Calculo Diferencial e Integral U1 20150822093854

8/16/2019 Calculo Diferencial e Integral U1 20150822093854

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Cálculo Diferencial e

Integral

UNIDADE 1

LIVRO



Gabriela Faria Barcelos Gibim

Funções



© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida

ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico,

incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e

transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e

Distribuidora Educacional S.A.

2015

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Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza

CEP: 86041 -100 — Londrina — PR

e-mail: [email protected]

Homepage: http://www.kroton.com.br/



Unidade 1 | Funções

Seção 1.1 - Função Afim

Seção 1.2 - Função Quadrática

Seção 1.3 - Função Exponencial e Logarítmica

Seção 1.4 - Funções Trigonométricas

7

9

23

37

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Sumário

Unidade 2 | Limites e Derivadas

Seção 2.1 - É hora de limites!

Seção 2.2 - Limites finitos e no infinito

Seção 2.3 - Derivada - Introdução

Seção 2.4 - Regras de Derivação - Parte 1

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Palavras do autor

Olá Aluno, bem vindo!

Nesta unidade curricular, você será apresentado aos principais tópicos de Cál-culo Diferencial e Integral, tais como: Funções, Limite e Derivada.

O seu material é composto pelo livro didático, que apresenta os principais te-mas que deverão ser estudados; além deste, você também pode contar com aorientação das atividades apresentadas nas webaulas e ainda, os momentos deorientação, mediação, explicação e interação que ocorrem no decorrer das aulas.Participe ativamente das atividades! A estrutura de seu livro didático, contempla 4(quatro) unidades de ensino. São elas:

Funções: apresenta o estudo das diferentes funções, seus conceitos, suas pro-priedades em relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as suasaplicações.

Limites e Derivada: conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de

derivada e algumas regras de derivação.Regras de Derivação: produto, quociente, regra da cadeia, derivada exponen-

cial, logarítmica e trigonométrica.

Aplicação de Derivada: derivada implícita, taxa relacionada, máximo e mínimoe otimização.

Prezado Estudante, mantenha uma rotina de estudos que o possibilite dedi-car-se aos processos de leitura, participação e realização das atividades propostas.É de extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em construção e

desenvolvimento de aprendizagem, quanto em sua aplicação. Desde já desejo àvocê bons estudos!



Unidade 1

FUNÇÕES

Por que estudar funções?

O estudo das funções permite a você, aluno, adquirir a linguagem

algébrica como a linguagem das ciências. Esta linguagem se faz necessária

para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema,

construir modelos descritivos de fenômenos e permitir várias conexões

dentro e fora da própria Matemática.

Deste modo, nesta unidade de ensino iremos enfatizar o estudo das

diferentes funções, apresentaremos os seus conceitos, suas propriedades em

relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as suas aplicações.

Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos

objetivos específicos do tema em questão, Funções, a seguir é apresentada uma

situação hipotética que visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática.

Vamos lá!

Convite ao estudo

Competência a ser desenvolvida Objetivos

Conhecer os fundamentos de cálculonecessários à formação do profissional da

área de exatas.

Identificar e representar as funções de

várias maneiras (tabelas, gráficos, fórmu-las e descrição verbal)

Aplicar o estudo das funções na de-

scrição de fenômenos e situações.


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João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo

seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para tanto,

precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender e resolverproblemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional,

dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas,

a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, principalmente no que

diz respeito ao estudo das funções. E que a importância do estudo de funções

não é restrita apenas aos interesses da matemática, e que estas fazem parte do

nosso cotidiano e estão presentes na realização das coisas mais elementares que

fazemos. Portanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de

entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor; das mais simples

às mais complexas, como uma corrida de táxi, lançamento de um projétil, juros

compostos, decaimento radioativo, vibração do som etc.



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Seção 1.1

Função Afim

Olá! Sejam bem-vindos!

A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre função! Veremos nesta

seção conhecimentos sobre função e função afim, conteúdo de Cálculo Diferencial e

Integral que normalmente é trabalhado no Ensino Fundamental e Médio na disciplina

de Matemática. Você se recorda?

A leitura deste caderno irá ampliar sua compreensão sobre o conceito de

função e função afim; suas diversas representações por meio de tabelas,

gráficos, fórmulas, descrição verbal; assim como sua aplicação em

resolução de problemas. Para dar início ao estudo de função é necessário

o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de

uma função é resolvido através de equações.

Dica

Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos

com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas

grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.

Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação,

comparação, seja representada em uma função na forma algébrica.

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das

Diálogo aberto



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primeiras situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a

seguinte:

Precisamos enviar um de nossos técnicos para fazer uma vistoria em um prédio

que fica a 8 km da empresa. Sabe-se que em nossa cidade operam duas empresasde táxi, a empresa Andetaxi e a Voudetaxi. A Andetaxi cobra R$ 6,00 pela bandeira

inicial e R$ 3,00 por quilômetro rodado. Já a empresa Voudetaxi cobra apenas R$

4,00 por quilômetro rodado. As duas empresas possuem táxis disponíveis para

levar o técnico; assim, qual táxi João deve chamar de modo a economizar na

corrida? Em qual situação a Andetaxi é mais econômica?; e a Voudetaxi é mais

econômica?; as duas se equivalem?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Você deve esboçar a situação-problema, ou seja, a função afim, na forma

algébrica, e calcular os valores das corridas. Pode-se representar a função

graficamente para melhor compará-las.

Reflita

Funções

Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre função afim é importante termos o

conhecimento sobre função. Você sabe o que é uma função?

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. As funções são

definidas por certas relações. Existem inúmeros tipos de funções matemáticas,

entre as principais temos as funções: afim, quadrática, exponencial, logarítmica,

trigonométricas, dentre outras. Cada função é definida por leis generalizadas e

propriedades específicas.

Não pode faltar!



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Assimile

Definindo uma função: Função é uma relação. Utilizando dois conjuntos

A e B, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiroconjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento dosegundo conjunto. Na matemática, dizemos que função é uma relaçãode dois conjuntos, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores,onde x é um elemento do domínio da função (a função está dependendodele) e y é um elemento da imagem.

Podemos citar como exemplo a relação entre o custo e o consumoem m3 de água. Isso porque a conta de água está relacionada a quantoiremos gastar de m3 de água. Essa relação é uma função!

Assim tem-se:

Dados dois conjuntos A e B (conjuntos formados de números reais, isto é, A eB estão contidos em ), não vazios, uma relação de A em B recebe o nome deaplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somentese, para todo x A existe um só y B tal que (x, y) .

Que condições deve satisfazer uma relação de A em B para ser função?

1. É necessário que todo elemento participe de pelo menos umpar (x, y) , isto é, todo elemento de A deve servir como ponto departida de flecha.

2. É necessário que cada elemento de participe de apenas um

único par (x, y) , isto é, cada elemento de A deve servir como pontode partida de uma única flecha.

Reflita

Fonte: Disponível em: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.1 - Representação de função



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Uma relação não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições:

1) Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, ou

2) Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.

Fonte: Disponível em: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.2 - Exemplos de diagrama de Venn onde a relação não é função (ouaplicação).

Domínio, contradomínio e Imagem?

Seja f uma função de A em B.

Fonte: Disponível em: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.3 - Representação de função

Nesta correspondência, o conjunto A é o domínio da função f, enquanto oconjunto B é denominado contradomínio da função f.



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Usamos a notação ⨏: !→ # (onde lemos: f é uma função de A para B) para

indicar que estamos fazendo a correspondência de A, designado domínio, com

o conjunto B, contradomínio. Escrevemos y = ⨏(x) para indicar que a função f

associa o elemento x de seu domínio ao elemento y de seu contradomínio.

