Calculo diferencial resumen

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Funciones Una función se define como una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida denominado Dominio le corresponde un sólo elemento en el conjunto de llegada denominado Co dominio. El Rango corresponde a los valores del Co dominio que están relacionados con los elementos del Dominio. Al analizar una función que maneje las variables (x,y) es conveniente hacerle los siguientes tópicos 1) Dominio 2) Rango 3) Cortes con el eje y, x = 0 4) Cortes con el eje x, y = 0 5) Simetría con el eje y (análisis de paridad) 6) Simetría con el origen (análisis de imparidad) 7) Asíntotas verticales 8) Asíntotas horizontales 9) Asíntotas oblicuas 10) Criterio de la primera derivada 11) Criterio de la segunda derivada 12) Trazo o grafica Hay que especificar que existen funciones que no se les analizan todos los tópicos mencionados anteriormente. Por ejemplo los análisis de asíntotas son exclusivos para funciones racionales. Funciones Polinomicas Son funciones de la forma f ( x )=a 1 x n + a 2 x n1 +…k Las más conocidas y manejadas están: I. Función constante ó de grado cero f ( x )=k II. Función lineal ó de grado 1 f ( x )=ax + b III. Función cuadrática ó de grado 2 f ( x )=ax 2 +bx + c IV. Función cúbica ó de grado 3 f ( x )=ax 3 +bx 2 + cx +d
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resumen de funciones - limites y derivadas

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  • 1. FuncionesUna funcin se define como una relacin en la cual a cada elemento del conjunto departida denominado Dominio le corresponde un slo elemento en el conjunto dellegada denominado Co dominio. El Rango corresponde a los valores del Co dominioque estn relacionados con los elementos del Dominio.Al analizar una funcin que maneje las variables (x,y) es conveniente hacerle lossiguientes tpicos1) Dominio2) Rango3) Cortes con el eje y, x = 04) Cortes con el eje x, y = 05) Simetra con el eje y (anlisis de paridad)6) Simetra con el origen (anlisis de imparidad)7) Asntotas verticales8) Asntotas horizontales9) Asntotas oblicuas10) Criterio de la primera derivada11) Criterio de la segunda derivada12) Trazo o graficaHay que especificar que existen funciones que no se les analizan todos los tpicosmencionados anteriormente. Por ejemplo los anlisis de asntotas son exclusivos parafunciones racionales.Funciones PolinomicasSon funciones de la forma Las ms conocidas ymanejadas estn:I. Funcin constante de grado ceroII. Funcin lineal de grado 1III. Funcin cuadrtica de grado 2IV. Funcin cbica de grado 3Funcin constanteEjemplo: Dominio Rango Corte en y, Corte en x,
  • 2. Funcin linealEjemplo: Dominio Rango Corte en y, Corte en x,Funcin cuadrticaEsta funcin tiene por modelo Dominio Rango : Es necesario calcular la coordenada en x del vrticeSi a > 0 Si a < 0 Corte en y, Corte en x,Ejemplo: sean las funcionesElementosDominio3VrticeRangoCorte en y, (0,16) (0,0)Corte en x,(-4,0) y (4,0) (0,0) y (6,0)Simetra en y si no
  • 3. Funcin cubicaEsta funcin tiene por modelo Dominio Rango Corte en y, Corte en x,a > 0 un corte en x f(x) = x3a < 0 un corte en x f(x)= -x3Como f(x)=f(-x) entonces esuna funcin impar y tienesimetra con el origenComo f(x)=f(-x) entonces esuna funcin impar y tienesimetra con el origen
  • 4. Funcin racionalSon de la forma DominioLos valores que no pertenecen al dominio corresponden con las asntotasverticales RangoCaso 1Si es posible despejar a x en funcin de y, obtenindose una expresin de laformaRangoa > 0 con tres cortes en x f(x) = x3-4xa < 0 con tres cortes en x f(x) = x3-4xa > 0 con dos cortes en x f(x) = x3-2x2a < 0 con dos cortes en x f(x) = -x3+2x2
  • 5. Los valores que no pertenecen al rango corresponden a las asntotashorizontalesCaso 2No es posible hacer una generalizacin para estos casos ya que es necesariotener ms informacin a partir de su grafica para obtener su rango. Sinembargo es importante analizar el caso en queya que se puede generar una asntota oblicua de la formaPara obtener la ecuacin de la recta asociada con la asntota oblicua secalcula primero el lmite el cual proporciona la pendiente desta.Para obtener el valor de b se procede a usar la siguiente expresinEjemplo1: Dominio Rango al despeja a x en funcin de y se obtieneRango: Corte en y, Corte en x, Asntota vertical Asntota horizontal No tiene asntota oblicua No tiene ningn tipo de simetra
  • 6. Ejemplo 2: Dominio Rango como no se puede despejar a x en funcin de y se debe realizar sugrafica de lo cual se puede deducir que es Corte en y, Corte en x, Asntotas verticales Asntota horizontalPuesto que No tiene asntota oblicua No tiene ningn tipo de simetra
  • 7. Ejemplo 3: Dominio Rango como no se puede despejar a x en funcin de y se debe realizar sugrafica de lo cual se puede deducir que es Corte en y, Corte en x, Asntota vertical Asntota horizontal no tienePuesto que Asntota oblicua de la formaPara obtener la ecuacin de la recta asociada con la asntota oblicua secalcula primero el lmite el cual proporciona la pendientede sta.
