FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS,

GEOLOGÍA Y METALURGIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

RESOLUCION DE LA PRACTICA CALIFICADA POR EL

METODO DE LOS TRIANGULOS

PRESENTADO EN LA ASIGNATURA DE GEOESTADISTICA

DOCENTE:

Ing. VILLAREAL SALOME Juan Pele

RESPONSABLES:

ANDAGUA RAMIREZ Deivy

GUERRO ARAUJO Ada

LEÓN FLOREZ Grover

MACHCO CIRIACO Edwin

MONTEZ LAZO Jhosimar

Huaraz- Ancash

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASHSANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO

Junio del 2015

CALCULO DE RESERVAS POR EL METODO DE TRIANGULOS

EJEMPLO: en una campaña de prospección de un posible yacimiento de Cu, se han realizado 21 sondeos para poder estimar las reservas de dicho yacimiento. ρ = 3.5 gr/m^3

SONDEO ESTE(m )

NORTE(m) POTENCIA(m) LEY MEDIA (%)

1 60.8 110.5

2 40.4 90.7

3 90.25 90.6

4 10.9 80.2

5 50.2 80.15 5 4.3 6 70.15 80.52 5.2 3.8 7 110.3 80.05

8 80.4 70.35 6.1 3.6 9 60.8 60.6 7.2 6.5 10 50.5 60.35 7.8 2.7 11 50.15 50.9 8.1 8.4 12 90.15 50.85 7.6 3.1 13 60.25 50.1 7.7 5.6 14 110.3 50.05

15 10.1 40.9

16 30.2 40.1 8.2 2.7 17 80.4 40.8 7.3 2.5 18 30.05 20.45

19 60.7 20.8 8.8 2.4 20 90.8 20.05

21 60.7 10.55

SOLUCIÓN

1. PROCEDIMIENTO

1.1.Peloteamos los sondeos, con sus respectivas coordenadas y (norte) X (Este)

Nota: papel milimetrado para dibujar los puntos

1.2.Unimos los sondeos que tienen ley, en este caso

viene hacer los puntos de color rojo, para luego

unirlos y así formar los triángulos.

1.3.CÁLCULO DE ÁREAS: para esto utilizamos 4 metodos de cálculo de áreas de un triángulo.

CÁLCULO DE ÁREAS POR EL MÉTODO GEOMÉTRICO (Teoría de Herón)

La fórmula de Herón nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados del mismo. Por lo tanto, no es necesario conocer ni la altura ni ninguno de los ángulos.

Si llamamos s al Semi-perímetro y a, b y c a los lados del triángulo, siendo:

s=a+b+c2

Entonces el área puede expresarse como:

A=√S (S−a)(S−b)(S−c )

Demostración del Teorema

El teorema se demostrará con la ayuda del teorema del coseno.

La fórmula clásica para el área del triángulo nos dice que:

A= c .h2

……………….(1)

Reemplazamos:

h=a .Sen (B )……………….(2)

Quedándonos:

A=c .a . sen (B)

2……………….(3)

Por otro lado, el teorema del coseno nos asegura que:

b2=a2+c2−2.a . c .cos (B)……………….(4)

El camino a seguir será despejar cos(β) de la última ecuación y sustituir sen(β) en la anterior.

Tenemos pues que 

cos (B )=a2+c2−b2

2.a . c¿………………. (5)

 Y como 

sen2 (B )=1−cos2(B) ………………. (6)

Reemplazando (5) en (6):

Sen (B )=√1−(a2+c2−b2)2

4.a2 . c2

O lo que es lo mismo:

Sen (B )=√1−4.a2 . c2−(a2+c2−b2)2

4.a2 . c2

Teniendo en cuenta que el numerador es una diferencia de cuadrados y

el denominador un cuadrado obtenemos:

Sen (B )=√((2ac+(a2+c2−b2)) (2ac−(a2+c2−b2)))2.a . c

Sen (B )=√((2ac+a2+c2−b2¿ ) (2ac−a2−c2+b2¿ ))2.a . c

Sen (B )=√(((a+c )2−b2¿) (b2−(a−c)2¿))2.a . c

Sustituyendo en (3):

A= c .a2x

√(((a+c )2−b2¿) (b2−(a−c)2¿))2.a . c

A=√( ((a+c )2−b2¿) (b2−(a−c)2¿))4

Y utilizando de nuevo la descomposición de la diferencia de cuadrados

como suma por diferencia, nos queda:

A=√(b+a−c )(b−a+c )(a+c−b)(a+b+c )4

Finalmente, introducimos el 4 dentro de la raíz quedando 16, y si

observamos que (b+a-c)/2 = (s-c)/2, y que (b-a+c)/2 = (s-a)/2 y así

sucesivamente, llegamos a la fórmula final escrita anteriormente.

