Calculo diferencial integral_func_una_var

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Francisco Javier Prez Gonzlez

Departamento de Anlisis Matemtico

Universidad de Granada

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Universidad de GranadaDpto. de Anlisis Matemtico

Prof. Javier PrezClculo diferencial e integral

Indice general

Prlogo XVI

Guas de lectura XX

1. Axiomas de R. Principio de induccin 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 1

1.2. Axiomas de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2.1. Relacin de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticas . . . . . . . . . . 7

1.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Principio de induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1. Nmeros y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26

II

ndice general III

1.4.1.1. La razn urea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1.2. Medimos con nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2. Hacer matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.3. Algunas razones para estudiar matemticas . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Captulo. Lecturas adicionales . . 32

2. Funciones elementales 332.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1. Funciones polinmicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 392.2.2. Races de un nmero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.5.1. Inters compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.5.2. Crecimiento demogrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.6. Funcin potencia de exponente real a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.7. Funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.7.1. Medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . 452.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 46

2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 462.2.8. Las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.8.1. Las funciones hiperblicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 49


2.3. Sobre el concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.1. El desarrollo del lgebra y la invencin de los logaritmos . . . . . . . 61

2.4. Lo que debes haber aprendido en este captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3. Nmeros complejos. Exponencial compleja 64



ndice general IV

3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2. Operaciones bsicas con nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.1. Comentarios a la definicin de nmero complejo . . . . . . . . . . . . 663.2.2. Forma cartesiana de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.3. Comentarios a la definicin usual i D

p1 . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.4. No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica . . . . . 683.3. Representacin grfica. Complejo conjugado y mdulo . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1. Forma polar y argumentos de un nmero complejo . . . . . . . . . . . 703.3.2. Observaciones a la definicin de argumento principal . . . . . . . . . . 72

3.3.2.1. Frmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.3. Races de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.3.1. Notacin de las races complejas . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.3.2. La igualdad n

pz npw D npzw . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


3.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.5. Aplicaciones de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5.1. Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5.2. Circuitos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5.3. Procesamiento digital de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4. Funciones Continuas y lmite funcional 1024.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2.1. Propiedades bsicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3. Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110



ndice general V

4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.3.1. Continuidad y monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


4.5. Lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.5.1. Lmites laterales de una funcin en un punto . . . . . . . . . . . . . . 1344.5.2. Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . . 1354.5.2.2. Lmites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5.2.3. Funciones divergentes en infinito . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.6. lgebra de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.6.1. Lmites y discontinuidades de funciones montonas . . . . . . . . . . . 139

4.6.2. Comportamientos asintticos de las funciones elementales . . . . . . . 1404.6.2.1. Lmites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . 140

4.7. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


5. Nmeros y lmites. El infinito matemtico 1505.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2. Evolucin del concepto de nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.1. Nmeros y cantidades en la antigua Grecia . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.2. De la antigua Grecia a la invencin del Clculo . . . . . . . . . . . . . 1535.2.3. Infinitsimos y el continuo numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.2.4. El triunfo de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.4.2. Mtodos axiomticos y mtodos constructivos . . . . . . . . 1645.2.4.3. El regreso de los pequeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.3. Evolucin del concepto de lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3.1. La teora de las razones ltimas de Newton . . . . . . . . . . . . . . 166



ndice general VI

5.3.2. La metafsica del Clculo en DAlembert y Lagrange . . . . . . . . . . 1675.3.3. El premio de la Academia de Berln de 1784 . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.4. Cauchy y su Cours DAnalyse de 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3.5. El innovador trabajo de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.3.6. Weierstrass nos dio los " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.4. Breve historia del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.4.1. La idea de infinito en la filosofa y la matemtica Griegas . . . . . . . . 178

5.4.1.1. Las aporas de Zenn de Elea . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita . . . . . . . . . . . . . . . 1805.4.1.3. La rueda de Aristteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX . . . . . . . . . . . 1845.4.2.1. El infinito en la Escolstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.4.2.2. Galileo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.4.2.3. El Clculo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.4.3. El infinito matemtico y el nacimiento de la teora de conjuntos . . . . 1885.4.3.1. La no numerabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6. Derivadas 2016.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.2. Concepto de derivada. Interpretacin fsica y geomtrica . . . . . . . . . . . . 202

6.2.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.2.2. Razn de cambio puntual y velocidad instantnea . . . . . . . . . . . . 202

6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . 2056.2.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivacin . . . . . 206

6.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.2.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio deequivalencia logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonomtricas . . . . . . . . 2216.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . 221



ndice general VII

6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 2256.3.2. Reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.4.1. Notacin de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . . . . . 235

6.5. Tcnicas para calcular lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.5.1. Lmites que debes saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . 2416.5.3. Sobre el uso de la notacin lKm

x!a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.7. Funciones convexas y funciones cncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246


6.8. Orgenes y desarrollo del concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 3056.8.1. Las matemticas en Europa en el siglo XVII . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.8.2. Clculo de tangentes y de valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . 3076.8.2.1. El mtodo de mximos y mnimos de Fermat . . . . . . . . . 3076.8.2.2. El mtodo de las tangentes de Fermat . . . . . . . . . . . . . 308

6.8.2.3. El mtodo de Roberval y de Torricelli para las tangentes . . . 3116.8.2.4. El tringulo diferencial de Barrow . . . . . . . . . . . . . . 312

6.8.3. Los inventores del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3146.8.4. Newton y el clculo de fluxiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3146.8.5. Leibniz y el clculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3196.8.6. Desarrollo del clculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7. Sucesiones 3257.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3257.2. Sucesiones de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7.2.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden de R . . . . . . . . . . 330

7.2.3. Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

7.2.3.1. El nmero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R . . . . . . . . . . 334



ndice general VIII

7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de BolzanoWeierstrass . . . . . . . . . 3357.2.6. Condicin de Cauchy. Teorema de completitud de R . . . . . . . . . . 3387.2.7. Lmites superior e inferior de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . 3397.2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3407.2.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . 3607.3.1. Sucesiones y lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

7.3.2. Sucesiones asintticamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3657.3.3. Sucesiones de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366


7.4. Sucesiones de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3797.4.1. Definicin de la exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3807.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3817.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . . 3827.6. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

8. Integral de Riemann 3868.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3868.2. Aproximaciones al rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

8.2.1. Definicin y propiedades bsicas de la integral . . . . . . . . . . . . . 391

8.2.2. El Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3978.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.3. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 404

8.4. Teoremas del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4068.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real . . . . . . . . . 409


8.6. Tcnicas de clculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4278.6.1. Calcular una primitiva...Para qu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

8.6.2. Observaciones sobre la notacin y terminologa usuales . . . . . . . . . 428



ndice general IX

8.6.3. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

8.6.4. Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4308.6.4.1. Integracin por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

8.6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4358.6.6. Integracin por sustitucin o cambio de variable . . . . . . . . . . . . 4368.6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4378.6.8. Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

8.6.8.1. Mtodo de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . 4388.6.8.2. Mtodo de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

8.6.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4428.6.10. Integracin por racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.6.10.1. Integracin de funciones del tipo R.sen x; cos x/ . . . . . . . 443

