Cálculo de una viga sobre fundación elástica

7/23/2019 Clculo de una viga sobre fundacin elstica

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Tarea #1

Fecha: Abril de 2015TAREA #1

Clculo de una viga sobre fundacinels!ica con cua!ro cargas "un!uales

a"licadas

Ingeniera Aeronutica.

Pared delgada


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l%

&

&

&

&

E'ui"o ()

Desarrollo:

En la Imagen 1 se muestra una va de tren de longitud tan grande que puede

considerarse como infinita, sobre esa va se encuentra un tren de cuatro ruedas

que aplican una carga P sobe la viga. La distancia entre las cargas est dada por

L, y la distancia entre los apoyos est dada por l, los datos se encuentran

tabulados en la abla 1. !e pide calcular"

a# $iagramas de %lec&a, Pendiente, 'omento y (ortante.b# Esfuer)o de fle*i+n m*imo.c# Esfuer)o de cortante m*imo.

Imagen 1" Esquema del tren sobre la viga.

abla 1" Parmetros numricos iniciales.

Parmetro !mbolo 'agnitudMdulo de elasticidad de

la fundacin elstica.

- 1 /g0cm2

Carga por rueda. P 2 /gMomento de inercia de la

viga.

I) 13 cm4

Mdulo de elasticidad de

la viga.

E 2.1e5 /g0cm2

Distancia entre cargas. L 156 cm

Distancia entre apoyos. l 3 cmDistancia del centroide de

la seccin transversal a la

fibra ms alejada.

c 3 cm

Clculos:

a# Para &acer la evaluaci+n de las funciones de 78*#, '8*#, y98*# y y8*#, as

como definir si la viga puede anali)arse como fundaci+n elstica, se

necesita el valor de la constante , obtenido con la ecuaci+n 81#

&gina 1 de 10


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E'ui"o ()

=4

K

4EI(1)

=4 100kg/cm2

4

(2.1e6

kg/cm2

)(1800

c m

4

)

=0.009018 1

cm

!e obtiene despus el valor de la longitud de onda de la elstica, obedeciendo a la

ecuaci+n 82#.

a=2

a= 2

0.009018 1

cm

=696.735 cm

El criterio para saber si la viga se puede estudiar como viga sobre fundaci+n

elstica dice lo siguiente 8:#.

{Si a>l , S se puede tratar como F . E .Si al=80cm

(omo la longitud de onda es mayor que la distancia entre apoyos, se puede

anali)ar como viga sobre fundaci+n elstica.

;aciendo uso de las f+rmulas 84# y las funciones 86# se procedi+ a obtener los

diagramas de %lec&a, Pendiente, 'omento flector y %uer)a cortante.

y=P

2K[ ( x1 )+( x2 )+ ( x3 )+ ( x4)]

y=P 2

K [! ( x1 )+! ( x 2)+! ( x3 )+! ( x 4 ) ]

"= P

4[#( x1 )+#( x2 )+#( x3 )+#( x4 )]

$=P2

[% & ( x1 )% & ( x2 ) %& ( x3 )% & ( x4) ] (4 )

(x )=ex [cos (x )+sin (x )]

&gina 2 de 10


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E'ui"o ()

! (x )=ex [sin (x )]

#(x )=ex [cos (x )sin (x )]

& (x )=ex

[cos (x )

](5

)

La tabla 2 y las grficas 1 a 4 presentan los resultados de la aplicaci+n de las

ecuaciones 84# y 86# en un rango


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E'ui"o ()

2$0 1)1($21-51 *0)001552(. 1.+1-+)52$ ,2+().1(1.

2+0 1)151$0+,. *0)0011+.(( 101+2$).(- .1-$)(0-,5

(00 1)1.2.$(1( *0)001002+1 -.22()5$15 -++0)$+,5.

(10 1)1,2(0$05 *0)000+-151 21--)(((02 ($2()(5122

(20 1)1$1$50- *0)000+$12( *(0211)$+0$ 2.-.)(055(

((0 1)1+21.5+( *0)0010+0+( *50,-$)+5(( 1-5+)($+22(-0 1)20(,+,,( *0)0012(+22 *5+(.()2-.5 2.1)5(1-0+