  • 8. Para obtener el valor de b se procede a usar la siguiente expresin=La asntota oblicua es No tiene ningn tipo de simetra
  • 9. Funciones trigonomtricasSe destacan las senoidaleso bienCorresponde al nmero de veces que aparece la funcin en un lapso de 2 rad.Si la funcin est adelantada y comienza antes de x = 0Si la funcin est atrasada y comienza despus de x = 0 Dominio Rango Corte en y. Corte en x,Si es seno con n = 0,1,2,3,Si es coseno con n =0,1,2,3,Ejemplo 1 Dominio Rango Corte en y, Corte en x,
  • 10. Para n = 0Para n = 1Para n = 2Ejemplo 1 Dominio Rango Corte en y, Corte en x,Para n = 0Para n = 1Para n = 2
  • 11. Funciones trascendentalesSe refieren a las funciones exponenciales y logartmicasFuncin exponencialSon de la forma Dominio Rango Corte en y Corte en x no existe No presenta ningn tipo de simetra
  • 12. Ejemplos Dominio Rango Corte en y Corte en x no existeNo presenta ningn tipo de simetrag Dominio Rango Corte en y Corte en x no existeNo presenta ningn tipo de simetraFuncin logartmicaSon de la forma Dominio Rango Corte en y no existe Corte en xNo presenta ningn tipo de simetra
  • 13. Ejemplo Dominio Rango Corte en y no existe Corte en xNo presenta ningn tipo de simetra Dominio Rango Corte en y no existe Corte en xNo presenta ningn tipo de simetraInversa de una funcinToda funcin que sea uno a uno posee una funcin inversa tal que eldominio de es igual al rango de y viceversaEjemplo: halle la inversa de la funcinEsta funcin es uno a uno ya que para el dominio especificado existe un nicovalor de para cada valor de Su rango esPara hallar la funcin inversa se cambia la y se despeja aentonces:Despejando se tiene
  • 14. Al graficar simultneamente a y se tiene:Funciones trigonomtricas inversasPara este tipo de funciones es necesario restringir su dominio para que sean uno auno y se analizan para los siguientes intervalos:Su grafica y su inversa corresponden a:
  • 15. Su grafica y su inversa corresponden a:Su grafica y su inversa corresponden a:Solucin de problemas1) Para proteger un terreno rectangular se precisaron 2.000 m de alambre. Si unadimensin es X exprese el rea A en funcin de XAl despejar a Y en funcin de X se obtiene:El rea A es el permetro esXY
  • 16. Y al remplazar dicha expresin en la funcin de rea A se tiene:Simplificando se obtiene:2) Exprese la longitud de la cuerda L de una circunferencia de 8 cm de radio enfuncin sus distancia X al centro de la mismaDel triangulo formado por el radio de 8 cm, la distancia de la cuerda al centro X yla mitad de la longitud de la cuerda L que es rectngulo y la hipotenusa es el radiode la circunferencia.Entonces:Despejando a L se tiene:3) En cada uno de los vrtices de una placa cuadrada de 12 cm de lado se cortanpequeos cuadrados de X cm de lado. Expresa el volumen V de la caja sin tapaque se puede formar en funcin de XDe la figura se puede observar que el volumen de la caja viene dado por el reade la base y la altura XSimplificando se tiene:oX8oXX12
  • 17. 4) El nmero de bacterias en un cultivo en funcin del tiempo T ( en horas) semodela con la expresin Determina:a) La poblacin inicialb) La poblacin despus de 2 horasc) El tiempo necesario para que la poblacin se tripliquea) La poblacin inicial corresponde cuando T=0 y en este casob) L a poblacin despus de dos horas cuando T= 2 horas es:c) El tiempo necesario para triplicar la poblacin se halla despejando eltiempo de la siguiente expresinO bien Aplicando logaritmo natural setiene que:5) El costo de producir X kg de un producto viene dado por la funcinHalle la funcin de utilidad U de dicho producto si cada kg sevende a 15 U$La funcin de utilidad U se determina hallando la diferencia de los ingresos menoslos costos. Luego:Simplificando se tiene:6) Determina el rea A de un triangulo issceles en funcin de su altura X si sequiere que su permetro sea de 5000m y sus ngulos congruentes son de 25El rea del triangulo esEl permetro es luego:Del triangulo rectnguloX25L LY
  • 18. Despejando a L en la ltima expresin se tiene:de esta forma se remplaza en la expresin de Y as:Finalmente se remplaza en la expresin del rea y seobtiene:Simplificando se tiene que:Algebra de funcionesLas funciones se pueden operar mediante las operaciones de suma, resta,multiplicacin, divisin y composicinMediante un ejemplo se explicar dichas operacionesSean las funciones determine el dominio de lassiguientes funcionesa)b)c)d)e)f)g)Solucina) dominiob) dominioc) dominiod) dominio
  • 19. e) dominiof) dominiog) dominio
