Tipos de Funciones

1. Clasificación de Funciones1.1. Funciones Algebraicas

“Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica”.

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Función explícitaUna función en la que la variable dependiente se expresa ÚNICAMENTE en términos de la variable independiente es una función explícita. La forma de estas funciones es y = f(x).

Función implícita

Una función: f(x, y)= 0 es llamada función implícita, si la variable dependiente no se produce de forma explícita, en un lado de la ecuación, en términos de la variable independiente. En una función implícita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuación en términos de x.

FUNCIONES

ALGEBRAICAS

POLINOMICAS

IDENTIDAD

DE PRIMER GRADO

CUADRATICAS

CUBICA

CONSTANTE

RACIONALES

RADICALES

ATROZOS

TRASCENDENTES

EXPONENCIALES

LOGARITMICAS

TRIGONOMETRICAS

HIPERBATICAS

La ecuación polinómica, conteniendo los términos tanto de x e y son muy difíciles de resolver. Si la ecuación no se resuelve para y, entonces y se llama una función implícita en términos de x, y tal ecuación se denomina función implícita. Una función implícita es generalmente de la forma,

Una función implícita también se conoce como un conjunto de nivel de cualquier función en términos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna fórmula específica para determinar una variable en términos de otra variable.

Las funciones implícitas y las funciones explícitas están relacionadas entre sí con la ayuda del teorema de la función implícita. Según este teorema, si la función implícita satisface algunas de las condiciones, aunque levemente, sobre sus derivadas parciales entonces es posible resolver esta función para determinar el valor de y, al menos para un rango pequeño.

Si nos fijamos en la gráfica de una función implícita, nos encontraríamos con que su gráfica se superpone con la gráfica de la función f(x) = y, localmente.

Para tener una mejor comprensión, veamos el ejemplo dado a continuación,

Aquí x es una función implícita en términos de y, también y es una función implícita en términos de x. Para resolver la ecuación para la variable y, la ecuación se convertiría,

En la ecuación anterior, y es la función explícita de x. En el penúltimo ejemplo era fácil resolver la ecuación para y en términos de x, pero hay ocasiones en que la función dada es mucho más compleja y no se puede resolver fácilmente.

Una manera más simple y conveniente para resolver tal función es utilizar el método de diferenciación. Primeramente, diferencie la función dada que producirá la derivada dy/dx ó dx/dy, dependiendo de la variable que se considere implícita. Ahora resuelva para esta derivada.

Existen muchos más métodos para solucionar la función implícita, algunos de los cuales son iterativos. Aunque los métodos iterativos producen mejores resultados que

los no iterativos en sus aproximaciones sucesivas, se utilizan en raras ocasiones debido a la complejidad que implica el uso de dichos métodos.

Al contrastar el número de ecuaciones (m) en el sistema con el número de variables (n), se puede adquirir información básica acerca de ese conjunto de nivel.

• Si n> m entonces existen infinitas soluciones del sistema de ecuaciones. Dicho sistema también se denomina indeterminado.

• Si n = m, entonces tenemos una única solución a nivel local para el sistema de ecuaciones y la ecuación se puede determinar con exactitud. Esto significa que si tenemos x como la solución de la ecuación entonces no existe ninguna otra solución para la ecuación cerca de x.

• Si n <m entonces no existe solución para el sistema de ecuaciones. Este sistema es también llamado sobre determinado.

1.1.1.Tipos de Funciones Algebraicas:1.1.1.1. Polinomicas:

Las funciones polinomiales tienen una gran aplicación en la elaboración de modelos que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración de una sustancia en un compuesto, la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, la variación de la altura de un proyectil, entre otros.

Son aquellas cuya regla de correspondencia es un polinomio”. Recordando que el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos hablar de una función polinomial de grado n.

Todas las funciones polinomiales tienen como dominio al conjunto de números reales R, pero su contra dominio varía dependiendo del tipo de función que sea.

Una función polinomial puede considerarse como una suma de funciones cuyos valores son del tipo cx k, donde c es un número real y k es un entero no negativo.

Ejemplos particulares de la función polinomial son:a) Función identidad:

“La función identidad tiene la propiedad de que a cada argumento x del dominio le hace corresponder el mismo valor en el contradominio y, por lo tanto, éste es R”. La gráfica de esta función es la recta que pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45°

b) Función constante:

“La función constante tiene la propiedad de que a cada argumento x del dominio le hace corresponder la misma imagen k”.

