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Cálculo Diferencial e

Integral I

Curso de Agroecologia

Profª Paula Reis de Miranda

2012/2º semestre

Cálculo I

Apostila Adaptado do material original de autoria do Professor Flávio Bittencourt

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1

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUDESTE DE MINAS

GERAIS

PROGRAMA ANALÍTICO DE DISCIPLINA

CAMPUS: Rio Pomba

CURSO: Bacharel em Agroecologia

PERÍODO: 2º SEMESTRE/ANO: 2º/2012

DISCIPLINA:

Cálculo Diferencial e Integral I CÓDIGO: MAT 192

PROFESSOR

RESPONSÁVEL PELA

DISCIPLINA:

Paula Reis de Miranda

PROFESSOR (ES)

COLABORADOR (ES):

CARGA HORÁRIA TOTAL: 66 Nº TOTAL DE AULAS: 72

Nº TOTAL DE AULAS PRÁTICAS: 22 Nº TOTAL DE AULAS TEÓRICAS: 50

PRÉ-REQUISITO (S):MAT 159 OU

MAT 151 VIAGEM

CO-REQUISITO (S):

EMENTA

Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). Limites e Continuidade de Funções

Reais. Derivadas. Aplicações da derivada. Máximos e Mínimos. Integral indefinida. Integral

definida. Teorema Fundamental do Cálculo.

OBJETIVOS

Desenvolver a intuição, a capacidade de raciocínio lógico, a observação, a investigação, a análise e o

delineamento de conclusões do aluno, testando-os na resolução de problemas no decorrer do curso e

na vida profissional.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO N° AULAS

T P

Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). 8 4

Limites e Continuidade de Funções Reais. 8 2

Derivadas. 8 4

Aplicações da derivada. 4 4

Máximos e Mínimos 2 2

Integral indefinida 8 2

Integral definida. 4 4

Teorema Fundamental do Cálculo. 8 0

METODOLOGIA DE ENSINO

O conteúdo será ministrado por meio de aula expositiva dialogada, demonstrativa, trabalhos

individuais e em equipes, listas de exercícios estimulando o pensamento crítico, levando o aluno a

construir seu próprio conhecimento.

RECURSOS DIDÁTICOS

- Quadro branco, pincel e apagador;

- Apresentação de slides, computador e TV.

- Softwares educativos: Winplot e Graphmat

- Apostilas e listas de exercícios

- Livros da Biblioteca

AVALIAÇÃO

A avaliação será realizada de forma dinâmica, contínua e processual através de atividades em grupo

e individual e a partir da observação e análise do desempenho dos alunos durante a aula seguindo os

seguintes critérios:

Iniciativa, interesse e autonomia;

Participação nas atividades propostas;

Capacidade de assimilação e construção dos conceitos estudados.

Provas individuais: 50 pontos

Provas em dupla e com consulta: 25 pontos

Trabalhos e seminários: 25 pontos

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3

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

BÁSICA:

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8ª ed. São Paulo: Editora Bookman,

2006. V. 1.

FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,

STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. v. 1.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (MÍNIMO CINCO)

ÁVILA, G. Cálculo: Funções de uma variável. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1994.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001

HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Tradução

Ronaldo Sérgio de Biasi. 7. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2002.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO (MEC). Secretaria de Educação à distância.

Matemática: conversa de professor: matemática. [s.l.]: TV Escola, 1995. Vol. 2. 1 DVD; (2h

55min). (DVD Escola, 23).

SWOKOWSKY, E. W. Cálculo com geometria analítica. V.1. São Paulo: Makron Books, 1994.

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4

0. Revisão

0.1 Produtos notáveis As igualdades a seguir são alguns dos produtos notáveis que ocorrem freqüentemente na Matemática e com os quais o aluno deverá familiarizar o mais rápido possível.

a) a c d ac ad

b) 2 2a b a b a b

c) 2 2 2a b a b a b a 2ab b

d) 2 2 2a b a b a b a 2ab b

e) 2x a x b x a b x ab

f) 3 3 2 2 3a b a b a b a b a 3a b 3ab b

g) 3 3 2 2 3a b a b a b a b a 3a b 3ab b

Exercícios:

Determinar cada um dos seguintes produtos:

a) 3x 2x 3y

b) 2 3x y 3x 2y 4

c) 3 2 2 33x y 2xy 5 x y

d) 2x 3y 2x 3y

e) 3 31 5x 1 5x

f) 3 2 3 25x x y 5x x y

g) 2

3x 5y

h) 2x 2

i) 2

ax 2by

j) 2

4x 6

k) 2

3y 2

l) x 3 x 5

m) x 2 x 8

n) x 2 x 8

o) 2 2t 10 t 12

p) 3

x 2y

q) 33x 2

r) 3

2y 5

s) 3

xy 2

t) 3

2 2x y y

0.2 Fatoração Os métodos mais usuais são os seguintes: a) Fator monônio comum

ac ad a c d

Exemplos: 2 3 26x y 2x 2x 3y x 3 2 2 22x y xy 3x y xy 2x y 3x

b) Diferença de dois quadrados

2 2a b a b a b

Exemplos: 2x 25 x 5 x 5 2 24x 9y 2x 3y 2x 3y

c) Trinômio quadrado perfeito

22 2a 2ab b a b

22 2a 2ab b a b

Exemplos: 22x 6x 9 x 3 22 29x 12xy 4y 3x 2y

d) Outros trinômios

2x a b x ab x a x b

2acx ad bc x bd ax b cx d

Exemplos: 2x 5x 4 x 4 x 1 2 2x xy 12y x 3y x 4y

23x 5x 2 x 2 3x 1 26x x 12 3x 4 2x 3

28 14x 5x 4 5x 2 x

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5

Exercícios

Fatore os seguintes polinômios

a) 22x 3xy

b) 4x 8y 12z

c) 2 3 4 3 2 4 4 3 210a b c 15a b c 30a b c

d) 2x 9

e) 2 225x 4y

f) 2 41 m n

g) 2 2 4x y 36y

h) 81 x

i) 3 3x y y x

j) 2x 8x 16

k) 21 4y 4y

l) 2 2x 16xy 64y

m) 2 216m 40mn 25n

n) 4 2 2 416a 72a b 81b

o) 2x 6x 8

p) 2x 6x 8

q) 2x 2x 8

r) 2x 2x 8

s) 3 23x 3x 18x

t) 4 2y 7y 12

u) 2x 1 3 x 1 2

v) 23x 10x 3

w) 22x 7x 3

x) 22y y 6

y) 2 26x xy 2y

Respostas:

a) x 2x 3y ; c) 2 2 2 2 25a b c 2bc 3ac 6a b ; f) 2 21 mn 1 mn ; g) 2y x 6y x 6y

h) 4 21 x 1 x 1 x 1 x ; i) xy x y x y ; j) 2

x 4 ; l) 2

x 8y ; n) 2 2

2a 3b 2a 3b ;

o) x 4 x 2 ; s) 3x x 3 x 2 ; u) x 3 x 2 ; v) 3x 1 x 3 ; w) 2x 1 x 3 ;

x) 2y 3 y 2 ; y) 3x 4y 2x 3y ;

0.3 Logaritmos

Definição: Se xb a , sendo a um número positivo qualquer e b positivo e diferente de 1, o

expoente x é o logaritmo de a na base b, escrevendo-se bx log a .

Exemplos: 23 9 , logo 2 é logaritmo de 9 na base 3, isto é, 32 log 9 .

2log 8 é o número x, a que se deve elevar a base 2 para obter 8, isto é,

x2 8, x 3 . Assim, 2log 8 3 .

Propriedades dos logaritmos: i) O logaritmo do produto de dois números positivos a e b é igual à soma dos logaritmos dos números, isto é:

c c clog ab log a log b

ii) O logaritmo do quociente de dois números positivos a e b é igual à diferença dos logaritmos dos números, isto é:

c c c

alog log a log b

b

iii) O logaritmo da potência p de um número positivo a é igual ao produto p pelo logaritmo do número, isto é:

pc clog a p.log a

Exemplos:

a) 2 2 2 2log 15 log 3.5 log 3 log 5

b) 17

log log17 log2424

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6

c) 37 7log 5 3log 5

1

3 31

log 2 log2 log23

iv) blog b 1

De fato, fazendo blog b x tem-se: xb b x 1

v) blog 1 0

De fato, fazendo blog 1 x tem-se: x 0b 1 b x 0

vi) x

blog b x

De fato, pelas propriedades (iii) e (vi) temos: x

b blog b x.log b x.1 x .

vii) Mudança de base

*k

b

k

log alog a , k, com k IR , k 1

log b

Exercícios

1) Passar da forma exponencial para a logarítmica:

i) modelo: qpp r q log r

ii) 32 8 iii) 24 16 iv) 2 13

9 v)

2

31

84

2) Passar da forma logarítmica para a exponencial:

i) modelo: 25log 25 2 5 25

ii) 2log 64 6 iii) 1

4

1log 2

16 iv) 3

alog a 3 v) rlog 1 0

3) Calcular o valor dos logaritmos seguintes:

i) 4log 64 ii) 3log 81 iii) 1

2

log 8 iv) 3log 10 v) 5log 125 5

Respostas: i) 3; ii) 4; iii) 3 ; iv) 1

3; v)

7

2

4) Resolver as seguintes equações:

i) 3log x 2 ii) 4

3log y

2 iii) xlog 25 2 iv) x

9 2log

4 3 v) 2log 3x 2x 4 0

Respostas: i) 9; ii) 1

8; iii) 5; iv)

8

27; v)

51,

3

5) Resolver (use logaritmos e calculadora):

i) 2x 2 5x 15 3 ii) 2x 1 x 24 5 iii) x 1 1 3x3 4.5

Respostas: i) 1,898; ii) 3,958; iii) 0,6907

6) Sabendo que 6 6log 5 0,898 e log 2 0,386 calcular (somente use a calculadora nas operações

de multiplicação e divisão):

a) 6log 10 b) 6log 2,5 c) 2log 5 d) 6log 20 e) 6

5log

12 f) 6log 5

Respostas: a) 1,284; b) 0,512; c) 2,326; d) 1,67; e) 0,488 ; f) 0,449

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7

1. Principais Funções Elementares

1.1 Função Constante

Dado um número real c, denominamos função constante à função f : IR IR definida por

f x c .

Gráfico

Propriedades:

a) D f IR ;

b) Im f c ;

c) f é função par, pois f x f x c, x IR ;

d) f é limitada, pois c f x c, x IR .

1.2 Função Identidade

Denominamos função identidade à função f : IR IR definida por f x x .

Gráfico

Propriedades:

a) D f IR ;

b) Im f IR ;

c) f é função ímpar, pois f x x f x ,

x IR ; d) f não é limitada.

