Examen

Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana, a p pesos cada

uno. Siendo 5x = 375 – 3p. El costo de producción es (500 + 15x + 1/5 x2) pesos. Demuestre

que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por

semana.

Primero, la fórmula de ganancia es igual Ingreso – Costo de producción:

U = I – CP

tenemos dos ecuaciones:

I = xp (Ingreso)

5x = 375 – 3p (Relación instrumentos/pesos)

Despejando p de la relación instrumentos/pesos para dejar la ecuación en

función de x resulta:

3p = 375 – 5x

p = (375 – 5x)/3

p = 125 – 5/3 x

La nueva ecuación la sustituimos en la función de Ingreso:

I = (125 – 5/3 x)*x

I = 125x – 5/3 x2

Teniendo las dos ecuaciones que nos dan la ganancia, las sustituimos y

realizamos las operaciones:

U = 125x – 5/3 x2 – (500 + 15x + 1/5 x2)

U = -500 + 110x – 28/15 x2

Utilizando el método de máximos y mínimos:

1. Derivamos:

U’ = 110 – 56/15 x

Obtenemos la raíz igualando con 0 (esta raíz serán los instrumentos):

110 – 56/15 x = 0

110 = 56/15 x

110*15 = 56x

1650/56 = x

29.46 = x

Tomando dos valores cercanos a la raíz (29 y 31) y sustituyéndolos en la

derivada sabremos si es Máximo o Mínimo:

110 – 56/15*(29) = 110 – 108.26 = 1.73

110 – 56/15*(31) = 110 – 115.73 = -5.73

Va de un valor positivo a un valor negativo, por lo tanto es MÁXIMO.

R= Con eso se comprueba que con 29.46 (30) instrumentos por semana, se obtiene la máxima

ganancia.

Problema #2

F(x) −24𝑥3 + 75𝑥2 − 54𝑥

Original F(x): 𝟔𝒙𝟒 + 𝟐𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝟕𝒙𝟐

Desarrollo de la ecuación

F(x)= 3𝑥(−8𝑥2 + 25𝑥 − 18)

Para quitar el tres equis se iguala a cero: x =0

3 =0

Se iguala a cero la ecuación:

3𝑥(−8𝑥 2 + 25𝑥 − 18) =0

Se aplica la formula general

A= 8x B=25 C= -18

DESARROLLO DE LA FORMULA GENERAL

X = √b2−b ± √b2 − 4ac

2a

b±

X = √−b±√(25)2−4(−8)(−18)

2(8)

(25)±

X = √625 − 576

16

+25±

X = √49

16

+25

Se verifica el máximo y el mínimo

X1 =25+7

16= 2

x2 =25−7

16= 1.125

Se verifican las funciones

𝑦 = 8𝑥2 + 25𝑥 − 18

= 16x +25

Y=-16 (2)+25=-7

Y= -16 (1.125)+25 =7

Funcion 𝑦 = 6(2)4 + 25(2)3 + 27(2)2

20736+125000+2916= 148,652

𝑦 = 6(1.125)4 + 25(1.125)3 + 27(1.125)2

9.6108+22247.3144+34.1718= 22,291.097

Max.

Min.