(50 1)21.+,(-1 *0)001(+-- *55+($)2.2. *+-$),2--

(.0 1)2(1.020+ *0)00152--. *-0(-2)(202 *21,2)+0(((

(,0 1)2-,2,0$. *0)0015+.++ *12-2+)-,.. *(-12)2,$+

($0 1)2.(2-0+- *0)0015,+22 2,+5.)(-0- *-..,)5-+15

(+0 1)2,$--(.1 *0)001-(,+- $0+,()+-12 *5+($)50$.+

-00 1)2+1-,5+. *0)0011(+52 1-.,,-)1$- *,22(),1..$

-10 1)(005+.++ *0)000.-++$ 225-$5)+- *$520)1.0.(

-1,)5 1)(0(.(11( *0)0001(.,$ 2+(0-$)$1( *+-+.)+$..(

-1,)5 1)(0(.(11( *0)0001(.,$ 2+(0-$)$1( 1050()01(-

-20 1)(0(,($ -)$-($E*05 2.,1+$).$, 101,,)0$2.-(0 1)(0015(.5 0)000.2.-( 1,1+-()01$ $$,-).555$

--0 1)2+1++1+, 0)000+.+.- $+.$5)0$5, ,5,$)2+,2-

-50 1)2$1-2+2( 0)001112(- 20(-5)0$.( .2+1)-.$1+

-.0 1)2,0(0001 0)0010$$5$ *(.1$1)0,$$ 5015).2($-

-,0 1)2.00+++5 0)000+(211 *$000()-55- (,50)55-,2

-$0 1)251+$$5. 0)000.,.- *11122()0,$ 2-+-),2-02

-+0 1)2-.,+1+( 0)000(5-.$ *12++20)(,( 12-5).02(-

500 1)2-500-$ *-)51--E*1+ *1(.1-.)$+( 2),,5.E*1(

510 1)2-.,+1+( *0)000(5-.$ *12++20)(,( *12-5).02(-

520 1)251+$$5. *0)000.,.- *11122()0,$ *2-+-),2-02

5(0 1)2.00+++5 *0)000+(211 *$000()-55- *(,50)55-,2

5-0 1)2,0(0001 *0)0010$$5$ *(.1$1)0,$$ *5015).2($-

550 1)2$1-2+2( *0)001112(- 20(-5)0$.( *.2+1)-.$1+

5.0 1)2+1++1+, *0)000+.+.- $+.$5)0$5, *,5,$)2+,2-

5,0 1)(0015(.5 *0)000.2.-( 1,1+-()01$ *$$,-).555$

5$0 1)(0(,($ *-)$-($E*05 2.,1+$).$, *101,,)0$2.

5$2)5 1)(0(.(11( 0)0001(.,$ 2+(0-$)$1( *1050()01(-

5$2)5 1)(0(.(11( 0)0001(.,$ 2+(0-$)$1( +-+.)+$..(

5+0 1)(005+.++ 0)000.-++$ 225-$5)+- $520)1.0.(

.00 1)2+1-,5+. 0)0011(+52 1-.,,-)1$- ,22(),1..$

.10 1)2,$--(.1 0)001-(,+- $0+,()+-12 5+($)50$.+

.20 1)2.(2-0+- 0)0015,+22 2,+5.)(-0- -..,)5-+15

.(0 1)2-,2,0$. 0)0015+.++ *12-2+)-,.. (-12)2,$+

.-0 1)2(1.020+ 0)00152--. *-0(-2)(202 21,2)+0(((

.50 1)21.+,(-1 0)001(+-- *55+($)2.2. +-$),2--

..0 1)20(,+,,( 0)0012(+22 *5+(.()2-.5 *2.1)5(1-0+

.,0 1)1+21.5+( 0)0010+0+( *50,-$)+5(( *1-5+)($+22

.$0 1)1$1$50- 0)000+$12( *(0211)$+0$ *2.-.)(055(

&gina - de 10


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E'ui"o ()

.+0 1)1,2(0$05 0)000+-151 21--)(((02 *($2()(5122

,00 1)1.2.$(1( 0)001002+1 -.22()5$15 *-++0)$+,5.

,10 1)151$0+,. 0)0011+.(( 101+2$).(- *.1-$)(0-,5

,20 1)1($21-51 0)001552(. 1.+1-+)52$ *,2+().1(1.

,(0 1)12011+- 0)002101(2 2-,,-$)$( *$-2()2(,1.

,-0 1)0+5--55 0)002$,(0. ((,5-()$5. *+5(1)..2(2,-,)5 1)0,12050( 0)00(.15,2 -120+0)$(5 *10(--)50-(

,-,)5 1)0,12050( 0)00(.15,2 -120+0)$(5 +.55)-+5,

,50 1)0.1$(1.. 0)00($$0(5 ($$2$5)$$$ +($$)$52((

,.0 1)01$2+--+ 0)00-,$$ 2++.(,),,- $(-$)0((2,

,,0 0)+..$0$0+ 0)005-,-.+ 2211.5)++1 ,(5-)+101

,$0 0)+0+--+5( 0)005+...+ 152(5,)-0. .-1.)(,1.(

,+0 0)$-$0-0(. 0)00.2$$$2 +2.(+)+515 55(,)(5$5,

$00 0),$-1.1,. 0)00.-.-(2 -1-00)$51$ -,21)1115.