1.3 Função Afim

Dados os reais a e b, a 0 , denominamos função afim à função f : IR IR definida por

f x ax b

Gráfico

Propriedades:

a) D f IR ;

b) Im f IR ;

c) Se b 0 , f é função ímpar, pois

f x a x ax f x , x IR

Se b 0 , f não é função par, nem ímpar;

d) f não é limitada; e) O gráfico intercepta o eixo x no ponto cuja abscissa

é a raiz da equação ax b 0 ; portanto em b

; 0a

.

A interseção com o eixo y é 0; b .

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8

1.4 Função Quadrática

Dados os reais a, b e c, a 0 , denominamos função quadrática à função f : IR IR definida

por 2f x ax bx c .

Gráfico

2

Se a 0

e b 4ac 0

Se a 0

e 0

Se a 0

e 0

Se a 0

e 0

Se a 0

e 0

Se a 0

e 0

O vértice da parábola é o ponto V de coordenadas: v

bx

2a

e

2

v

b 4acy

4a 4a

.

Propriedades:

a) D f IR ;

b) v vIm f y IR | y y y ; , se a 0; ou

v vIm f y IR | y y ; y , se a 0;

c) Se a 0 , f tem um valor mínimo para v

bx x

2a

;

Se a 0 , f tem um valor máximo para v

bx x

2a

;

O valor mínimo (ou máximo) de f é vy4a

;

d) Se b 0 , f é função par, pois 2 2f x a x c ax c f x , x IR ;

e) f não é limitada;

f) Quando 0 , o gráfico intercepta o eixo x nos pontos 1x ; 0 e 2x ; 0 onde 1x e 2x são raízes da

equação 2ax bx c 0 .

Quando 0 , o gráfico intercepta o eixo x nos pontos 1x ; 0 onde 1x é raiz da equação

2ax bx c 0 .

Quando 0 , o gráfico não intercepta o eixo x.

Em qualquer caso, a interseção com o eixo y é o ponto 0; c .

Exercícios

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9

1) Se 2x 3

f xx 1

, achar: (i) f 0 , (ii) f 4 , (iii) f 2a , (iv)

1f

z

, (v) f x 3 .

2) Se 2f x x 2x , achar f a h f a

h

.

3) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:

i) f x 3

ii) 5

f x2

iii) f x 2x

iv) x

f x2

v) f x 2x 2

vi) 2f x x x 6

vii) 2f x x 6x 8

viii) 2f x x 6x 9

ix) 2f x x 2x 4

4) Seja f : IR IR tal que 2f x 1 x x 1 para todo x real. Pede-se:

a) Calcular f 1 .

b) Expressar f x como um polinômio inteiro de potências decrescentes na variável real x.

5) Seja a função f x ax b, x IR , onde a e b são constantes reais. Pede-se determinar a e b não

nulos e tais que 2f f x b f x b para todo x real.

6) Os produtos farmacêuticos devem especificar as dosagens recomendadas para adultos e crianças. Duas fórmulas para modificações da dosagem de adulto para uso por crianças são:

Regra de Cowling: 1

y t 1 a24

Regra de Friend: 2

y ta25

Onde a denota a dose de adulto (em miligramas) e t a idade da criança (em anos).

a) se a = 100, faça o gráfico das duas equações lineares no mesmo sistema de eixos para 0 t 12 .

b) para que idade as duas fórmulas especificam a mesma quantidade?

7) Considere a função f : IR IR , tal que 2f x ax bx c, f 0 5; f 3 11e f 5 15 . Calcular

as constantes a, b e c. 8) A resistência elétrica R (em ohms) para um fio de metal puro está relacionada com sua

temperatura T (em oC) pela fórmula oR R 1 aT , para constantes positivas a e oR .

a) Para que temperatura se tem oR R ?

b) Supondo que a resistência seja 0 (zero) se oT 273 C (zero absoluto), determine a.

c) Um fio de prata tem uma resistência de 1,25 ohms a 0o C. A que temperatura a resistência é igual a

2 ohms?

9) Sejam a e h reais e dadas as funções: i) f x 5x 2 e ii) f x 3 4x , determine para cada uma

delas:

a) f a h b) f a f h c) f a h f a

h

10) Considere a função f : IR IR , tal que 2f x ax bx c, f 0 5; f 3 11e f 5 15 . Calcular

as constantes a, b e c.

11) O gráfico de 2f x x bx c , onde b e c são constantes, passa pelos pontos 0,0 e 1,2 .

Calcule 2

f3

.

12) Seja f x 2x 3 . Encontre ( )( )xff e faça o gráfico.

13) No gráfico ao lado representadas as funções (I) e (II), definidas por

y 3 x e y kx t , respectivamente. Os valores de k e t são,

respectivamente, 14) Obter o valor das constantes m e n, dado que o gráfico da função

3 2f x x x mx n é uma curva quem passa pelos pontos 0,2 e 2,10 .

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15) Um muro será usado como um dos lados de um galinheiro retangular. Para os outros lados será usado um rolo de 25 metros de tela de arame. Determinar quais devem ser as dimensões do galinheiro para que sua área seja máxima.

16) A parábola de equação 2y 2x bx c passa pelo ponto 1, 0 e seu vértice é o ponto 3,v .

Qual o valor de v?

17) A parábola de equação 2y ax bx c contém a origem do sistema de coordenadas e é

tangente à reta de equação y 4 no ponto 2,4 . Obter a b c .

Respostas:

1) (i) 3 ; (ii)13

3 ; (iii)

24a 3

2a 1

; (iv)

21 3z

z 1 z

; (v)

2x 6x 6

x 2

2) 2a 2 h

4) a) 3; b) 2f x x x 1

5) a 1 e b 2

13) 1

2 e 0

14) m 2 e n 2

15) 12,5 por 6,25 16) 8 17) 3 1.5 Função Recíproca Dado um número real x não nulo, o recíproco (ou inverso multiplicativo ou, apenas inverso) de

x é o real 1

x. Denominamos função recíproco à função * *f : IR IR definida por

1f x

x .

Gráfico

Propriedades:

a) *D f IR ;

b) *Im f IR ;

c) f é função ímpar, pois

1 1f x

x x,

*x IR ; d) f não é limitada.

1.6 Função Modular

Denominamos função modular à função f : IR IR, definida por f x x .

Pela definição de módulo, x se x 0

f x-x se x 0

Gráfico

Propriedades:

a) D f IR ;

b) Im f IR ;

c) f é função par, pois

f x x x f x , x IR ;

d) f não é limitada.

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11

Exercícios 1) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:

i) f x 2x ii) 2f x x 2x iii) 2f x x 5x 6

iv) 1

f x2x

v)

2

1f x

x 2

vi)

3

1f x

x 4

vii) 1

yx 2

viii) 2

1f x

x ix)

1f x

x

2) Numa determinada comunidade economicamente ativa, o número de pessoas cuja renda anual

excede o valor x (em real) é igual a 12

2

10

x. Quantas pessoas nessa comunidade têm uma renda anual

entre R$20.000,00 e R$50.000,00? 3) À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir um estado de imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60kg, a uma altitude de x quilômetros

acima do mar, é dado por

26400

W 606400 x

. A que altitude o peso do astronauta será inferior a

2kg?

4) Provar que se

2x 1f x

x 2, então f f x x .

5) A reta e a parábola, representadas no plano cartesiano ao lado, são gráficos de uma função do 1º grau f e de uma função do 2º grau g, respectivamente. Observe os gráficos e responda:

a) Para quais valores de x f x g x ?

b) Qual é o domínio e a imagem de f e g? Respostas: 2) 2100

3) x 28.654,24368 km

1.7 Função Exponencial

Dado um número real a positivo, a 0 , denominamos função exponencial de base a à

função f : IR IR definida por xf x a .

Gráfico

Se a 1

Se 0 a 1

Propriedades:

a) D f IR ;

b) *Im f IR ;

c) f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada.

Exercícios

1) Se xf x 2 , mostrar que 15

f x 3 f x 1 f x2

.


i) xf x 3 ii) xf x e iii) xf x e iv) x

1f x

3

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12

v) x 1f x 2 vi) 2xf x 2 vii) xf x 2 2 viii) xf x 2 1

3) Na figura ao lado está representado o gráfico de xf x ka ,

sendo k e a constantes reais positivas, com a 1 . Calcule,

baseando-se no gráfico, o valor de f 2 .

4) Após x anos um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 21% ao

ano dará um montante (capital + rendimento) x

M x 1000 1,21 .

Calcule: a) O montante após meio ano; b) O rendimento em meio ano.

5) Suponha que daqui a t anos o valor de um certo carro seja dado por t

0V t V 0,9 , onde 0V é o

valor atual do carro. Qual a porcentagem de desvalorização desse carro em um ano (relativamente ao valor inicial). 6) Numa cultura de bactérias existem inicialmente 1000 bactérias presentes e a quantidade após t

minutos é 0,7tN t 1000.3 . Verifique que em 10 minutos a quantidade de bactérias presentes na

cultura será superior a 2.000.000. 7) O radium é uma substância que se desintegra ao longo do tempo. Partindo de uma quantidade

inicial 0Q , suponha que a quantidade de radium existente após t anos seja dada por

t1000

0Q t Q 1,5

.

a) Calcule a porcentagem da quantidade de radium existente após 1.000 anos, relativamente à quantidade inicial. b) Que porcentagem da quantidade inicial se desintegra entre o 1000

o e 2000

o ano?

Respostas: 4) a) R$1.100,00; b) R$100,00 5) 10% 7) a) 66%; b) 22% 1.8 Função Logarítmica

Denominamos função logarítmica à função *f : IR IR definida por af x log x .

Gráfico

Caso a 1

Caso 0 a 1

Propriedades:

a) *D f IR ;

b) Im f IR ;

c) f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada.

Exercícios:

1) Se f x logx , mostrar que f 2x f x f 2 .

2) Se a

1f x log

x , mostrar que 3f a 3 e

1z

1f a

z

.


i) 3f x log x ii) 1

3

f x log x iii) f x lnx iv) 2f x log x 1

4) Determine, em IR , o conjunto solução de cada uma das equações:

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13

a)

x3 27

2 8

b) 3 x25 5 c) 3log 6x 9 4 d) xlog 32 5

5) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade

0Q , a quantidade existente após t anos seja dada por 0,05t

0Q t Q .e . Dado ln2 0,693 , calcule t

de modo que se tenha 0QQ t

2 . (Este valor de t é denominado meia-vida da substância).

6) Partindo de uma quantidade inicial de 0Q bactérias de uma dada espécie, após t horas a

quantidade existente é kt

0Q t Q .e onde k é uma constante. Se a quantia inicial dobrar em hora,

quanto tempo levará para se ter 1.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000

bactérias? Dado log2 0,3 .