Se um elemento x A, for relacionado a um elemento y B, dizemos que y é

a imagem de x pela função ⨏. Logo, o conjunto de todos os elementos de B, que

são imagens de algum elemento de A, é designado conjunto imagem da função

f é denotado por Im(⨏). Sendo, portanto, um subconjunto do contradomínio B.

O elemento x é chamado de variável independente, pois ele é livre para assumir

qualquer valor do domínio, e nomeia-se y de variável dependente.

Exemplificando

Veja o exemplo da Figura 1.3, nesta temos como domínio da função f

D(f)= {-3,-2,-1,0}, contradomínio CD(f)= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; e como

conjunto imagem a Im(⨏)= {0,1,4,9}

Um pouco mais sobre o Domínio

Se temos:

F: R → R/ f(x)= -2x. Aqui não existem restrições para qualquer valor de x

pertencente ao domínio de f. Portanto, D(f)= R

F: R → R/ f(x)= . Sabemos que o denominador deve ser diferente de zero,

pelo fato da existência da operação de divisão. Observamos que x+4 0, logo

—!. Portanto, D(f)= R—!.

Gráficos- Como representar a função graficamente?

Quando trabalhamos com funções, a construção e a compreensão de gráficos

são de extrema importância. Isto porque, por meio dos gráficos podemos definir

de que tipo é a função mesmo sem saber a sua lei de formação.

Gráficos- Como representar a função graficamente?

Quando trabalhamos com funções, a construção e a compreensão de gráficos

são de extrema importância. Isto porque, por meio dos gráficos podemos definir

de que tipo é a função mesmo sem saber a sua lei de formação.



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Cada função tem a sua representação gráfica, independentemente do

tipo de função é fundamental conhecermos algumas definições, como:

plano cartesiano, par ordenado, eixo das abscissas, eixo da ordenada.

Saiba mais em http://www.somatematica.com.br/fundam/paresord.php.

Acesso em: 16 mai. 2015.

Saiba mais

O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares entre si, uma reta

horizontal Ox no plano geométrico, denominada de eixo das abscissas e uma reta

vertical Oy, chamada de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido

por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. O encontrodos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por

um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada. As disposições dos eixos no

plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:

Fonte: Disponível em: <http://mdmat.mat.ufrgs.br/grafeq_guia/geometria.html>.

Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.4 | Representações do plano cartesiano

Funções Polinomiais

Seja uma função definida por , em

que os coeficientes , ,...

são números reais e n um número inteiro

não negativo. A função é denominada de função polinomial de grau n, a qual,

dependendo do grau n, receberá nomes de funções polinomiais.

Começamos o nosso estudo de funções polinomiais com grau . Umaaplicação recebe o nome de função constante quando cada elemento x é



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associado ao mesmo valor c, ou seja, . O gráfico da função constante

é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c). Em outras palavras, a

imagem é o conjunto . A Fig. 1.4 apresenta o gráfico da função .

Alguns exemplos de funções constantes são: ; ; ;

Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.5 | Representações da função constante

Função linear

Podemos definir a função linear como uma aplicação : → quando a cada

elemento associa o elemento onde é um número real dado.Isto é, a função dada por: !

O conjunto imagem da função afim : → definida por !

são os reais. Uma função é um exemplo de uma função linear.

Função Afim

Analogamente podemos definir a função linear afim como uma aplicação :

→ quando a cada elemento associa o elemento onde

é um número real dado. Isto é, a função é dada por:

O conjunto imagem da função afim : → definida por

são os reais.

O gráfico de uma função linear afim é uma reta que intercepta o eixo das ordenadas

no ponto . O coeficiente b é denominado de coeficiente linear da reta.

O número a é definido por coeficiente angular da reta ou declividade da reta

representada no plano cartesiano.



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A raiz da função afim é o número , também chamado de zero da

função. Esta raiz é a abcissa do ponto de coordenadas ; onde a reta corta

o eixo x.

Exemplificando

Analisar a função f(x) = – x + 2.

- A função é decrescente,

pois a < 0;

- Coeficiente angular é a

= -1;

- Coeficiente linear é b = 2;

- Zero da função é 2, pois – x + 2 = 0 => -x = - 2.(-1)

=> x = 2.

-A raiz 2 é a abscissa do ponto de coordenadas (2,0), a reta corta o eixo

f(x) < 0 {! ∈ # | x > 2}

f(x) = 0 {! ∈ # | x = 2}

f(x) > 0 {! ∈ # | x < 2}

Caso Particular: A função é constante, pois a = 0,

com isso, não há inclinação;

- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;

- Coeficiente linear é b = 4;

- Não temos Zero da função:



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Fonte: Disponível em: <http://professorwaltertadeu.mat.br/Cp2Aprof2014AfimQuadraticaAULA6.doc>. Acesso em:16 mai. 2015.

Figura 1.6 | Função crescente e decrescente

Sendo f (x) = -3x +1, esboce seu gráfico, determine suas raízes e classifique

a função em crescente ou decrescente.

Faça você mesmo

A Matemática está hoje em praticamente todas as áreas do conhecimento

humano e um dos temas que podemos destacar é o estudo das funções

apresentado ao longo deste tema. Aqui, você aprendeu a definição de uma função

afim, bem como os conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Além disso,você também aprendeu como obter o gráfico de uma função e os respectivos

conceitos de coeficiente angular e linear de uma reta. Por fim, agora você é capaz

de estabelecer a diferença entre função crescente e decrescente.

Após o estudo de função e função afim, vamos resolver a primeira situação-

problema apresentada ao João?

Vamos relembrar! A empresa Andetaxi cobra a cada quilômetro R$ 3,00. Daí

temos que para x quilômetros a expressão será 3x. Como há também o valor fixo

da bandeirada que é de R$ 6,00, a função para esta empresa é y = 3x + 6, onde y é

o preço e x o número de quilômetros rodados. Já a empresa Voudetaxi não cobra

a bandeirada, então a função desta empresa é y = 4x.

Desse modo, temos a resolução:

Sem medo de errar!



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O valor mais econômico será:

Empresa Andetaxi = quando a quilometragem for maior que 6 km

Empresa Voudetaxi = quando a quilometragem for menor que 6 km

Os dois planos serão equivalentes quando a quilometragem percorrida for

igual a 6 km.

O ponto de interseção entre as retas é o (6,24), pois de 3x + 6 =

4x temos x= 6. Isso quer dizer que as duas empresas cobram o mesmo valor

quando a viagem for de 6 km. Então I= (6, 24) é o ponto de interseção entre as

duas funções.

Andetaxi: y= 3x + 6; ou seja, y= 3. (8) + 6, logo y= 30. Pela empresa Andetaxi a

corrida custaria R$ 30,00.

Voudetaxi: y= 4x; ou seja, y= 4. (8), logo y= 32. Pela empresa Voudetaxi a

corrida custaria R$ 32,00.

Portanto, a solução mais econômica para essa corrida é a empresa Andetaxi.

Construindo o gráfico da função afim para análise, podemos concluir que:



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Pratique mais!

Instrução

Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações

que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de

seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.