A=√S (S−a)(S−b)(S−c )

Aplicación de la fórmula:

Antes de aplicar esta fórmula, primero se tiene que triangular todos los

sondajes que se encuentran con ley y potencia respectiva. Asimismo

tendremos las coordenadas de estos sondajes que se utilizara para el

cálculo de los lados de cada triángulo.

Tenemos la triangulación de los sondeos:

Ejemplo: Tomamos los datos del triángulo Nª02

Triangulo 2

Δ Sondeos E N Potencia(m)

Ley (%)

5 50.02 80.15 5.0 4.39 60.8 60.6 7.2 6.5

10 50.5 60.35 7.8 2.7

Ahora calculamos la distancia “a” que se encuentra entre las coordenadas del sondeo 5(50.02-80.15) y el sondeo 9(60.8-60.6) y aplicamos la fórmula:

d=√(X 2−X1)2+(Y 2−Y 1)2

Distancia “a”

a=√(X2−X 1)2+(Y 2−Y 1)2

a=√(50.02−60.08)2+(80.15−60.6)2

a=22.325m

De la misma manera calculamos la distancia “b” que se encuentra entre las coordenadas del sondeo 5(50.02-80.15) y el sondeo 10(50.5-60.35) y aplicamos la fórmula:

Distancia “b”

b=√(50.02−50.5)2+(80.15−60.35)2

b=19.806m

También calculamos la distancia “c” que se encuentra entre las coordenadas del sondeo 9(60.8-60.6) y el sondeo 10(50.5-60.35) y aplicamos la fórmula:

Distancia “c”

c=√(60.8−50.5)2+(60.6−60.35)2

c=10.303m

Ahora calculamos el Semi-perímetro.

s=a+b+c2

s=22.325+19.806+10.3032

s=26.17m

Calculo de área :

A=√S (S−a)(S−b)(S−c )

A=√26.17 (26.17−22.325)(26.17−19.806)(26.17−10.303)

A=102.03m2

Realizamos los mismos pasos (Distancia a, b, c, semi-perímetro, área, altura o potencia promedio, ley promedio, volumen, tonelaje y cantidad de mineral) para tos los triángulos obtenidos y nos quedaría una tabla con todos estos datos calculados como el que podemos observar en el Excel.

CÁLCULO DE ÁREAS TRIANGULARES POR EL

MÉTODO ANALÍTICO

Sean L1 y L2 dos rectas que se interceptan en punto P cuyos ángulos de inclinación son α1 y α2 respectivamente. El ángulo que forma la recta L1 con la recta L2 se define como el ángulo θ.

De este modo el ángulo θ está dado por:

𝜽 = 𝜶𝟏 – 𝜶𝟐

Calculo de pendiente de cada recta L1 Y L2

Además: m1= tgα1 y m2 = tgα2…………………………………………………*

Un ángulo especificado θ formado por dos rectas está dada

por la fórmula:

Esta fórmula se deduce de la siguiente manera:

Sabemos que: θ = α1 – α2

Entonces aplicando tangentes se tiene:

𝑇𝑔𝜃 = (𝛼1 – 𝛼2)

Entonces resolviendo diferencia de dos ángulos se tiene:

……………**

Reemplazando la ecuación * en **, obtenemos:

Aplicamos arco tangente para obtener “θ”

Una vez hallado θ, aplicamos la formula trigonométrica que

está dada por la siguiente formula:

Calculamos la área A1 de la práctica, con los procedimientos dadas anteriormente

X

Paso 1: calculamos las pendientes:

Calculamos m1 y m2

b

c

m1 = (Y2-Y1/X2-X1); del punto 16 al 10 m1 = (60.35 – 40.10)/ (50.5 –

30.20) m1 = 0.997

M2 = (Y2-Y1/X2-X1); del punto 16 al 5 M2 = (80.15 – 40.10)/ (50.20 –

30.20) m2 = 2.021

Paso 2: calculamos el ángulo θ.

Tgθ = (2.021 – 0.997)/(1+0.997*2.021)

Tgθ = 0.3396 → θ = 18.7°

Paso 3: calculamos las distancias desde el punto 16 al punto 10 y la

distancia del puno 16 al punto 5.

16 – 10(B) = 28.67 m

16 – 5(A) = 44.69 m

Ojo: estas distancias se obtiene aplicando Pitágoras

Paso 4: calculamos el área por la formula trigonométrica

Área ABC = (b*c)/2) (senθ)

B = 28.67

C= 44.69

Área ABC = (28.67*44.69)/2) (sen18.7°)

Área ABC = 205. 924 m^2

Paso 5: Hacemos los mismos cálculos para calcular A2, A3, A4,… A13 y los mismos cálculos para calcular las reservas.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO POR VECTORES (MÉTODO VECTORIAL)

DEFINICIONES BÁSICAS

Vector: Es un Segmento de recta, contado a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.

Vector posición: un vector posición, es un vector cualquiera el cual identifica la posición de un punto en el plano cartesiano o en espacio

Se llama vector de posición al vector que tiene como origen el origen de coordenadas del sistema de referencia y como extremo el punto donde se encuentra el móvil en cada instante.