7) Sabendo que 2k 110 7 , log7 0,845 e log5 0,699 , calcule t para que se tenha kt 110 5 .

8) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois dele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com

a fórmula t

N t 2 0,5 , onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível é

constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo com segurança se

o limite permitido de álcool no sangue é de 0,8 gramas por litro? Use log2 0,301.

9) Partindo de uma quantidade inicial de 0Q bactérias de uma dada espécie, após t horas a

quantidade existente é kt

0Q t Q .e onde k é uma constante. Se a quantia inicial triplicar em hora,

quanto tempo levará para se ter 1.000.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000

bactérias? Dados: ln3 1,099 e 6ln10 13,816 .

10) O período T de um pêndulo simples de comprimento c é dado pela fórmula T 2 c / g , onde g é

a aceleração da gravidade. Achar T(em segundos), sabendo que c 281,3cm e 2g 981,0cm/s .

Tomar 2 6,283 .

11) Resolver a seguinte equação de hidráulica:

1,3220,0 0,0613

14,7 x

.

12) Dada a fórmula T 2 c / g , achar c se T 2,75, 3,142 e g 32,16 .

13) Dados A 0,0807, G 0,0056 e P 1250 encontre D na fórmula

3

PD

05236 A G

.

Respostas: 5) 14 anos 6) 10 horas 7) 3,884

8) 4

3 hora.

9) 12,57 horas

10) T 3,365 segundos

11) x 0,0486

12) 6,16 13) 31,7

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14

1.9 Função definida por várias sentenças Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma ligada a um D diferente contido no domínio definido. Gráficos (Exemplos)

a)

1, se x 0

f x 2, se 0 x 1

1, se x 1

b) 2

x, se x 0f x

x , se x 0

Gráficos:

1 x

y

1

2

x

y

D f IR e Im f 1,2 D f IR e Im f IR

Exercícios

1) Traçar o gráfico e dar o domínio e imagem:

i) 2

1 se x 1

f x x se 1 x 2

4 se x 2

ii) 2

2x+3 se x 0

f x x se 1 x 2

1 se x 2

iii) x 1, se x 3

f xx 2, se x 3

iv) 2

2, se x 1f x

x 3x, se x 1

v)

2x x 2, se x 0

f x 1, se 0 x 2

x 2, se x 2

vi)

log 2x , se x 1

f x 1, se 1 x 1

xlog , se x 1

3

2) De acordo com o World Wildlife Found, um grupo que lidera a luta contra o comércio ilegal de marfim, o preço do marfim (em euros por quilo) compilado de várias fontes é aproximado pela função:

8,37x 7,44 se 0 x 8

f x2,84x 51,68 se 8 x 30

Onde x é medido em anos, considera t 0 corresponde ao início de 1970, t 1 corresponde ao

início de 1971 e assim por diante. a) Esboce o gráfico da função f; b) Qual era o preço do marfim no início de 1970? E no início de 1990? 3) O cálculo do imposto de renda devido por um contribuinte é feito da seguinte forma: depois de algumas deduções sobre o total de rendimentos anuais, chega-se a um valor denominado base de cálculo. Sobre a base de cálculo aplica-se uma alíquota e, do resultado obtido, deduz-se uma parcela. A alíquota e a parcela dependem da base de cálculo conforme o quadro:

Base de cálculo Alíquotas Parcela a deduzir

Até $12.696,00 0 0

De $12.696,01 a $25.380,00 15% $1.904,40

Acima de $25.380,00 27,5% $5.075,90

Seja f x o valor do imposto devido quando a base de cálculo for x reais. Dê uma expressão para

f x e esboce seu gráfico.

Respostas: 2) b) 7,44 euros e 108,48 euros.

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15

3)

0, 0 x 12.696,00

f x 0,15x 12.696,00 x 25.380,00

0,275x 3.172,50 x 25.380,00

1.10 Funções polinomiais

Dados os números reais 0 1 2 3 n 1 na ,a ,a ,a ,...,a ,a , denominamos função polinomial à função

f : IR IR definida por n n 1 n 2

0 1 2 n 1 nf x a x a x a x ... a x a

. Os números 0 1 2 3 n 1 na ,a ,a ,a ,...,a ,a

são os coeficientes. As funções constante, afim e quadrática são casos particulares da função polinomial. Demais comentários sobre as funções polinomiais serão vistos nas aplicações de derivadas, ou no decorrer do curso.

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16

2. Continuidade. Limites

2.1 Noção de Continuidade Toda função cujo gráfico é uma linha geométrica contínua é chamada função contínua. São exemplos de função contínua:

a) uma função quadrática, como 2f x x 2x 3 , cujo gráfico é uma parábola, portanto uma linha

geométrica contínua;

b) a função módulo, f x | x | , cujo gráfico é formado por duas semi-retas de origem em (0,0);

c) a função seno, f x senx , cujo gráfico é a senóide;

d) uma função exponencial, como xf x 2 , cujo gráfico é também uma curva contínua sem

interrupções. 2.2 Introdução ao Conceito de Limite

Consideremos a função f x 2x 1 , definida em IR . Ao estudar o seu comportamento

quando a variável x assume valores cada vez mais “próximos” de 1, isto é, quando x tende a 1, observam-se as duas situações: 1

o) Atribuindo valores menores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1

pela esquerda, observa-se:

x 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 x 1

f x 2x 1 2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,98 2,998 2,9998 f x 3

Quando x tende a 1 pela esquerda a função, ou seja, o valor de y, tende a 3. 2

o) Atribuindo valores maiores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela

direita, observa-se:

x 1,4 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 x 1

f x 2x 1 3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,02 3,002 3,0002 f x 3

Quando x tende a 1 pela direita a função, ou seja, o valor de y, tende a 3. Em ambos os casos nota-se que, quando x tende a 1, f(x) tende a 3. Podem-se obter valores de f(x) tão próximos de f(1) quanto se quer, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de 1. Diz-se, então, que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a f(1).

Simbolicamente, escreve-se: x 1limf x f 1

.

Assim, x 1lim 2x 1 2.1 1 3

As duas figuras a seguir esquematizam o cálculo dos limites laterais.

Exercícios

1) Calcular as constantes a e b sabendo que x 1lim ax b 5

e x 3lim ax b 7

2) Calcule os limites indicados das funções:

Cálculo I


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17

a)x

2

1lim

senx

c)2

3t 0

4t 3t 2lim

t 2t 6

e) 2

x 2limlog x 6

g) x 1

x 1lim2

i) 3

310 2x 1

27x 4x 4lim

x 4x 3x

k)x 3

5x 11lim

x 1

m) x 2lim 3x 1

b)x 3lim 2x 3

d)2

x 1

x 8lim

x 3

f) x

x 0lime

h) 2

x 2

9lim 2x x x

2

j) 2

t 0lim 4t 3t 2

l) 2

x 5lim x 2x

n) x 2lim 3x 1

Respostas:

1) a 1; b 4

2) a) 1; b) 3; c) 1

3 ; d)

3

2; e) 1; f) 1; g) 1; h) 8 ; i)

3

2; j) 2; k) 13; l) 35; m) 7 ; n) 5

2.3 Limites Laterais

Quando considera x alim f x

, está-se interessado em valores de x no intervalo aberto contendo

a, mas não o próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores ou menores do que a. Mas,

suponha que tem uma função f como por exemplo, f x x 3 . Como f x não existe para x 3 ,

f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo 3. Logo x 3lim x 3

não tem significado.

Entretanto, se x estiver restrito a valores maiores do que 3, o valor de x 3 poderá torna-se zero

quanto deseja-se, tomando-se x suficientemente próximo de 3, mas maior do que 3. Em tal caso, deixa-se aproximar de 3 pela direita e considera-se o limite lateral direito.

Daí, segue que, x 3lim x 3 0

.

Se, entretanto, a variável independente x estiver restrita a valores menores do que um número a, diz-se que x tende a a pela esquerda; neste caso o limite é chamado de limite lateral

esquerdo. Por exemplo, seja a f x 3 x . Logo faz sentido calcular o x 3lim 3 x

. Portanto,

x 3lim 3 x 0

.

2.4 Limites de funções algébricas

Vimos que para calcular este limite x 1lim 2x 1

bastou substituir o valor de x por 1. A

expressão x 1lim

“desaparece” porque x assume valores tão próximos a 1 (tanto pela direita como pela

esquerda) que podemos considerar “ser o próprio” 1. Assim, x 1lim 2x 1 2.1 1 3

.

Este processo é válido para funções especiais chamadas de funções contínuas. Entretanto, a técnica utilizada não é aplicável a algumas funções algébricas, aquelas que são descontínuas em um determinado x.

Considere a 2x x 2

f xx 1

, note que o domínio desta função é D x IR | x 1 . Para

todo x 1 é permitido simplificar o fator comum x 1 no numerador e denominador, pois

x 1 x 2

f xx 1

e

x 1f x

x 2

x 1

, logo f x x 2 . Graficamente as funções

Cálculo I


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18

2x x 2

f xx 1

e f x x 2 são idênticas, diferem somente em x 1 , especificamente, o ponto

(1, 3) está no gráfico de f x x 2 , mas não está no gráfico de 2x x 2

f xx 1

.

Abaixo são consideradas três funções com gráficos idênticos, que diferem em x 1 . Embora

as funções assumam valores diferentes para x 1 , em f x , f 1 3 ; em g x , g 1 ; em h x ,

h 1 2 , observa-se que x 1 x 1 x 1lim f x lim g x lim h x 3

. Nem sempre o valor que a função f

assume para um determinado x a é o mesmo para x alim f x

.

Valor da função Gráfico Limite quando x 1

f x x 2

x 1limf x 3

2x x 2

g xx 1

x 1limg x 3

2x x 2, se x 1

h x x 1

2, se x 1

x 1limh x 3

Manipulações algébricas podem e devem ser usadas para determinar certos limites. Exemplo:

i) 2

2

2x 5x 2f x

5x 7x 6

, encontre o

x 2lim f x

Solução: Observe que o número 2 não pertence ao domínio da função. Se substituir o 2 na função tem-se,

2

2

2 2 5 2 2 0f 2

05 2 7 2 6

que é uma indeterminação. Note que se fatorar o numerador e o

denominador, obtém-se

x 2 2x 1f x

x 2 5x 3

. Não pode cancelar o fator x 2 neste momento, pois

não existe divisão por zero.