Movimento das Tartarugas Marinhas

1. Competência de

Fundamentos de área

2. Objetivos de aprendizagem Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações

3. Conteúdos relacionados Função Afim

4. Descrição da SP

Inúmeros são os modelos matemáticos criados para compreensãode situações diversas. O gráfico abaixo ilustra a representação de uma

função matemática empregada por um determinado biólogo para

análise do movimento de algumas tartarugas marinhas que aparecem

em determinada região litorânea em certos períodos do ano para

reprodução. Para fazer esta representação o biólogo considerou que

estes animais movem-se no plano a partir de um certo ponto P (aos 150

metros distante da borda oceânica), para outro ponto Q (distante de P, em

linha reta, 230metros). Além disso, considerou s como a distância (em

metros) e t como o tempo (em horas). Observando o modelo construído:

a) Qual a função matemática descreve

este movimento? Como essa função é

nomeada?b) Em que posição as tartarugas estarão

após decorridas duas horas?

c) De acordo com o gráfico, podemos

afirmar que este biólogo iniciou sua

análise quando as tartarugas emergiram

do mar? Justifique sua resposta.

d) Qual o tempo gasto para as tartarugas chegarem ao ponto Q?

5. Resolução da SP:

Solução do problema:

a) Temos (5, 400) e (0, 150) dois pontos do gráfico. Como temos

uma reta, sabemos que b=150 é o coeficiente linear. Sabemos

ainda que y=ax+ b, substituindo y por s e x por t temos:

S=at+b

, uma função denominada afim.

b) Quando t=2

c) De acordo com o gráfico representado, a análise deste biólogo

não teve início quando as tartarugas emergiram do mar, mas sim,

quando estes animais já distavam 150 metros da borda marítima.

d) Como o ponto Q dista 230 metros do ponto P. Q= 150+230→

Q=380Disto, 380= 50t +150→ 50t=380-150→ t= t= +

t= 4 horas e 36 minutos.

Avançando na prática



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1. Seja a função definida por . Qual é o elementodo domínio que tem 5 como imagem?

a) 6

b) 4

c) 1

d) 5

e) 7

2. Carolina tem uma grande fazenda em Minas Gerais. A fazenda delapode ser dividida em dois grupos distintos. Seja A= {vaca, cavalo, galinha,gato} o grupo que contém os animais da fazenda e B = {ovo, leite, capim,milho, ração} o grupo dos derivados e alimentação dos animais. Associeos elementos do grupo A com seu respectivo no grupo B. Com base nessaanálise, determine se tal relação pode ser definida como uma função.

3. Seja a função . Determine o coeficiente linear e angular,respectivamente:

a) 6 e 9

b) 3 e 7

c) 7 e 1

d) 6 e 9

e) 0 e 7

4. Determinado pesquisador mede o crescimento de uma planta, emcentímetros, todos os dias. Para esta análise marcou pontos em sistemade coordenadas cartesiano, e, desta forma, obteve a curva descrita abaixo.

Faça valer a pena!



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Considerando que essa relação entre tempo e altura foi mantida, podemosobservar o gráfico representado e afirmar que a planta terá, no 30º dia,uma altura igual a:

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 3 cm

d) 15 cm

e) 30 cm

5. Determinada empreiteira fornece um desconto de 3% sobre o valor decerta prestação de serviço. A função que representa o valor a ser pago é:

a) f(x)= x-3

b) f(x)= 0,97x

c) f(x)= 1,3x

d) f(x)= -3x

e) f(x)= 1,03x

6. Na fabricação de determinado artigo verificou-se que o custo total foiobtido através de uma taxa fixa de R$ 4000,00, adicionada ao custo deprodução, que é de R$ 50,00 por unidade. Determine:

a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida.

b) o gráfico dessa função



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c) o custo de fabricação de 15 unidades

7. Um instalador de linhas telefônicas recebe um salário base de R$ 700 e R$6,00 a cada instalação. Considerando x a quantidade de linhas telefônicas

instaladas, a função f que expressa o salário mensal desse instalador é:

a) f(x)= 700x + 6

b) f(x) = -6x + 700

c) f(x) =

d) f(x) = 6x + 700



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Seção 1.2

Função Quadrática

Diálogo aberto

Na seção anterior deste livro tivemos contato com o universo das funções efunção afim, observamos sua singular importância no mundo da matemática já nasdefinições introdutórias. A proposta desta seção é apresentar a você o estudo deoutro tipo específico de função, a função quadrática.

Você pode encontrar o estudo desta função mais detalhadamente

em livros de Matemática do ensino fundamental e médio. Pesquisetambém no site <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php>. Acesso em: 21 jun. 2015.

Dica

O estudo da função quadrática é encontrado na história dos babilônicos

há cerca de 4.000 anos. Outros povos também ofereceram umacontribuição para a formação da álgebra, de forma que a representaçãoatual da equação de segundo grau é ax2+bx+c = 0, com a não nulo,

onde o valor de x é desenvolvido pela fórmula atribuída por muitos a

Bhaskara: .

Lembre-se

É importante saber reconhecer quais conceitos matemáticos resolvem osproblemas do nosso cotidiano, ou seja, para resolver um determinado problema

devemos saber qual é o modelo matemático adequado.



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Para tanto, realizaremos um estudo sobre funções quadráticas, pois elas

apresentam diversas aplicações no cotidiano, como em situações relacionadas

à Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; à Administração

e Contabilidade, relacionando as funções custo, receita e lucro; e à Física e

Engenharia, envolvendo movimento uniformemente variado, assim como nas

diversas construções, medições e aplicações na resolução de diversos problemas

relacionados a área. Assim, a leitura desta seção irá ampliar sua compreensão

sobre a função quadrática, abordando os termos que envolvem as características

notáveis e suas propriedades.

A segunda situação-problema apresentada pela empresa para o estagiário foi a

seguinte:

A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João deve

ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será construído,

sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como

João pode resolver este problema?


Conceito e propriedades da função quadrática. Você deve esboçar a

situação-problema, ou seja, a função quadrática, na forma algébrica e

calcular o valor do ∆ e da coordenada x do vértice da parábola. Pode-

se representar a função graficamente para melhor compreender a

situação-problema.

Reflita

Não pode faltar

A função quadrática, também nomeada função polinomial do 2º grau, é definida

a partir de: f de R em R, dada na forma: f(x)=ax2+b+c com a, b e c pertencentes

ao conjunto dos números reais, onde a ≠ 0. Vale salientar que o domínio desta

função é o conjunto dos números reais e a representação de seu gráfico é a curva

conhecida como parábola.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a =

3, b = - 4 e c = 1 e f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1.



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Atenção!

Seu gráfico é sempre uma parábola, onde sua concavidade é definidapelo valor de a, se temos a > 0, sua concavidade é voltada para cima, se

a<0, sua concavidade é voltada para baixo. Vamos estudar mais sobre

esse assunto adiante.

Fonte: <www.brasilescola.com/imagem>. Acesso em: 16 maio 2015

Figura 1.1 | Gráfico de função do 2º grau

Cálculo das Raízes da função quadrática

Chamamos de raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau dado por: ! ! # "

! $# $ % %# % &, a≠0, os números reais x que satisfazem f(x) = 0, ou seja, os valores

da abscissa x que tornam y nulo. A descrição que nos permite obter as raízes é da

forma:

, tal representação é denominada como fórmula de bhaskara.

Para cálculo das raízes representadas por x’ e x” temos: e

, Onde: ∆ ! %$ & '$&

Assim, denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela

letra grega ∆ (delta).

O discriminante deve ser considerado para a análise gráfica da função. A Figura

1.2 nos informa como ∆ influencia os pontos (x’ e x”), de interseção entre a curva

nomeada parábola e o eixo das abscissas, quando a>0.



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Fonte: <www.alunosonline.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015

Figura 1.2 | Estudo das raízes

Assimile

Ao analisar a Figura 1.2, você pode concluir que:

I. No primeiro gráfico, onde ∆! #, a função não apresenta raízes reais.

A parábola não toca em nenhum ponto do eixo das abscissas.

II. No gráfico onde temos ∆$ #, a função apresenta raízes reais e

iguais; logo: x’=x”. A parábola tangencia o eixo x.

