por el diferencial indicado.

Temas: Geometra Analtica Materia: Matemticas bsicasAplicaciones: Geotecnia Se ha diseado un tnel de forma elptica. El centro se encuentra a 10 metros de la superficie. La altura mayor de la elipse es de 10 m y la menor es de 6 metros.

Solucin Centro: (0,10) Radio mayor: 5 m Radio menor: 3 m Ecuacin de la elipse:

Temas: Derivadas implcitas Materia: Clculo diferencialAplicaciones: Geotecnia En el ejercicio anterior, de la elipse cuya ecuacin es la siguiente, Se requiere calcular la pendiente para hallar el estado de esfuerzos en dicho plano. Calcular la pendiente para un punto dado Solucin

Temas: Ecuaciones Materia: Matemticas BsicasAplicaciones: Estructuras hidrulicas se han instalado dos canales triangulares equilteros, con la nica diferencia de que uno de ellos estar con la base hacia arriba y el otro con la base hacia abajo. Si el caudal que transportan es el mismo, se desea conocer en profundidad la velocidad transportada por ambos canales ser la misma.

Solucin

Como las velocidades son iguales

rea 1

Base mayor: LBase menor:

Area: rea 2

Temas: Ecuaciones Materia: Matemticas BsicasAplicaciones: Estructuras hidrulicas El caso de los canales circulares o alcantarillas es ms fcil de analizar si se utilizan como parmetro el ngulo teta y el dimetro de la tubera. Encontrar una expresin que relacione la profundidad con el ngulo teta. Tambin una expresin para el rea y una para el permetro mojado.

Solucin Sabemos que para un crculo completo, el rea est dada por:

Como el rea es directamente proporcional al ngulo teta, tenemos que,

Para un crculo completo, el permetro es

Como el rea es directamente proporcional al ngulo teta, tenemos que

Ahora como lo que conocemos es la profundidad, tenemos que

V. Derivadas parcialesLas funciones con varias variables tienen tambin derivadas. Sea z = f(x, y), es decir, z es funcin de x e y. Si se mantiene y constante temporalmente, z es una funcin de x, con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial z/x = f/x; de la misma manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto de la y se obtiene z/y = f/y. Por ejemplo, si z = x2 - xy + 3y2 se tiene que z/x = 2x - y y que z/y = -x + 6y. Geomtricamente, una ecuacin z = f(x, y) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son horizontales y el eje z es vertical, entonces z/x y z/y representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en la direccin de los ejes x e y, respectivamente. Las derivadas parciales tambin se pueden calcular para funciones con ms de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y derivando con respecto a sta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.Bibliografa

viceacad. (octubre de 2012). Obtenido de viceacad: http://www.ing.unal.edu.co/viceacad_/images/stories/viceacad/programas/tutorias/Ejercicios_Ing_Civil_-_2012-1.pdf

APLICACIN DE LA CURVATURA

DISEO DE CARRETERAS:En la ingeniera civil, una de las principales aplicaciones del clculo vectorial se encuentra en la rama del diseo de vas y carreteras, ms especficamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transicin y la curva como tal.

En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transicin, la curvatura es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este blog, se intentara explicar y hacer un especial nfasis en las curvas de transicin, es decir, con curvatura variable.

FUNCIN:

El objetivo principal de las curvas de transicin consiste en evitar varias discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de transicin deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de esttica de toda la carretera.

FORMA Y CARACTERISTICAS:En la mayora de los casos, la curva ms aceptada para el diseo de carreteras es laclotoide. Esta curva se representa por la ecuacin:

Donde:

-R es el radio de la curvatura en cualquier punto.-L es la longitud de la curva desde su punto de inflexin y el punto de radio R.-A es el parmetro de la clotoide, este es caracterstico de la clotoide.