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19

Todavia se tomar o limite de f x quando x 2 , tal simplificação é permitida. Assim,

2

2x 2 x 2 x 2 x 2

x 2x 2 2x 12x 5x 2lim f x lim lim lim

x 2 5x 35x 7x 6

2x 1

x 2

x 2

2x 1 2 2 1 3lim

5x 3 5 2 3 135x 3

.

ii) x 9

f xx 3

, encontre o

x 9lim f x

Solução: Note que o número 9 não está no domínio de f. Para achar o limite, racionalize o denominador:

x 9 x 9 x 9 x 9

x 9 x 3x 9 x 9 x 3lim f x lim lim . lim

x 9x 3 x 3 x 3

.

Como está calculando o limite x 9lim f x

, sabendo que x 9 é diferente de x 9 , pode-se simplificar

x 9 x 9

x 9 x 3 x 9lim lim

x 9

x 3

x 9

x 9lim x 3 9 3 6

.

Exercícios

Calcule os limites indicados das funções:

a)2x 2

x 2lim

x 4

b)

2

x 1

2x x 1lim

x 1

c)

2

x 0

x x 1 1lim

x

d) 2

x 2

x 6x 2xlim

x 2

e)

2x 7

2 x 3lim

x 49

f)

x 0

x 4 3x 4lim

x 1 1

g) x 4

x 4lim

x 29 5

h)

x 0

1 x 1 xlim

x

i)

x 4

3 5 xlim

1 5 x

j) 2 2

x a

x alim

x a

k)

3

3 2x 2

x 8x 8lim

3x 15x 6x 4

l)

3 2

2x 2

x x 5x 2lim

3x 5x 2

Respostas:

a) 1

4; b) 3; c)

1

2; d)

23

2 ; e)

1

56 ; f) 1 ; g) 10; h) 1; i)

1

3 ; j) 4a a ; k) 0; l)

11

7

2.5 Inexistência do Limite

Considere a função | x |

f xx

, cujo D f x IR/ x 0 e cujo gráfico é:

Observe que os valores de f x , quando x tende a zero, não tendem a um mesmo número L:

se x 0 , tem-se que f x 1 (ou seja, x 0lim f x 1

);

se x 0 , tem-se que f x 1 (ou seja, x 0lim f x 1

).

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20

Como os limites laterais são diferentes, diz-se, então que não existe x 0lim f x

. Note que os

limites laterais existem. Para a existência do limite em x a relação entre limites laterais e limites tem que ser

válida:

x alimf x L

se e somente se x a x alim f x lim f x L

Outro exemplo: Considere o gráfico abaixo:

Os limites laterais são:

x 1 x 1lim f x lim 3 x 2

2

x 1 x 1lim f x lim x 1 2

Como os limites laterais esquerdo e direito são

iguais, decorre que x 1limf x 2

.

Note que o valor da função f 1 4 é irrelevante

para a determinação do limite.

Exercícios

1) Esboce o gráfico e ache o limite indicado:

i)

2, se x 1

f x 1, se x 1

3, se 1 x

x 1x 1 x 1

a) lim f x ; b) lim f x ; c) limf x

ii) 2, se x 0

f x2, se 0 x

x 0x 0 x 0

a lim f x ; b lim f x ; c limf x

iii)

2

2

x 4, se x 2

f x 4, se x 2

4 - x , se 2 x

x 2x 2 x 2

a lim f x ; b lim f x ; c limf x

iv) 2

2x 3, se x 1

f x 4, se x 1

x 2, se 1 x

x 1x x 1

a limf x ; b lim f x ; c limf x

2) Dada 3x 2 se x 4

f x5x k se 4 x

. Ache o valor de k para o qual

x 4lim f x

existe.

3) Dada

2x se x 2

f x ax b se 2 x 2

2x 6 se 2 x

. Ache os valores de a e b, tais que x 2lim f x

e x 2lim f x

ambos

existam. 4) As taxas para despachar cargas por navio são freqüentemente baseadas em fórmulas que oferecem um preço menor que por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que x quilos seja o peso de uma carga, C(x) seja o seu custo total e

0,80x se 0 x 50

C x 0,70x se 50 x 200

0,65x se 200 x

a) Faça um esboço do gráfico de C.

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21

Ache cada um dos seguintes limites: b) x 50lim C x

; c) x 50lim C x

; d) x 200lim C x

; e) x 200lim C x

5) Use o gráfico para determinar cada limite, quando existe:

a) x 2lim f x

b) x 2lim f x

c) x 2lim f x

d) xlim f x

e) x 0lim f x

f) x 0lim f x

6) Faça o gráfico da função 4, se x 0

f xx 2, se x 0

e encontre o limite indicado:

a) x 0lim f x

b) x 0lim f x

c) x 0lim f x

7) Considere o gráfico de 2

3 x, se x 1

f x 3, se x 1

x 1, se x 1

. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa). Justifique a

sentença quando ela for falsa.

a) ( ) x 1 x 1lim f x lim 3 x 2

_________________________

b) ( ) 2

x 1 x 1lim f x lim x 1 2

________________________

c) ( ) x 1limf x 2

___________________________________

d) ( ) f 3 1 ______________________________________

e) ( ) f 1 3 ______________________________________

f) ( ) x xlim f x lim f x

__________________________

g) ( ) A função é descontínua em x 1 __________________ Respostas:

1) i) a) -3 b) 2 c) ; ii) a) 2 b) -2 c) ; iii) a) 0 b) 0 c) 0; iv) a) 3 b) 5 c)

2) k 6

3) 3

a ; b 12

4) b) 40; c) 35; d) 140; e) 130 2.6 Definição de Continuidade

Diz-se que f x é contínua em x a quando x alimf x f a

.

A função f x é chamada de função contínua quando é contínua em todos os pontos nos

quais está definida. Em resumo, terá que satisfazer as três condições a seguir:

i) f a , isto é, f x é definida para x a

ii) x alim f x

iii) x a

f a limf x

.

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22

Exemplos:

a) Descontinuidade no ponto x 2

b) Continuidade no ponto x 3

c) Descontinuidade no ponto x 1

d) Descontínua no intervalo de 1 a 4 1, 4

Exemplo: Verificar se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados:

a) 2f x 2x x, no ponto x 2

Solução: Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam satisfeitas:


ii) x alim f x

iii) x a

f a limf x

.

Verificaremos cada uma delas no ponto x 2 .

- Condição (i): 2

f 2 2 2 2 10 . Logo, f 2 , isto é, f x é definida para x 2 .

- Condição (ii): 2

x 2lim 2x x 10

. Portanto, x 2lim f x

e é igual a 10.

- Condição (iii): 2

x 2f 2 lim 2x x

, então a função é contínua no ponto x 2 , pois as três condições

foram satisfeitas.

b) 2x 2x 1

f x , x 1x 1



ii) x alim f x

iii) x a

f a limf x

.


- Condição (i): 21 2.1 1

f 1 f 11 1

. A função não é definida em x 1 . Não satisfazendo a

condição (i) ou qualquer outra já pode-se concluir que a função é descontínua no ponto dado.

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23

c)

2x x 2, se x 1

h x x 1

2, se x 1

, x 1



ii) x alim f x

iii) x a

f a limf x

.


- Condição (i): f 1 2 . Logo, f 1 , isto é, f x é definida para x 1 .

- Condição (ii): 2

x 1 x 1 x 1

x 1x 1 x 2x x 2lim lim lim

x 1 x 1

x 2

x 1

x 1lim x 2 1 2 3

. Portanto,

x 1limf x

e é igual a 3.

- Condição (iii): 2

x 1

x x 2f 1 lim

x 1

, pois f 1 2 e

2

x 1

x x 2lim 3

x 1

, então a função é descontínua

no ponto x 1 , pois uma das três condições não foi satisfeita.

Exercícios 1) Faça a análise matemática das funções abaixo, se são contínuas ou descontínuas nos pontos dados:

i) 2x 4

f x para x 2 e x 3x 2

ii)

1 xf x para x 1e x 1

1 x

iii) 2

5xf x para x 2; x 3 e x 3

x 9

iv)

2x 2x 1f x , para x 2 e x 1

x 1

2) Verifique quais das funções cujos gráficos estão representados são contínuas em x 1 . Justifique.

2.7 Limites que Envolvem Infinito

Observe os valores da função 1

f xx

, quando x tende a zero.

x 0 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001

f x 2 10 100 1.000 10.000

x 0 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

f x 2 10 100 1.000 10.000

Quanto mais próximo de zero é o valor de x, maior é o valor de f x .

Quando acontece uma situação dessas, diz-se que f x cresce ilimitadamente quando x tende

a zero.

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24

Generalizando, quando x tende a um número a e os valores de f x ficam maiores que

qualquer número positivo considerado, diz-se então que f x cresce ilimitadamente ou que existe o

limite infinito: x alimf x

.

Semelhantemente, se quando x tende a a os valores de f x ficam menores que qualquer

número negativo considerado, diz-se então que f x decresce ilimitadamente ou que existe o limite

infinito: x alimf x

. Por exemplo, ao considerar 1

f xx

, tem-se: x 0 x 0

1lim f x lim

x .

Observe o gráfico:

Note que para a função 1

f xx

, quando x tende a zero pela direita f x cresce

ilimitadamente, e quando x tende a zero pela esquerda f x decresce ilimitadamente:

x 0

1lim

x

x 0

1lim

x

Neste caso, diz-se que

x 0

1lim

x.

Exercícios

1) Encontre os limites:

a) 2x 0

1lim

x b)

3

x 2

3lim

x 2

c) x 0

2lim

x d)

2x 0

3lim

x e)

3x 0

1lim

x

2.8 Limites no Infinito Há funções que, quando x ou x , crescem ou decrescem ilimitadamente. Em

resumo, podemos ter: xlim f x

; xlim f x

; xlim f x

; xlim f x

.

Exemplos:

2f x x cresce ilimitadamente quando

x e também quando x .

3f x x cresce ilimitadamente quando

x e decresce quando x .

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25

2

xlim x

e 2

xlim x

. 3

xlim x

e 3

xlim x

.

2f x 4 x

2

xlim 4 x

e 2

xlim 4 x

.

xf x 1

2

x

xlim 1

2

e

x

xlim 1

2

.

Há funções que, quando x ou x , apresentam tendência para um número real

determinado. É o caso, por exemplo, da função 1

f x 1x

. Nesta função observa-se que quanto

maior for o valor de x, 1

x tende a zero e, então, f x tende a 1. Portanto,

x

1lim 1 1

x

.

Note também que x

1lim 1 1

x

.