III. Já no terceiro gráfico, em que ∆% #, a função contém raízes reais

e diferentes, logo x’ ≠ x”. A parábola intercepta o eixo das abscissas em

dois pontos distintos.

Vértice da parábola

O vértice é representado pela letra V, é o ponto que pertence à interseção do

eixo de simetria com a parábola; este ponto pode ainda ser observado como oponto mínimo ou o ponto máximo. Isso depende da posição da concavidade da

parábola. Observe na Figura 1.3, podemos calcular o vértice da parábola através

das expressões: Xv = ou y

v =



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Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015

Figura 1.3 | Vértice de uma função quadrática

Vale lembrar que o conjunto de pontos que descreve a parábola é simétrico em

relação à reta que contém o vértice V (Xv, Yv), esta reta é o eixo de simetria.

Conjunto imagem da função quadrática.

O conjunto imagem da função definida por y = ax2 + bx + c com a≠0 é

o conjunto composto pelos valores que y pode assumir.

I. Se o coeficiente , podemos

afirmar que ! " "! $ " assume valores maiores ou iguais à ordenada (Yv)

do vértice, se o coeficiente “a” é maior que zero.

II. Se , afirmamos que y= f(x)

assume valor menor ou igual à ordenada (yv) do vértice.

Reflita

Construção da parábola!

O gráfico é construído a partir da definição de pares (x,y). Entretanto, podemos

destacar:

I. As raízes, quando existem, podem ser facilmente obtidas utilizando a equação de

bhaskara já indicada e podem ser observadas no gráfico, pois são os valores das

abscissas dos pontos (x,0) em que a parábola intercepta o eixo 0x.



U1

28

II. O vértice V nos indica o máximo ou mínimo da parábola, sendo o ponto de

interseção da parábola com o eixo de simetria; Sua coordenada do pode ser

identificada utilizando ! # $.

III. A concavidade pode ser observada no formato característico da parábola ! !

"# % & $# & % pelo coeficiente a.

Vale salientar que:

O coeficiente c presente na função polinomial do 2º grau, dada por ! ! "# % & $# & %,

é o valor da interseção da parábola como eixo y.

Exemplificando

Como representar o gráfico da função quadrática dada por y =

-x2+2x+3?

I. Definindo a concavidade da parábola.

Temos a = -1, como a < 0 a concavidade é para baixo.

II. ∆ pode ser obtido por ∆ ! $% ' ("%

∆ ! !%$% ' (!')$!*$

∆ ! # $ %& ! %'

III. Cálculo das raízes.

IV. Assim, por meio de encontramos o

vértice V.



U1

29

V. Esboçando a parábola.

Estudo de sinal

Considere uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c para determinar os

valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo,

devemos considerar o sinal ∆ = b2 - 4ac. Pode-se observar os seguintes casos:

1º. ∆ > 0

Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 ≠ x

2). A

parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos

gráficos da Figura 1.4:


Figura 1.4 | Estudo de sinal



U1

30

2º. ∆ = 0

Nessa situação a função terá duas raízes reais iguais (x1 = x

2). A parábola

tangencia o eixo das abscissas e o sinal da função y=f(x) é descrito.


Figura 1.5 | Estudo de sinais

3º. ∆< 0

Quando ∆ ! # a função não admite raízes reais. A parábola não intercepta o

eixo x. O sinal que y=f(x) assume é único e pode ser observado na Figura 1.6.


Figura 1.6 - Estudo de sinais



U1

31

Você pode observar a construção da parábola nos exemplos

apresentados no site: <http://<www.matematicadidatica.com.br/

FuncaoQuadratica.aspx>. E também encontrar diversas atividades

envolvendo funções polinomiais do 2º grau em: <http://<www.

im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/

cap103.html>. Acesso em: 16 maio 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Sendo f(x) = - x2 + x + 6, esboce seu gráfico, determine suas raízes e

coordenadas do vértice, classifique o y do vértice como valor máximo

ou valor mínimo da função.

Sem medo de errar

Após o estudo de função quadrática, vamos resolver a segunda situação-

problema apresentada ao João?

Vamos relembrar! A empresa deseja construir um galpão térreo de planta

retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o

galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60

m e que a área deve ser

máxima. E agora, como João pode resolver este problema?

Solução:

Considerando x uma das dimensões do retângulo em que haverá a construção,podemos representar a área do galpão por:

x

30-x

x.(30 – x) ou –x2+ 30x



U1

32

Para determinarmos as dimensões do retângulo em que o galpão será

construído, no intuito de obter área máxima, basta calcular o valor do vértice x da

parábola, dado x = - .

Sendo f(x) = -x2+ 30x, 0 < x < 30, o valor máximo de f(x) é obtido para

x = - = - = 15

Portanto, as dimensões do retângulo serão 15 m e 15 m.


Pratique mais!

Instrução

Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas

situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-

as com a de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.

Trajetória da Bola

1. Competência de


2. Objetivos de

aprendizagem

Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e

situações

3. Conteúdos relacionados Função Quadrática


Matemáticos buscaram descrever a trajetória de uma bola de futsal

atirada para cima por um determinado jogador, em um momento

do jogo observado. Para isso, levantaram os dados necessários etomaram como referência o sistema de coordenadas cartesiano.

Verificaram que a trajetória descrita poderia ser analisada por meio

da função h(t)= , onde t indica o tempo, dado em décimos

de segundo, e h(t) representa a altura em metros. Considerando

esses dados:

a) Represente o gráfico que descreve a trajetória da bola

analisada.

b) Qual deve ser a altura máxima atingida pela bola em

relação ao eixo horizontal?

c) Em quanto tempo a bola atinge a altura máxima?

d) A bola atinge o solo após quanto tempo do lançamento?



U1

33

5. Resolução da SP

Resposta:

a) h(t)= ,

Raízes:

Vértice:

b) A altura máxima é observada pela ordenada do vértice., Portanto, a altura máxima

atingida pela bola nesta trajetória é 15 metros.

c) A altura máxima é observada pela abscissa do vértice.

. Aos 30 décimos de segundo, a

bola atinge a altura máxima.

d) A raiz indica que

Podemos fazer ainda y=0, em h(t)= 0=

, logo t’=0 e t”=60

Portanto, após decorridos 60 décimos de segundos, a bola

atinge o solo.

Faça valer a pena

1. A balança comercial de um país é determinada pela diferença entreo valor monetário das exportações e importações. Tendo em vista esteentendimento e os dados atualizados, suponha que alguns analistasfinanceiros representem a balança comercial de um país no ano de2013 por meio da função V(t)= t2 -7t +6, onde t representa o tempo emmês, variando de janeiro t=1 a dezembro t=12. Sendo o intervalo ]0,1] operíodo de janeiro, ]1,2] o período de fevereiro e assim sucessivamente.Considerando esses dados, deseja-se saber:

a) Qual deve ser o gráfico desta função.

b) Em que período(s) do ano a balança comercial foi nula?

c) Podemos dizer que houve superávit comercial em outubro de 2013?(Dizemos que houve superávit comercial quando o valor da balança



U1

34

comercial de um país é positivo.)

d) Em algum período de 2013 houve déficit na balança comercial?(Dizemos que houve déficit quando a balança comercial é negativa.)

2. O número de pedidos na pizzaria Bela Dona, das 12 às 18 horas em umdia do mês de janeiro, em Jundiaí, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, emque 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximode pedidos nesse período do dia foi de:

a) 0.

b) 15.

c) 9.

d) 18.