8.6.10.2. Integrales del tipow

Rx; L.x/r ; L.x/s; : : :

dx . . . . . 445

8.6.10.3. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

8.6.10.4. Integrales del tipow

R.ex/ dx . . . . . . . . . . . . . . . . 446

8.6.10.5. Integracin de funciones del tipo R.x;p

ax2 C bx C c/ . . 4478.6.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4508.6.12. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

8.7. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4638.7.1. Clculo de reas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

8.7.1.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4658.7.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4678.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4698.7.4. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

8.7.4.1. rea encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 4768.7.4.2. reas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 476

8.7.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4788.7.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

8.7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4798.7.8. Volmenes de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolucin . . . . . . . . . . . . . 481

8.7.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483



ndice general X

8.7.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4848.7.11. rea de una superficie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4858.7.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4868.7.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

8.8. Evolucin de la idea de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4998.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemticas griegas . . . . . . . . . . 499

8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parbola por Arqumedes . . . 5008.8.1.2. El Mtodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5038.8.1.3. rea de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

8.8.2. La integracin antes del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5068.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . 5068.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . . . . . . . . . . 5078.8.2.3. Parbolas e hiprbolas de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 5088.8.2.4. La integracin aritmtica de Wallis . . . . . . . . . . . . . . 5098.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow . . . . . . . . . . . . . 512

8.8.3. La relacin fundamental entre cuadraturas y tangentes . . . . . . . . . 5138.8.3.1. El Teorema Fundamental del Clculo segn Newton . . . . . 5138.8.3.2. La invencin del calculus summatorius por Leibniz . . . . . 514

9. Series numricas 5189.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

9.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . . . . . 5229.1.2. Propiedades bsicas de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . 5259.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5269.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

9.2. Criterios de convergencia para series de trminos positivos . . . . . . . . . . . 5339.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5429.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

9.3. Criterios de convergencia no absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5569.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5609.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta . . . . . . . . . . . 5639.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567



ndice general XI

9.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5679.5. Expresin de un nmero real en base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5709.6. Series de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575


9.7. Clculo elemental der C1

0sen x

xdx y de

P1nD1

1n2

. . . . . . . . . . . . . . . 578

10. Sucesiones y series de funciones 58110.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58110.2. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

10.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58410.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58610.2.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59810.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias . . . . . . . . . . . . 599

10.3.1.1. Clculo del radio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 600

10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales . . . . . . . . . 60410.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidas por series . . . . . . 611

10.4.1.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

10.4.1.2. Las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 61210.5. Teorema de aproximacin de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614


10.6. Los primeros desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65910.6.1. Newton y las series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660



Indice de figuras

1.1. El pentagrama pitagrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. La funcin f .x/D x3 4x2 C x C 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2. Funcin logaritmo de base a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3. Funcin exponencial de base a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4. La circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. La funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6. La funcin seno en

2;

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7. La funcin arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.8. La funcin coseno en 0; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.9. La funcin arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.10. La funcin tangente en 2;

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.11. La funcin arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.12. La funcin seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.13. La funcin coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.14. La funcin tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.15. La funcin argumento seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.16. La funcin argumento coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.17. La funcin argumento tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.18. Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.19. Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

XII

ndice de figuras XIII

2.20. John Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1. Representacin de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2. Suma de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3. Forma polar de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4. Argumento principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5. Races novenas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6. Igualdad del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7. rea de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.8. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.9. Composicin de movimientos armnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.10. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1. Funcin parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2. La funcin xE.1=x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3. Visualizacin de la demostracin del teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . 130

4.4. La funcin f .x/D sen.1=x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.1. Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.2. al-Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.3. Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4. Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.5. Vite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6. Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7. Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.8. Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.9. DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.10. Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.11. Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.12. Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.13. Rueda de Aristteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.14. Exgonos de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.15. Paradoja circunferencia-punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.16. Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.17. Contando N N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196



ndice de figuras XIV

5.18. Unin numerable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.1. Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.3. Depsito cnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.4. Cruce de barcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.6. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.7. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.8. Regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.9. Funcin cncava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.10. Funcin convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.11. Clculo de la subtangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

6.12. Clculo de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.13. Tangente a la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126.14. Tringulo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

6.15. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3146.16. Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3196.17. Tringulo caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

6.18. Aproximacin de una cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7.1. Puntos de sol y de sombra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.1. Conjunto ordenado G.f; a; b/ de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3888.2. Partes positiva y negativa de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3898.3. Aproximacin por sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

8.4. Aproximacin del rea por sumas inferiores y superiores . . . . . . . . . . . . 3918.5. Funcin montona con infinitas discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . 3968.6. Logaritmo de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.7. Aproximacin al rea de una regin de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4648.8. Ejemplo de regin de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4658.9. Aproximacin al rea de una regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4668.10. Ejemplo de regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4678.11. Simtrica de la figura 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

8.12. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475



ndice de figuras XV

8.13. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4758.14. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4758.15. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4758.16. Una curva de Lissajoux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4768.17. Una curva cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4768.18. Aproximacin por sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

8.19. Rosa de 8 ptalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

8.20. Aproximacin por poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4798.21. Clculo del volumen por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

8.22. Mtodo de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

8.23. Mtodo de las lminas o tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

8.24. Superficie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4858.25. rea de una regin limitada por dos elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4898.26. Cuadratura de un rectngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4998.27. Cuadratura de un segmento de parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018.28. El Mtodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5038.29. Cuadratura de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5058.30. Cuadratura de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5078.31. Cuadratura de la hiprbola de Fermat y D x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5088.32. Comparando indivisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5108.33. Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5128.34. z D z.x/D rea OPB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5138.35. reas complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

10.1. Esp

2D 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58310.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58410.3. Interpretacin grfica de la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 587

10.4. Cuadraturar 1=40

px x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663



Prologo

Este libro est escrito pensando en un estudiante real que tambin es, en algunos aspectos,un estudiante ideal. Es un estudiante llegado hace poco a la Universidad, quiz recin llegado,que cursa estudios en alguna ingeniera o licenciatura cientfico tcnica y debe enfrentarse auna difcil asignatura de clculo diferencial e integral. Debe ser difcil, porque son muy pocosquienes logran aprobarla en un slo ao y es muy alto el porcentaje de abandono. Con estelibro quiero ayudarle en sus estudios de Clculo o Anlisis Matemtico, no solamente para quelogre una buena calificacin sino para que saque de ellos el mayor provecho e incluso aprendaa disfrutarlos.