El punto de inflexin de la curvatura se halla en el momento en que el radio es infinito.Otros de los elementos que hacen parte de la clotoide son:

Ro es el radio de la curva circular contigua a la clotoide.Lo es la longitud total de la curva de transicin. Ro es el retranqueo de la curva circular. Xo, Yo son las coordenadas del punto de unin de la clotoide y de la curva circular, referidas a la tangente y normal a la clotoide en su punto de inflexin.Xm, Ym son las coordenadas de la curva circular (retranqueada) respecto a los mismos ejes.L es el ngulo de desviacin que forma la alineacin recta del trazado con la tangente en un punto de la clotoide. En radianes, este ngulo es = L/2*R. En grados, este ngulo es = 31.83*L/R. Lo es el ngulo de desviacin en el punto de tangencia con la curva circular. es el ngulo entre las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexin.V es el vrtice o punto de interseccin de las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexin.T es la tangente o distancia entre el vrtice y el punto de inflexin de la clotoide.B es la bisectriz o distancia entre el vrtice y la curva circular.

LONGITUD MINMA:

La curva de transicin debe cumplir con una longitud mnima para cumplir con varios requerimientos, entre estos estn:

LIMITACION DE LA VARIACION DE LA ACELERACIN CENTRIFUGA EN EL PLANO HORIZONTAL

La variacin aceptada de la aceleracin centrpeta y que no es contrarrestada por el peralte de la carretera, debe tener un valor mximo, denominado J.

Para efectos de clculo, suponiendo que la clotoide sea recorrida a una velocidad constante igual a la velocidad especifica de la curva circular asociada de radio menor, el parmetro A se puede definir como:

Donde:

Ve es la velocidad especfica de la curva circular asociada y de radio menor.J es la variacin de la aceleracin centrifuga.R1 es el radio de la curva circular asociada de radio mayor.R0 es el radio de la curva circular asociada de radio menor.P1 es el peralte de la curva circular asociada de radio mayor.P0 es el peralte de la curva circular asociada de radio menor.

Teniendo en cuenta esto, la longitud mnima de la curva debe ser:

Los valores de J aceptados para todo trazado estn dados por la siguiente tabla:

LIMITACION DE LA VARIACION DE LA PENDIENTE TRANSVERSAL:

La variacin de la pendiente transversal no puede ser mayor al 4%/s, segn la velocidad especifica de la curva de radio menor.

CONDICIONES DE PERCEPCION VISUAL:Con el fin de que una curva sea lo suficientemente perceptible por el conductor, es necesario que:- La variacin de azimut entre los extremos de la clotoide, sea mnimo 1/18 radianes.- El retranqueo de la curva circular debe ser como mnimo 50 centmetros.En trminos de clculo, las condiciones que se deben cumplir.

O

Donde:

Lmin es la longitud en metros.R0 es el radio de la curva circular en metros.

Adems, es muy recomendable que la variacin del azimut entre los extremos de la clotoide, se como mnimo, la quinta parte del ngulo total de giro entre las alineaciones rectas consecutivas en que se inserta la clotoide.sea:

Donde:Lmin es la longitud en metros.R0 es el radio de la curva circular en metros. es el ngulo de giro entre alineaciones rectas.

VALORES MAXIMOS:Es recomendable que los valores mnimos dados no se excedan considerablemente, de hecho, el mximo factor para excederse es de 1.5.

En las siguientes imgenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura en la vida real.

Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia (Brasil). Aqu se puede observar una calada con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseo tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan los valores mximos planteados por la reglamentacin.

Las altas velocidades de los automviles, unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en estos trazados.

Construccin de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseo preliminar. En este diseo la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor.ANDENES INCAS

Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio geomtrico que debi tener lugar durante su diseo y construccin.La civilizacin inca es conocida por muchas caractersticas que la han hecho cada vez ms famosa, pero quiz uno de sus principales logros fue la erradicacin del hambre por medio de innumerables tcnicas e investigaciones en el rea de la biologa. Los incas aprovecharon en gran cantidad las montaas secas y rocosas de las que se compona su territorio para construir varios andenes o terrazas que sirvieran como apoyo a sus cultivos agrcolas.

Para conseguir la construccin de estas estructuras fue necesario un trabajo y un desarrollo tecnolgico muy extenso, ya que debieron construir en primer lugar varios muros de contencin, los cuales posteriormente debieron ser llenados con piedras o arena para posteriormente colocar en la parte superior una capa de tierra lo suficientemente frtil.

Adems de la construccin y adecuacin del territorio sobre el cual se iba a cultivar, tambin era necesaria la construccin y el diseo de un gran sistema de irrigacin para hacer de la zona un terreno lo suficientemente frtil y ms aun teniendo en cuenta que estos cultivos deban sostener a una cantidad inmensa de pobladores de las ciudades.

Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para as mantener la fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa frtil y el terreno infrtil del fondo. Los incas utilizaron tambin muchos fertilizantes para mantener la fertilidad de sus terrenos.Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de contorno. Por ejemplo, podramos imaginar una colina de forma cnica donde la base se encuentra definida por la ecuacin:

El vrtice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades del origen, al ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado, teniendo en cuenta que la simetra se mantiene entre la curva de la base y el origen, entonces la ecuacin que describe la superficie de la colina podra ser:

Superficie original dibujada con el programa MapleV.Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel como:

Donde:

z=f(x,y)Es la superficie original en coordenadas cartesianas.K es un nmero real.Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie original, se puede encontrar un grafico mas aproximado de la situacin real.

Superficie con las curvas de contorno proyectadas.Por otro lado, tambin es posible dibujar el mapa de las curvas de contorno.

Diagrama o mapa de las curvas de contorno.Finalmente, y despus de todo el anlisis, es posible recrear un esbozo aproximado de cmo se veran los andenes sobre la superficie original.

Esbozo de los andenes sobre la superficie real.Para la proyeccin de los andenes sobre el piso se identifico en primer lugar el mximo nmero entero menor que z, obteniendo as la altura de cada escaln. Es importante tener en cuenta que los incas no posean tecnologas tan avanzadas como los programas computarizados para realizar sus clculos y diseos, adems el ejemplo presentado es una situacin demasiado idealizada, la mayora de las veces sucede que los andenes deban ser proyectados sobre montaas que no obedecan a ecuaciones conocidas, entonces todo el proceso analtico deba ser reemplazado.Cuando suceda esto, probablemente lo que se hacia era utilizar los recursos topogrficos que posean para realizar un esbozo de las curvas de contorno y posteriormente proyectar los andenes sobre las mismas. Aun en la actualidad, un proceso de estos requiere un muy arduo trabajo de campo para un equipo topogrfico.

Aun as, las situaciones ideales sirven mucho para estudiar determinados factores que podran, por ejemplo, aumentar la productividad de determinadas superficies. En este caso, el problema deja de ser puramente matemtico y pasa a ser un problema interdisciplinario, donde intervienen ramas del conocimiento como la ingeniera civil, el anlisis de suelos, la biotecnologa agrcola, etc.

Pero podra ser un proyecto til e interesante para la recreacin de la agricultura inca.Dentro de las aplicaciones del clculo vectorial a la ingeniera civil, es posible encontrar numerosos ejemplos en Latinoamrica, en especial en la parte geomtrica. A manera de ejemplo, se puede nombrar la optimizacin del rea agrcola en los andenes incas, donde se presenta claramente un ejemplo de curvas de contorno y de maximizacin del rea.Tambin se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la construccin de caminos a travs de pasos de montaas, aqu se puede ver una clara influencia y utilizacin de los mnimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemticas son una creacin de la humanidad y por lo tanto sus usos estn completamente dirigidos al provecho de la humanidad.A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemtica en la civilizacin egipcia para la construccin de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispnicas utilizaron la geometra en gran cantidad por ejemplo en la construccin o creacin de los andenes incas o las pirmides mayas.En la realidad de nuestra cotidianidad las matemticas en general tienen innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las ctedras donde se ensean las matemticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun as como en todo no se debe generalizar en ningn momento y hay numerosos ejemplos de educadores que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana a l.Como ejemplo, los estudiantes que se encuentran ubicados en las zonas rurales deben aprender sobre aplicaciones relativas a su realidad, como por ejemplo, aprender a medir la tierra o aproximar el volumen de troncos cortados. Estos ejemplos no deben ser exclusivos de localidades como estas sino que deben hacer parte de un ncleo general de aplicaciones que deben hacer parte de la enseanza de las matemticas en cualquier lugar del mundo.Las matemticas que son impartidas en Latinoamrica estn muy influenciadas por bibliografas extranjeras, alejando de esta manera al estudiante de la realidad que debera interesarle. Estos paradigmas se deben romper con el fin de que el estudiante pueda sentirse cada vez ms motivado hacia el estudio de las matemticas y que as pueda desempearse mucho mejor en las asignaturas correspondientes.Es muy comn encontrar en varios textos de enseanza de las matemticas, que los enunciados de la mayora de los ejercicios, hacen referencia a una realidad a veces muy lejana como naves espaciales o maximizacin de lucros en grandes empresas. Obviamente, los textos no se deben hacer a un lado e ignorar la revolucin cientfico-tecnolgica que ha tenido lugar en la raza humana, pero los temas que se deben tratar, deben enfrentar al estudiante con problemas de su propia realidad, y deben tratar temas desde los ms simples hasta los ms complejos.