3. Determine os valores de m para que a função f(x) = -x2 -4x – (-m +1)assuma valores negativos para todo x real.

a) m< 3

b) m> 3

c) m < 2

d) m< -3

4. Dada a função y= - x2 +x+6, determine as raízes e as coordenadas dovértice.

5. Considerando a equação da questão 4, determine agora a classificaçãodo Y

v (valor máximo ou valor mínimo da função) e a interseção da curva

com o eixo y.

a) ½ e (6,0)

b) 5/7 e (3, 2)

c) 25/4 e (0,6)

d) 4/25 e (0,6)

6. Uma empresa vai lançar no mercado um produto novo. O materialusado para confecção desse produto fabricado pela empresa tem um

custo de R$ 20,00. A empresa pretende colocar cada produto à venda porx reais e, assim, conseguir vender (80 - x) produtos por mês. Assim, para



U1

35

que mensalmente seja obtido um lucro máximo, qual deve ser o preço devenda do produto?

a) 60.

b) 70.

c) 100.

d) 50.

7. Para que a função y= (3m-9).x2 -7x +6 seja quadrática, o parâmetro mdeve ser:

a) m = 3

b) m ≠ 3

c) m ≠ 4

d) m ≠ 1/3

e) m = 1/3



U1

36



U1

37

Seção 1.3

Função Exponencial e Logarítmica

Ei, aluno! Está pronto para mais uma seção de autoestudo?

Após estudarmos as funções afim e quadrática, agora chegou a hora derelembrarmos ou conhecermos a função exponencial e a função logarítmica.Anime-se!

As funções exponencial e logarítmica são funções muito importantes,pois explicam muitos acontecimentos naturais, sendo assim ferramentasimprescindíveis para físicos, matemáticos, químicos, biólogos e tambémpara engenheiros.

Dica

A função exponencial y = ℮x aparece na descrição de vários fenômenosnaturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalizaçãode juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), nadesintegração radioativa (Química), na propagação de uma doença(Medicina), entre outros. A função logarítmica permite cálculo deamplitude, nível de energia liberada por um abalo sísmico, temos comoexemplo a Escala Richter. Veja mais em: <periodicos.uems.br/novo/index.php/enic/article/view/4780/2415>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Lembre-se

Diálogo aberto

Nesta seção você vai ficar sabendo de diversas aplicabilidades dessa fantásticaferramenta matemática. O estudo deste tema irá fazer com que você passe a



U1

38


Conceito e propriedades da função exponencial e logarítmica.

Interpretar, analisar e resolver o problema fazendo uso das funções

exponencial e logarítmica.

Relembre como resolver equações exponenciais e logarítmicas

para melhor compreender as funções. http://www.infoescola.com/

matematica/equacao-exponencial/ e http://www.matematicadidatica.

com.br/EquacaoLogaritmica.aspx. Acesso em: 16 mai. 2015.

Reflita

Não pode faltar!

Chama-se função exponencial a função f de R em apresentada pela forma

característica, em que a é um número real positivo e diferente de um.

• Definição: é exponencial se a >0 e a≠1.

Atenção!

A função g(x)= k.ax, onde k é uma constante, é do tipo exponencial.

Aqui devem ser asseguradas as propriedades para quaisquer expoentes k e x

pertencentes aos reais:

1)

compreender o quanto as funções logarítmicas e as exponenciais são importantes

para o desenvolvimento de outras áreas do conhecimento. Também irá aprender

as condições de existência, as principais propriedades e resolver várias questões

relacionadas a estes conhecimentos.

No processo seletivo, a empresa multinacional queria saber se João sabia

resolver situações-problema de juros compostos. Por exemplo, foi perguntado

ao João se ele saberia afirmar em quanto tempo um capital é duplicado quando

aplicado a uma taxa de 2,2% ao mês em juros compostos.



U1

39

2)

3) a 0 = 1

4) Duas são as possibilidades quando o valor do expoente k é menor que x (k<x):

a) teremos se a base a é maior que um (a>1)

Exemplo: Quem é maior, 22 ou 23? Temos então 22 < 23.

b) teremos ! se o escalar base(a) assumir um valor entre zero e um (

"

Exemplo: Quem é maior, ( )2 ou ( )3? Temos

Vale destacar que as condições de existência de f(x)= , como exponencial,

determinadas por a>o e a≠1, são estritamente necessárias, uma vez que,

• Se a <0, o número real ax pode não ser real. Podemos observar isto, no caso

, onde temos um valor para f(x) não definido no conjunto dos Reais.

Isso porque esse valor é a raiz de um número negativo. (-5)1/2 =

• Se temos a = 0 e expoente

• Se acontecer a=1, para todo x Є R, a função dada por será uma

função constante e, portanto, não assume a forma definida de uma exponencial.

Representações gráficas

Podemos analisar, pela definição já apresentada de uma função exponencial,

alguns apontamentos para funções cuja forma seja .

Se a base a é diferente de um e maior que zero a imagem

desta função é sempre positiva

Para teremos as seguintes construções geométricas:



U1

40

Fonte: Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm.Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.1 | Função Exponencial

Nos dois gráficos representados pela Figura 1.1, observamos dois

tipos de comportamentos: uma função crescente e outra decrescente.

Isto decorre por ser a>0 e a≠1. Permitindo duas situações distintas no

intervalo Real maior que zero e diferente de um: a>1 ou 0<a<1. Vamos

analisar melhor esta situação? Veja abaixo!

Reflita

Função exponencial crescente e decrescente

As funções exponenciais também podem ser classificadas como função

crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser maior ou

menor que 1. Lembre-se! Segundo a definição da função exponencial, definida por

, temos que e .

Se temos uma função exponencial crescente, ou função de crescimento

exponencial, qualquer que seja o valor real de x. No gráfico da função ao lado

podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.

Fonte: Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.2 | Função crescente

a > 1, f é crescente



U1

41

Se temos uma função exponencial decrescente, decaimento

exponencial, em todo o domínio da função. Neste outro gráfico podemos observar

que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da

função é decrescente.

Fonte: Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.3 | Função decrescente

a < 1, f é crescente

Assimile

Note também que, independentemente de a função ser crescente ou

decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no

ponto (0, 1), além de nunca cruzar o eixo das abscissas.

Função exponencial com base ℮

O ℮ é um irracional transcendente (como o π). A representação do número

2,718281828459... pela letra ℮ surgiu, pela primeira vez, no século XVIII, com Euler.

Esta designação conserva-se como homenagem a este matemático, embora onúmero seja chamado Número de Neper. Neper não se apercebeu da importância

do número℮. Só um século depois, com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal,

se veio a reconhecer o papel relevante deste número Saiba mais em: <http://www.

educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm18/exponencialehtm.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

ᴫ



U1

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Exemplificando

A Fig. 1.4 apresenta um exemplo de função exponencial

Fonte: Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Graph--y%3De-to-0.5x--lin-lin.png>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.4 - Exemplo do gráfico da função exponencial

A função exponencial y = ℮!

aparece na descrição de vários fenômenosnaturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalizaçãode juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), nadesintegração radioativa (Química), na propagação de uma doença(Medicina), entre outros. Veja mais em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm18/exponencialehtm.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Função Logarítmica

Os logaritmos são extremamente úteis para resolver problemas que ocorremem situações diversas, como na economia, previsão de enchentes, crescimento



U1

43

populacional, abalos sísmicos, entre várias outras. O seu uso é de fundamental

importância para encontrar a solução de um problema. Então, é importante

compreender a função logarítmica e entender suas propriedades, pois são elas

que serão usadas na solução de diversas situações.

Toda função que obedece à lei de formação , definida por

, satisfazendo as condições de existências (0<b≠1), chamamos de

função logarítmica. Na definição apresentada destacamos o domínio da função

f que simbolicamente representamos por e a imagem que é dada por

.