Se trata, digo, de un estudiante real porque llega a la Universidad con importantes carenciasde las que l puede no ser consciente y de las que no es del todo responsable. Es muy posibleque nunca haya visto una demostracin matemtica, que no sepa distinguir entre hiptesis ytesis, que no entienda el significado de que las matemticas son una ciencia deductiva. Tienepoca agilidad en los clculos con las operaciones bsicas y comete frecuentes errores al in-tentar simplificarlos, puede calcular derivadas pero lo hace con dificultad porque tiene que irpensando cada paso y no ha automatizado el proceso, por eso solamente sabe calcular algunasprimitivas muy sencillas. Est acostumbrado a realizar ejercicios muy elementales en los que sedebe aplicar de forma mecnica una regla recin aprendida. No est acostumbrado a relacionarconceptos y clasifica sus conocimientos en reas disjuntas: clculo, lgebra, probabilidad: : :

Pero estas carencias, con ser graves, no son las peores porque son especficas de una ma-teria y podran solucionarse con facilidad si no vinieran acompaadas por otras mucho msperjudiciales porque afectan a todo el proceso de aprendizaje. Me refiero a la falta de hbitosde estudio, a la pobreza y muy deficiente uso del lenguaje hablado y escrito con la consiguientedificultad para pensar y expresarse correctamente, a la poca prctica de la lectura comprensi-va, a la escasa capacidad de concentracin, al poco valor que se da a la memorizacin de loestudiado.

Si a este cuadro aadimos que vivimos en una sociedad que valora ms el xito, identifica-do casi exclusivamente con el xito econmico, que el esfuerzo; el apresuramiento compulsivo,hay que ir a toda velocidad aunque so sepamos a dnde, que la constancia y la dedicacin; el

XVI

Prlogo XVII

gregarismo unnime que el pensamiento crtico e independiente, la autocomplacencia que laexigencia : : : La conclusin es que no son buenos tiempos para el estudio. Adems, los jvenesestn permanente solicitados por todo tipo de reclamos publicitarios, adulados hasta la desver-genza por polticos y pedagogos que les venden un mensaje falso que en su esencia viene adecir que no son responsables de sus actos: si suspenden, les dicen que es porque el profesorno ha sabido motivarlos para que estudien; si despus de un botelln de fin de semana, o de unafiesta de la primavera o de un da de la cruz, las calles amanecen convertidas en un albaal porla suciedad acumulada durante la noche, el argumente apropiado para disculpar tan incvicocomportamiento es el de un supuesto derecho a la diversin. Estos polticos y pedagogos pare-cen haberse puesto de acuerdo para propiciar que los jvenes vivan en una permanente niez,acreedora de todos los derechos pero sin obligaciones ni responsabilidades. Y, para acabar, labazofia, mezquindad, zafiedad y mal gusto de algunos programas de televisin contribuyen deforma notable a difundir el mensaje de que todo vale: puedes vender tus entraas en uno deesos programas o demostrar tu absoluta ignorancia sin temor a hacer el ridculo porque as lohacen la mayora de quienes participan en ellos. Qu aoranza de aquellos programas en losque el saber ocupaba lugar!

El estudiante al que me dirijo es real porque es vctima de este sistema y tambin, puedeque sin tener clara conciencia de ello, porque contribuye a su mantenimiento. Cada vez esms difcil conjugar juventud y lucidez. Pero tambin es un estudiante ideal porque valora elestudio, quiere prepararse para ejercer eficazmente una profesin y ser til a los dems y tieneganas de aprender. Lector, si este no es tu caso, si lo que quieres es solamente aprobar y notienes curiosidad ni ests interesado en aprender, mejor que no sigas leyendo, este libro noes lo que buscas. Pero si no es as, confo en que las pginas que siguen sean tiles para queprogreses adecuadamente en tus estudios de clculo, porque lo nico que se necesita para elloes, adems del inters y las ganas de aprender, una capacidad bsica lgico deductiva que sinduda tienes.

El contenido de este libro no ofrece sorpresa alguna y responde a un acuerdo general tcitode lo que debe constituir un curso bsico de Clculo de funciones de una variable. La novedad,si la hay, habr que buscarla en el estilo, en la exposicin, en la gran cantidad de ejemplos yde ejercicios, en la minuciosa presentacin de los conceptos y de sus relaciones. Comentarseguidamente algunos de estos aspectos.

Este libro est escrito en un estilo deliberadamente sencillo, he querido huir del estilo pe-dante que se impuso hace algunos aos y que todava perdura en casos aislados. Escribir mate-mticas es un arte que se va aprendiendo poco a poco y, aunque no es ajeno a las modas, tieneunas reglas bsicas que deben ser respetadas en cualquier circunstancia. Realmente se trata deuna sola regla debida a Nicols Boileau (1636 - 1711) que dice as lo que bien se concibebien se expresa con palabras que acuden con presteza. Que las palabras acudan con mayor omenor presteza es algo anecdtico, pero lo que es indudable es que si algo no se concibe bienes imposible expresarlo con claridad. La primera condicin necesaria para escribir matemticases entender con todo detalle, a ser posible desde varios puntos de vista diferentes y con distintogrado de generalidad, la gnesis y evolucin de los conceptos que se exponen, las sutilezas ydificultades de comprensin que encierran, los errores ms frecuentes en su interpretacin. Esacondicin necesaria no es suficiente. Hay que exponer esos conceptos con palabras comprensi-bles para el lector a quien se dirigen, evitando tecnicismos innecesarios, y ello sin dejar de serclaro y preciso.



Prlogo XVIII

Este libro est escrito un poco igual que se explica en clase delante de la pizarra, me hepuesto en el lugar de un hipottico estudiante medio algo despistado y me hago eco de suspresumibles dudas, preguntas y confusiones, e intento explicar esas dudas, responder a las pre-guntas y aclarar las confusiones. Confo en que los muchos aos que he dedicado a la docenciaen el primer curso de distintas licenciaturas e ingenieras me hayan permitido saber ponermeen tu lugar y cumplir este empeo con decoro. Por todo eso creo que este libro te permitirestudiar por ti mismo y te ayudar a comprender de forma correcta los conceptos principalesdel Clculo.

Este libro incluye una coleccin de ejercicios muchsimo ms amplia que lo que suele serusual en un libro de texto. De hecho este libro es tambin un libro de problemas de Clculoy, se me disculpar la inmodestia, creo que hay muy pocos libros de ejercicios de Clculo queincluyan una coleccin tan variada de ejercicios y, sobre todo, que propongan tantos ejerciciosno triviales y desarrollen las soluciones con detalle. Los libros de ejercicios de Clculo danmuchas veces la impresin de que la teora solamente sirve para proporcionar un conjunto derecetas que despus hay que aplicar, sin acabar nunca de entender bien por qu se elige unareceta y no otra y sin entender el fundamento que hace que la receta funcione.

Mi intencin ha sido escribir un libro de Clculo que sea til tanto para el futuro matemticocomo para el futuro ingeniero, pero cada uno debe leer el libro de la forma adecuada a susintereses y necesidades. Para ambos ser de gran utilidad la extensa coleccin de ejerciciosy de ejemplos, pero uno habr de prestar mayor atencin a los fundamentos tericos y a lasdemostraciones y otro a las tcnicas de clculo y de resolucin de diversos tipos de ejercicios.Al final de este prlogo propongo dos posibles guas de lectura.