Producto vectorial: En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial . El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c. El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

Donde la última fórmula se interpreta como:

Esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES

Sean los vectores y , no paralelos. Observe la figura:

area=base∗altura

Observe que entonces

Y por la propiedad del producto cruz:

ÁREA DE UN TRIÁNGULO POR VECTORES

El área del triángulo sustentado por dos vectores y es la mitad del área delParalelogramo sustentado por los vectores, es decir:

Área Triángulo =

Procedimiento para el cálculo de área del triángulo:

1. Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos (vector posición de los puntos dados)

Ejemplo:

En este caso el vector posición de dos lados será: y

2. Conociendo los vectores y hallamos el producto vectorial de estos vectores (del ejemplo anterior).

3. Posteriormente se obtiene el módulo de la resultante del producto

vectorial de los vectores y 4. Finalmente se divide entre dos ala resultante del producto

vectorial, para asi obtener el área del triángulo formado por los

vectores y

Ejercicio resuelto: Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

La fórmula a usar será:

Solución.

MÉTODO DE LAS MATRICES

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas

de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una

fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es

cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas

se le denomina matriz n-por-m (escrito n x m) donde n ,m∈N− { 0 }, El

conjunto de las matrices de tamaño n x m se representa como M n∗m(K ),

donde K es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una

matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de

columnas después.

La fórmula es:

O también se puede escribir asi.

A= |a bc de fa b

|A=12

(a x d + c x f + e x b) – (b x c + d x e + f x a)

La expresión nemotécnica consiste en indicar las coordenadas de los

vertices, repitiendo el primero al final, para indicar el cierre del

triángulo, de manera que se suman los productos obtenidos mediante

diagonales recorridas en el sentido y se restan los productos

obtenidos mediante diagonales en el sentido . A la forma descrita de

calcular los productos de las diagonales, sumando o restando el

resultado en función del sentido de la diagonal, lo llamamos productos

cruzados".

Con este método hallamos las áreas de los triángulos.

Entonces hallaremos el triángulo número 3 por método de matrices.

6(80.52, 70.15)

5(80.15, 50.20)

9(60.60, 60.80)

A3 = |60.60 60.8080.52 70.1580.15 50.2060.60 60.80

|A3 =

12 (60.60x70.15 + 80.52x50.20 + 80.15x60.80) – (60.80x80.52 +

70.15x80.15 + 50.20x 60.60)

A3 = 196.972 m2

1.4.Calculamos la potencia promedio de cada triangulo.

De la formula hecha en clases, se tiene:

Hprom = pot 1+ pot 2+ pot 3

3

1.5. Calculamos volumen para cada triangulo.

De la fórmula:

V= A x Hprom

Ejemplo triangulo 3:

V = A3 x Hprom

V = 196.972 x 5.8

V = 1142.4376

1.6.Calculamos la ley de mineral promedio para cada triangulo.

Ejemplo triangulo 3:

Ley mineral = ley5x H 5+ley6 x H 6+ley 9x H 9

H 5+H 6+H 9

Ley mineral = 4.3 x5+3.8 x 5.2+3.6 x7.2

5+5.2+7.2

Ley mineral = 3.86

1.7.Hallamos las toneladas métricas para cada triangulo.

Del ejemplo anterior se tiene:

TM = V x ρ

TM = 1142.4376 x 3.5

TM = 3998.5316

1.8.Por ultimo hallamos la cantidad

Q = 3998.5316 x 3.86

Q = 155434.33198

Resultados

Los resultados por cada método de cálculo de áreas de una sección triangular se pueden ver en el Excel, y el resultado general al igual que

lo anterior.

AREA POTENCIA

VOLUMEN

DENSIDAD

TM LEY MEDIA

Q

A1 197.007 7.000 1379.049 3.5 4826.672 3.081 14870.745

A2 102.007 6.667 680.047 3.5 2380.163 4.468 10634.570

A3 196.972 5.800 1142.438 3.5 3998.532 5.061 20236.247

A4 149.634 6.167 922.743 3.5 3229.601 4.785 15453.202

A5 238.631 6.967 1662.463 3.5 5818.619 4.417 25702.150

A6 195.015 7.367 1436.611 3.5 5028.137 4.010 20160.326

A7 108.345 7.400 801.753 3.5 2806.136 4.873 13672.958

A8 54.006 7.567 408.645 3.5 1430.259 4.889 6992.517

A9 293.105 7.933 2325.300 3.5 8138.549 3.466 28207.937

A10 147.758 8.200 1211.616 3.5 4240.655 5.377 22803.000

A11 47.862 7.867 376.514 3.5 1317.800 5.603 7383.033

A12 346.682 8.367 2900.573 3.5 10152.005

4.434 45016.658

A13 89.066 8.033 715.497 3.5 2504.239 4.616 11558.985

TOTAL 55871.365

242692.326

Calculo hecho en Excel.