Simbolicamente, temos:

Exemplo: Qual o valor de log216= 4, pois se log

216=x, então:

2x = 16 temos então 2x = 24, logo x=4, portanto log216= 4.

Propriedades

1º) Dizemos que uma função logarítmica, é

crescente, quando obedece à seguinte condição b>1. Exemplo:

Considere x, y > 1 e x > y então . Assim 3 > 2 ⇒

2º) Dizemos que uma função logarítmica, é

decrescente, quando obedece à seguinte condição 0<b<1. Exemplo:

Diferentemente do que foi mencionado na observação anterior, temos:4 > 3⇒

Reflita

Gráficos

Função logarítmica crescente

Dada a função , com b>1 o gráfico é representado por:



U1

44

Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.5 | Função logarítmica crescente

Função logarítmica decrescente

Dada a função , com 0 < b < 1 o gráfico é representado por:

Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.6 | Função logarítmica decrescente

Assimile

Principais características do gráfico

A partir do gráfico é possível destacar:

1°) O gráfico está à direita do eixo das ordenadas, ou seja, o eixo y;

2°) O ponto (1,0) pertence ao gráfico da função.



U1

45

A outra base muito utilizada é e. O logaritmo em base e é chamado

de logaritmo natural de x, denotado por ln x e definido como sendo

a função inversa de e x, ou seja, o logaritmo natural de x, escrito ln x,

é a potência de e necessária para obter x. Em outras palavras, lnx = c

significa que ec = x. Veja que “e” é outra base para o logaritmo, que

possui uma denominação especial, mas que possui exatamente as

mesmas propriedades já apresentadas. A Figura 4.4 apresenta o gráfico

da função exponencial ex e lnx.

Fonte: Extraído de Stewart (2011, p. 56).

Figura 1.7 | Gráfico da função exponencial ex e sua inversa lnx

Agora você possui as ferramentas necessárias para resolver o exemplo inicial

desse tema.

Saiba mais sobre mudança de base e propriedade dos logaritmos em

http://www.infoescola.com/matematica/definicao-e-propriedades-dos-

logaritmos/. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Sendo f (x) = 3x esboce seu gráfico e classifique a função em crescente

ou decrescente.



U1

46

Sem medo de errar!

Vamos relembrar! Em quanto tempo um capital é duplicado quando submetido

a uma aplicação de juros compostos com taxa de 2,2% ao mês?

A resposta correta é dois anos, sete meses e vinte e seis dias. Tente resolver

esse problema usando a fórmula para cálculo de juros compostos.

Usando a fórmula para juros compostos M=C(1+i)t, tem-se:

M = 2C, o montante será duas vezes o capital (C).

i = 0,022, é a taxa de juros.

t = ?, é a incógnita e que se deseja descobrir – o tempo para que a aplicaçãoduplique (esta será dada em meses, afinal a taxa de juros é ao mês).

M=C(1+i)t ⇒ 2C = C(1+0,022)t ⇒ 2C = C(1,022)t ⇒ 2 = 1,022t

Chegamos à seguinte situação: 2 = 1,022t.

Mas, e agora? t é um expoente e é possível perceber que esse expoente deve

ser o valor adequado para tornar a base (1,022) igual a 2. Você aprendeu a calcular

um número elevado a um expoente que varia (ou seja, altera seu valor) em funções

exponenciais, não é? Esse cálculo é facilmente efetuado com o uso de umacalculadora científica usando a função de expoente. No entanto, para encontrar o

valor que o expoente deve ter para que um determinado resultado ocorra, como

no exemplo 2 = 1,022t, o cálculo deve ser feito por meio de logaritmos.

Nesse ponto é possível aplicar as propriedades de logaritmos e há duas formas

de resolver:

1) Mudança de base - pela definição de logaritmos logax = y⇔ ay = x, tem-se a=

1,022, x = 2 e y = t. Portanto,

t = 31 meses e 26 dias ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.

2 = 1,022t ⇒ log2 = log1,022t

2) Aplicar log nos dois lados da equação – sempre é possível resolver uma equação



U1

47

efetuando a mesma operação em ambos lados da igualdade, certo? Logo,

2 = 1,022t ⇒ log2 = log1,022t e pela propriedade (3), pode-se escrever

log2 = t log1,022 que chegará na mesma divisão da solução anterior, portanto t =

31,85 meses ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.


Pratique mais!

Instrução




Crescimento de bactéria e Tempo médio árvore

1. Competência de



3. Conteúdos relacionados Função Exponencial e Logarítmica


1) Em uma pesquisa realizada constatou-se que a população P de

determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t)= 25.2t

, ondet está medido em horas. O tempo que essa população atinge 400

bactérias é de:

a) 3 horas

b) 4 horas

c) 6 horas

d) 8 horas

2) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina

à produção de madeira, evolui, desde o plantio, segundo o seguinte

modelo matemático: h(t)= 1,5 + log3 (t+1) com h(t) em metros e t em

anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu

3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento do

plantio até o do corte foi de:

a) 9 anos

b) 8 anos

c) 7 anos

d) 5 anos



U1

48


Resposta:

1) 25.2t =400

2t =

2t = 16

2t = 24

t= 4 horas, portanto letra b.

2) Resposta:

3,5 = 1,5 + log3(t+1)

log3

(t+1) = 3,5 -1,5

log3

(t+1) =2

32 = t+1

t= 8 anos

Faça valer a pena!

1. O domínio da função y = log3 (x – ½) é:

a) D ={ x ЄR/ x > }

b) D ={ x ЄR/ x > 1 }

c) D ={ x ЄR/ x < }

d) D ={ x ЄR/ x > <1 }

e) D=R

2. Função logarítmica é toda função f(x) = logb x, ou seja, que associa a cada x o

logaritmo, na base b, de x. Com relação ao gráfico desta função podemos afirmar que:

a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,1).

b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes I e III.

c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x

2).

d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente (x1 < x

2).

3. O professor Notlia, responsável pelo departamento de ideias criativas dafaculdade “Aprendendo o que se vive”, solicitou aos seus alunos que criassem uma



U1

49

calculadora que resolvesse a seguinte equação: 2x = 3. Dessa forma, para que os

alunos possam obter um valor aproximado de x, devem criar uma calculadora que

possua em sua programação os valores das seguintes teclas:

a) log 3, log2 e log3.log2

b) log 3, log2 e log3:log2

c) 2.log 3, log2 e log3-log2

d) log 3, log2 e log3+log2

4. Em certo experimento, pesquisadores, ao investigar o desenvolvimento de uma

cultura de bactérias, constataram que esta população cresce segundo a expressão, em que N(t) representa o número de bactérias e t indica o

tempo observado em horas. Considerando que foi verificada a existência de um

nível crítico, que é quando a cultura atinge 98304 bactérias, qual será o tempo

necessário para que o número de bactérias alcance esse nível?

a) 2 horas e 30 minutos

b) 3 horas

c) 4 horas e 20 minutos

d) 5 horas

e) 6 horas

5. Juliana tem duas lojas de roupa A e B, cada uma localizada em um shopping da

cidade. O faturamento y de certo produto vendido na loja A pode ser descrito pela

função y= 10.3! em que x representa a quantidade de meses desde a inauguração

da loja. A loja B vende o dobro da loja A a cada mês. Sabendo que ambas as lojasinauguradas no final de setembro (x=0), em qual final de mês as duas lojas juntas

venderam R$ 21870 do produto?

a) junho

b) fevereiro

c) julho

d) março



U1

50

6. As funções matemáticas englobam um tema muito importante no nosso

cotidiano, uma vez que através delas podemos criar modelos matemáticos, que

descrevem várias situações. Sabendo que a população inicial de uma cidade é 19000

habitantes e que sua população estimada, para daqui a x anos, por f(x) = (20 - ).1000 habitantes.