Digamos algo sobre las demostraciones. Claro est que razonar y demostrar son aspectosfundamentales de las matemticas, pero s que el valor que las demostraciones tienen paralos estudiantes es muy relativo. El empeo en demostrarlo todo puede ser contraproducente yconstituir un freno en el progreso de muchos estudiantes. Las demostraciones interesantes sonlas que contienen ideas que se repiten en otras situaciones semejantes, no deben ser extensas,deben ser elegantes y demostrar resultados importantes que se van a usar con frecuencia. Cuan-do empec este libro mi intencin era incluir muy pocas demostraciones, al final, para lograrla autonoma del texto he incluido muchas ms de lo que inicialmente pensaba. Mi deseo eraequilibrar un desarrollo intuitivo con uno lgico deductivo, confo en no haberme desviado mu-cho de este objetivo. Toda ayuda a la intuicin me parece loable, en este sentido, siempre que lohe credo conveniente, no he dudado en incluir una figura para facilitar la comprensin de unadefinicin o de una demostracin. Pero tambin quiero decir respecto de algunas demostracio-nes que pueden parecer muy complicadas (como los teoremas 4.13 y 4.29 de los que tambindoy versiones ms sencillas 7.54 y 7.55), que las cosas complicadas son complicadas, que nose debe renunciar al razonamiento correcto por el hecho de que sea complicado, los detallesson importantes, en matemticas no todo vale.

He concedido toda la importancia que merece al desarrollo y evolucin histrica de los prin-cipales conceptos del Clculo. He incluido apuntes histricos, mucho ms amplios de lo usualen textos de estas caractersticas, sobre la evolucin de los conceptos de nmero y magnitud,lmite y funcin, derivadas e integrales, as como al concepto de infinito y a la algebraizacindel Anlisis llevada a cabo en el ltimo tercio del siglo XIX. Incluso hay un captulo, el quinto,cuyo ttulo Nmeros y lmites. El infinito matemtico deja bien claro cul es su contenido.Naturalmente, nada de original hay en dichas notas histricas pues no he consultado fuentes



Prlogo XIX

originales, y su posible valor est en la particular ordenacin y exposicin que he llevado acabo. Mi propsito al escribirlas ha sido presentar la gnesis de los conceptos matemticos ensu contexto, su titubeante y confusa evolucin, las discrepancias sobre el significado de losmismos... En una palabra, proporcionar al estudiante una visin de la matemtica viva.

Con frecuencia los estudiantes tienen la idea de que las matemticas son algo cerrado yacabado, un conjunto de verdades eternas e inmutables de una fra perfeccin que se transmi-ten dogmticamente de generacin en generacin y donde no hay lugar para la sorpresa ni lapasin. Nada ms lejos de la realidad. La historia de las matemticas demuestra que el queha-cer matemtico, la creacin matemtica, est muy lejos de esa fra perfeccin formal lgico deductiva, que la intuicin, la induccin, los procedimientos heursticos son quiz ms im-portantes para el avance de las matemticas que el razonamiento deductivo. La historia de lasmatemticas muestra cmo los conceptos nacen para responder a problemas concretos de cadapoca, cmo esos mismos conceptos llevan a reformular posteriormente los problemas des-de perspectivas ms generales, en un avance que no siempre es una lnea recta, con intentosfallidos, con controversias y desacuerdos.

La historia pone tambin muy claramente de manifiesto que las matemticas son un saberacumulativo. Esto tiene una particular importancia para el aprendizaje, quiere decir que paraestudiar y avanzar en matemticas la memoria es mucho ms importante de lo que usualmentese cree. La efmera memoria de los estudiantes que llegan a la Universidad, que con frecuenciahan olvidado lo que alguna vez aprendieron de matemticas, es una de las grandes dificultadesque debemos afrontar los profesores.

Un aspecto notable del libro es la atencin que dedico a los persistentes errores en matem-ticas que suelen tener casi todos los estudiantes al llegar a la Universidad. Confo en que misobservaciones al respecto sean tiles no slo para los estudiantes sino tambin para los pro-fesores de matemticas de las Enseanzas Medias. Tambin expongo algunas opiniones muycrticas con la forma en que tradicionalmente se explican algunos temas en la Universidad, estoafecta muy especialmente al estudio de los nmeros complejos y de las funciones elementalescomplejas y de las series, para los que hago propuestas que creo que deben ser tenidas muy encuenta.

Granada, septiembre de 2008



Guas de lectura XX

Guas de lectura

El Captulo 5 y los diversos complementos de contenido histrico solamente debes leerlossi te gustan. La nica forma de saber si te gustan es que empieces a leerlos, y si cuando llevesdos pginas sigues interesado en la lectura seguramente llegars hasta el final.

Los captulos 1 y 2 deben ser ledos con detenimiento. No hay en ellos demostracionesque merezcan ese nombre. En el Captulo 1 se dan definiciones bsicas cuyo conocimiento esimprescindible para leer todo lo dems. En el Captulo 2 se define el importantsimo conceptode funcin y se estudian, desde un punto de vista descriptivo, las funciones elementales. Elconocimiento de dichas funciones es absolutamente necesario para leer el resto del libro yrealizar ejercicios.

Para estudiantes orientados hacia ingenieras cuyo inters por las matemticas esde tipo instrumental

El Captulo 3 est dedicado a los nmeros complejos y a las funciones complejas elemen-tales. Solamente t puedes saber si necesitas estudiarlo. Si decides omitirlo puedes hacerlo contranquilidad.

El Captulo 4 est dedicado a dos importantes conceptos: el de continuidad y el de lmi-te funcional. Son conceptos de importancia terica y necesarios para hacer ejercicios. Debesestudiar y entender las definiciones y resultados pero no es necesario que leas las demostra-ciones. El concepto de extremo superior tiene inters desde un punto de vista formativo, paraque comprendas que se precisa alguna herramienta que permita probar ciertas afirmaciones deapariencia evidente (o no tan evidente). Muchos libros de Clculo orientados hacia la ingenie-ra omiten este concepto. No es un concepto imprescindible para un futuro ingeniero, pero esbueno que sepas de su existencia y tengas una idea de su utilidad y lo que significa.

El Captulo 6 estudia las derivadas y sus aplicaciones. Creo que debes leerlo todo incluidaslas demostraciones de los resultados principales porque son cortas y fciles de entender, con laexcepcin, quizs, de las demostraciones de las Reglas de LHpital, no porque sean difcilessino porque son algo largas. Pero debes leer la explicacin de por qu dichas reglas funcionan.Son muy tiles y mi impresin es que se usan como un recurso casi mgico, sin entender bienlo que se est haciendo. La seccin en la que se explican tcnicas para calcular lmites defunciones debes leerla hasta que memorices los lmites bsicos que all se indican y entiendasbien los procedimientos que se exponen.

El Captulo 7 est dedicado al estudio de las sucesiones. Debes aprender y comprenderbien las definiciones y lo que dicen los principales teoremas pero, salvo la demostracin deque toda sucesin montona acotada es convergente, no es necesario que leas ninguna otrademostracin. Los resultados relativos a la condicin de Cauchy son una herramienta tericafundamental, pero quizs un ingeniero puede prescindir de ellos. La seccin en la que se ex-plican tcnicas para calcular lmites de sucesiones y para resolver las indeterminaciones msusuales, debes leerla hasta que memorices los lmites bsicos que all se indican y entiendasbien los procedimientos que se exponen. Las sucesiones que definen al nmero e y las de-sigualdades asociadas con dichas sucesiones son muy tiles, debes memorizarlas y aprender areconocerlas all donde aparezcan. La continuidad uniforme es algo de lo que puedes prescindir



Guas de lectura XXI

con tranquilidad.