Ejercicio: Grafica las siguientes funciones constantes en el conjuntos de los puntos indicados

c) Función lineal (función polinomial de grado uno)

“La función lineal es un polinomio de primer grado en el que su contradominio coincide con el dominio, es decir, con R, y cuya gráfica es una línea recta donde m representa la pendiente de ella, y k el punto donde ésta se intersecta con el eje y”. Esto lo verificaremos más adelante con los ejercicios. La función lineal sólo tiene una raíz en el punto (-k/m, 0), pues si f(x) = 0, mx + k =0, de donde, despejando mx = -k, y finalmente, x = -k/m. La m representa la pendiente de la recta y k, el intercepto con el eje y; solo basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal.

d) Función cuadrática (función polinomial de segundo grado)

Y de la cual podemos obtener dos, una o ninguna raíz real dependiendo del discriminante b2 – 4ac bajo las siguientes condiciones:

Ejercicios:Grafica las siguientes funciones cuadráticas y calcula sus raíces:

e) Función cúbica (función polinomial de tercer grado)

1.1.1.2. Funciones Racionales:

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios.

Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales. En estas páginas sobre funciones racionales vamos a considerar solamente funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de grado mayor que 0.

Las funciones racionales pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas y que vamos a revisar en estas páginas:

- Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos. Esto es debido a que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 y no podemos dividir entre 0. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juegan un papel especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos valores decimos que la función no está definida para esos valores de x.

También decimos que esos puntos no pertenecen al dominio de la función. El dominiio de una función racional está determinado por las restricciones impuestas por el denominador: dividir entre 0 es imposible.

El dominio es el conjunto de los números reales para los que la función está definida. En el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales que no son ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del denominador.

A estos puntos se les llama singularidades y es interesante ver cómo se comporta la función cerca de esos puntos.

- Puntos de corte con el eje de abcisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abcisas. Son los valores de x para los que f(x)=0.

- Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio puede no ser todos los números reales).

- Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x

positivo o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica.

Empezamos nuestro estudio con las funciones racionales lineales. Una función racional lineal es una función racional cuyo numerador es un número o un polinomio de grado 1 y que tiene por denominador un polinomio de grado 1.

La más simple de las funciones racionales es

Al dibujar su gráfica obtenemos una hipérbola equilátera.

Cuando x=0 no podemos calcular el valor de la función porque no podemos dividir entre 0 (abusando del lenguaje, a veces se dice que 'el cociente se hace infinito'). La función no está definida en x=0. Es decir, el dominio de la función es:

Para x = 1 resulta y = 1. Para x > 1 el numerador es más pequeño que el denominador y el cociente resulta menor que 1.

Veamos con más detalle el comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande. Conforme aumenta x la fracción 1/x disminuye. Por lo tanto, si nos movemos desde el 0 hacia la derecha, el valor de y=1/x es cada vez menor y la curva se aproxima al eje de abcisas tanto como queramos. Es decir, la función se comporta como una recta horizontal. A esta recta la llamamos asíntota horizontal.

La recta y=b es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) si f(x) se aproxima a b conforme x aumenta o disminuye sin cota.

En este primer caso, la asíntota horizontal es el eje de abcisas:

Cuando nos aproximamos a 0 por el lado del 1 (valores positivos), el denominador se está aproximando a 0 mientras que el numerador es igual a 1. La función aumenta cuanto queramos, aumenta sin límite y obtenemos una rama que se 'va hacia el infinito'.

Si nos aproximamos a 0 por la izquierda (valores negativos) entonces la gráfica de la función se 'va hacia el infinito' pero negativo.

Decimos que la función tiene una asíntota vertical. La gráfica de esta función está dividida en dos 'ramas'.

La recta x=b es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) si f(x) crece o decrece sin cota conforme x se acerca a b por la derecha o por la izquierda.

Una función racional tendrá asíntotas verticales en los ceros del denominador (pero tendremos que comprobar el comportamiento de la función en los casos en que un cero del denominador también sea cero del numerador).

En el caso de la hipérbola equilátera, la asíntota vertical es:

Si añadimos un número al denominador, el resultado es una traslación de la hipérbola a lo largo del eje de abcisas:

Si cambiamos la pendiente de la recta que representa al denominador el resultado es una contracción o expansión a lo largo del eje de ordenadas:

Combinando ambos tenemos una traslación y una contracción (o expansión):

Vamos a considerar ahora el caso más general de función racional lineal en el que tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado 1, es decir, dos rectas (con c distinto de 0).