Podemos afirmar, de acordo com esta função, que essa população durante o 3º

ano, comparada à população inicial:

a) aumentará 19875 habitantes

b) aumentará 750 habitantes

c) aumentará 875 habitantes

d) aumentará 500 habitantes

7. Uma das aplicações das funções exponenciais é o cálculo da pressão atmosférica.

Supondo que de acordo com alguns pesquisadores a pressão atmosférica P seja

dada pela função em que h represente a altitude nas proximidades

da superfície de Marte. Escreva V caso a alternativa seja verdadeira e F se for falsa:

a) ( ) Esta função nos indica que quanto maior a altitude, maior será a pressão.

b) ( ) Esta função informa que quanto maior for a altitude h, menor será a pressão.

c) ( ) A pressão atmosférica será nula quando a altitude é zero.

d) ( ) Em determinada altitude podemos observar a pressão negativa.



U1

52

A leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre as funções

trigonométricas, pois tratará de termos que envolvem as características notáveis

e suas propriedades.

Também no processo seletivo, a empresa multinacional apresentou a seguinte

situação-problema sobre o PIB (Produto Interno Bruto) para João:

(FVG-SP-adaptada) O PIB é um dos indicadores mais utilizados na macroeconomia

com o objetivo de quantificar a atividade econômica de uma região. Considere

que o PIB (Produto Interno Bruto) de um país, em bilhões de dólares, é dado pela

equação: P(x)= 800 + 50x + 40.sen (! ), onde,

x=0 corresponde ao ano de 1998


x= 2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante

Qual será o PIB do ano de 2018? E agora, como João pode resolver este problema?


Conceito e propriedades da função trigonométrica. Interpretar, analisar

e resolver o problema fazendo uso das funções trigonométricas seno,

cosseno e tangente, assim como de suas equações.

Reflita

Não pode faltar!

Função trigonométrica

Vamos avançar em nossos estudos, agora iremos trabalhar com as Funções

Trigonométricas. Mas você lembra a definição de função?

Assimile

Função é a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por

uma lei de formação. Existem diferentes tipos de funções: Função do1º Grau, Função do 2º Grau, Função Logarítmica, Função Exponencial



U1

53

A função trigonométrica possui como característica as razões trigonométricas,

como, por exemplo: f(x)= sen x, f(x)=cos x, f(x)= tg x. O domínio desta função são

os números reais, ou seja, a função associa cada número real ao seno, ao cosseno

ou à tangente etc.

São denominadas Funções Trigonométricas as funções que envolvem as

relações do triângulo retângulo em função de um determinado ângulo.

Para saber mais sobre essas relações, reveja trigonometria no triângulo

retângulo no link http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/

razoes.php. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Em nosso cotidiano encontramos diferentes fenômenos que se repetem após

um determinado intervalo, como, por exemplo: dias da semana, meses, horas, fases

da Lua, altura das marés, da radiação eletromagnética, dos pêndulos, das molas etc.

As funções trigonométricas representam tais fenômenos, por serem

funções periódicas, para isso imagine um ponto movendo-se por todo o ciclo

trigonométrico. A projeção deste ponto sobre o eixo vertical “y” ou sobre o eixo

horizontal irá compor o movimento periódico.

Para entender melhor, vamos estudar um pouco sobre o ciclo trigonométrico!

No ciclo trigonométrico, consideramos uma circunferência com o centro

“0” com um raio unitário, ou seja, com a medida igual a 1, com dois eixos

perpendiculares: um vertical e outro horizontal, cruzando no ponto (0,0), formando

assim quatro quadrantes: Q1, Q2, Q3 e Q4.

e Função Trigonométrica e etc. São exemplos dessas funções:

f(x) = x + 1 f(x) = x² +2 f(x) = log x f(x) = 2 x



U1

54

Fonte: Disponível em: https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.1 | Ciclo trigonométrico

A medida utilizada no ciclo trigonométrico será através dos arcos ou ângulos.

Seja um ciclo marcado com dois pontos: A e B, imagine que este ficou dividido em

dois arcos AB e BA:

Fonte: Disponível em: https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9

trico&espv=2&biw=1. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.2 | Ciclo trigonométrico

Se os arcos AB coincidem são chamados de arco nulo, de medida 0°, um arco

completo possui 360º graus e 1° grau é igual ou 60’ minutos. Já a medida em

radianos envolve a razão entre o comprimento e raio da circunferência, ou seja:

.



U1

55


Figura 1.3 | Ciclo trigonométrico: Graus e Radianos

Exemplificando

Assim 2 corresponde a 360º. Agora vamos lembrar como é

feita a conversão radianos para graus e graus para radianos. Vamos

converter para graus, para isso vamos utilizar regra de 3;

sabendo que é igual a 180º, teremos:

........ 180

......... x

x = 180. (cancelar r.rad)

x = 180.

x = 120°

Então , correspondem a 120°

Vamos agora transformar 120º em , novamente utilizando regra

de três a partir do pressuposto de que corresponde a 180°.

Reflita



U1

56

........ 180

X ......... 120°

180.x = 120.

x =

x=

Então 120° correspondem a .

No círculo trigonométrico é possível fazer a leitura das razões trigonométricas:

seno, cosseno e da tangente, para um ângulo tendo como raio uma unidade,

tem-se um ponto “P” , cujas coordenadas são (a,b), sendo “a” projetado no eixo

das abscissas “x” e “b” projetado no eixo das ordenadas “y”, formando um triângulo

retângulo, teremos:


Figura 1.4 | Círculo trigonométrico

Para ampliar seus conhecimentos, pesquise mais sobre arcos côngruos e

ciclo trigonométrico.

Veja o link http://www.brasilescola.com/matematica/arcos-mais-de-uma-

volta.htm. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais



U1

57

Vamos agora estudar as funções seno, cosseno e tangente!

Função SenoObserve o ciclo trigonométrico. Para fazer a leitura das razões do seno, teremos

como base o eixo vertical, e lembrando que a hipotenusa vale uma unidade,

portanto a razão do seno será o mesmo valor da ordenada “b”, ou seja, será o

mesmo da medida do cateto oposto:

Sen =

Sendo assim, o eixo vertical, correspondente à ordenada é identificada como

seno de e a representação gráfica da função seno, se repete no intervalo de 0

a e 2π rad ou de 0° a 360°:

A representação gráfica da função seno será uma curva denominada como

senoide e possui as seguintes características:

Domínio pertence ao conjunto dos números Reais;

Periodicidade de 2π rad;

Imagem será entre [1,-1];

Valor máximo igual a “1” e mínimo igual a “-1”;

A amplitude será igual a 1;

Sinal positivo no 1º e 2° quadrantes;

Sinal negativo no 3º e 4º quadrantes

Para construir o gráfico f(x)= sen x, atribuímos valores de x - assim determinamos

os valores correspondentes às razões trigonométricas:

Fonte: O autor (2015)

Tabela 1.1 | Função Seno

Ângulos f(x) = sen x (X, Y)

0 π ou 0° f(x) = sen 0 0

ou 90º f(x) = sen 90 1

ou 180° f(x) = sen 180 0

ou 270º f(x) = sen 270 -1

ou 360° f(x) = sen 360 0



U1

58

Fonte: Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/.Acesso em: 21 mai. 2015.