El Captulo 8 es muy extenso, en l se estudia la integral de Riemann que es la integral usualdel Clculo, las integrales impropias, el clculo de primitivas y las aplicaciones del clculointegral. Con la excepcin de las demostraciones del Teorema Fundamental del Clculo y dela Regla de Barrow, no es necesario que leas otras demostraciones. Procura entender bien ladefinicin de integral y sus propiedades as como el significado del Teorema Fundamental delClculo. Todo el tiempo que dediques, y tendrs que dedicar muchas horas, a practicar lastcnicas de clculo de primitivas ser ampliamente recompensado. Calcular primitivas es algoque hay que hacer con muchsima frecuencia: en todas las aplicaciones de la integral tienes quecalcular una primitiva.

El Captulo 9 est dedicado al estudio de las series numricas. Es importante que aprendasy comprendas bien las definiciones principales. Hay muchsima confusin en este tema y loslibros que conozco sirven de poca ayuda. Las demostraciones de este captulo puedes omitirlassalvo las de los criterios de convergencia para series de trminos positivos que son cortas yfciles de entender. Las tcnicas para sumar algunos tipos de serie debes estudiarlas, as comoel criterio de Leibniz para las series alternadas. El apartado dedicado a la expresin de unnmero real en una base b 2Z merece que lo leas, aunque solamente sea un poco por encima,para saber lo que dice y para aclararte de una vez con eso de los decimales infinitos con infinitascifras que no se repiten.

El Captulo 10 estudia la convergencia puntual y uniforme de sucesiones y series de fun-ciones. El concepto de convergencia puntual es muy sencillo, no lo es tanto el de convergenciauniforme y puede que un ingeniero no necesite estudiarlo con detenimiento. Es bueno que se-pas para qu sirve y que muchas operaciones que consisten en permutar el lmite funcional conla integracin o con la derivacin requieren para su plena justificacin un tipo de convergenciamejor que la puntual. Las series de potencias debes estudiarlas con detalle, omitiendo quizsalgunas demostraciones. Su estudio es importante y muy til a efectos de clculo. Los desarro-llos en serie de potencias de las funciones elementales, y la definicin por series de potenciasde las funciones exponencial y trigonomtricas debes estudiarlos bien. Lo que dice el teoremade aproximacin de Weierstrass es muy fcil de entender, pero puedes omitir su demostracin.

La parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizacinde ejercicios. He incluido una extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayu-da para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar resolver algunos de losejercicios propuestos empezando por los que te parezcan ms fciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado medio de dificultad: no son triviales para no ofender a tu inteligen-cia ni demasiado difciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los ms difcilesestn resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los conceptos eideas bsicas, as como el significado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios.

Para estudiantes de matemticas y fsica

Todo lo dicho arriba se mantiene con algunos aadidos:

El Captulo 3 debes estudiarlo y entenderlo bien. Los conceptos bsicos de los nmeros



Guas de lectura XXII

complejos estn muy confusamente expuestos en gran nmero de textos y las funciones com-plejas elementales son definidas con frecuencia de una forma poco correcta.

En el Captulo 4 debes estudiar y comprender bien las definiciones de extremo superiore inferior. Debes hacer ejercicios hasta que te convenzas de que sabes usarlas con soltura. Ladiferencia entre un curso de Clculo y uno de Anlisis Matemtico est en los conceptos desupremo e nfimo. Los libros de Anlisis Matemtico siempre los incluyen, los de Clculo casinunca. No es preciso, al menos en una primera lectura, que estudies la demostracin del teo-rema de valores mximos y mnimos de Weierstrass, en el Captulo 7 hay otra demostracinalternativa de dicho teorema que es mucho ms fcil. Debes estudiar y comprender la demos-tracin del teorema de Bolzano y sus consecuencias, as como las relaciones entre monotonae inyectividad.

Para el Captulo 6 te doy los mismos consejos que arriba. En una segunda lectura debesestudiar la demostracin de las reglas de LHpital.

El Captulo 7 estudia las sucesiones numricas. Mantengo los mismos consejos de arri-ba pero, adems, en una segunda lectura debes estudiar las demostraciones de los resultadosprincipales, especialmente el teorema de completitud de R. Por supuesto, debes estudiar lacontinuidad uniforme.

Para el Captulo 8 mantengo los mismos consejos de arriba con el aadido de que estudieslas demostraciones de integrabilidad de funciones continuas y de funciones montonas.

En el Captulo 9 puedes omitir la demostracin de la segunda parte del teorema 9.14 perodebes entender lo que se afirma en el mismo. Lo dems debes estudiarlo todo. El tema de lasseries es muy importante para matemticos y fsicos.

El Captulo 10 es de estudio obligado para matemticos y fsicos. La convergencia uniformees tu primer encuentro con algunos conceptos que sern ampliamente generalizados en otroscursos, el tiempo que dediques a su estudio y a la comprensin de sus sutilezas estar bienempleado. Todos los teoremas de este Captulo tiene demostraciones sencillas y cortas quedebes estudiar. El teorema de aproximacin de Weierstrass es tambin uno de esos resultadoscuya generalizacin se estudia en cursos ms avanzados, debes entender bien lo que dice y noest de ms que leas la demostracin. Por lo dems, mantengo los consejos dados arriba.

La parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizacinde ejercicios. He incluido una extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayu-da para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar resolver algunos de losejercicios propuestos empezando por los que te parezcan ms fciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado medio de dificultad: no son triviales para no ofender a tu inteligen-cia ni demasiado difciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los ms difcilesestn resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los conceptos eideas bsicas, as como el significado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios.



Captulo1Axiomas de R. Principio de induccion

Dios cre los nmeros naturales, lo dems es obra de los hombres.L. Kronecker

1.1. Introduccin

Los temas tradicionales del Clculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadase integrales, las sucesiones y las series. T ya debes saber algo de todo eso. En principio, pare-cen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base comn, que es, precisamente, delo que nos vamos a ocupar en este Captulo. Me estoy refiriendo a los nmeros reales que repre-sentamos por R. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los nmeros reales. Sabes quese pueden sumar y multiplicar y que hay nmeros reales positivos y negativos. Tambin puedesextraer races de nmeros reales positivos y elevar un nmero real positivo a otro nmero real.Lo que quizs no sepas es que todo lo que puedes hacer con los nmeros reales es consecuenciade unas pocas propiedades que dichos nmeros tienen que, adems, son muy elementales. Eneste Captulo estableceremos dichas propiedades. Sern nuestro punto de partida para todo loque sigue; constituyen los axiomas del Clculo. Te advierto que no voy a decrtelo todo,voy a guardarme una carta en la manga que te mostrar ms adelante cuando su necesidad seamanifiesta (si echas algo en falta, ve al Captulo 4).

1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.

Al terminar este apartado, entenders el significado de la frase de Bertrand Russell que fueuno de los ms grandes matemticos y filsofos del siglo XX.