Bibliografablogspot. (jueves 18 de septiembre de 2008). Obtenido de blogspot: http://calculovectorial57.blogspot.com/

TORSION EN LA INGENIERIA CIVIL

1.OBJETIVO GENERAL:

Determinarlas propiedadesmecnicas de diferentes tiposde materiales sometidos a torsin, tales como acero, latn, bronce y aluminio

2.OBJETIVOS ESPECFICOS:

a) Familiarizar al alumno con las definiciones bsicas de la resistencia de los materiales pertinentes a una solicitacin de torsin, tales como: momento torsor, ngulo de torsin, mdulo de rigidez, distorsin angular, diagrama de momento torsor versus ngulo de torsin, esfuerzos cortantes caractersticos y curva caracterstica en ensayo de torsin, determinada por el esfuerzo cortante versus la distorsin angular.

b) Capacitar al alumno para la realizacin de un ensayo de torsin y aplicar las unidades que se usan en el Sistema Internacional de Unidades (SI) y en el Sistema Mtrico Tcnico.

c) Determinar, a travs del experimento, el mdulo de rigidez al corte o mdulo de corte G de un material.

d) Determinar diferentes esfuerzos cortantes caractersticos, tales como: esfuerzo de corte proporcional, esfuerzo de corte por fluencia, esfuerzo de corte plstico y esfuerzo de corte de ruptura.

e) Comprobar que evolucin de las secciones circulares y dellargo de la probeta durante el ensayo de torsin.

f) Distinguir entre fractura por torsin en un material dctil y fractura por torsin en un material frgil.

INTRODUCCIN TERICA

T

R

a

bmax

L

Figura 1. Esquematizacin del ensayo de torsin

3.1 Definicin de esfuerzo cortante y distorsin angular

En la figura 1 se esquematiza la aplicacin de un momento torsor T en e extremo libre de una probeta cilndrica de longitud L empotrada en su extremo opuesto. Considerando la igualdad de arcos entre los puntos a y b, segn el radio R y la generatriz L, se deduce lo siguiente:R L (1)

Donde es el ngulo de torsin, e es la deformacin angular por cortante.

Para determinar el esfuerzo cortante mximo max del material se puede utilizar la ley elstica de Hooke para la torsin, que establece:

max = G (2)

En donde G es el mdulo de corte del material de la probeta. Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el lmite de proporcionalidad, dicho esfuerzo se distribuye

linealmente, siendo cero en el eje central de la probeta y logrando un valor mximo en la periferia. As, es posible utilizar otra frmula para calcular el esfuerzo cortante mximo, la cual considera el momento torsor T aplicado y el momento polar de inercia Ip de la seccin de la pieza que resiste la torsin:

Diagrama de momento torsor y ngulo de torsin

La obtencin del diagrama de momento torsor en funcin del ngulo de torsin, para una probeta cilndrica sometida a torsin, es fundamental para determinar el mdulo de rigidez al corte, el esfuerzo cortante de proporcionalidad y el esfuerzo cortante de fluencia. Para lograr esto, se debe obtener una cantidad de datos suficientes que permita construir una tabla del momento torsor versus al ngulo de torsin.

Con los datos consignados en la tabla, se puede construir el grfico siguiente:

Bibliografa

Nash, W. (2007). Resistencia de materiales. Mexico D.F: Mc Graw-Hill.Singer, F. (2006). Resistencia de materiales. California: Harpes & Raw.young, S. T. (2003). Elementos de resistencia de materiales. Buenos Aires: Montaner y Simon.

GRUPO DE INVESTIGACION