Deve-se ter conhecimento que há funções que, quando x ou x , não

apresentam tendência para nenhum número especificamente. É o caso, por exemplo, das

periódicas f x senx , f x cosx e f x tgx

Exercícios

Calcule os limites:

i) 3 2

xlim 2x 5x 2x 1

ii) 2

xlim 2x 5x 1

iii) xlim 4x 1

iv) x

8x 1lim

4x 5

v) 2x

3x 2lim

x 5x 6

vi) 2

x

2x 7lim

6x 1

vii) 2

x

2x 7lim

6x 1

viii) 3 2

xlim 2x x x 1

ix) 2

2x

x 3xlim

x 1

x)

2

n

6n 1lim

2n 3

xi) nlim n 1 n

Respostas: i) ; ii) ; iii) ; iv) 2; v) 0; vi) ; vii) ; viii) ; ix) 1; x) 9; xi) 0

Cálculo I


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26

3. Derivadas 3.1 Retas

Coeficiente angular m Forma Ponto-Coeficiente angular

Forma Coeficiente angular-Intercepto

2 1

2 1

y ym

x x

1 1y y m x x y mx b

Retas especiais: Vertical: m não definido

Horizontal: m 0 Paralelas:

1 2m m Perpendiculares:

1 2m m 1

3.2 Introdução à Derivada O conceito de derivada é fundamental no cálculo diferencial e integral. Além de inúmeras aplicações práticas, tais como: determinação de máximos e mínimos e pontos de inflexão de uma função. As derivadas também tornam o estudo da física simples e lógico. 3.3 Acréscimos

Definição: Seja x uma variável independente qualquer e 1 2

x e x dois valores particulares

desta variável. Chama-se acréscimo de 1

x , a diferença 2 1

x x que representaremos por x .

3.4 Acréscimo de uma função

Seja y f x uma função qualquer.

Dando a x um acréscimo arbitrário x , obteremos, para y, um acréscimo que representaremos por y .

Algebricamente obtemos:

1 y f x

2 y y f x x

Subtraindo (2) de (1) vem

y f x x f x

Cálculo I


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27

Nota-se que y é o acréscimo da função e x é o acréscimo da variável.

Exemplo: Calcular o acréscimo sofrido por cada uma das funções seguintes:

a) f x ax b

Solução:

y f x x f x

y a x x b ax b

y ax a x b ax b

y a x

b) f x 3x 2

Solução:

y f x x f x

y 3 x x 2 3x 2

y 3x 3 x 2 3x 2

y 3 x

Note que o acréscimo sofrido pela função é proporcional ao acréscimo da variável.

c) 2f x x

Solução:

2 2

22 2

y f x x f x

y x x x

y x 2x x x x

y x 2x x

3.5 Razão Incremental É a razão entre o acréscimo sofrido pela função, y , e pelo acréscimo dado à variável, x .

y

x

: razão incremental. Como:

f x x f xy1

x x

A relação (1) que é a razão incremental representa um valor numérico que nos indica a velocidade de variação de uma função num ponto. Exemplo: Calcular a razão incremental das seguintes funções:

i) y x, x IR

Solução:

f x x f x x x xy x1

x x x x

Interpretação: a velocidade da função é a mesma da variável em qualquer ponto.

ii) 2y x , para x 3 e x 1

Solução:

2 2 22 2 2f x x f x x x x x 2x x x x 2x x x x 2x xy

2x xx x x x x x

Assim para x 3 e x 1 , temos: y

2 3 1 7x

Interpretação: a velocidade de variação da função no ponto x 3 é 7 vezes à da variável para um

acréscimo de x , ou seja, para x 1 .

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28

3.6 Derivada ou função derivada (definição)

Chama-se derivada ou função derivada da função y f x em relação a x o limite da razão

incremental quando x 0 .

Em símbolos:

x 0 x 0

f x x f xdy ylim lim

dx x x

Podemos encontrar na literatura:

x x

df xdy, y , f x , , d y, D f x

dx dx , entre outras.

Exemplo: Achar a função derivada das seguintes funções:

i) 2y x

Solução:

2 22 2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

f x x f x x x x x 2x x x xdylim lim lim lim 2x x 2x

dx x x x

.

Logo, 2f x x f x 2x

ii) 2f x x 5x 6

Solução:

2 22 2 2

x 0 x 0

x x 5 x x 6 x 5x 6 x 2x x x 5x 5 x 6 x 5x 6dylim lim

dx x x

2

x 0 x 0

2x x x 5 xlim lim 2x x 5 2x 5

x

. Logo, 2f x x 5x 6 f x 2x 5

Exercícios

Determinar a derivada das funções usando a definição.

a) 2f x 3x . Resposta dy

6xdx

b) 2f x x 2x . Resposta dy

2x 2dx

c) 2f x x x . Resposta dy

2x 1dx

d) 2f x x 5x 6 . Resposta dy

2x 5dx

e) 2 x

f x3 x

. Resposta

2

dy 5

dx 3 x

f) f x 2 . Resposta dy

0dx

g) f x x 1 . Resposta dy

1dx

h) f x 2x 2 . Resposta dy

2dx

i) f x 2x 2 . Resposta dy

2dx

3.7 Derivada de uma função num ponto (definição)

Definição: Seja f x uma função contínua no ponto o

x x . Chama-se derivada da função no

ponto o

x x o valor numérico (finito) da função derivada para o

x x .

Notações:

o o

x xo

dyf x , y x ,

dx

Exemplo: Calcular a derivada de 2f x x no ponto x 2

Solução:

Para calcular a derivada de uma função f x no ponto o

x x faz:

o

ox xo

o

f x f xf x lim

x x

Cálculo I


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29

Exemplo: Sendo 2y x 5x 6 , calcular y 2 .

Solução:

2

x 2 x 2 x 2

x 2 x 3x 5x 6y 2 lim lim lim x 3 1

x 2 x 2

Observação: 1) Se o limite da razão incremental existir penas para ox x x 0 , pela direita ou

pela esquerda, diremos que a derivada é lateral. 2) Se f x f x diremos que a função f x é

derivável no ponto o

x x .

Notação:

o

ox xo

o

f x f xlim f x

x x

(à esquerda) e

o

ox xo

o

f x f xlim f x

x x

(à direita)

Exemplo: Calcular a derivada de f x x no ponto o

x 0 .

Solução: o

ox 0 x 0 x 0

f x f x x 0 xf x lim lim lim

x 0 x 0 x

. Como chegamos em um limite sem resolução,

temos que, neste caso, estudar as derivadas laterais. Assim, x 0

xlim 1

x

e x 0

xlim 1

x

. Logo,

f x x não é derivável no ponto o

x 0 .

Exercícios

Achar a derivada da função no ponto indicado:

i) 2y x , para x 2 . Resposta y 2 4

ii) 2f x x 5x 6, para x 2 . Resposta f 2 1

iii) 2f x 3x , para x 1 . Resposta dy

6dx

iv) 2f x x 2x , x 0 . Resposta dy

2dx

v) 2f x x x,no ponto x 3 . Resposta f 3 7

vi) 2f x x 5x 6, no ponto x 1 . Resposta f 1 3

vii) 2 x

f x , no ponto x 13 x

. Resposta

5f 1

4

3.8 Interpretação geométrica da Derivada

Seja f x uma função cujo gráfico

representaremos ao lado:

Considere o ponto P x,y fixo. Dando a x

um acréscimo x obtemos para y um acréscimo y e conseqüentemente um o ponto Q qualquer

na curva. Traçando uma secante s em ______

PQ formará então um triângulo retângulo nos

pontos PQR de onde tiramos:

______

______

QR ytg

xPR

.

Veja em detalhes no triângulo abaixo:

Cálculo I


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30

Imaginemos que:

x 0 , logo Q P . Deste modo a secante s no ponto PQ à tangente geométrica no

ponto P. Nota-se que . E também s t .

Em símbolos representaremos assim:

x 0

ylim limtg tg

x

Donde: x xo

dytg

dx

.

Conclusão: a derivada de uma função f x num

ponto o

x x representa a tangente trigonométrica do

ângulo que a tangente geométrica à curva no ponto P forma com o eixo positivo Ox. Observe o desenho a seguir:

Cada ponto da curva gera uma reta tangente. Recordamos: y ax b é a equação geral da

reta. A vogal a na equação representa o coeficiente angular, ou seja, tg . O ângulo formado pela

reta tangente e o eixo x é .

3.9 Fórmulas para o Cálculo das Derivadas Veremos agora as propriedades das derivadas, que podem ser comprovadas usando a definição de derivada.

Função Representação Derivada

Potência (expoente real) * *IR e x IR

y x 1y x

Constante y c y 0

Afim y ax b y a

Soma algébrica y u x v x y u x v x

Produto y u x .v x y u x v x v x u x

Quociente

u xy

v x

2

u x v x v x u xy

v x

Exponencial a 0 e a 1 uy a uy u a lna

Logarítmica a 0, a 1e x 0 ay log u

a

uy log e

u

Seno y senx y cosx

Co-seno y cosx y senx

Tangente y tgx 2y sec x

Cotangente y cotgx 2y cossec x

Secante y sec x y sec x.tgx

Co-secante y cossec x y cossec x.cotgx

Composta y f g x

y f g x .g x ou

dy dy duf u g x

dx du dx

Exemplos: Achar a derivada das funções

i) f x 2 f x 0

ii) 2f x sen a f x 0

iii) f x ln a b f x 0

Cálculo I


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31

iv) f x 2x 3 f x 2

v) f x 5x 2 f x 5

vi) 6 5f x 5x f x 30x

vii) f x x f x 1

viii) 2 2 1

13 3 3

2 2f x x f x x x

3 3

ix) 2f x 2 senx x f x cosx 2x

x) 2 2f x x .senx f x 2x.senx x cosx

xi)