El dominio de una función racional lineal es:

Una función racional lineal tiene una asíntota horizontal:

Si el numerador y el denominador no tienen un factor común entonces la función racional tiene una asíntota vertical:

Cuando las dos rectas tienen la misma raíz (el numerador y el denominador tienen un factor común) tenemos un 'agujero', una 'singularidad evitable'. A veces se dice que es una 'discontinuidad evitable' (siendo escrupulosos quizás se podría considerarse esta expresión como un abuso del lenguaje si tenemos en cuenta que la continuidad solo está definida en puntos del dominio de la función). La idea es que podemos simplificar la fracción y obtenemos una nueva función que es casi igual que la original pero que tiene un dominio mayor (pues 'rellenamos el agujero').

Una singularidad evitable es un valor de x para el que se le puede asignar un valor de modo que la nueva función sea continua en ese punto.

Las funciones racionales pueden tener dos tipos de singularidades: En algunos casos la función tiene una asíntota vertical (la singularidad es esencial o no evitable) y en otros casos tiene un 'agujero' (singularidad evitable).

Es interesante distinguir dos tipos de funciones racionales cuando están expresadas como cociente de polinomios: funciones racionales propias e impropias. Una función racional propia es aquella que tiene el grado del numerador menor que el grado del numerador. En otro caso decimos que es impropia. Por ejemplo, la función 1/x es propia pero, en muchos casos, como hemos visto en los ejemplos anteriores, una función racional lineal puede ser impropia pues tanto el numerador como el denominador tienen grado 1.

Si una función racional es impropia podemos dividir el numerador y el denominador y podemos escribir la función racional como suma de un polinomio y una función racional propia:

El polinomio controla el comportamiento de la función cuando x se hace grande en valor absoluto. Esto es debido a que una función racional propia contribuye muy poco a los valores de la función para valores grandes de |x|.

En el caso de las funciones racionales lineales, al dividir obtendremos un cociente que es un número:

En el siguiente mathlet podemos jugar con estos tres elementos de una función racional lineal: un número (el cociente, p, en verde, determina la asíntota horizontal), otro número en el numerador de la expresión racional propia (q, en azul, es también una recta horizontal) y una recta en denominador (en color naranja)

Podemos comprobar cómo el número p controla el comportamiento 'en el infinito' de la función y cómo afectan el numerador y el denominador a la forma de la gráfica de la función.

Todas las funciones racionales lineales "pueden escribirse de un modo análogo, separando su 'parte entera'. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones racionales lineales [no degeneradas] son hipérbolas (trasladadas diferentes distancias a lo largo de los ejes de coordenadas y contraídas o expandidas a lo largo del eje de ordenadas)". ["Functions and Graphs", pág. 64]

En este caso, la asíntota horizontal es:

Por ejemplo:

Podemos escribir el caso degenerado (con un agujero):

1.1.1.3. Función Radical

También conocidas como funciones irracionales; que como su nombre indica son aquella funciones en las que su definición aparece un radical, o lo que es lo mismo una raíz.

En esta ocasión nos vamos a centrar en las raíces cuadradas del tipo: con a y b cualquier número real siempre y cuando a sea distinto de cero.

Como ya todos sabemos el resultado de una raíz cuadrada son dos, uno positivo y otro negativo, por tanto, su representación sería de esta forma:

Pero, evidentemente, esta representación no puede ser una función, ya que para una misma abscisa tenemos de valores de y. Por tanto, para llevar a cabo la representación de una función radical de índice dos (o par) tendremos que especificar el signo que vamos a utilizar.

En esta ocasión nos vamos a centrar en las raíces cuadradas del tipo: con a y b cualquier número real siempre y cuando a sea distinto de cero.

Como ya todos sabemos el resultado de una raíz cuadrada son dos, uno positivo y otro negativo, por tanto, su representación sería de esta forma:

Pero, evidentemente, esta representación no puede ser una función, ya que para una misma abscisa tenemos de valores de y. Por tanto, para llevar a cabo la representación de una función radical de índice dos (o par) tendremos que especificar el signo que vamos a utilizar.

PASOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN RADICAL

1º. En primer lugar, tenemos que determinar el dominio de definición de la función, que como ya sabemos, por tratarse de una raíz cuadrada serán todos los valores de x que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero: ax+b≥0, luego serán todos los valores de x tales que: x≥-b/a, (recordad llevad cuidado a la hora de despejar la x, porque como ya sabemos en las inecuaciones si a es negativa cambia el signo de la desigualdad).

2º. Una vez conocido los valores de x para los cuales existe función, tendremos que mirar si nuestra función es positiva o negativa, lo cual dependerá del signo de la raíz que hayamos elegido.

3º. Por último, comenzando en el punto (-b/a, 0), ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda, en la parte positiva o negativa, realizaremos un boceto de la función similar al de la imagen anterior. Si es necesario siempre podemos realizar una tabla de valores.

