Calculo Diferencial (ejercicios)
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CALCULO DIFERENCIALTarea 4
Si es necesario utilice las siguientes identidades sen2A+ cos2A = 1 sen (AB) = senA cosB cosA senB cos(AB) = cosA cosB senA senBTambien puede utilizar los siguientes lmites
limx!0
senx
x= 1
limx!0
1 cosxx
= 0
limx!0
1 cosxx2
=1
2
1. Calcule los siguientes lmites, si existen
a. limx!2
x2 + 1
x2 5b. lim
x!3x2 9x2 + 5
c. limx!1
x3 3x+ 1
x 5 + 1
d. limx!2
x2 + 1
2x 1e. lim
x!p3x2 3
x4 x2 5
f. limx!p3
x2 3x4 x2 6
g. limx!1
x2 + 2x+ 1
x3 5x 4h. lim
x!0x2 7x+ 1x2 5x+ 11
i. limx!2
x2 + 1
x2 5j. lim
x!0(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) 1
x
k. limx!2
x2 5x+ 6x2 8x+ 15
l. limx!1
x3 3x+ 2x4 4x2 + 3
m. limx!1
x3 2x 1x5 2x3 1
n. limx!1
x+ x2 + + xn nx 1
o. limx! 1
2
8x3 16x2 5x+ 1
p. limx!2
1
x2 + 5 3xx 4
q. lim
x!1(x+ 1)
px+ 2
x2 1r. lim
x!1x3 + x2 1
x4 x3 + x2 2x+ 1s. lim
x!1
1
1 x 3
1 x3
(Sug: Haga la fraccion)
t. limx!2
1
x(x 2)2 1
x2 3x+ 2
u. limx!1
x+ 2
x2 5x+ 4 +x 4
3(x2 3x+ 2)
v. limx!1
xm 1xn 1 , m y n son enteros positivos.
2. Calcule los siguientes lmites, si existen
a. limx!0
sen 5x
x
b. limx!0
sen (x)x
c. limx!0
tanx senxx2
d. limx!
sen 5x
sen 2x(Sug: Cambie a una variable y tal quey ! 0)
e. limx!
senmx
sennx
f. limx!
sen 5x
sen 2x
g. limx!0
1 cosxsen2 x
h. limx!0
tan 2x
sen 5x
i. limx!0
sen (xm)
(senx)n
j. limx!0
sen 3x senxsen2 x
k. limx!a
senx sen ax a
l. limx!a
cosx cos ax a
m. limx!a
tanx tan ax a
n. limx!
2
1 senx2 x2
1
-
o. limx!
senx
1 x2
2
p. limx!1
(1 x) tan x2
q. limx!0
1
senx 1
tanx
3. Calcule los siguientes lmites, si existen
a. limx!2
x(x+ 2)(x 5)b. lim
x!3x3 6x+ 1
c. limx!1
x2 3x+ 1x 5
d. limx!2
x2 + 1
x 2e. lim
x!p3+x2 + 3x
x4 x2 6
f. limx!5
x2 3x2 4x 5
g. limx!1+
x2 + x+ 1
x3 5x 4h. lim
x!0x2 7x+ 1x2 5x
i. limx!2
x+ 1
x 5j. lim
x!0+(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) 1
x
k. limx!2
x
4x2 8xl. lim
x!11
jx2 1jm. lim
x!1(7x+ 1)j3x+ 3j
n. limx!3
jx2 9j
o. limx!0
pxx2 5x+ 1
p. limx!2+
1
x 2 3x
x2 4
q. limh!0
ph+ 2p2
h
r. limk!3
3
k 1
k 34. Considere la funcion
h(x) =
x2; x 36 x; x > 3
Calcule
a. limx!3+
h(x)
b. limx!3
h(x)
c. limx!3
h(x)
5. Calcule los siguientes lmites, si existen
a. limx!+1
3x 2x2
b. limx!1
2 3x 7x33 + x2 19x3
c. limx!+1
rx2 + 2
x2 5d. lim
x!+1
p3x2 x+ 100p
11x2 + x
e. limx!1
px2 + 2x 1 + x
f. lim
x!1
p3x2 2x 2
g. limx!+1
px2 + ax x
6. Considere la funcion
p(x) =
8 0
Calcule
a. limx!+1 p(x)
b. limx!1 p(x)
7. Considere la funcion
q(x) =
8>>>:3x+ 2
4x2 + 1; x 200 000
p3x2 100 000
2 x ; x > 200 000
Calcule
a. limx!+1 q(x)
b. limx!1 q(x)
8. A continuacion se dan algunas funciones.Diga en que puntos es continua y en quepuntos no lo es, explicando cada respuesta.
a. f(x)2x3 4x+ 11b. g(x) =
x 1x2 + 16
2
-
c. h(x) = 5p3x 2
d. `(x) =x+ 4
x2 16e. m(x) =
4
x2 3xx2 6x+ 8
f. z(x) =x+ 4
jxj+ 16g. w(x) =
x+ 4
jxj 4h. u(x) =
4x
x2 + 23 3xx2 6x
i. m(x) =3 + x
2x2 + 5x 3j.
q(x) =
8>:3x+ 2; x < 5
10 +35
x; x 5
k.
r(x) =
8>:3
x+ 2; x 2
10; x > 29. Encuentre el valor de la constante k, si es
posible, para que la funcion dada sea con-tinua en todos los puntos
a.
f(x) =
(7x k; x 1x2 + 2; x > 1
b.
f(x) =
(2kx2; x < 2
4x 2; x 2c.
f(x) =
8>:7x k; x 1
2
x 1 ; x > 1
10. Encuentre los valores de las constantes y de tal forma que la funcion dada sea con-tinua en todas partes.
f(x) =
8>>>>>:x2 + 5; x > 2
(x+ 2) ; 1 < x 22x3 + x+ 7; x 1
11. De ejemplos de funciones tales que loslmites: lim
x!bf(x) y lim
x!bg(x) no existen pero
a. limx!b
(f(x) + g(x)) existe.
b. limx!b
(f(x) + g(x)) no existe.
12. Cuando se saca un pollo de un horno la tem-peratura de este puede medirse por medio deuna funcion P (t).
a. >Cual es el signicado del lmitelim
x!+1P (t)?
b. Si el pollo se encuentra en unahabitacion >cual sera el valor del lmiteanterior?
13. Imaginese un deposito muy grande en el cualhay inicialmente 500 litros de agua pura. Seintroduce en el deposito agua con sal a unatasa de 5 litros/min con una concentracionde sal de 0.02 kg/litro.
a. Encuentre una funcion que nos de-termine la concentracion de sal en eldeposito como una funcion del tiempo.
b. >Cual sera concentracion de sal en eldeposito cuando t! +1?
3