La matemtica pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qu est hablandoni si lo que est diciendo es verdad.

1

Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 2

Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sites en su contexto apro-piado. Esto ya lo haces de forma automtica en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que unproblema de lgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lositas en lgebra y al segundo en Clculo de Probabilidades. Pero no siempre las cosasson tan claras, no siempre tienes un marco de referencia tan explcito. Para que sientas lo quequiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se suponeque x;y son nmeros reales.

1. Prueba que 0 x D 0.2. Prueba que .x/y Dxy.3. Prueba que si x 0 entonces x2 > 0.

Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los nmeros quehas olvidado cundo las aprendiste. Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tureaccin que demuestre que 0 x D 0?, pero si eso es evidente! siempre me han dicho que esas! cmo se puede demostrar tal cosa?.

Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio est en que no sabes qu es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situacioneslo ms frecuente es quedarse colgado con la mente en blanco sin saber qu hacer.

Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que vaa consistir en unas propiedades de los nmeros axiomas, si quieres llamarlas as que vamosa aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglasde inferencia lgica usuales y con definiciones apropiadas nos permitirn demostrar resultados(teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.

Simplificando un poco, puede decirse que en matemticas no hay nada ms que axiomasy teoremas (bueno, tambin hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que sedemuestra es un teorema; por ejemplo 0 x D 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teoremase reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzollegar a probarlos. Se usan tambin los trminos: corolario, lema, proposicin y otros. Perola estructura de una teora matemtica elaborada se resume en un conjunto de axiomas y deteoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lgica.

Los axiomas de una teora matemtica proporcionan el marco de referencia ms general dedicha teora. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teora empieza a caminary se demuestran los primeros resultados ms bsicos, es frecuente recurrir de forma explcitaa los axiomas. Ms adelante, cuando la teora va avanzando, los axiomas no suelen citarse contanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados ms elaborados previamente demostrados.Pero los axiomas siempre estn presentes aunque sea de forma discreta y no ostensible.

Entre las particularidades que distinguen a las Matemticas de las dems ciencias hay unamuy especial: las Matemticas avanzan dando definiciones. Las definiciones no son nuevosaxiomas. Una definicin lo que hace es introducir un trmino nuevo y establece cmo dichotrmino se expresa en funcin de los axiomas de la teora. Por ejemplo, la definicin de con-tinuidad se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas deorden de R.



Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 3

Quiero tambin decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lgicas usua-les. Me limitar a la ms importante: la implicacin lgica. Los teoremas matemticos tienencasi siempre la siguiente estructura: se parte de una hiptesis y de ella se deduce una tesis.Entremos en detalles. La hiptesis es siempre alguna propiedad matemtica; por ejemplo, fes una funcin continua en un intervalo. La tesis tambin es una propiedad matemtica; porejemplo, la imagen de f es un intervalo. Representemos por H la hiptesis y por T la tesis.Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hi-ptesis H . No es ni verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos particularizarla funcin f .

Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemticas las hiptesis son verdade-~ras.

Ahora te preguntars, si H no es verdadera ni falsa, qu quiere decir que H implica To, equivalentemente, que T se deduce o es consecuencia de H? La respuesta es: H implicaT quiere decir que siempre que H sea verdadera tambin T es verdadera. Observa que noestamos afirmando (no tiene sentido) que H o T sean verdaderas sino que cuando H es verda-dera tambin lo es T . Con ms precisin, demostrar que H implica T consiste en probar que laproposicin HT es cierta. Teniendo en cuenta que la proposicin HT es la disyuncinlgica (noH )_T , resulta que si H es falsa entonces HT es verdadera (por eso se dice quede una hiptesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y si H es verdadera entonces para queHT sea verdadera tiene que ocurrir que T sea verdadera. En consecuencia, si sabemos queH es verdadera y que HT es verdadera, deducimos que T es verdadera.

Ahora puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.

La matemtica es la ciencia ms exacta, y sus conclusiones son susceptibles dedemostracin absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemtica nointenta obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemticas son rela-tivas, condicionales.

Tambin comprendes ya el significado de una parte de la enigmtica frase de Bertrand Russelldel principio: en matemticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dichafrase queda por aclarar.

Recuerdas los axiomas de la geometra elemental? En dichos axiomas se establecen pro-piedades que se supone satisfacen ciertos objetos llamados punto,recta y plano. Pero nose dice nunca lo que es un punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la seccinsiguiente estableceremos los axiomas de los nmeros reales, pero no diremos lo que es un n-mero real. En matemticas nunca decimos cul es la naturaleza concreta de los objetos conlos que trabajamos! Sucede que la intuicin nos lleva muchas veces a una interpretacin na-tural de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretacin natural no est disponible. Y, loms interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teora matemtica.Precisamente, las matemticas son una ciencia abstracta porque trabaja con cosas abstractascuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan las relaciones que hayentre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qu afirma BertrandRussell que en matemticas no sabemos de lo que hablamos.



Axiomas de los nmeros reales 4

1.2. Axiomas de los nmeros reales

1.2.1. Axiomas algebraicos

Como ya sabes, se distinguen distintas clases de nmeros:

Los nmeros naturales 1; 2; 3; : : : . El conjunto de todos ellos se representa por N.Los nmeros enteros : : : ;2;1; 0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa por Z.Los nmeros racionales que son cocientes de la forma p=q donde p 2 Z; q 2 N, cuyo

conjunto representamos por Q.Tambin conoces otros nmeros como

p2, , o el nmero e que no son nmeros racionales

y que se llaman, con una expresin no demasiado afortunada, nmeros irracionales. Puesbien, el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionales se llama conjunto delos nmeros reales y se representa por R.

Es claro que N Z Q R.Aunque los nmeros que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la

pena, al menos por ahora, preocuparse por cmo son estos nmeros; sino que lo realmenteinteresante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del nmero p2 es que su cuadradoes igual a 21.

Pues bien, una de las cosas ms llamativas de los nmeros es que a partir de un pequeogrupo de propiedades pueden deducirse casi todas las dems. Vamos a destacar estas propie-dades bsicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que sepueden hacer con los nmeros: la suma y el producto. La suma de dos nmeros reales x;y seescribe xCy, representndose el producto por xy. Las propiedades bsicas a que nos referimosson las siguientes.

P1 Propiedades asociativas. Para todos x;y; z en R:

.x C y/C z D x C .y C z/ I .xy/z D x.yz/

P2 Propiedades conmutativas. Para todos x;y en R:

x C y D y C x I x y D yx

P3 Elementos neutros. Hay dos nmeros reales distintos que representamos por 0 y 1tales que para todo x2R se verifica que:

0C x D x 1x D x

P4 Elementos opuesto e inverso. Para cada nmero real x hay un nmero real llamadoopuesto de x, que representamos por x, tal que x C .x/D 0:Para cada nmero real x distinto de 0, x 0, hay un nmero real llamado inverso de x,que representamos por x1, tal que xx1D 1:

1La seccin Nmeros y medida de magnitudes trata de la aparicin de los nmeros irracionales y su relacincon la medida de magnitudes



Axiomas de orden 5

P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y z para todos x;y; z en R.

Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellaspueden probarse cosas tan familiares como que 0xD0, o que .x/yD.xy/. Vamos a hacerlo.1.1 Proposicin. Se verifican las siguientes igualdades

0x D 0; .x/y Dx y; .x/.y/D xy :

Demostracin. Probaremos primero que 0x D 0. Por P5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como con-secuencia de P3 es 0 C 0 D 0. Obtenemos as que 0 x D 0 x C 0 x. Usando P4, sumamos elopuesto de 0 x a ambos lados de la igualdad 0 xD0 xC0 x y, usando tambin P1 (la propiedadasociativa), obtenemos que 0 x D 0.

Probaremos ahora que .x/yD.xy/. Tenemos que xyC.x/yD.xC.x//yD0 yD0.Donde hemos usado P4, P5 y el apartado anterior. La igualdad xy C .x/y D 0 nos dice, porP4, que .x/y es el opuesto de xy. Eso es justamente lo que queramos probar.

Finalmente, la igualdad .x/.y/D xy es consecuencia inmediata de la anterior. 2

El smbolo x debe leerse siempre el opuesto de x y no menos x. La razn es que~la palabra menos remite a una idea de orden (si hay menos es porque hay ms) y elsignificado de x es puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la queni siquiera hemos hablado an. No cometas el error de pensar que x es negativo!Notacin. Suele escribirse x y en vez de x C .y/. Tambin, supuesto y 0, se escribex=y o x

yen vez de x y1.

1.2.2. Axiomas de orden

Los nmeros tienen, adems de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelenllamarse propiedades de orden. Como sabes, los nmeros suelen representarse como puntos deuna recta en la que se fija un origen, el 0, de forma arbitraria. Los nmeros que hay a la derechade 0, se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por RC. Las propiedadesbsicas del orden son las siguientes.

P6 Ley de tricotoma. Para cada nmero real x se verifica una sola de las siguientes tresafirmaciones: x D 0, x es positivo, x es positivo.

P7 Estabilidad de RC. La suma y el producto de nmeros positivos es tambin un nmeropositivo.

1.2.2.1. Relacin de orden

Observa que en P6 se dice, en particular, que el 0 no es positivo, el 0 es el 0! Por otra parte,si x es un nmero positivo, entonces como x C .x/D 0 y el 0 no es positivo, concluimos,por P7, que x no es positivo. Los elementos del conjunto RD fx W x 2 RCg, es decir,los opuestos de los nmeros positivos, se llaman nmeros negativos. Observa que si z 2 Rentonces z2RC.



Desigualdades y valor absoluto 6

1.2 Definicin. Para x;y 2 R escribimos x < y (lase x es menor que y) o y > x (lase yes mayor que x) para indicar que y x 2 RC, y escribimos x 6 y o y > x para indicar quey x 2 RC [ f0g.

Notacin. En adelante usaremos las notaciones: RCo DRC[f0g, RoDR[f0g y RDRnf0g.1.3 Proposicin. Para todo x 0 se verifica que x2 > 0. En particular, 1 > 0.

Demostracin. Probaremos que si x 0 entonces x2 > 0. En efecto, si x 0 entonces, porP6, o bien x es positivo o bien x es positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de(1.1), es x2 D x x D .x/.x/, concluimos que x2 es positivo. En particular, tenemos que12 D 1 > 0. Acabamos de probar que 1 > 0!. 2

Tenemos ahora dos tipos de propiedades en R, las algebraicas P1-P5 y las de orden P6 yP7. En la siguiente seccin estudiamos cmo se relacionan entre s.

1.2.3. Desigualdades y valor absoluto

Las propiedades del orden de los nmeros reales son las que nos permiten trabajar condesigualdades. Es muy fcil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba-chillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fjate que algunos de los conceptosms importantes del Clculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definicin desucesin convergente o de lmite de una funcin en un punto). Por ello, tan importante co-mo saber realizar clculos ms o menos complicados, es aprender a manejar correctamentedesigualdades, y la nica manera de hacerlo es con la prctica mediante numerosos ejemplosconcretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales quegobiernan las desigualdades entre nmeros y asegurarse de que se usan correctamente. Apartede tales reglas no hay otros mtodos generales que nos digan cmo tenemos que proceder encada caso particular.

En el siguiente resultado el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedadesprincipales del orden de R. Son las que debers usar para trabajar con desigualdades.1.4 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x;y; z nmeros reales.

1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 z.

2. x 6 y e y 6 x implican que x D y.3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x < y, x D y, o y < x:4. x < y implica que x C z < y C z.5. x < y , z > 0 implican que xz < y z.

6. x < y , z < 0 implican que xz > y z.

7. xy > 0 si, y slo si, x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuenciasi x 0 es x2 > 0 y, en particular, 1 > 0.




8. z > 0 implica que 1z> 0:

9. Supuesto que x e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica que x < yimplica que 1

y 0. Si ahora es z > 0, tambin ser z.y x/ > 0, es decir,zy zx > 0 o, sea, zx < zy. Lo nico que hemos usado aqu ha sido la definicin de lossmbolos y algunas de las propiedades P1-P8. Un estupendo ejercicio para quecompruebes tus habilidades es que demuestres todas las afirmaciones del teorema anterior.

1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticas

La forma en que estn escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voya decirte por qu y para eso voy a tratar aqu un defecto en el que solemos caer al leer o estudiarmatemticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecnica, y por ello no es fcil deevitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Paraponerlo de manifiesto vamos a considerar un ejemplo. En uno de los ejercicios al final de estaseccin te propongo que pruebes que la igualdad

1

xC 1

yD 1

x C y (1.1)

nunca es cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digascundo es cierta la igualdad

1

x C y2 C1

zD 1

x C y2 C z (1.2)

Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). Si? No? Son la misma igualdad! Y, aques a dnde yo quera llegar, si no te parecen la misma igualdad es porque ests leyendo lossmbolos y no los conceptos, es porque ests leyendo las letras! Claro, me dirs, las letrasestn para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al significado de lo que se lee y noquedarse en la superficie de los smbolos. Los smbolos proporcionan mucha comodidad paraexpresar las ideas matemticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su significado,los smbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad(1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que la suma de dos inversos nunca esigual al inverso de la suma. Por tanto, la igualdad (1.2) jams puede darse pues es la mismaigualdad (1.1) en la que se ha sustituido x por x C y2 e y por z. Pero tanto x como x C y2son nmeros reales cualesquiera e igual ocurre con z e y. Te das cuenta del problema? No esigual retener la idea de que 1 dividido por x ms 1 dividido por y nunca es igual a 1 divididopor x C y que asimilar que la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma.En el primer caso los smbolos x e y tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultanel concepto: si te fijas demasiado en ellos no sabrs reconocer que (1.2) y (1.1) son la mismacosa.

Esto que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la mayora de loslibros de texto enuncian el teorema de Bolzano como sigue.




Sea f W a; b! R continua y verificando que f .a/f .b/ < 0. Entonces hay algnc 2 a; b tal que f .c/D 0.