22 2

2 2

2x x 1 1.xx x 2xf x f x

x 1 x 1 x 1

xii) x xf x 2 f x 2 ln2

xiii) x x xf x e f x e lne e

xiv) 1 1

f x lnx f x lnex x

xv) 2 2

1f x log x f x log e

x

xvi) 2f x senx . Primeiro façamos: 2 2 2dy dux u y senu y . cosu.2x cosx .2x 2x.cosx

du dx

xvii) 3f x sen x . Primeiro façamos: 3 2 2dy dusenx u y u y . 3u cosx 3sen xcosx

du dx

Exercícios

1) Achar a derivada da função no ponto indicado (calcule a derivada e depois substitua o valor de x na derivada):

i) para xy senx4

. Resposta 2

y4 2

ii) 2y x , para x 2 . Resposta y 2 4

iii) f x cosx, para x3

. Resposta

3f

3 2

iv) 2f x x 5x 6, para x 2 . Resposta f 2 1

2) Calcule a derivada das seguintes funções:

i) senx

f xcosx

. Resposta 2f x sec x

ii) x 2

f xx

Resposta

2

2f x

x

iii) 2f x 3x .cosx Resposta 2f x 6x.cosx 3x .senx

iv) 3 2f x 7x 2x x 1 . Resposta 2f x 21x 4x 1

v) 4 3 21 2 1 1f x x x x

2 3 2 4 . Resposta 3 2f x 2x 2x x

vi) f x 2x 3cosx . Resposta f x 2 3senx

vii) 2f t t t . Resposta 1

f t 2t2 t

viii) 3f s s s . Resposta 23

1 1f s

2 s3 s

ix) f x sen3x Resposta f x 3cos3x

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32

x) f x cos6x . Resposta f x 6sen6x

xi) f x ln senx . Resposta cosx

f xsenx

xii) 2f x log x 3x . Resposta 2

2x 3f x loge

x 3x

xiii) 2

2f x log 4x 8x 1 . Resposta

22

8 xf x log e

4x 8x 1

xiv) 2

2f x log x 2x 1 no ponto x 2 .Resposta 2

6f 2 log e

7

xv) 2f x ln x 6x 8 nos pontos x 1e x 1 . Respostas 4 8

f 1 e f 13 15

3) Calcule as derivadas das funções:

a) 5f x x b) 23f x x c) 3

1f x

x d) 5 / 2f x x e) 3f x x f) 3 2f t 4t 5t 2t

g) 3 2f s s 2s s 1 h) 2f t t t i) 3f s s s j) 4 3 21 2 1 1f x x x x

2 3 2 4

k) f x 2x 3cosx l) 3 2f x x 7 2x 3 m) 3 2f x x 2x 3x n) 2 2f x x x 3x 2

o) f x 3x.senx p) f x senx.cosx q) 2f x x cosx r) 2

2

xf x

x 1

s)

4x 5f x

3x 2

t) 2x 5

f x4x

u)

2

xf x

x 4

v)

22x 3x 4f x

2x 1

w)

1 senxf x

1 senx

Repostas:

a) 4f x 5x b) 232 x

f x3x

c) 4

3f x

x

d)

5f x x x

2 e)

4

3f x

x

f) 2f t 12t 10t 2 g) 2f s 3s 4s 1 h) t

f t 2t2t

i) 3 s s

f s3s 2s

j) 3 2f x 2x 2x x k) f x 3senx 2 l) 3f x x 10x 9x 28 m) 3f x 2x 5x 6

n) 2f x x 4x 9x 4 o) f x 3 senx xcosx p) 2 2f x cos x sen x

q) f x x 2cosx xsenx r)

22

2xf x

x 1

s)

2

23f x

3x 2

t)

2

5f x

4x

u)

2

22

x 4f x

x 4

v)

2

2

4x 4x 5f x

2x 1

w)

2

2cosxf x

1 senx

4) Calcule a derivadas exponenciais e logarítmicas:

a) xf x 3 b) x

1f x

2

c) 3x 1f x 3 d) xf x 5.2 e) 2x 1f x 10 f) xf x 10.e

g) 1

f x lnx2

h) 2f x 3log x i)

2

f x lnx j) 2

f x logx k) 3f x 2log x

l) 2f x log 3x 5x m) f x ln cosx n) f x ln tgx o) 22x 3xf x e

Respostas:

a) xf x 3 ln3 b) x

1f x ln2

2

c) 3x 2f x 3 ln3 d) xf x 5.2 ln2

e) 2x 1f x 2x.10 ln10 f) xf x 10.e g)

1f x

2x h) 2

3f x log e

x i)

2lnxf x

x

j) 2logx.loge

f xx

k) 3

2f x log e

x l)

2

6x 5f x loge

3x 5x

m) f x tgx

n) 1

f xcosx.senx

o) 22x 3xf x 4x 3 e

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33

3.10 Derivadas Sucessivas

Sendo f x uma função

f x - representa a derivada primeira da função f x

f x - representa a derivada segunda da função f x

f x - representa a derivada terceira da função f x

4f x - representa a derivada quarta da função f x

... n

f x - representa a derivada enésima da função f x

Exemplos:

i) Calcular a derivada segunda da função 4 3f x x 2x :

3 2

2

f x 4x 6x

f x 12x 12x

f x 12x x 1

ii) Calcular a derivada terceira da função f x senx no ponto x3

.

f x cosx

f x senx

f x cosx

1f cos

3 3 2

Exercícios

1) Dada a função 3 4f x 1 4x x calcular 4

f x . Resposta 4

f x 24

2) Dada a função 3 4f x 1 4x x , resolver a equação f x 0 . Resposta x 1

3) Calcule a derivada segunda de 4 3f x 4x 5x 2x 1, para x 0 . Resposta f x 0

4) Se f x senx cosx , determine f x para x6

. Resposta

1 3f

6 2

5) Determine a derivada segunda de 3 2f x 4x 5x 2x 1 , para x 2 e x 2 . Resposta

f 2 38 e f 2 58

6) Seja a função 3 2f x 4x 2x 5x 2 calcule f 0 f 0 f 0 . Resposta

f 0 f 0 f 0 23

7) Achar todas as derivadas da função 3 2y x 6x 3x 2 . Resposta 4

y 0

8) Achar a derivada de ordem n da função 1

yx

. Resposta

nn

n 1

n!y 1

x

3.11 Aplicações 3.11.1 Reta Tangente

Achar a equação da tangente geométrica à curva 2y x no ponto x 3 .

Solução:

2f x x f x 2x f 3 2.3 6 tg a 6

A reta tangente passa em: 2f 3 3 9 . Portanto P 3,9 .

Temos: 1 1y y a x x y 9 6 x 3 y 6x 9 0 . Logo, y 6x 9 0 é a equação da

tangente no ponto x 3 .

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34

O gráfico para esta situação é:

Exercícios

1) Determine a equação da reta tangente à curva correspondente a cada equação:

a) 3f x x 12x, no ponto x 4 . Resposta y 36x 128 0

b) 2f x 5x 1, no ponto x 2 . Resposta y 20x 21 0

c) 3f x x 12x, no ponto x 1 . Resposta y 9x 2 0

d) 2f x x 9x 20, no ponto x 2 . Resposta y 5x 16 0

e) 2f x x 6x 5, no ponto x 0 . Resposta y 6x 5 0

2) Equações das retas tangentes à curva 3y x 6x 2 paralela à reta y 6x 2 . Resposta:

y 6x 14 e y 6x 18

3) A tangente à curva 3y x , no ponto P 1,1 corta a curva em algum ponto? Qual é esse ponto? R.:

Q 2, 8

4) Escrever a equação da tangente à curva 2f x x 5x 6 que satisfaça as condições: (a) passar

pelo (vértice) e (b) ser paralela ao eixo-x. 1

y4

5) Escrever a tangente à curva anterior passando pelo ponto t 4,2 . R.: x 3y 10 0

6) Encontre uma equação da reta tangente à curva 1

3y 6 2x em cada ponto:

a) T 3,0 R.: ¨ b) P 7, 2 R.: x 6y 5 0

3.11.2 Aplicação na Física

Seja S f t a equação do espaço percorrido por um móvel qualquer.

No tempo

ot o móvel percorreu o espaço

oS . Se aumentarmos o tempo de t o espaço

aumentará de S .

Definições:

i) A velocidade média Vm entre os instantes o

t e t é a razão incremental S

t

, Isto é:

o o o o

o o

f t t f t f t f t S S sVm

t t t t t t

.

A velocidade instantânea Vi que a velocidade no instante o

t , será o limite da velocidade

média quando o

t t . Ou seja,

t t t 0ot to

S dSVi limVm lim

t dt

.

Cálculo I


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35

Logo, dada a equação horária S f t , a sua derivada t to

dS

dt

indica em cada instante a velocidade

do ponto do móvel.

ii) A aceleração média ma entre os instantes

ot e t é a razão incremental

v

t

. Isto é: seja

dS

v v tdt

e temos:

o o o o

m

o o

v t t v t v t v t v v va

t t t t t t

A aceleração instantânea que a é aceleração no instante o

t , será o limite da aceleração

média quando o

t t . Assim,

i mt t t 0o

t to

v dva lima lim

t dt

.

Conclusão: a derivada t to

dv

dt

da função v v t indica em cada instante o

t a aceleração do

ponto material.

Observação: a derivada segunda da função S f t nos dá a aceleração no instante o

t :

2

2

dv d dS d Sa

dt dt dt dt

.

Exemplo: um ponto material se desloca numa reta e sua equação horária é 3 2S t t .

Determinar nos instantes t 0 e t 2 : a) a posição do móvel; b) a velocidade Vi ; c) a aceleração i

a .

Solução:

a) para 3 2t 0 S 0 0 0 0 S 0 0m

para 3 2t 2 S 2 2 2 12 S 2 12m

b) para 22

t 0

dSt 0 Vi 3t 2t 3 0 2.0 0 Vi 0m/ s

dt

para 22

t 2

dSt 2 Vi 3t 2t 3 2 2.2 16 Vi 16m/ s

dt

c) para 2

2

i i2

t 0

d St 0 a 6t 2 6.0 2 2 a 2m/ s

dt

para 2

2

i i2

t 2

d St 2 a 6t 2 6.2 2 14 a 14m/ s

dt

.

Exercícios

1) Lança-se uma bola verticalmente para cima com a velocidade de 32 dm/seg; sua altura após t

segundos é dada por 21s 32t 9,81 t

2 . Em que instante a bola atingirá a altura máxima? Qual será

essa altura? R.: t 3,26 seg; s 0,522 m

2) Um ponto material descreve uma trajetória retilínea obedecendo a função horária

2s 3 6t t SI .

a) Determine as funções horárias da velocidade e da aceleração. v t s 2t 6 ; 2a t s 2m/ s

b) Calcule a velocidade do material no instante 10 s. v 10 14m/ s

c) O espaço percorrido pós 10 s. s 43m

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36

3) Um corpo se desloca sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária

35s t t SI

2 .

a) Determinar as funções horárias da velocidade e da aceleração. 25v t s t 1

2 ; a t s 15t

b) Calcule a velocidade e a aceleração do ponto material no instante 6 s. 2a 6 90m/ s

c) Em que instante a velocidade do corpo é de 66,5m/s ? t 3s

d) Qual a aceleração do corpo no instante 2 s? 2a 2 30m/ s

4) Qual é a aceleração de um móvel que descreve uma curva segunda a função 2 3s 2t 4t (s em

metros e t em segundos) no instante t 1,5s ? 2a 1,5 40m/s

5) Um móvel tem a velocidade variável segundo a função 2v 6 2t . Calcule sua aceleração no

instante 5 s. 2a 5 20m/ s

3.11.3 Derivadas Implícitas

Uma função é implícita quando ela é definida pela equação: f x,y 0 . Por exemplo

2 3x xy y 0 é uma função implícita onde y Q x . Para derivar uma função implícita usamos

dois processos:

1º processo) Se as variáveis são de fácil separação, para a forma explícita que é y Q x derivamos

normalmente.