$10 0),1+1,0.2 0)00.51-,$ *1++,)5-$,+ (+.+)-0(.

$20 0).5-21.-, 0)00.-.00+ *($20-)20-- (2$2),55$$

$(0 0)5+025$5$ 0)00.(1$-1 *.,$.,)$5,+ 2..0).(..5$-0 0)52$0$(0+ 0)00.10.21 *+1.2,)-(($ 2101).-2$5

$50 0)-.$(1++2 0)005$($2$ *11010-)1.( 1.0()..-$1

$.0 0)-11-5+1$ 0)00552,,+ *12($+5)2.+ 11.-)0(-1.

$,0 0)(5,$..+, 0)0051$.(+ *1((5.+)05- ,,+).55,(2

$$0 0)(0,$00($ 0)00-$2-25 *1(+..1)22$ --,)12(+..

$+0 0)2.1-21.$ 0)00--501, *1-2.,2)(22 1.2)$2-,,(

+00 0)21$$1155 0)00-0,1.+ *1-(0..)05. *,.)+,.(511

+10 0)1,++$1(5 0)00(.+515 *1-12.$)521 *2,.)05$+-,

+20 0)1--$$-($ 0)00((25$( *1(,..$)0. *-($)1$(+$,

+(0 0)11(-2.1. 0)002+.$0- *1(2.15),22 *5.,)0-10-2

+-0 0)0$5-,(,( 0)002.251$ *12.-2.)1++ *...)2052(1

+50 0)0.0$.(+, 0)0022++$$ *11+(,+)15( *,(+)102+,2

+.0 0)0(+-10+$ 0)001++-0+ *111,20)$(5 *,$$)+$5.02

+,0 0)020+12.. 0)001,0+1( *10(..5)+-5 *$1$)+0++--

+$0 0)00515.(1 0)001--5,+ *+5(++).-(2 *$(1),2-+,,

++0 *0)00$0,.(+ 0)00120--2 *$,0,+).,52 *$(0)0.(,++

1000 *0)01+0052, 0)000+$-++ *,$$($)5512 *$1.)(-011(

&gina 5 de 10


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E'ui"o ()

?rfico 1" %lec&a de la viga.

0 100 200 (00 -00 500 .00 ,00 $00 +00

*1)-

*1)2

*1

*0)$

*0).

*0)-

*0)2

0

/

c3

/ c3

?rfico 2" Pendiente de la elstica

&gina . de 10


8/10

E'ui"o ()

0 200 -00 .00 $00 1000 1200

*0)01

*0)01

0

0

0

0

0

0)01

0)01

/4

c3

/4 rad

?rfico :" 'omento flector de la viga.

0 100 200 (00 -00 500 .00 ,00 $00 +00

*500000

*-00000

*(00000

*200000

*100000

0

100000

200000

c3

6g*c3

&gina , de 10


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E'ui"o ()

?rfico 4" %uer)a (ortante

0 100 200 (00 -00 500 .00 ,00 $00 +00

*15000

*10000

*5000

0

5000

10000

15000

7

3

7 8g

b# !e &ar uso de la ecuaci+n de la escuadra 85# para saber el esfuer)o

m*imo en tensi+n.

'="m(x )

I* (6 )

'=412090.83 kgcm(8cm)

1800cm4

=1831.5148 kg

cm2

c# (omo se tiene una secci+n rectangular, se tiene la f+rmula general de

esfuer)o cortante 8@# y del esfuer)o cortante m*imo para una secci+n

rectangular 83#. $e la f+rmula 8# se despe>a la base de la secci+n.

+=$,

I-

=$m(x

I* -

[. y ] (7 )

+m(x=3$

2-/ (8)

I*=- /

3

12 (9)

&gina $ de 10


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E'ui"o ()

Bbteniendo la base a partir de 8#"

-=12I*

/3 =

12(1800c m4 )(16cm )

3 =5.2734 cm

+=$m(x

I* -[.y ]= 10503.01337 kg

(1800c m4)5.2734 cm(8cm) (5.2734 cm ) (4cm )=186.72

kg

cm2

(omprobando el resultado con 83#"

+m(x=3$

2-/=

3(10503.01337kg)2(5.2734 cm)(16cm)

=186.72 kg

cm2

&gina + de 10

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