Como podemos ver en la siguiente representación, cuyo dominio es x≥-2, y es una función positiva.

Al igual que ocurría con las funciones racionales, también las funciones radicales sufren traslaciones:

TRASLACIONES

-Transformación vertical: Si sumas o restamos un número k a nuestra raíz, la representación se traslada hacia arriba o hacia abajo respectivamente. En este caso el punto de partida de nuestra representación será (-b/a, k).

-Transformación horizontal: Si al valor de x le sumamos o restamos un número k, se traslada hacia la izquierda o derecha respectivamente, como podemos observar en el ejemplo anterior. Supongamos que partimos de la función raíz de x, si queremos representar la raíz de x+2, estamos trasladando la función 2 unidades hacia la izquierda.

-Comprensión o estiramiento: Si multiplicamos la raíz por un valor k, nuestro representación se estira o comprime. Se estirará cuando k>1, y se comprimirá cuando 0<k<1.

Por último, para vamos a representar la siguiente función: a partir de transformaciones en la función – raíz de x.

1º. Como sabemos, la función negativa de la raíz cuadrada se encuentra en la parte negativa.

2º. El dominio de la función que tenemos que representar es (-∞,1], por tanto,nuestra función viene del menos infinito y terminaría en el punto (1,0).

3º. Como tenemos 3 unidades sumando a la raíz inicial, la función se traslada de forma vertical 3 unidades hacia arriba, y por tanto el punto donde termina es el (1,3)

En esta ocasión nos vamos a centrar en las raíces cuadradas del tipo: con a y b cualquier número real siempre y cuando a sea distinto de cero.

Como ya todos sabemos el resultado de una raíz cuadrada son dos, uno positivo y otro negativo, por tanto, su representación sería de esta forma:

Pero, evidentemente, esta representación no puede ser una función, ya que para una misma abscisa tenemos de valores de y. Por tanto, para llevar a cabo la representación de una función radical de índice dos (o par) tendremos que especificar el signo que vamos a utilizar.

PASOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN RADICAL

1º. En primer lugar, tenemos que determinar el dominio de definición de la función, que como ya sabemos, por tratarse de una raíz cuadrada serán todos los valores de x que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero: ax+b≥0, luego serán todos los valores de x tales que: x≥-b/a, (recordad llevad cuidado a la hora de despejar la x, porque como ya sabemos en las inecuaciones si a es negativa cambia el signo de la desigualdad).

2º. Una vez conocido los valores de x para los cuales existe función, tendremos que mirar si nuestra función es positiva o negativa, lo cual dependerá del signo de la raíz que hayamos elegido.

3º. Por último, comenzando en el punto (-b/a, 0), ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda, en la parte positiva o negativa, realizaremos un boceto de la función similar al de la imagen anterior. Si es necesario siempre podemos realizar una tabla de valores.

Como podemos ver en la siguiente representación, cuyo dominio es x≥-2, y es una función positiva.

Al igual que ocurría con las funciones racionales, también las funciones radicales sufren traslaciones:

TRASLACIONES

-Transformación vertical: Si sumas o restamos un número k a nuestra raíz, la representación se traslada hacia arriba o hacia abajo respectivamente. En este caso el punto de partida de nuestra representación será (-b/a, k).

-Transformación horizontal: Si al valor de x le sumamos o restamos un número k, se traslada hacia la izquierda o derecha respectivamente, como podemos observar en el ejemplo anterior. Supongamos que partimos de la función raíz de x, si queremos representar la raíz de x+2, estamos trasladando la función 2 unidades hacia la izquierda.

-Comprensión o estiramiento: Si multiplicamos la raíz por un valor k, nuestro representación se estira o comprime. Se estirará cuando k>1, y se comprimirá cuando 0<k<1.

Por último, para vamos a representar la siguiente función: a partir de transformaciones en la función – raíz de x.

1º. Como sabemos, la función negativa de la raíz cuadrada se encuentra en la parte negativa.

2º. El dominio de la función que tenemos que representar es (-∞,1], por tanto, nuestra función viene del menos infinito y terminaría en el punto (1,0).

3º. Como tenemos 3 unidades sumando a la raíz inicial, la función se traslada de forma vertical 3 unidades hacia arriba, y por tanto el punto donde termina es el (1,3)

1.1.1.4. Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

a) Función en valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

http://matematica.laguia2000.com/general/funcion-radicalhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_12.html

b) Función parte entera de xc) Función mantisad) Función signo

Lee todo en: Función radical | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/funcion-

radical#ixzz3Xoc6iXi3

https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/fun_algebra_prodigy.pdf