Exemplo: a derivada de 3y 2x 0 f x,y 0 é encontrada explicitando a variável y. Assim,

3 2y 2x Q x y 6x .

2º processo) Se as variáveis são de difícil separação derivamos a função na forma implícita e em

seguida tiramos o valor de y .

Exemplo: achar a derivada da função 3 2y 2xy 5xy 2x y 0 f x,y 0 . Sabemos que

y Q x . Derivando com relação a x, vem:

2 23y y 2y 2xy 5y 10xyy 2 y 0

2 2y 3y 2x 10xy 1 5y 2 2y 2

2

5y 2 2yy

3y 2x 10xy 1

Exercícios

1) Calcule as derivadas:

i) 2y x 5x 0 f x,y 0 . Resposta y 5 2x

ii) cosx y senx 0 f x,y 0 . Resposta 2y sec x

iii) 4 2 3x y y x 3x y 0 , considere y Q x . Resposta 3 3 2

4 2

y 4x y 3y

2x y 3xy 1

2) Determine as retas tangente e normal às seguintes curvas, nos pontos P indicados:

a) 2 2Px xy y 1, 2,3 . Resposta: tangente: 7x 4y 2 0 e normal: 4x 7y 29 0

b) 2 2x y 25, P 3, 4 . Resposta: tangente: 3x 4y 25 0 e normal: 4x 3y 0

3) Determine os pontos da curva 2 2x 2xy 3y 3 em que a tangente à mesma é perpendicular à

reta x y 1 . R.: 2,1 e 2, 1

Cálculo I


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37

3.11.4 Taxa de Variação

Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t, x f t e y f t . Assim

podemos interpretar as derivadas dx dy

edt dt

como as taxas de variação de x e y em relação a t. Em

certas aplicações, x e y podem estar relacionadas por uma equação como 2 3 2x y 2x 7y 2 0 .

Diferenciando implicitamente em relação a t, obtemos:

2 3 2d d d d d dx y 2x 7y 2 0

dt dt dt dt dt dt

Aplicando a regra da potência com t como variável independente, temos:

2

2

dx dy dx dy2x 3y 2 14y 0

dt dt dt dt

dx dy2x 2 14y 3y 0

dt dt

Exemplos: 1) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e 2 m de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0,001 m

3/min, calcule

aproximadamente a razão na qual o nível de água está subindo quando a profundidade é de 1 m. Solução: Começamos fazendo um esboço da situação (figura ao lado), com r denotando o raio da superfície de água quando a profundidade é h. Note que tanto r como h são funções do tempo t.

Em seguida: Dado: 3dV0,001m /min

dt . Determinar:

dh

dt quando h 1m .

O volume V de água no tanque correspondente à profundidade h é

21V r h

3 . Esta fórmula relaciona V, r e h. Antes de diferenciar

implicitamente em relação a t, expressemos V em termos de uma única variável. Observando a figura

ao lado e utilizando semelhança de triângulos, obtemos r 2 h

ou rh 4 2 . Conseqüentemente, à

profundidade h,

2

31 h 1V h h

3 2 12

. Diferenciando em relação a t obtemos a seguinte relação

geral entre as taxas de variação de V e de h no instante t:

2dV 1 dhh

dt 4 dt

Se h 0 então: 2

dh 4 dV

dt h dt

. Finalmente, fazendo h 1 e 3dV0,001m /min

dt , obtemos

3

2

dh 4. 1 1,27 .10 m/min

dt 1

.

2) Imaginemos um petroleiro avariado cujo vazamento de óleo cubra uma área circular A de raio r (figura a seguir). Com o passar do tempo, estas grandezas crescem a taxas que estão relacionadas.

De fato, como 2A r , temos dA dr

2 rdt dt

ou dr dA / dt

dt 2 r

. Isto

mostra que o raio r cresce a uma taxa inversamente proporcional a si mesmo. Por exemplo, se a área cresce, digamos, à taxa de 10.000 m

2 por hora, então

dr 10.000

dt 6,2832.r . Assim, quando r for igual a 2 km, esse raio estará se

expandindo à metade: dr 5

80cm/hdt 6,2832

. Quando r atingir o valor de 4

km, a taxa de crescimento do raio estará reduzida à metade: dr 2,5

40cm/hdt 6,2832

.

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38

Exercícios 1) O gás de um balão escapa na razão de 2 dm

3/minuto. Qual a razão de diminuição da superfície do

balão, quando o raio for de 12 dm? Dados: 34V r

3 ; 2S 4 r .

2) De um funil, cônico, escoa água na razão de 1 centímetro cúbico por segundo. Sabendo que o raio da base do funil é de 4 cm e a altura é de 8 cm, achar a razão segundo a qual o nível da água está descendo, quando estiver a 2 cm do topo. 3) Um peso W está preso a uma corda de 50 m de comprimento, que passa por uma polia situada em P, 20 m acima do solo. A outra extremidade da corda está presa a um caminhão, situado em A, 2 m acima do solo. Sabendo que o caminhão se afasta na razão de 9 m/seg, qual a taxa de variação da altura do peso quando ele estiver a 6 m acima do solo? Ver figura ao lado.

4) A areia que escoa de uma calha forma um monte de forma cônica, cuja altura é sempre igual a 4

3

do raio da base. a) Qual a razão de crescimento do volume quando o raio da base for 0,9 m e estiver aumentando na razão de 0,75 dm/seg? b) Qual a taxa de crescimento do raio quando o mesmo for de 1,8 m se o volume estiver aumentando na razão de 0,6 m

3/min?

Nota: volume do cone: 21V r h

3 .

5) Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A base da escada está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede a uma taxa constante de 6 m/min. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo, encostado à parede, quando a base da escada está a 5 m da

parede? Considere as figuras abaixo e use o teorema de Pitágoras, 2 2 2a b c , para resolver.

Respostas:

1) 2dS 1dm / seg

dt 3 ; 2)

dh 1cm/ seg

dt 9

; 3)

dx 93 m/ seg

dt 2

3.12 Máximos, Mínimos e Pontos Críticos 3.12.1 Teste da derivada primeira Usando o sinal da derivada primeira classificaremos os extremos locais. Além disso, indicará onde uma função é crescente ou decrescente em um intervalo. Para determinarmos os extremos de uma função f devemos:

i) encontrar f x

ii) encontrar os números críticos de f, isto é, os valores de x para os quais f x 0 ou os valores que

f x não exista.

iii) aplicar o teste da derivada primeira. Concluir. Observe o esquema abaixo

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39

Exemplo:

Dada 3 2f x x 6x 9x 1 faça um estudo completo desta curva.

Solução:

i) 2f x 3x 12x 9

ii) fazer f x 0 . Isto é, 23x 12x 9 0 , cujas raízes são: x 1e x 3 .

iii)

f x f x Conclusão

x 1 + f é crescente

x 1 5 0 f tem um valor máximo

1 x 3 f é decrescente

x 3 1 0 f tem um valor mínimo

x 3 + f é crescente

Exercícios

1) Aplicar o teste da derivada primeira nas funções a seguir e esboce o gráfico:

a) 3 2f x x 6x 9x 1 . Resposta M 1,5 e m 3,1

b) 2x 4, se x 3

f x8 x, se x 3

. Resposta M 3,5 e m 0, 4

c) 3 2f x 2x x 3x 1 . Resposta: Não foram encontrados máximos e mínimos

d) 5 3f x x 5x 20x 2 . Resposta M 2,46 e m 2, 50

e) 2

3f x 2 3 x 4 . Resposta M 4,2

f) 4 3f x 3x 4x 5 . Resposta m 1,4 e I 0,5

g) 4 3 2y x 2x 3x 4x 4 . Resposta 1 81

m 2,0 ; M , e m 1,02 16

h) 4 3 2f x x 4x 6x 4x 4 . Resposta m 1,3

2) A função 3 2f x x 2x ax b apresenta um máximo no ponto 1,6 . Calcule o valor de b.

Resposta: b 6

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40

3) Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã (de 8h ao meio dia) revela que um operário

que chega para trabalhar às 8h produziu 3

2t 11Q t t 6t

3 4 unidades t horas mais tarde.

a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é máxima? t 1,5 (9h30min)

b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é mínima? t 4 (12h)

3.12.2 Teste da derivada segunda

Sejam f x , f x e f x funções contínuas deriváveis no intervalo J e seja ox J . Se

o of x 0 e f x 0 , então ox é ponto máximo relativo de f x . Se o of x 0 e f x 0 , então

ox é ponto de mínimo relativo de f x .

Determinação dos pontos de inflexão:

Seja f x uma função definida em um intervalo J e o

x J . Se o of x 0 e f x 0 , então:

i) Se of x 0 ,

ox é abscissa de um ponto de inflexão com reta tangente paralela ao eixo-x;

ii) Se of x 0 ,

ox é a abscissa de um ponto de inflexão com reta tangente oblíqua em relação ao

eixo-x.

Critério geral que nos dá a conclusão. Seja f x uma função contínua com derivadas

sucessivas todas contínuas num intervalo J.

i) Se n 1 n

o o o o of x f x f x ... f x 0 e f x 0

então:

a) of x é máximo relativo de f x se n é par e

n

of x 0 ;

b) of x é mínimo relativo de f x se n é par e

n

of x 0 ;

c) o

x é abscissa de ponto de inflexão de f x com reta tangente paralela ao eixo-x se n é ímpar.

ii) Se o of x 0 e f x 0 ,

ox é abscissa de ponto de inflexão com tangente oblíqua ao eixo-x,

desde que, depois de of x 0 , a primeira derivada que não se anula é de ordem ímpar.

Exemplo: se 5 3f x x 5x , determine os extremos locais de f. Analise a concavidade,

determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico de f. Solução:

Começamos por derivar f x duas vezes:

4 2 2 2

3 2

f x 5x 15x 5x x 3

f x 20x 30x 10x 2x 3

Resolvendo a equação f x 0 obtemos os números críticos 0, 3, 3 . Para achar os possíveis

pontos de inflexão, consideremos a equação f x 0 , daí obtemos as abscissas ,6 6

, 02 2

.

Façamos, agora, os quadros para tirarmos conclusões sobre os pontos e sobre as concavidades da curva.

Número crítico

f c Sinal de

f c Conclusão

3 30 3 Máx. Local: 6f 3

3

0 0 Nenhum Nenhuma

3 30 3 Mín. Local: 6f 3

3

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41

Intervalo Sinal de f x Concavidade

, 6 / 2 Para baixo

6 / 2,0 + Para cima

0, 6 / 2 Para baixo

6 / 2, + Para cima

Exercícios

1) Dada a função real f de variável real x, definida por 4 3 2f x 3x 4x 36x , pede-se:

a) interseção do gráfico de f com o eixo dos x. Resposta: 2 4 7

x 0 e x3

b) interseção do gráfico de f com o eixo dos y. Resposta: y 0

c) interseção em que f é crescente. Resposta: 2,0 ou 3,

d) interseção em que f é decrescente. Resposta: , 2 ou 0,3

e) pontos críticos de f. Resposta: 2,0,3 (máximo e mínimos) e 1 19

3

(inflexão)

f) gráfico cartesiano.