Demasiadas letras f , a, b, c, demasiadas precisiones que lo que hacen es confundir y ocultarel resultado. La forma correcta de leer el enunciado anterior es: toda funcin continua en unintervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algn punto de dicho intervalo.Los teoremas deben enunciarse as, a ser posible sin smbolos. Yo procuro hacerlo siempreque el resultado lo permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo hagast. Por ejemplo, la propiedad 5) de dicho teorema debe leerse (y escribirse) en la forma: unadesigualdad se conserva al multiplicarla por un nmero positivo.

1.5 Estrategia. Traduce los smbolos en conceptos. Cuando leas matemticas presta atencin~a los conceptos y no retengas smbolos concretos.

1.6 Definicin. Se dice que un conjunto no vaco de nmeros reales, A R, tiene mximosi hay un nmero M 2A que es el mayor de todos los elementos de A, es decir, x 6M paratodo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos M D mKax A. Se dice que un conjunto no vacode nmeros reales, A R, tiene mnimo si hay un nmero m2A que es el menor de todos loselementos de A, es decir, m6 x para todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos mDmKn A.

Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero x2R se define como el nmero:

jx j D

x si x > 0x si x 6 0

Para trabajar con valores absolutos es til recordar la siguiente definicin.1.7 Definicin. 2. Para cada nmero z2RCo , representamos por

pz al nico nmero mayor o

igual que cero cuyo cuadrado es igual a z.

1.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosa

Acabamos de definir la funcin raz cuadrada. Ahora te propongo un juego: voy a ha-certe una pregunta que t vas a responder de forma inmediata diciendo lo primero que se teocurre. La pregunta es la siguiente: dime el valor de

px2. Por experiencia s que la mayora

de las veces la respuesta es x. Pues si esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer ladefinicin anterior y responde ahora de forma meditada. Confo en que ya tengas la respuestacorrecta que es jxj. En efecto, se tiene que jxj2D x2 y, adems, jxj> 0, por tanto jx j D

px2.

S por experiencia que muchos estudiantes tienen la idea de que la raz cuadrada de unnmero real positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos creen que pue-de tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que

px2 D fx;xg. Cosas ms ra-

ras se han visto. Toda esta magia lleva a situaciones bastante extraas. Por ejemplo, essabido que la distancia eucldea entre dos puntos .a; b/ y .c;d/ del plano viene dada porp.a c/2 C .b d/2. En particular, la distancia entre los puntos .a; b/ D .1; 2/ y .c;d/ D2Con las herramientas que ahora tenemos no podemos probar la existencia de races cuadradas




.1; 3/ esp.1 1/2 C .2 3/2 D

p.1/2 D1. Una distancia negativa? No, la raz cuadra-

da no es una funcin caprichosa y su definicin no deja lugar a dudas: la raz cuadrada de unnmero positivo es tambin un nmero positivo.

Sabes de dnde procede esta confusin tan extendida? Pues viene de muy atrs, de cuandoen la escuela se aprende (realmente se aprende?) a resolver la ecuacin de segundo gradoax2 C bx C c D 0 cuyas soluciones son los nmeros

b p

b2 4ac2a

(1.3)

Ah est el problema: en el confuso smbolo delante de la raz. Es eso lo que lleva a muchosa pensar que las races cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a laeleccin del sigo C, y otro negativo que corresponde a la eleccin del signo en la expresin(1.3). Lo ms lamentable es que toda esta confusin no es ms que producto de la pereza. Vers,cuando se aprende a resolver la ecuacin de segundo grado ax2C bxC cD 0 (realmente seaprende?) se obtienen las soluciones

b Cp

b2 4ac2a

;b

pb2 4ac

2a

Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores, por pereza, resumen las solucionesobtenidas en la expresin nica (1.3). Eso explica cosas bastante incomprensibles como, porejemplo, escribir Cp3 acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un nmero positivo y parecetotalmente improcedente escribir C7. Entonces, por qu escribir C

p3? Respuesta, porquep

3 es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se lellama magia matemtica, est bastante ms extendida de lo que puedes creer y no solamenteentre estudiantes. Confo en que te haya quedado claro sin lugar a dudas que

px2 D jxj y que

la raz cuadrada no es una funcin caprichosa.

La utilidad de la raz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguienteestrategia de procedimiento.

1.8 Estrategia. a) Para probar que dos nmeros positivos son iguales es suficiente probarque sus cuadrados son iguales.

b) Para probar una desigualdad entre dos nmero positivos es suficiente probar dicha de-sigualdad para sus cuadrados.

El enunciado anterior est hecho como a mi me gusta: con palabras y sin smbolos. Ponien-do smbolos, lo que se dice en el enunciado es que:

Dados a; b 2 RCo para probar que aDb es suficiente probar que a2Db2 y para~probar que a < b es suficiente probar que a2 < b2.

Todo lo dicho es consecuencia de que b2 a2 D .b a/.b C a/ y se tiene que b C a > 0.

Geomtricamente, jxj representa la distancia de x al origen, 0, en la recta real. De manera msgeneral:

jx yj D distancia entre x e yrepresenta la longitud del segmento de extremos x e y.



Ejercicios propuestos 10

1.9 Teorema (Propiedades del valor absoluto). Para x;y 2 R se verifica que:

i) jxj6 y es equivalente a y 6 x 6 y.ii) jx yj D jxjjyj.

iii) jx C yj 6 jxj C jyj y la igualdad se da si, y slo si, xy > 0 desigualdad triangular.iv) jjxj jyjj6 jx yj y la igualdad se da si, y slo si, xy > 0.

Demostracin. La primera afirmacin es consecuencia inmediata de la definicin de valorabsoluto. Para probar ii), iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8).

ii) Tenemos que jxyj2 D .xy/2 D x2y2 D jxj2jyj2 D .jxjjyj/2.iii) Tenemos que

jx C yj2D.xCy/2Dx2C2xyCy2Djxj2C2xyCjyj26jxj2C2jxyjCjyj2D.jxjCjyj/2

La igualdad se da si, y slo si, xy D jxyj, es decir, xy > 0.iv) Tenemos que

jjxj jyjj2 D x2 2jxyj C y2 6 x2 2xy C y2 D .x y/2 D jx yj2

La igualdad se da si, y slo si, xy D jxyj, es decir, xy > 0. 2

Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedades anteriores: no te fijes en las letrassino en los conceptos. La propiedad ii) debes leerla el valor absoluto de un producto es igualal producto de los valores absolutos. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas:

i) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos.ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y slo si,

todos los sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos.

1.2.4. Ejercicios propuestos

1. Sabes por qu no se puede dividir por 0?

2. Qu quiere decir que un nmero no es racional? Demuestra quep2 no es racional.3. Sabiendo que aC b > c C d; a > b; c > d I se verifica necesariamente alguna de las

desigualdades: a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo encada caso.



Ejercicios propuestos 11

4. Sea x un nmero real. Estudia si cada una de las desigualdades

x2 < x y x3 < x2

es consecuencia de la otra.

5. Calcula para qu valores de x se verifican las desigualdades siguientes.

i) 2x 3x C 2 0

iii) x2 5x C 9 > x iv) x3.x 2/.x C 3/2 < 0v) x2 .aC

Calculo diferencial integral_func_una_var

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