Gráfico 1.1 | Senoide

Função Cosseno

Denominamos f(x)=cos (x), de função cosseno, de modo a associar cada

número real “x” o número real “OP”, sendo considerado como cosseno do ângulo

, o valor da medida do cateto adjacente, ou seja, ao número real “x” da abscissa

do ponto correspondente à sua imagem no ciclo:

Cos =

A representação gráfica da função cosseno será uma curva denominada comoCossenoide e possui as seguintes características:

Sinal positivo: quando x pertence ao 1º e 4º quadrantes;

Sinal Negativo: quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes;

Período de 2 rad;

Domínio pertence aos números Reais;

Imagem será entre [-1,1]

Para construir o gráfico f(x)= cosx, atribuímos valores de x - assim determinamos

os valores correspondentes às razões trigonométricas:

Tabela 1.2 | Função Cosseno

Ângulos f(x) = sen x (X, Y)

0 π ou 0° f(x) = cos 0° 1

ou 90º f(x) = cos 90° 0

ou 180° f(x) = cos 180° -1



U1

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ou 270° f(x) = cos 270° 0

ou 360° f(x) = cos 360 1


Gráfico 1.2 - Cossenoide

Função tangente

É a função real de variável, tal que x pertence ao conjunto dos números Reais,

tendo P sua imagem na circunferência trigonométrica e T o ponto em que a retaOP intercepta o eixo da tangente

tg =

Ângulo 0 3

Tangente 0 1 -1 0 1 -1 0

Tabela 1.3 | Função Tangente


A representação gráfica da função tangente f(x) tgx é denominada comotangentoide e possui as seguintes características:

O sinal da função é positiva no 1º e 3º quadrantes;

O sinal de função é negativa no 2º e 4º quadrantes;

Tem o período em π.rad;

Domínio será D = {x Є R/x ≠ + K. }



U1

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Não existe a tangente para os ângulos de e ;


Gráfico 1.3 - Tangentoide

Com esta seção, tivemos a oportunidade de aprofundar nossos estudos sobre

Funções Trigonométricas e suas aplicações, rever assuntos que fundamentam

e complementaram este tema, com as Razões Trigonométricas e Ciclo

trigonométrico, bem como as transformações de unidades do grau para π rad

e vice-versa. Para complementar este assunto assista aos vídeos, leia os artigos

sugeridos e realize as atividades propostas. E desejo a você bons estudos!

Agora você possui as ferramentas necessárias para resolver o exemplo inicial

desse tema.

Faça você mesmo

Sendo f (x) = 2cosx esboce seu gráfico e identifique o conjunto imagem

e período.

O presente conteúdo desenvolveu o estudo das funções trigonométricas, abordando

os termos que envolvem suas características notáveis. Vamos agora praticar? Chegou

a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!



U1

61

Sem medo de errar!

Após o estudo das funções trigonométricas, vamos resolver a situação-problema

do PIB apresentada ao João?

Vamos relembrar! A partir da equação apresentada, João deve descobrir qual

será o PIB do ano de 2018.

Então, dada a equação P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π ), João deve calcular o PIB

do ano de 2018, assim x= 20, já que como mencionado no enunciado da situação-

problema



x= 2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante

Temos desse modo:

P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π )

P(x)= 800 + 50.20 + 40. sen (π )

P(x) = 800 + 1000 + 40. sen (π )

P(x) = 1800+ 40.1

P(x) = 1840 bilhões.


Pratique mais!

Instrução




Altura da Maré

1. Competência de



3. Conteúdos relacionados Funções Trigonométricas (seno, cosseno, tangente)



U1

62


Em certo dia do ano, em uma cidade, a maré alta ocorreu à meia-noite.

A altura da água no porto dessa cidade é uma função periódica, pois

oscila regularmente entre maré alta e maré baixa, ou seja, a altura da

maré aumenta até atingir um valor máximo (maré alta) e vai diminuindo

até atingir um valor mínimo (maré baixa), para depois aumentar de

novo até a maré alta, e assim por diante. A altura y, em metros, da maré,

nesse dia, no porto da cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela

fórmula: y=2+1,9. cos(π.t/6), sendo t o tempo decorrido, em horas,

após a meia noite. Considerando as informações acima, responda:

Qual a altura da maré no tempo de 3 horas?

a) 2 metros

b) 3 metros

c) 3,9 metros

d) 4 metros


Resposta:

Para t= 3 h

y= 2 + 1,9 . cos(π.t/6) = 2 + 1,9 . cos(π.3/6) =2 + 1,9 . cos(π/2)

y= 2 + 1,9 . cos(90°) = 2 + 1,9 . 0 = 2 m

Faça valer a pena!

1. Considerando a função trigonométrica f(x)= senx, assinale a alternativa

correta:

a) O gráfico da função seno é chamado de senoide e tem como domínioo intervalo [-1,1].

b) A imagem da função seno é o conjunto dos números reais.

c) A função é não periódica.

d) cada ponto do gráfico é da forma (senx, x).

e) Seno é uma função ímpar.

2.O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 cm. Qual a distância quesua extremidade percorre no período de 20 minutos? Considere = 3,14.

a) 34,2 cm

b) 45, 7 cm

c) 12, 9 cm

d) 78,9 cm



U1

63

e) 25, 12 cm

3. A profundidade da água de um porto pode ser modelada por uma funçãotrigonométrica, devido às oscilações das marés oceânicas. A profundidade

da água em um porto da costa brasileira é dada pela fórmula D(t)= 2,7 cos(

t)+ 4,5 em que D é a profundidade da água em metros e t é medida em

horas após a primeira maré alta do dia. Um comandante deve decidir ohorário de atracamento do seu navio nesse porto, optando por atracar 7horas ou 11 horas após a primeira maré alta do dia. Em qual desses doishorários ele teria a maior profundidade da água?

4. A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horasdo dia, e os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximaressa necessidade de energia pela função:

P(t)= 40 – 20 cos ( /12 t - /4) em que t é a hora do dia e P a quantidadede energia, MW. Qual a quantidade de energia, MW, consumida pelacidade ao meio-dia? Use = 1,4.

a) 54 MW

b) 60 MW

c) 26 MW

d) 34 MW

e) 87 MW

5. Seja a função real de variável definida por f(x) = 3+ 2senx. Assinale aalternativa correta:

a) a função é par

b) a função é ímpar

c) a função não é par nem ímpar

d) a imagem da função é [0,5]

e) a imagem da função é [-1,-5]



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6. Considerando a função trigonométrica f(x)= tgx, assinale a alternativacorreta:

a) O gráfico da função tangente é chamado de senoide

b) Tem como domínio x ≠ /2 + k

c) A imagem da função é o intervalo [-1,1]

d) A função é não periódica

e) Seno é uma função par.

7. Qual o domínio da função tangente y= tg (x - 30°)?



U1

Referências

ANTON, Howard. Cálculo – volume I. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2009.PLT 178.

STEWART, James. Cálculo – v. 1, 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.

Referências Complementares:

ANTON, Howard. BIVENS, Irl. Davis, Stephen. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre:Bookman, 2007. http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT2w4DgDA&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo%20i&f=false. Acessoem: 3 mar. 2015.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo -ilustrado, prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2012. http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2128-7. Acesso em: 3 mar. 2015.

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo - um curso moderno e suasaplicações - tópicos avançados. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2. Acesso em: 3mar. 2015.

HUGHES-HALLET, Deborah; McCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew M. et

al.

Cálculo - A Uma e a Várias Variáveis - Vol. 1. 5. ed.

Rio de Janeiro: LTC, 2011. http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0. Acesso em: 03 mar. 2015.

MALTA, Iaci. PESCO, Sinésio. LOPES. Hélio. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio deJaneiro: PUC-RIO, 2007. Vol II. http://books.google.com.br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfs

Calculo Diferencial e Integral U1 20150822093854

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