  • 20. Limite de funcionesSe entiende por lmite de una funcin a la tendencia que esta experimenta al serevaluada en un valor que se encuentre lo ms cerca posible de la vecindad de unnmero especfico del dominio de dicha funcin.Por ejemplo si evaluamos a la funcin para cercanos al valor de 4 setiene lo siguiente:Acercamiento Valor de x Evaluacin resultadoPor la izquierdade 4Por la derechade 4Al observar los resultados se puede concluir que la funcin tiende a 1,33 = si x se acera alvalor de 3 y se escribe de la formaEste lmite se pudo obtener directamente sustituyendo el valor de x = 3 en la funcin. Sinembargo existen casos en los que al remplazar el valor se obtiene una indeterminacinmatemtica. La cual puede ser resuelta con procedimientos especficos como se muestra acontinuacin
  • 21. Formas indeterminadas de los lmitesForma indeterminadaPara eliminar esta indeterminacin se debe utilizar factorizacin, racionalizacin oalgn teorema.Ejemplo1 si se sustituye directamente el valor de x = -1 en la funcinse obtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe factorizarEjemplo2 si se sustituye directamente el valor de x = 3 en la funcinse obtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe factorizarEjemplo3 si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la funcinse obtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe racionalizar usandola conjugada del numerador y despus factorizarEjemplo4 si se sustituye directamente el valor de x = en lafuncin se obtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe hacer unadivisin por en el numerador para eliminar la indeterminacin as:
  • 22. Se toman los coeficientes del polinomio del numerador y se divide por x = usando laregla de Ruffini2 -1 2 -11 0 12 0 2 0El polinomio del numerador queda factorizado as:El limite queda entonces:Ejemplo5 si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la funcin seobtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe racionalizar eldenominador por lo que le falta para convertirlo en una diferencia de cubos perfectosForma indeterminadaPara solucionar esta indeterminacin se recomienda dividir todos los miembros de laexpresin por el trmino que tenga el grado mayor.Ejemplo1 si se sustituye directamente el valor de x = en lafuncin se obtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe dividircada trmino entre ya que tiene el grado mayor
  • 23. Ejemplo2 si se sustituye directamente el valor de x = en lafuncin se obtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe dividircada trmino entre ya que tiene el grado mayorComo los grados de los trminos mayores tanto en el numerador y denominador sonpares la funcin no experimenta cambio de signos al tender al infinito tanto por laderecha como por la izquierda, as que su tendencia est definida por la divisin delos signos de los coeficientes de dichos trminos.Ejemplo3 si se sustituye directamente el valor de x = en la funcinse obtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe dividir cadatrmino entre ya que tiene el grado mayorEjemplo4 si se sustituye directamente el valor de x = en la funcin seobtiene la forma indeterminada As que en este caso se debe dividir cada trminoentre ya que tiene el grado mayorEn este caso el lmite no existe ya que la funcin sufre cambio de signos al acercarseal infinito tanto por derecha como por la izquierda. Esto se debe a que el gradotrmino con mayor exponente en el denominador es imparForma indeterminadaEste tipo de indeterminacin se debe convertir a la formaEjemplo 1 al sustituir por1 se obtiene la indeterminaciny se debe convertir a la forma haciendo la sustraccin algebraica
  • 24. En este caso es necesario factorizar el numerador parasolucionar esta nueva indeterminacinEn el numerador y denominador el grado es par as que no se presentan cambios designo en la funcin al acercarse a 1 por la derecha.Ejemplo 2 al sustituir por se obtiene la indeterminaciny se debe convertir a la forma mediante racionalizacinSe divide cada trmino por x que tiene el grado mayorEjemplo 3 al sustituir por se obtiene la indeterminaciny se debe convertir a la forma mediante sustraccin algebraicaForma indeterminadaEsta indeterminacin se resuelve utilizando el nmero irracionalSi EntoncesEjemplo 1 al sustituir x = se obtiene la forma indeterminadaentonces usando nmero irracional se tiene:
  • 25. Ejemplo 2 al sustituir x = se obtiene la forma indeterminadaentonces usando nmero irracional se tiene:Continuidad de una funcin en un puntoPara que una funcin sea continua en un valor debe cumplir las siguientescondiciones:1) Que exista en dicho valor2) Que exista el lmite de la funcin en dicho valor3) Que el resultado de las condiciones 1 y 2 sea el mismoEjemplo 1: analice la continuidad de la funcin en x = 2 y x = 5Anlisis para x = 21)2)3) Como los resultados en las condiciones 1 y 2 son iguales la funcin escontinuas en x = 2Anlisis para x = 51)2)El lmite no existe La funcin es discontinua en x = 5
  • 26. Observemos su graficaEn x = 5 se tiene un discontinuidad no removible ya que no existe el lmite endicho valorEjemplo 2: Analiza la continuidad de la siguiente funcin en x = -31)2)3) ComoLa funcin no es continua en x = -3 y corresponde a una discontinuidadremovibleObservemos su grafica
  • 27. Derivada de funcionesTasa de variacin media en un intervalo de la variable dependienteSe define como la razn entre el incremento de la variable dependiente de unafuncin sobre su respectivo incremento de su variable independiente. Su valorcoincide con la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final del intervaloque se estudia. Matemticamente se expresa as:Sea una funcin entonces su tasa de variacin media esEjemplo 1 halle la tasa de variacin media de las siguientes funciones en losintervalos que se planteana) en 1) y 2)b) en 1) y 2)Solucina) Para1) En2) EnComo se puede notar la tasa de variacin media de esta funcin siemprees constante y corresponde con la pendiente de dicha recta.b) Para1) En2) EnEn este caso la tasa de variacin media no es constante por tratarse deuna funcin cuadrticaUna aplicacin de la tasa de variacin media en Fsica se le denomina velocidadmedia y corresponde a la razn del desplazamiento sobre el tiempo transcurridodesde la posicin inicial hasta la posicin final.
  • 28. Variacin instantnea de una funcinEsta se presenta cuando la evaluar la tasa de variacin media de una funcin seutilizan intervalos de variacin de la variable independiente cercanos a cero.Se puede definir entonces como el lmite de la variacin media de una funcincuando las variaciones de la variable independiente tienden a cero.Matemticamente se expresa as:la tasa de variacin instantnea de f(x) enes:Ejemplo 1 halle la tasa de variacin en el valor que se pidea) en 1) x = 5 y 2) x = 0b) en 1) x = -3 y 2) x = 2Solucina) Para en cualquier x se le debe agregar un muy pequeoentoncesLa variacin instantnea es constante para cualquier x1) En x = 52) En x = 0b) Para en cualquier x se le debe agregar un muypequeo entonces:
  • 29. 1) En x = -32) En x = 2En este caso la tasa de variacin instantnea no es constante por tratarsede una funcin cuadrticaUna aplicacin de la tasa de variacin instantnea en Fsica se le denominavelocidad instantnea y corresponde al lmite de la razn del desplazamientosobre variaciones de tiempo cercanas a cero.Derivada de una funcinLa derivada de una funcin, se define geomtricamente como la pendiente de la rectatangente en un punto especifico.Matemticamente:Sea una funcin la derivada de y respecto a x es:DERIVABILIDAD Y CONTINUIDADSi una funcin es continua en un punto la funcin no necesariamente es derivable endicho punto pues puede tener un cambio brusco. Como es el caso de la funcin valorabsoluto en x = 0 la cual es continua en dicho valor pero no es derivableporque no es posible trazar una nica reta tangente en dicho punto.
  • 30. Reglas para derivarA continuacin se muestran las principales reglas para derivar funcionesDerivadas bsicasDerivada de una constanteDerivada del producto de funcionesDerivada del cociente de funcionesRegla de la cadenaDerivada de las funciones trigonomtricas
  • 31. Derivada de funciones exponenciales y logartmicasDerivada de las funciones hiperblicasVeamos un ejemploHalle la derivada de la siguiente funcion
  • 32. Recta Tangente y Normal a una curvaEl procedimiento para encontrar dichas ecuaciones consiste en:Derivar la funcinEncontrar la pendiente de la recta en punto de la curva especificadoHallar la ecuacin de la recta tangente a la curvaHalla la ecuacin de la recta normal a la curvaEjemploHalla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva enel punto (-2, 4)Se deriva la funcinSe calcula la pendiente de la recta tangente en x = 2Se calcula la ecuacin de la recta tangente a la curva en x = -2La ecuacin de la recta tangente es:Se calcula la ecuacin de la recta normal a la curva en x = -2La pendiente de la recta normal esLa ecuacin de la recta normal es:En la siguiente grafica se puede observar la funcin con la recta tangente yla recta normal en el punto (-2, 4)