Resposta:

2) Calcule as coordenadas do ponto de inflexão da curva 3 2y x 3x 4x 12 . Resposta: I 1, 10

3) Faça um estudo completo sobre as seguintes curvas:

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42

a) 2/3 5/3f x 5x x Resposta: 3decresc. ,0 ou 2, ; cresc. 0,2 ; m 0,0 ; M 2,3 4

b) 1/3f x 3x x Resposta: decresc. , 1 ou 1, ; cresc. 1,1 ; m 1, 2 ; M 1,2 ; I 0,0

4) Se 3 2f x ax bx , determine a e b, tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em 1,2 .

Resposta: a 1e b 3

5) Se 3 2f x ax bx cx , determine a ,b c, tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em

1,2 e tal que a inclinação da tangente no ponto de inflexão seja 2 . Resposta:

a 4; b 12 e c 10

6) Se 3 2f x ax bx cx d , determine a, b, c, d tal que f tenha um extremo relativo em 0,3 e tal

que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em 1, 1 . Resposta: a 2; b 6; c 0 e d 3

7) Calcule y e y , determine, em cada caso, o conjunto de valores de x para os quais:

a) y cresce; b) y decresce; c) abscissas do ponto de inflexão.

i) 2/3y 5 x Resposta: a) ,0 ; b) 0, ; c) nao tem ponto

ii) 2 1y x 4x Resposta: 3 3 3a) 2, ; b) , 2 0 ; c) 4

iii) 4

y xx

Resposta: a) sempre crescente; b) nunca; c) nao tem ponto

iv) 3

2 xy x

6 Resposta: a) 0,4 ; b) ,0 ; c) 2

3.13 Aplicação na Economia

As derivadas C, c , R e P na Economia são chamadas de custo marginal, custo médio

marginal, receita marginal e lucro marginal, respectivamente. O valor C x é chamado custo

marginal associado à produção de x unidades. Interpretando a derivada como taxa de variação, então

C x é a taxa na qual o custo varia em relação ao número x de unidades produzidas. O mesmo

pode-se dizer de c x , R x e P x .

Exemplo: um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções

(manuais) de uma mesa colonial é dado por 3 2C x x 3x 80x 500 . Cada mesa é vendida por

R$ 2.800,00 . Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?

Solução: Como a receita obtida com a venda de x mesas é 2.800x, a função receita R é dada por

R x 2.800x . A função lucro P é a diferença entre a função receita R e a função custo C, isto é,

3 2 3 2P x R x C x 2.800x x 3x 80x 500 x 3x 2.880x 500 .

Para achar o lucro máximo, derivamos, obtendo 2 2P x 3x 6x 2.880 3 x 2x 960 .

Obtêm-se os números críticos de P resolvendo 23 x 2x 960 0, ou x 32 x 30 0 , o que

dá x 32 ou x 30 . Como a solução negativa é estranha, basta verificar x 32 . A derivada

segunda da função lucro P é P x 6x 6 . Conseqüentemente P 32 6. 32 6 186 0 .

Logo, se forem vendidas 32 mesas semanalmente obtém-se lucro máximo. Cuja quantidade é

3 2

P 32 32 3 32 2.880 32 500 61.964 .

Exercícios

1) O custo para produzir x unidades de certa mercadoria por semana é

3 2C x 0,3x 5x 28x 200 .

a) Determine o custo marginal CM x C x . Plote as funções C x e CM x no mesmo gráfico.

b) Determine o(s) valor(es) de x para os quais C x 0 . Qual a relação entre esse(s) ponto(s) e as

curvas de CM x e C x ?

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Resposta:

a) 2CM x C x 0,9x 10x 28 ; b) C x 1,8x 10 0; x 5,56 . Esse

ponto corresponde a um mínimo na curva de CM x e a um ponto de

inflexão na curva de C x .

2) A receita total em reais proveniente da venda de q unidades de certo produto é

2R q 2q 68q 128 ; a) para que nível de vendas a receita média por unidade é igual à receita

marginal? b) Verifique que a receita média é uma fração crescente se o nível de vendas for menor

que o nível calculado no item (a). R.: a) R q A q para q 8 ; b) 2A q 2 128/q ; A é uma

função crescente para 0 q 8 ; A é uma função decrescente para q 8

3.14 Problemas de Otimização Nas aplicações, de uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de

fórmula Q f x , na qual f é uma função. Assim Q pode ser a temperatura de uma substância no

instante x, a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é x, ou o volume de gás em um balão esférico de raio x. Esses valores extremos são às vezes chamados de valores ótimos, porque são, em certo sentido, os melhores valores ou os mais favoráveis valores da quantidade Q. Exemplo: De uma longa folha de papel retangular de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? Solução: A figura ao lado representa o desenho da calha, x denota o número de centímetros a ser dobrado de cada lado. A largura

da base da calha é 30 2x cm. A capacidade da calha será

máxima quando a área do retângulo de lados 30 2x cm e x

for máxima. Denotando esta área por f x , temos

2f x x 30 2x 30x 2x . Como 0 2x 30 , o domínio de

f é 0 x 15 . Se x 0 ou x 15 , não se forma nenhuma

calha. Assim, derivando f x 30 4x 2 15 2x de onde o

único número crítico é x 7,5 . Como f x 4 0 é máximo

local para f. Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado para obtermos a capacidade máxima.

Exercícios

1) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite

construir uma caixa de volume máximo. Resposta x 7,47 cm .

2) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve-se ter a capacidade de 3375 cm . O custo do

material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm2 e o custo do material usado para

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44

a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que

minimizem o custo do material. Resposta: raio: 5 cm e altura: 15 cm. 3) Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e o material usado para fazer o fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída por R$ 48,00? Resposta: 2 m por 2 m por 4/3 m 4) Use o fato de que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico para determinar as dimensões de uma lata de refrigerante de 330 mL construída com a menor quantidade possível de metal. Compare as dimensões calculadas com as de uma lata de refrigerante comercial. A que você atribui a diferença?

Resposta: r 3,74 cm; h 7,51cm ; ao fato de que a lata não é perfeitamente cilíndrica.

5) Um reservatório cilíndrico, de base circular, tem a capacidade de 640 m3. Achar suas dimensões

de modo que a quantidade (área) do material necessário seja mínima. a) Considerando o reservatório sem cobertura; b) Coberto.

Notas: volume e áreas de um cilindro, respectivamente: 2 2V r h e A 2 rh 2 r .

Resposta: a) r 5,88 e h 5,89 e b) r 4,67 e h 9,34

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4. Integrais 4.1 Introdução

Se F x é uma função cuja derivada F x f x , F x é denominada uma integral de f x .

Se F x for uma integral de f x , F x c também o será, sendo c uma constante qualquer.

Por exemplo, 2 2 2x , x 5 e x 4 são integrais de 2x , porque 2 2 2d d dx x 5 x 4 2x

dx dx dx .

A integral indefinida de f x é a integral mais geral da função, isto é, f x dx F x c

onde F x é uma função tal que F x f x e c é uma constante qualquer.

4.2 Fórmulas Fundamentais de Integração

1) u v dx udx vdx

2) audx a udx , onde a é uma constante qualquer

3) n 1

n uu du c, se n 1

n 1

4) du

lnu c, se u 0u

5) u

u aa du c, se a 0

lna 6) u ue du e c

7) senudu cosu c 8) cosudu senu c

Exemplos:

a) 6

5 xx dx c

6

b)

12

2

dx x 1x dx c c

1 xx

c) 4 / 3

1/ 3 4 / 33 z 3zdz z dz c z c

4 /3 4

d) 1/ 3

2/ 3 1/ 3

3 2

dx xx dx c 3x c

1/3x

e)

m/n 1n nm m/n n mx n

x dx x dx c x cm/n 1 n m

f) 5 55xxdx x c

6

g)

1 n

n

n

kdx xk x dx k c

1 nx

h) 2 2 3 22 5

2x 5x 3 dx 2 x dx 5 xdx 3 dx x x 3x c3 2

i) 1/ 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2 3 / 2 5 / 22 2

1 x xdx x x dx x dx x dx x x c3 5

j)

2 2 3 2 3 21 13s 4 ds 9s 24s 16 ds 9 s 24 s 16s c 3s 12s 16s c

3 2

k)

3 2 1

2 2 2

2

x 5x 4 1 4x 1 4dx x 5 4x dx x 5x c x 5x c

2 1 2 xx

l) dx

lnx cx

m) x

x 22 dx c

ln2

n) x

x xee dx c e c

lne o) senxdx cosx c

p) cosxdx senx c

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Exercícios

Resolva as integrais usando a fórmula

n 1

n uu du c

n 1.

a) 2

32 2

3

x dx 3x x C

8x b) dx x C c) 3x 2 dx d) 2x 1 dx

e) 22x 4x 1 dx e) 2x 1 dx f) 7 2

2

x x 1dx

x

g) 2x 1 dx

4.3 O Método da Substituição Este método consiste em substituir uma expressão complicada por u. Assim, a integral ficará mais fácil de ser calculada, bastando, somente, aplicar as fórmulas já estudadas. È necessário observar qual expressão deverá ser substituída a fim de facilitar os cálculos. Veja os exemplos:

a) 2

2 2x 2 3x dx , fazendo 3x 2 u ; então 2du 3x dx . Assim, 3

2 3 21 1u du u c x 2 c

3 3

b) 1/ 2

3 2x 2 x dx , fazendo 3x 2 u ; então 2 2dudu 3x dx x dx

3. Assim, substituindo

devidamente, temos: 3 / 2

3 / 21/ 2 31 1 u 2

u du c x 2 c3 3 3 / 2 9

c)

2

33 2 3 2

3 23 3

8x dx 1 8 8 1 48. x 2 3x dx u du u c c

3 3 3 2x 2 3 x 2

Exercícios

Calcule as integrais:

a) 2

2

2xdx ln 1 x C

1 x

b)

31 32x x x1

e 1 e dx e 1 C32

c) 3 4 8 4 91x (x k) dx (x k) C

36 d) 5 3 3 2 3 3 32 14

x x 7dx (x 7) x 7 (x 7) x 7 C15 9

e) 4

5

5

x dx 2x 9 C

5x 9

f)

7 44 4

4

x dx (x 3) 3x 3 x 3 C

6 2x 3

g) 23x 1 2x dx

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